ESTUDIO DE LA LÍNEA RECTADISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Específicamente nos referiremos al estudio de la distancia entre dos puntos ubicados en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano de coordenadas. Veamos la siguiente figura:

Sobre la recta A localizamos dos puntos P1 y P2 con sus respectivas coordenadas sobre el eje x y el eje y. Se trata de hallar la distancia (d) entre los puntos P1 y P2. Para lo cual se utiliza el teorema de Pitágoras. Observemos que el valor de cada uno de los catetos del triángulo rectángulo que se ha formado es posible hallarlos realizando la diferencia entre las distancias respectivas. Para nuestra gráfica, la distancia d, representa la hipotenusa del triángulo rectángulo. Entonces, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de la distancia:

Siendo ésta la fórmula entre dos puntos cualesquiera en un plano coordenado.

Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas (3, 4) y (5, 0).

 

Para el desarrollo digamos que:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Observemos la figura:

En la figura se observa que el punto medio entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es el punto de coordenadas P(x, y), donde por semejanza de triángulos se Determina las coordenadas para el este punto. Entonces, diremos que si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de un segmento comprendido entre los dos puntos, entonces las coordenadas del punto medio P(x, y) están dadas por:

PENDIENTE DE LA LÍNEA RECTA

La pendiente de una línea recta es el grado de inclinación de la recta respecto al eje x del plano cartesiano.

Analicemos la siguiente gráfica:

El valor de la tangente no es sino el ángulo o grado de inclinación que tiene la recta A,sobre el eje x. A este ángulo de inclinación lo llamamos pendiente de la línea recta y se denota por la letra m.

Teniendo en cuenta los conceptos de pendiente, se enuncian las siguientesconsideraciones:

Si una recta es paralela al eje de coordenadas x, entonces y2 = y1 y su pendiente            será igual a cero, porque Tg q = 0.

Si una recta es paralela al eje de coordenadas y, entonces x2 = x1 y su pendiente            será indefinida.

Si la dirección de la recta tiene un ángulo de inclinación menor de 90° (agudo),            entonces podemos afirmar que la pendiente de la recta es positiva, porque la            tangente de un ángulo agudo es positiva.

Si la dirección de la recta tiene un ángulo de inclinación mayor de 90° (obtuso),            entonces podemos afirmar que la pendiente de la recta es negativa, porque la             tangente de un ángulo es negativa.

Ahora ampliemos un poco el concepto de pendiente. Hemos expresado en capítulosanteriores que la ecuación general de una línea recta está dada por:

Y = m x + b

Donde

m = pendiente de la recta.

b = término independiente o punto donde la recta corta al eje y.

Así por ejemplo, en una ecuación que viene dada por la fórmula

y = 4x - 2

Se puede destacar que el valor de la pendiente es igual a 4, y que el punto por donde la recta corta el eje de coordenadas y es -2. 

Realizando la gráfica de la recta se puede demostrar esto fácilmente. Para realizar la gráfica correspondiente es preciso que a partir de la ecuación se le den valores arbitrarios a la variable independiente x, para hallar los valores de la variable dependiente y. Elaborando la tabla de valores:

ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE

Como su nombre lo indica la fórmula para la ecuación punto-pendiente nos relaciona un punto de la recta que satisface la ecuación y la pendiente de la misma. Sea la figura:

Si sobre una recta A de pendiente m que pasa por un punto P1 (x1, y1), haciendo énfasis en que para nuestro ejemplo sólo hay una recta que satisface estas condiciones, localizamos otro punto cualquiera P (x, y) con x ¹ x1, se puede afirmar que el punto P pertenece a la recta A si y solo sí m es la pendiente de dicha recta, es decir:

Siendo ésta la ecuación de una recta que pasa por un punto P1, y tiene como pendientem.

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

P (-5, 2) y Q (3, 4)

Para deducir la ecuación de la recta de la forma y = m x + b, se debe encontrar los valores de m y b:

Observa, que para hallar el valor de b, se pueden tomar los datos de cualquiera de los dos puntos P o Q por ser puntos que están localizados sobre la misma recta.

La ecuación de la recta buscada será:

Otra de las formas que hay para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos es aplicar directamente la fórmula:

RECTA PARALELA AL EJE X

Si una recta es paralela al eje x, quiere decir que todos los puntos tienen la misma ordenada. Esto es, que para todos los puntos de coordenada x, siempre le van corresponder un mismo valor de y. Cuando se presenta este caso se puede deducir que la recta al ser paralela al eje x, no tiene ángulo de inclinación y, por consiguiente, su pendiente m = 0 y la fórmula estará dada por la expresión:

Como la pendiente m = 0, y tomando un punto P(0, b) se tiene reemplazando los

valores que:

y - b = 0 (x - 0)

y - b = 0

RECTA PARALELA AL EJE Y

Si una recta es paralela al eje y, quiere decir que todos los puntos tienen la mismaabscisa. Esto es, que para cada punto de coordenada, y, siempre le corresponde un mismo valor de x. Si se tiene un punto de la recta P (a, y), siendo a el punto constante de la recta, entonces se cumple que x = a, y la ecuación para la recta se convierte en:

x - a = 0

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

 

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (2, -1) y (5, 7).

 

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Es decir m1, m2 = -1, que corresponde también a señalar que para que dos rectas seanperpendiculares sus pendientes deben ser cada una el recíproco de la otra.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, -3) y (4, 3).

 

El tonelUn tonel, lleno de vino tiene un peso de 35 Kg. Cuando está lleno hasta la mitad,pesa 19 Kg.

Cuánto pesa el tonel vacío

En seis filasHay que distribuir 24 personas en 6 filas de manera que en cada fila haya 5 personas.

 

Solución, en la siguiente unidad.