Funciones

Objetivos

Verificar los conocimientos adquiridos en capítulos anteriores mediante el desarrollo de problemas.

Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado mediante los procedimientos vistos anteriormente y los desarrollados en la presente unidad.

Analizar el concepto de las ecuaciones teniendo en cuenta el valor del discriminante.

Determinar la relación que hay entre la suma y el producto de las raíces de una ecuación cuadrática y los valores de los coeficientes y el término independiente.

Aplicar los procedimientos de desarrollo de ecuaciones cuadráticas a la solución de problemas.

Función cuadrática

Repasando lo visto en el grado anterior donde se definía la función cuadrática como la función cuyos valores están dados por la fórmula

Donde a, b y c son números reales y a es diferente de 0, c es el término independiente, y reciben el nombre de función cuadrática.

En la función cuadrática

La incógnita es x, el número representado por a es el coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado, y b es el coeficiente de la incógnita elevada a la potencia 1, siendo c el término independiente.

Función cuadrática de la forma 

Para analizar este tipo de ecuaciones analizaremos la gráfica de dos de ellas.

Sean las ecuaciones:

Realizar las gráficas de las ecuaciones. Se elaboran las tablas de valores, asignando valores arbitrarios a la incógnita para hallar los valores de la otra variable.

Ubicando los puntos en un plano cartesiano y trazando las gráficas respectivas se tiene:

De las anteriores gráficas se concluye que cuando a adquiere valores diferentes de cero, la gráfica será siempre una parábola simétrica respecto del eje y, la gráfica tendrá un vértice común (0, 0) que coincide con el origen del plano cartesiano y el coeficiente a dala abertura de la curva hacia arriba, sí a > 0.

 

Función cuadrática de la forma

Realizando un proceso similar al anterior, resolvamos gráficamente las ecuaciones:

Realizando las gráficas correspondientes tenemos:

Las gráficas resultantes son parábolas simétricas respecto del eje y, la abertura de la parábola está determinada por el coeficiente de x2. Particularmente el vértice de la parábola es un punto de coordenadas (0, k), y si el coeficiente de x es positivo la parábola abre hacia arriba.

Función cuadrática de la forma 

Sean las ecuaciones:

De igual manera le asignamos valores a la incógnita para encontrar los valores de la otra variable y realizamos las gráficas correspondientes:

Realizamos las gráficas:

En estas gráficas se puede observar que el eje de simetría de las gráficas es paralelo al eje y. La abertura de la parábola la determina el coeficiente de  , y si el coeficiente de  es positivo la curva de la parábola abre hacia arriba. El punto del vértice (0, 0)satisface esta clase de ecuaciones.

 

Solución de una ecuación cuadrática por factorización

Es la aplicación de los casos VI y VII de descomposición factorial vistos en el curso anterior, recordémoslos mediante ejemplos.

Resolver las ecuaciones:

Solución gráfica de la ecuación de segundo grado

Una ecuación cuadrática se puede representar gráficamente en un plano cartesiano y encontrar el valor de sus raíces, interpretando los puntos de corte de la gráfica.

Veamos:

 

Como en los casos vistos anteriormente se le dan valores arbitrarios a x para encontrarlos valores de la otra variable ¦(x), y realizar la gráfica correspondiente.

Luego entonces:

Al analizar la gráfica se observa que la parábola no corta al eje x en ningún punto, lo que indica que las raíces de la ecuación no tienen solución en los números reales.

Se observa que la gráfica corta el eje x en dos puntos, es decir en los puntos:

(-2, 0) y (1, 0) entonces se dice que -2 y 1 son dos ceros o raíces de la ecuación.

Luego las soluciones de la ecuación serán

Representar gráficamente la ecuación:

Ecuaciones literales de segundo grado

Lo particular de las ecuaciones literales es que las raíces solución de la ecuación van a ser letras, es decir el valor de las incógnitas van a estar en función de letras, y para resolverlas se puede utilizar la fórmula general o la descomposición de factores, siendo estos los dos métodos más ágiles para aplicar en el desarrollo de estas ecuaciones.

Resolver la ecuación:

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones incompletas de segundo grado son aquellas que carecen del término en x o del término independiente.

Ecuaciones incompletas de la forma 

Si en la ecuación  , se pasa el término c al segundo miembro de la ecuación se tiene:   y despejando la incógnita x:

Si los números a y c tienen signos iguales, las raíces no tienen solución en los números reales, sino que serán imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa;

Si por el contrario tienen signos diferentes las raíces solución serán reales.

Resolver la ecuación:

Ecuaciones incompletas de la forma 

Resolver la ecuación:

 

Ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado

Las ecuaciones de este tipo se resuelven por el mismo método utilizado en capítulos anteriores, eliminando los radicales mediante la elevación de los miembros a la potencia que indique el exponente del radical.

Resolver la ecuación:

Elevando al cuadrado los dos términos de la ecuación:

Elevando de nuevo al cuadrado:

Igualando a cero cada uno de los términos:

 

Ahora haciendo la verificación de las dos raíces halladas en la ecuación

original se tiene:

 

Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado.

La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los números.

Con el enunciado del problema armamos las ecuaciones:

La longitud de un terreno rectangular es el triple que el ancho. Si la longitud se aumenta en 50 m y el ancho en 10 m, el área se hace el triple. Hallar las dimensiones del terreno.

Si x = el ancho del terreno 3x = la longitud del terreno

Un avión vuela 1300 Km contra el viento y luego regresa en un total de 20 horas. Encontrar la velocidad del avión en el aire en un estado tranquilo, si la velocidad del viento es 30 km./h.

Considerando x = velocidad del avión en aire tranquilo.

x + 30 = velocidad a favor del viento.

x - 30 = velocidad en contra de viento.

Teoría de las ecuaciones de segundo grado

Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado. Como se ha visto la fórmula general de la ecuación de segundo grado viene dada por:

De los anteriores procedimientos se puede concluir que:

En toda ecuación de segundo grado de la forma  , en donde el coeficiente del primer término es 1, la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado y el producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo.

Aplicación

Si 2 y -3 son las raíces de ésta ecuación, su suma tiene que ser igual al coeficiente del segundo término 1 con el signo contrario, -1 y su producto tiene que ser el tercer término -6 con su propio signo. Entonces analicemos si se cumplen estas condiciones:

Suma: 2 + (-3) = 2 - 3 = -1 coeficiente de x con el signo contrario.

Producto: 2 x -3 = -6 tercer término con el mismo signo.

Entonces se tiene que 2 y -3 son las raíces de la ecuación 

Las raíces de una ecuación de segundo grado son 3 y 4 determinar la ecuación.

Se sabe que en toda ecuación de segundo grado de la forma  , la suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado y el producto de las raíces es igual al tercer término con su propio signo. Aquí la

suma de las raíces es 7, luego entonces el segundo término de la ecuación será -7; el producto es 12, luego 12 será el tercer término de la ecuación.

La suma de dos números es 11 y su producto 30. Hallar los números

Los números serán las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma:

En la cual el coeficiente del segundo término es -11 (la suma con el signo contrario) y el tercer término es 30 (el producto con su propio signo) luego la ecuación es:

Las raíces de esta ecuación serán los números buscados.

Descomposición en factores del trinomio de segundo grado

Un trinomio de segundo grado de la forma  , se puede escribir también: