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Funciones racionales. Página 1

Estudio de las funciones

RACIONALES

2o BACH_MAT_CCSS_II

Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM

Nombre y apellidos…………………………………………………………………………………………..………………………......


RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Cálculo de las raíces, los polos y la tabla de signos de una función racional. Discontinuidades.

OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica de una función racional ( ) ( )

( )

calcular sus raíces y sus polos, construir su tabla de signos, y reconocer y clasificar sus

puntos de discontinuidad.

2. Estudio de las rectas asíntotas de una función racional.

OBJETIVO 2. Estudiar la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de

una función racional ( ) ( )

( ) , calculando sus polos y analizando el grado de los

polinomios ( ) ( ).

3. Función derivada de una función racional.

OBJETIVO 3. Saber calcular la función derivada de una función racional ( )

( )

( )

aplicando el criterio de la derivada de un cociente.

4. Estudio de la monotonía y los puntos extremos de una función racional. Cálculo de rectas tangentes.

OBJETIVO 4. Saber analizar la monotonía y los puntos extremos de una función

racional ( ) ( )

( ) utilizando la tabla de signos de su primera derivada, ( ), y

saber calcular la ecuación de cualquiera de las rectas tangentes de ( ) ( )

( )

5. Problemas de representación y optimización de funciones racionales.

OBJETIVO 5. Calcular los elementos básicos para la representación de funciones racionales, incluyendo el estudio de sus raíces, polos, signo, asíntotas, monotonía, extremos y rectas tangentes.


1. Cálculo de las raíces, los polos y la tabla de signos de una función racional. Discontinuidades.

OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica de una función racional ( ) ( )

( )

calcular sus raíces y sus polos, construir su tabla de signos, y reconocer y

clasificar sus puntos de discontinuidad.

Raíces y polos una función racional. Discontinuidades.

1. Una función racional ( ) ( )

( ) se anula cuando se anula el numerador ( ) por tanto:

“Las raíces de ( ) son las raíces del numerador ( )” ( ) ( )

2. Las raíces del denominador ( ) se llaman polos de la función racional ( ) ( )

( ) y no pertenecen al

dominio de ( ), es decir, no podemos calcular la imagen de un polo (porque no está definida la división por cero). Las funciones racionales son discontinuas en sus polos (y continuas en todos los demás puntos)

2.1 Si un polo no es raíz, el valor de ( ) se aproxima a o a cuando el valor de x se aproxima a y la función presenta en una discontinuidad inevitable. Decimos que la recta es una

asíntota vertical de la función ( ) ( )

( )

2.2 Si un polo también es raíz (de la misma multiplicidad) entonces ( ) no se aproxima ni ni a , se aproxima a un valor concreto y presenta en ese punto una discontinuidad evitable, porque podemos definir la imagen de ( ) en ese polo para evitar la discontinuidad.

3. Una función racional cambia de signo solo en sus raíces y polos de multiplicidad impar.

Ejemplo


Ejercicio 1.1. Considera la siguiente función racional:

( )

1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces. 2. (0.5 puntos) Calcula sus polos. 3. (0.5 puntos) Construye la tabla de signos y clasifica sus discontinuidades. 4. (0.5 puntos) Construye una tabla de valores fundamentales. 5. (0.5 puntos) Esboza su gráfica.

1. Raíces de ( ) 2. Polos de ( )

5. Gráfica de ( )

3. Tabla de signos de ( ). Clasificación de discontinuidades.

4. Tabla de valores fundamentales de ( ).



( )



5. Gráfica de ( )




2. Estudio de las rectas asíntotas de una función racional.

OBJETIVO 2. Estudiar la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas

de una función racional ( ) ( )

( ) , calculando sus polos y analizando el grado

de los polinomios ( ) ( ).

Asíntotas de una función racional. Clasificación.

1. Asíntotas verticales: Si el valor es un polo de la función racional ( ) ( )

( )

entonces, la recta vertical a medida que los valores de x crecen se acercan hacia o hacia los valores de ( ) se aproximan a cero, es decir, la gráfica de la función ( ) se acerca al eje OX.

2.1. Asíntota horizontal en el eje OX: Si en una función racional ( ) ( )

( ) el

grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de ( ) se aproximan a cero, es decir, la gráfica de la función ( ) se acerca al eje OX.

2.2. Asíntota horizontal en la recta : Si en una función racional ( ) ( )

( )

el grado del numerador y el denominador son iguales entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de ( ) se aproximan a la recta horizontal , siendo k el cociente entre los coeficientes de los monomios de mayor grado de los polinomios numerador y denominador.

2.3. Asíntota oblicua en la recta : Si en una función racional ( ) ( )

( ) el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador

entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de ( ) se aproximan a la recta oblicua , es decir, la gráfica de la función ( ) se acerca a la recta .

2.4. Ramas infinitas no asintóticas: Si en una función racional ( ) ( )

( ) el

grado del numerador supera en más de una unidad al grado del denominador entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de ( ) también crecen o decrecen hacia o hacia sin aproximarse a ninguna recta.



( )

1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas verticales. 3. (0.5 puntos) Calcula y representa su asíntota horizontal, su asíntota oblicua o sus ramas infinitas.

1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades.

2. Asíntotas verticales. 3. Asíntota horizontal, asíntota oblicua o ramas infinitas.



( )





3. Función derivada de una función racional.

OBJETIVO 3. Saber calcular la función derivada de una función racional ( )

( )

( )

aplicando el criterio de la derivada de un cociente.

Función derivada de una función racional.

La función derivada de una función racional ( ) ( )

( ) es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ))

Derivada de un cociente: “La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, dividido por el cuadrado del denominador”

Ejercicio 3.1. Halla la primera derivada de las siguientes funciones racionales:

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )


Ejercicio 3.2. Halla la primera derivada de las siguientes funciones racionales:

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )

) ( )

( )


4. Estudio de la monotonía y los puntos extremos de una función racional. Cálculo de rectas tangentes.

OBJETIVO 4. Saber analizar la monotonía y los puntos extremos de una función

racional ( ) ( )

( ) utilizando la tabla de signos de su primera derivada, ( ), y

saber calcular la ecuación de cualquiera de las rectas tangentes de ( ) ( )

( )

Monotonía y puntos extremos de una función racional.

Dada una función racional ( ) ( )

( ) estudiamos su monotonía y su puntos extremos utilizando la tabla de signos

de su primera derivada, ( ) :

Si ( ) es negativa entonces ( ) es decreciente.

Si ( ) es positiva entonces ( ) es creciente.

Si ( ) entonces ( ) tiene un punto extremo (máximo o mínimo)

Criterio del signo de la segunda derivada para la clasificación de puntos extremos:

Si ( ) entonces en hay un punto extremo que será:

Máximo si ( )

Mínimo si ( )

Si la segunda derivada es NEGATIVA en una raíz de la primera derivada entonces ese punto es MÁXIMO.

Si la segunda derivada es POSITIVA en una raíz de la primera derivada entonces ese punto es MÍNIMO.



( )

1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas y/o sus ramas infinitas. 3. (0.5 puntos) Estudia su monotonía y sus extremos relativos.


2. Asíntotas y ramas infinitas.

3. Monotonía y extremos relativos.



( )






Ejercicio 5.1 A la vista de la gráfica, ¿quién es f(x)?

) ( )

) ( )

) ( )

) ( ) ( )( )

Explica porqué: ……………………………………………………………………………………………………………………………………

A la vista de la gráfica, calcula: ) ( ) ) ( ) )

( )

)

( )

) ( )

A la vista de la gráfica, Resuelve: ) ( ) ) ( ) )

( )

)

( )

) ( )

Construye la tabla de signos de ( )

Calcula la expresión analítica de ( )


Ejercicio 5.2

A la vista de la gráfica, ¿quién es f(x)?

) ( )

) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

Explica porqué: ……………………………………………………………………………………………………………………………………


( )

)

( )

)

( )

A la vista de la gráfica, resuelve o calcula: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )

Completa la siguiente tabla de signos y monotonía

Calcula la ecuación explícita de la asíntota oblicua de ( )


Ejercicio 5.3

A la vista de la gráfica, ¿quién es f(x)?

) ( )

) ( ) ( )( )

( )( )

) ( ) ( )( )

( )( )

) ( ) ( )( )

( )( )

Explica porqué: ……………………………………………………………………………………………………………………………………


( )

) ( ) )

( )

A la vista de la gráfica, resuelve o calcula: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( )

Completa la siguiente tabla de signos y monotonía

Clasifica todas las discontinuidades de ( )

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