estructuras_laminares_seguridad

8/8/2019 estructuras_laminares_seguridad

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La proyeccin se obtiene multiplicando la fuerza por el coseno de alfa que es igual a:

cos =2

sen d

Luego el valor de la proyeccin S1 sobre la normal ser:

-2 . S1 . r . d 2

sen d -

2sen

1

d d r d

S

(valor que despreciamos por ser infinitsimos de orden superior)

Vamos a proyectar ahora los esfuerzos S2; obsrvese que los esfuerzos S2 actan enplanos horizontales, mientras que la normal a la cscara tiene una direccin determinadaoblicua.

Luego para proyectarlo en primer lugar lo hacemos sobre un eje radial que pasa por elcentro, determinando una resultante central contenida en el paralelo.

Determinamos el valor de las fuerzas multiplicando por la longitud del arco sobre la queacta, que vale (R1 . d ) luego las fuerzas valen:

( S2 . d R 1 ) ; (S2

d Rd S

+ 12

Las proyecciones centrales valen (f1gura 10)

(2

sen)12

d d RS ) ;

[ ]2

sen1)2

2(

d

d Rd S

S +

Ahora bien el ngulo que forma esta proyeccin con la normal es (90 - ) (ver figura 8)y al proyectar sobre la normal ser de sentido entrante, (negativo) y por ser coseno (90 -

) = sen tenemos finalmente:

sen2

sen12

sen2

sen122 d d RSd d RSLongitud de meridiana

trmino que se desprecia

Colocando la expresin general sumatoria de n igual a cero y reepplazando los valoreshallados se tiene:

0sen2

sen1222

sen1210 === d d RSd d r Sd r d R Z nReemplazando los senos de diferencial por el valor del diferencial y simplificando se tiene:

0sen1211 = d d RSd d r Sd r d R Z Simplificando d y d y reemplazando sen2 Rr se tiene: 0sen1212 = d d RSd d r Sd r d R Z 0sen12sen21sen21 = RS RS R R Z

0122121 = RS RS R R Z operando :

Z =22

11

RS

RS + (3)


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Con las expresiones (1) y/o (2) se calcula S1 que luego se introduce en (3) para determinar(S2).

No hemos hecho intervenir los esfuerzos tangenciales T12, T21, por cuanto en el caso decscaras cargadas con simetra radial estos esfuerzos son nulos.

T12 - T21 = 0Demostramos que son iguales a cero de la siguiente manera:Si consideramos la parte inferior de la membrana una vez que hemos cortado con un planonormal al eje y estudiamos su equilibrio.Los esfuerzos que tenemos son: la carga que acta Q, adems tenemos los S1 que actan a

lo largo de la circunferencia del paralelo y logicamente suponiendo la existencia de losesfuerzos tangenciales (T) en el borderayado (figura 13)

Si tomamos momentos con r de todas lasfuerzas que tienen que estar en equilibriorespecto del eje de la membrana.

La ecuacin ser: 0)( = e M Q tiene momento nulo respecto al eje ya

que coincide con e1 mismo .Las S1 todas se van a cortar en un puntodel eje, ya que son tangentes a la meridianaluego su momento tambien es nulo. Luegonos queda solamente el momento producidopor las fuerzas T y no siendo nulas lasdistancias (r) necesariamente deben sernulas las fuerzas T.

DETERMINACION DE LAS EXPRESIONES GENERALES PARA EL CALCULO DE LOSESFUERZOS INTERNOS S1 y S2 en DEPOSITOS SOMETIDOS A "PRESION INTERIORCONSTANTES" (gas por ejemplo)

Supongamos que en la figura A hemos aislado la parte inferior de una cscara sometida apresin interior constante para el estudiar el equilibrio de la misma.

Precisamos conocer Q para introducir dicho valor en la expresin de S1.

Q es la resultante de todas las presiones, por simetra ser vertical y coincidente con ladirecci6n del eje de revolucin.

Consideremos un elemento infinitesimal de superficie igual a: 2 . x . dsEn el cual se desarrolla un diferencial de fuerza que vale:dp = p . 2 . x . dscuya proyeccion vertical ser dq y vale:

dq = dp cos = p 2 x ds cos = p 2 x dx dq = p 2 x dx


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Q = r

0

p 2 x dx = p 2 2

2r = p r2 Q = p r2 (1)

introducimos Q en la expresin S1

S1 = 2sen22 R

Q z = p R2 = sen

r

S1 =

2

2

sen22 R

r p=

sen2

r p= p

22 R S1 = 2

2 R

p (2)

para obtener S2 utilizamos las expresi6n general:

Z =22

11

RS

RS + = p

Como Z es la carga por unidad de superficie que acta normalmente a la cscara, resulta Z= p

p =22

11

RS

RS +

p =22

11

2 RS

RS p +

22

RS = p - p

122

R R =

12

2(2 R

R p )

S2 = )1

22(

2

2

R

R R p S2 = S1 . )

1

22(

R

R (3)

Las expresiones (2) y (3) son las frmulas generales para el clculo de S1 y S2 en cscarassometidas a presin interior constante.

Segun sea la forma del recipiente, variable con el meridiano, sern los valores de R1 y R2que debemos introducir en estas expresiones.


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APLI CACION P ARA DEPOSITOS QUE ALMACENAN GAS

Si tenemos una esfera sometida a presin interior constante sabemos que los esfuerzosinternos a que estn sometidos S1 y S2 estn dados par las expresiones siguientes:

S1 = p22 R

S2 = S1 . )12

2( R R

Las expresiones dadas se cumplen solamente pararecipientes cuya presin interior es constante.

En una esfera (figura 14) sabemos que los radiosR1 = R2 = R

Recordemos que R1 es el radio de curvatara demeridiano.

R2 = sen

r ; r = R2 sen

luego:

S1 = p2

R

S2 = S1 = p2

R

Es decir que los dos esfuerzos S1 y S2 son iguales en las dos direcciones (en la direccin delmeridiano y en la del paralelo).

Quiere decir que si en cualquier punto de la esfera tomamos un pequeo elemento tenemosdos tensiones o esfuerzos unitarios (figura 15)

Sabemos que si tenemos los esfuerzos y los dividimos por el espesor del elementoobtenemos las tensiones.

Si llamamos s al espesor del elemento tenemos:

s

Ss

S 2121 ===

S1 est en la direccin del meridiano yS2 en la direccin del paralelo.

Separamos el elementoconsiderado (figura 16) y observamos quesobre los planos normales actan las

tensiones: 1 y 2 , normales a losmismos ya que las tensiones tangencialesen dichos planos son cero.

Si hacemos un crculo de Mohr paraesta situacin tenemos, ya que stos

sirven para estudiar las variaciones de tensiones.Existe un criterio prctico para la construccin del crculo de Mohr que es el siguiente:Sobre el par de ejes coordenados tenemos en abscisas las tensiones normales y en

ordenadas las tangenciales que para nuestro caso son cero (figura 17)Representamos en coordenadas los valores de las tensiones del sistema plano dado (figura


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16)

Por ejemplo tomamos el plano horizontal AB, en este plano tenemos solamente tensinnormal ya que la tangencial es cero.

En abscisa colocamos el valor de 1 y la ordenada es cero, luego el punto est representadoen (A) y nos representa las tensiones que se desarrollan en el plano horizontal AB.

Luego para representar las tensiones sobre otro plano BC y como las tensiones son positivas(traccin) las tomamos hacia la derecha del eje, pero como las dos tensiones son igualestenemos que el valor de ambas es OA; luego el crculo de Mohr se reduce a un punto.

El crculo de Mohr se reduce a un punto cuando en cualquier plano inclinado la tensin semantiene la misma, siempre constante e igual a la tensin que se determina en el grfico yno hay tensiones tangenciales en ningn plano inclinado.

Luego el dimensionado se hace perfectamente bien:supongamos por ejemplo un depsito que tenga un radio de 2 metros, a una presin

interior de 10 kg/cm 2 y queremos determinar el espesor del depsito.Si fijamos una tensin admisible para chapa: adm = 1.200 Kg./cmp = 10 Kg./cm 2

R = r = 2 m.luego:

S1 = S2 = S = p2

R sS=

S

s =Reemplazando valores tenemos:

S = 10 kg/cm .2

200 cm = 1000cmkg

(dicho esfuerzo siempre nos dar en Kg. por centmetro de longitud)despejando s (espesor) tenemos:

adm

Ss

= = 1000

cmkg / 1200

2cmkg = 0,84 cm.

s = 0,84cm.

DEPOSITO CILI NDRICO

Si tenemos un depsito cilndrico sometido a presinconstante p = cte. supongamos que el radio del cilindrosea R.

En este caso podemos tomar que la generatriz delcilindro es el meridiano, en cuyo caso el radio decurvatura del meridiano es RI de valor infinito

(ver figura 18 a )El radio R2 se hace igual R. R2 = RLuego los esfuerzos valen:

S1 = p22 R

S2 = p 2 R

= )12

2( R R

= R p


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por ser R1 = nos queda12

R R = 0 luego S2 = p.R

Como vemos se ha llegado a las mismas expresiones del esfuerzo que se obtienen enresistencia de materiales de un cilindro (o sea calderas) (figura 18b), en el cual el esfuerzoanular vale p.R

RECIP IENTE EN FORMA de TORO (Trico)

Supongamos tener un recipiente de forma trica(figura 19).El toro es la superficie de revolucin que se engendra cuando una circunferencia gira en

torno a un eje .El radio de la circunferencia lo llamamos b. El toro est sometido a una presin interna.

constante.

Veremos los esfuerzos que se desarrollan.Para el estudio de los mismos hacemos un corte como lo indica la fig.19Estudiaremos el equilibrio de la porcin indicada en rojo. Esta porcin est sometida a los

siguientes esfuerzos:Tangencialmente est sometido a los esfuerzos S1 en la parte superior del mismo que lo

dibujamos aparte. (fig. 20)En la parte inferior del elemento acta tambin un esfuerzo normal segn la la tangente que

lo llamamos Slinf.Tambin acta la presin del gas (p) sobre la superficie del elemento pero esta desarrolla

una fuerza en direccin vertical (Q) que se calcula en la forma ya vista.Es decir que se obtena multiplicando la presin por la superficie de proyeccin normal a la

direccin de la fuerza que queremos calcular.


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Es necesario aclarar que la superficie en cuestin es la de revolucin que corresponde alelemento considerado, luego la fuerza Q que se estudia corresponde a toda la superficie derevolucin.

El elemento del cual se estudia el equilibrio tiene la forma indicada en la figura 21; sobreeste elemento acta una presin que origina una fuerza Q y la resultante de dicha fuerza "Q"no quiere decir que est actuando en la porcin del elemento de la figura 20, sino que acta enel centro coincidente con la direccin del eje de revolucin; y el valor se obtiene multiplicandoel rea proyectada sobre el plano horizontal (Plano 1.1.) por la presin p.El rea proyectada vale (r2- a 2).

Este producto nos va a dar la fuerza Q en proyeccin vertical que corresponde a eseelemento de revolucin.

Q = p (r2 -a2)Si ahora aplicamos la ecuacin de proyeccin sobre el eje vertical (y) tenemos: y = OS2 no tiene proyeccin sobre el eje vertical, luego nos queda S 1 y Q.

sen))((

2sen2)(

sen20sen2

22

11ar ar

r p

r ar p

r Q

SQr S+=

===

como

sen

)(senar

bar b== )1(21 r

ab pS +=

Con est formula a podemos calcular un esfuerzo.En el punto 1 la tensin ser distinta por cuanto el radio es distinto tendremos un esfuerzoque lo llamamos S 1 que ser mayor que S1 debido a que el radio es menor.

Si planteamos el equilibrio del elemento opuesto o sea (A l) tendremos:

sen2))((

)(sen2 122

1 +===

r r ar a

pSr a pQr S )

1(2

1 r ab

pS +=

El valor del esfuerzo S 2 se obtiene de la expresin general: Z RS

RS =+

1

1

2

2

Tenemos que ver cunto valen los distintos radios.Si trazamos la normal a la cscara en el punto considerado y donde sta corta al eje

tendremos R 2 en donde tenemos:

sen

sen 22== Rr r R

Rl = (radio del meridiano) = bZ = componente de las cargas exteriores hacia fuera, normales a la cscara por unidad de

superficie, luego Z = PReemplazando: )1(

2sen

2 r a p

pr

S +=

sen2

1)1(

2)

221

1(sen

22

=== r a

pr S

r a p

r a

pr

S

( )2sen22b

pr

ar pr S ==

ya que

senar

b=

22b

pS = VALOR CONSTANTE

El esfuerzo en el sentido del paralelo es constante en cualquier punto de la membrana.

Ejemplo: Si tenemos un toro de radio a = 4 m y b = 1 mP = 10 Kg/cm 2 (presin interior)por ejemplo para el punto A el radio es r = a reemplazando en la expresin general de S l

tenemos:para el punto B, r=(a+b)

++=++= )(

)2(2

12

)(1 ba

bab p

baab

pS B

Luego reemplazando valores:

cmkg

cmcmkg

SA

100010010 2)(

1 ==


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cmkg

S B 900500900

2100

10)(1 ==

500270010100

)2

(2

)1(2

)(1

==+= ba

bab p

baab

pS C

cm

kgS C 1165

6

7000)(1 ==

Vemos que el mximo lo obtenemos en el punto c.

DEPOSITOS PARA L IQUIDOS

Supongamos un deposito cualquiera que contiene un liquido determinado (figura 22), parala determinacin de los esfuerzos internos procedemos a realizar un corte (plano I-I), porahora veremos los depsitos con el lado (Cncavo)en contacto con l liquido. Este tema tienegran importancia para l estudio de fondos de tanques. Mantenemos la nomenclatura vista encasos anteriores.

Para la determinacin del esfuerzo, S 1 se aplica la ecuacin de equilibrio.0= y

0sen21 == Qr S Como r= R sen( )tenemos Q = carga de aguaDebemos averiguar el valor de Q, para cada caso particular.

La carga de lquido que acta sobre el elemento es la rayada en lpiz. (figura22)Si designamos con V al volumen de la carga de lquido, con su peso especifico, luego el

valor de "Q" ser: =V QReemplazando este valor en la formula anterior tenemos:

2sen21

R

V S

=Para determinar S 2 utilizamos las expresiones generales que relacionan a S 2 con S1.

p Z R

S

R

S ==+2

2

1

1

Como Z es la componente normal a la superficie en el punto, resulta que es igual a (p)

presin del lquido en dicho punto. pero la presin depende de la altura de la carga del liquido,que es la altura del lquido por encima del plano de corte, que designamos con (h).Por fsica resulta que la presin (p) es igual a: P = *h y reemplazando en la expresin

anterior tenemos:

h R

S

R

S =+ 2

2

1

1

De esta expresin se despeja el valor de S 2. Tanto S 2 como S1 varan de acuerdo al plano decorte (I-I) considerado, como as tambin de la forma del recipiente y de la altura de carga dellquido (lleno o vaco, etc.)


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DEPOSITO SEMIESFERICO P IRA LIQUIDOS

Veremos para este caso particular la aplicacin de las formulas generales vistas en el puntoanterior.

De acuerdo a la figura 23 eneste caso particular resulta:R2 = R1 = R

El volumen de lquido queincide en el rayado de la figura sepuede obtener como suma de unvolumen cilndrico ms unvolumen del casquete esfrico.Pero resulta ms practico hacerlomediante un calculo diferencial.

Tomamos para calcular eldiferencial de volumen un

pequeo cilindro hueco, infinitesimal, donde el radio del cilindro lo llamamos y su espesor

dx.Referimos el radio mediante la coordenada polar( )al centro de la esfera.Si a la altura del cilindro la llamamos (y); en consecuencia el diferencial de volumen ser:

ydxdv = 2

Al integrar esta expresin entre O y r, siendo (x) la variable, obtendremos a l volumenbuscado: V (volumen de la zona del casquete de radio r.

Para poder integrar es conveniente poner todo en funcin de d( ) luego la variable serentre O y .

esferaradio R

d Rdv

R y

R X

==

==

cos

cos

sen

[ ]

[ ]

33

33

03

0

23

23

23

cos13

2

1cos3

23

)3(cos2

)(coscos2

)(coscos2

sencos2

=

==

=

==

RV

R RV

d RV

d Rdv

d Rdv

Reemplazando en la expresin general y sabiendo que R1= R

[ ][ ]

2

33

221 cos12

cos132

2

sen2

==

R

R

RV

S

+++=+

=

cos1

coscos13)cos1)(cos1(

)cos1(3

2232

1

R RS

++=

cos1cos

13

122 R

S

CALCULO DE S2Tomamos la expresin general:


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cos21 ==+ R p

RS

RS

El segundo miembro es de valor positivo por ser (z) hacia fuera para el caso de cpulas alrevs la presin es negativa (hacia adentro)

Luego:

+=

+++=

++=

++=

++==

cos11

cos23

cos11

)cos1()cos1(cos2

3

cos11cos2cos2

3

cos1coscos1cos3cos3

3

cos1

cos1

3coscos

2

2

2

2

22

222

2

222

1

2

2

2

RS

RS

RS

RS

R RS RS

Determinaci6n de los esfuerzos en el punto A.

Para A --- = O luego:2

2)(

1 R

S A =

2

2)(

2 R

S A =

Los dos esfuerzos son iguales en el punto inferior.En el punto B ser: (para = 90)

3

2)(

1 R

S B =

2

2)(

2 R

S B =

El esfuerzo en el sentido del paralelo cambia de signo; se hace de compresin en el puntoB.Habr un punto en el cual hay un cambio de signo en el esfuerzo de traccin a compresin.Se puede obtener anulando S 2 y de esta manera se obtiene el ngulo para el cual el

esfuerzo cambia de signo.

CASQUETE ESFERICO

Se trata de determinar los esfuerzos internos que se producen en un casquete esfrico(figura 24) que contiene lquido.

Un casquete esfrico es a parte de una esfera de radio R cuyos puntos de sustentacin porel momento no se estudian.

La carga de agua que acta sobre el elemento de casquete considerado es la indicada con elrayado cruzado.


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El problema en la determinacin de los esfuerzos internos en el casquete esfrico lopodemos reducir al caso de depsitos semiesfricos ya visto.

Llamando V al volumen de lquido que incide sobre el elemento considerado. El volumenV es igual al volumen V ya calculado para depsitos semiesfricos (rayado vertical) menos elvolumen del cilindro superior indicado como (1234).

Volumen del cilindro superior = r2 (R f)base altura

Luego:V = V - r2 (R f)

La fuerza Q que corresponde el volumen dado ser: Q= V,siendo , el peso especifico del liquido.Adems sabemos que:

sen2

1 = r Q

S

Luego : )( 2 f Rr V V Q == Rr

= sen

sen2)(

sen2

2

1 r f Rr

r V

S=

Vemos que el primer trmino del segundo miembro no es otra cosa que el valor del esfuerzoS1 determinado en depsitos semiesfricos.

sen21 = r V

S

Luego S 1 para el casquete es:

,sen2

)(11

f Rr SS = como Rr = sen

(radio esfera) )(2

11 f R RSS =

Como se ve,( R/2(R-f), es una constante del casquete esfrico que depende de la flecha ydel radio de la esfera.

Es decir que el valor del esfuerzo interno S' 1 para el casquete esfrico se puede obtener enforma directa restando el valor de la constante al valor S 1 obtenido para la semiesfera.

Calculamos ahora el otro esfuerzo S 2 aplicando la ecuacin general y para este casoparticular como se trata de casquete esfrico los radios son R1 = R2 = R tenemos:

R Z SS Z RS

RS =+== 21

2

2

1

1 (1)

Para este caso particular Z vale para el punto considerado (A)Z= p= h (con sentido positivo puesta est dirigida hacia fuera)

Z es la fuerza que por unidad de superficie de la cscara en la direccin de la normal a lacscara es igual a la presin en el punto considerado. La presin en el punto considerado vale: h'

Siendo h la altura de agua que hay sobre el punto A luego:

[ ] )(cos)(cos f R R Z f R Rh p Z ==== h

Reemplazando el valor de Z en la expresin (1) tenemos:


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K f R RSS

f R R f R R

S RS

f R R f R R

S RS

f R RS RS R f R RSS

=

+=

=

==+

)(2

22

)()(2

1cos

)()(2

1cos

)(cos2)(cos

22

22

122

12

K=(constante igual a la obtenida anteriormente)Resumiendo:" Cuando uno quiere calcular los esfuerzos internos que corresponden al

casquete esfrico simplemente, a los valores de los esfuerzos obtenidos para la semiesfera lerestamos la constante K correspondiente al casquete.

DEPOSITO DE FORMA CONICA

Relacionado con el trabajo prctico N2(F.25)El problema consiste en lo siguiente. Tenemos un, recipiente o depsito de forma cnica de

volumen V(dato). Queremos averiguar cul es el ngulo de inclinacin ( ) que deben tener lasparedes del deposito con respecto al eje vertical que nos d la condicin ms econmica parael material adoptado, por ejemplo depsito de chapa.

Es decir cual debe ser el ngulo deinclinaci6n de las paredes para unvolumen V dado que nos d, la mximacondicin de economa o sea de menorvolumen de chapa.

El esfuerzo mximo que se desarrollapara este tipo de depsito (demostracinefectuada en el trabajo practico) es:

Smax, que coincide con el S 2max o sea el esfuerzo mayor que desarrolla en el sentidoanular; tiene la siguiente expresin llamando con H la altura del depsito con lquido:

costg

4

2

2 H

lmaxSSmax ==Con sta expresin se puede dimensionar el espesor de la chapa, luego el espesor de la

misma ser igual a:

costg

42

.mx

adm H

ladm

Ss ==

adm = tensin admisible del material.

La expresin del volumen de la chapa lo indicamos con v, este se obtiene multiplicando elrea por el espesor de la chapa.

2

2422

costg

4costg

4costg

costg

22

.

====

===

ladm

H adm

lH H vs

H H rlsv

rlssrl

chapavolv

Tenemos en la expresin dada dos variables que son H y , luego eliminamos una de ellashaciendo intervenir el volumen del deposito (cono).

H H H r depositovolV

222 tg33

1. ===

2

323

tg3

3tg V

H H

V == (3)


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Como lo que se busca es H 4 para reemplazarlo en (2): elevamos ambos miembros a lapotencia 4/3 luego:

3

8

3

4

43

4

23

43

tg

13tg3

)( == V H V H reemplazando en (2) tenemos el volumen v

es:

3 / 4

3 / 2

23 / 2

3 / 2

38

234

cossen

coscossen

,

tg2cos

tg34

=== K K vV

admv 4

Derivando la expresin (4) con respecto a e igualando a cero obtenemos el ngulo para elcual nos dar un mnimo volumen de material.

35

707.02 / 1tg212tg0sen

34cos

32

cossensencos3

43 / 7cossen3

2

)(cos

sencos34

cossen32

223 / 13 / 5

3 / 13 / 13 / 5

23 / 4

3 / 13 / 13 / 73 / 5

====+=+=

=

v

d dv

Conocido , podemos determinar H mediante la expresin nmero 3:

33

23

24.19.1

9.157.13

5.03

tg3

V V H

V V V V

H

==

==== (5)

Ejemplo: si tenemos un depsito de V=8 m3.debe tener una altura H de acuerdo a laexpresin (5) que vale:

m H 48.2824.1 3 ==El radio de la base superior del depsito r que vale:r= H tg = 2,48 .0.707 = 1,75 m

RECIP IENTE SEMITORICO (lleno de lquido)

Nosotros para gases hemos vistos un recipiente trico completamente cerrado, pero paralquidos tiene que ser abierto, en este caso de forma semitorica {figura 26).

El depsito lo consideraremos lleno de lquido es decir, hasta la parte superior.

Para este caso nos limitaremos a deducir nicamente los esfuerzos en los puntos 1 y 2.Valedecir que deduciremos S 1e, S1i, S2e, S 2i.

Para ello consideramos una seccin o corte del recipiente semitorico, que es el que se indicacon rayado, pero teniendo en cuenta que se considera en todo el desarrollo del recipiente.

Precisamente consideramos el estudio en estos puntos, porque en otros, resultanexpresiones muy largas, que no viene al caso estudiarlas, pues solo interesa el criterio decomo se resuelven.

La ecuacin de equilibrio que se puede plantear (parte rayada) a lo largo del toro1de es:


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(1) )(2

)(2

1

1

baQ

S

QbaS

e

e

+=

=+

)(21

baQ

iS

=

(2)

El peso Q, lo vamos a calcular mediante el Teorema de GULDIN en funcin del volumen.El teorema de GULDIN dice:Si tenemos una superficie que gira en torno de un eje engendra un volumen que se calcula

en forma general de la siguiente manera: multiplicando la superficie de rotacin por lacircunferencia que describe el baricentro de dicha superficie. Es decir por ejemplo:

rg = radio del baricentro

Xg = distancia al centro de gravedad de un sector circular medida en proyeccinhorizontal.Cuando se tiene un ngulo cualquier: , la expresin general de la distancia al centro degravedad Xg vale:

sen32

r Xg =

Como se trata de un cuarto de crculo tenemos (figura 28) = 45 o sea =4

Reemplazando en la formula anterior tenemos:

4

707.0

3

2

4

46sen

3

2

== bb X g

pero lo que nos interesa a nosotros es la distancia Xg luego:

bbbg X

Xgg X

42.034

4

5.032

45cos

===

=

bg X 42.0 =

Por Guldin: Superficie que gira:4

2b (cuarto de crculo)

Longitud de la circunferencia descripta por el baricentro que es: 2 rg

gr bV

242

= rg = a + X'g r g = a + 0,42 b

Luego: )42.0(24

2

bab

V += multiplicando QV = y reemplazando en 1

Tenemos:)(

)42.0(2)(2

)42.0(2

1

2

1 baba

ab

Sba

bab

S ee ++=

+

+=

Para calcular S li es exactamente lo mismo pero restando el radio(b)luego:

)(

)42.0(4

2

babab

S li =

Calculamos ahora los esfuerzos S 2 en los puntos dados (1 y 2) con la expresin


25/195

general: 02

2

1

1 ==+ Z R

S

R

S

e

e

e

e

Z = O por no haber presin de lquido en los puntos dados.Luego: R1e= b R 2e -(a + b)

bba

SSba

S

b

See

ee )(0)( 12

21 +==

+

+ )42.0(42

bab

S e +=

Para el clculo de S 2i ser: bba

SS Z ba

S

R

Sii

i

e

i )(0)( 12

2

1

1 ===+De ac se observa que de los dos esfuerzos el mayor es el exterior S 2e y ambos son de

compresin.

OTROS CASOS DE CARGAS QUE PUEDEN P RESENTARSE

Por ejemplo: Calcular los esfuerzos producidos por el peso propio nicamente en una esferaque se encuentra sostenida como lo indica la figura 29.

Para hacer el anlisis por peso propionicamente hacemos lo mismo que para loscasos anteriores o sea cortamos a la esferacon un plano (p).

El peso Q es el que corresponde a laparte de cscara que est por debajo delplano p-p luego:

La carga Q se puede calcularmultiplicando el rea de la superficie de uncasquete por el espesor s y el pesoespecifico del material.

Superficie Casquete = 2 Rf

R= radio de la esfera = s Rf Q 2En esta expresin podemos expresar la flecha en funcin del ngulo y del radio R luego:)cos1(cos == R R R f

= s RQ )cos1(2 2Tenemos que la formula de S l (esfuerzo de traccin vale): S l hacia arriba se oponen al peso

Q. 21 sen2 R

QS =

Reemplazando el valor de Q tenemos:

)cos1()cos1)(cos1()cos1(

)cos1()cos1(

sen2)cos1(2

12

2

1

+=

+=

== RsS Rs Rs

Rs R

S

Esta expresin es vlida aun sobrepasando el ngulo para arriba de B; en cuyos casos alpasar para arriba de B sera un ngulo del segundo cuadrante que aparece como valornegativo y que al resolverlo se llega a la misma expresin.

Calculo de S2: cos12 s Z Z R

S

R

S ==+

Luego: 1212 coscos S RsSs

R

S

R

S ==+ Reemplazando en la expresin dada el valor de S 1 tenemos:

+=+=+=

cos11

coscos11

coscos1

cos 22 RsSrsrs

rsS

Verificacin para distintos puntos:Punto A ----- =0 luego =

221 Rs

SS ==


26/195

Punto B ----- =90 luego )()(1 traccin RsSB = )()(2 compresin RsS B =

Punto C de apoyo, punto donde acta una carga concentrada. = 180 nos da: == 21 SSQue es lo que ocurra cuando hay cargas concentradas que las tensiones son infinitas en

esos puntos.Luego lo que se debe hacer es variar (aumentar) la zona de apoyo; produciendo un radio

adecuado de manera de disminuir el valor de la tensin.Es decir hay que obtener un valor de tal que las tensiones que se obtienen seancompatibles con el material.

ESFERA SOMETI DA A DOS CARGAS CONCENTRADAS

Para este caso si nosotros hacemos un corte con un plano p-p tenemos que la formula de S 1

estara expresada en este caso por: 21 sen2 R

PS =

Se observa aqu que tambin en el punto de abajo (A) como = O queda, S 1= Para el valor de S 2, Z =O porque en la unidad de superficie estamos prescindiendo de su

peso (no hay carga)Luego: S2+S l =O, S 2 = - S lComo Sl es siempre de traccin la S 2 ser siempre de compresin, por lo tanto en el sentido

vertical (0 sea del meridiano) los esfuerzos estn sometiendo a traccin y en todos losparalelos los esfuerzos trabajan a compresin. Esto sera a la inversa si las fuerzas P actuarande sentido contrario al dado en figura 30.

RECIP IENTE CONICO SOMETIDO A P ESO PROP IO

Supongamos tener un recipiente cnico sujeto en la parte superior (Fig.31)

Debemos considerar cuales son las cargas o esfuerzos internos que aparecen debido al pesopropio nicamente.Es un recipiente

que tiene undeterminado

espesor y materialy queremos vercuales son losesfuerzos queaparecen debidosal peso propio.

Entoncesprocedemos de lamisma forma

explicadaanteriormente,


27/195

haciendo un corte con un plano p-p.La carga Q que acta por debajo del plano p-p se puede calcular mediante el producto del

peso especifico del material del que est constituido la cscara por el espesor y por el rea quecorresponde a esa cscara.

El rea A es: rlrl A ==2

2

Q= s A (1)L: es la longitud de la cara lateral del cono y (r) es radio de la base del cono.Luego reemplazando en (1} tenemos: rlsQ =La expresin de S l, es decir, el esfuerzo, segn el meridiano, que es un, esfuerzo de

traccin, que se desarrolla segn lo indica la figura 31, ser:

sen2sen2sen2 11ls

Sr

rlsr r Q

S ===A veces resulta mucho ms comodo expresar S l en funcin de la distancia (y)porque nos da

la comodidad de trabajar en altura y separarlo en distancias convenientes, luego podemos

expresar (1) en funcin de (y). sen

yl =

Reemplazando en S l tenemos:

21 sen2

ysS =

Como seno es constante, el peso especifico y el espesor tambin lo es, resulta que elesfuerzo mximo se desarrolla en el borde superior del cono, o sea para y = H

21 sen2sH

maxS =

El esfuerzo S2 lo determinamos aplicando la expresin general: Z R

S

R

S =+1

1

2

2 01 =S

siendo R1 (radio de curvatura del meridiano) luego tenemos que nos queda: 22 R Z S = (2)

Z que es la componente segn la normal a la cscara del peso propio por unidad de

superficie de la cscara.Luego el peso propio por unidad de superficie de la cscara vale: s(peso especifico * espesor)Por lo tanto proyectando este valor sobre la normal a la cscara tenemos: cos= s Z Con signo positivo porque es hacia afuera, que coincide con el sentido positivo de Z.

Luego reemplazando Z en (2) y colocando R 2 en funcin de (r) tenemos: sen2

r R =

tgsen

cos2 cr sr

sS ==tambin podemos expresar a S 2 en funcin de (y) r= y ctg luego

22 tgc ysS =


28/195

Aqu tambin se observa que e esfuerzo mximo de S 2 se obtiene en el borde superior, esdecir que el S2 mximo, debido al peso propio ser para (y - H)

2.mx2 tgc H sS =Veremos ahora el caso en que para el mismo depsito (cnico) los esfuerzos que originan

una CARGA CONCENTRADA, actuando en el vrtice inferior.Supongamos una carga concentrada P(figura 32)y cortando como siempre con un plano

p-p . La Expresin de S 1 es inmediata, ser: sen21 r PS =

P es la nica carga que acta por debajo del plano p-p. Colocando S l en funcin de (y)tenemos: r= y ctg

cos2sensencos

21 y

P

y

PS ==

En estos casos es siempre una constante, luego S 1 depende del valor de (y) y aqu observamos que para y = O, o sea en el vrtice mismo, el esfuerzo S 1 se hace infinito.

=1SPara evitar las tensiones infinitas debemos mantener constante el espesor de la cscara

hasta un punto, donde la distancia (y) o el radio correspondiente sea compatible con elespesor de la cscara, luego desde ah hasta el vrtice hay que engrosar el espesor de lacscara con un espesor tal que d tensiones compatibles con el material.

Para calcular el esfuerzo S 2 tenemos que: 01

11 == R

S R 22

2

2 ZRS Z R

S ==

Pero Z = O pues en el punto que consideramosno hay ninguna fuerza por unidad de superficie,ya que estamos considerando solamente la carga

concentrada en el vrtice inferior, luego:Z=0 S 2= Z R2 = S 2=0Es decir cuando tenemos ~a carga

concentrada no se desarrollan esfuerzos en elsentido anular, solamente hay esfuerzos en elsentido del meridiano.

CUPULAS

Consideradas siempre en el rgimen de membranas o lminas.


29/195

Supongamos una cpula (figura 33) y realizamos ~n corte con el plano p-pConsideramos a la normal a la cascara en el punto considerado como positiva hacia afuera.Las formulas generales son similares a las ya vistas. S 1 consideramos a Q como la carga de

la parte superior al plano (p-p).Luego la parte aislada estar en equilibrio con la carga Q y los esfuerzos S 1 del meridiano

que en este caso van a ser esfuerzos de compresin.Luego la ecuacin de equilibrio ser:

0sen21 = Qnr S (1)

Pero en la expresin (1) debemos considerar el signo del esfuerzo S 1 para que de este modonos de un esfuerzo de compresin, luego operando.

sen21 r

QS

= signo que se coloca por convencinYa que el signo que nos representa a un esfuerzo de compresin es convencionalmente (-)

para nosotros.De las operaciones analticas que se efecten en (1) solamente nos dir si el sentido que se

adopt es el correcto o no.Para el clculo de S

2tenemos:

Z R

S

R

S =+2

2

1

1 expresin general vista anteriormente

En las cpulas se suele presentar a veces un problema, en la parte final de las mismas,digamos una cpula apoyada (simplemente apoyada) (fig. 34).

Al decir simplemente apoyada no se debe pensar como en el caso de vigas que tiene unapoyo fijo y otro mvil, en donde el desplazamiento permitido es en una direccin.

En el caso de cpulas sometidas a cargas su desplazamiento debe permitirse en todo sucontorno o anillo, luego los apoyos sern siempre mviles {apoyo nico a lo largo del anillo)que permita aplastarse la cpula movimientos en todo su contorno.


30/195

Luego, si tenemos una cpula simplemente apoyada (figura 34) en el punto A extremo tieneque haber un esfuerzo de membrana S 1 en la direccin de la tangente a la cscara en el puntoconsiderado, pero como hay un apoyo mvil la reaccin es vertical, luego si la reaccin esvertical, aparecern esfuerzos de flexin y no se realizan las condiciones de borde supuesto enese punto.

Entonces para que siga mantenindose el rgimen de membranas tenemos que recurrir aun anillo de borde (figura 35). Anillo de borde que sea capaz de absorber la componentehorizontal del esfuerzo S 1.Es decir, si le colocamos un anillo de borde (fig.35) en la parte inferior a la membrana,teniendo en cuenta siempre que la membrana se apoya libremente, ocurre que la fuerza S 1que tenemos en el extremo (fig.36) que acta sobre la cscara en el sentido indicado en lafigura sobre el anillo va a actuar en sentido contrario (figura 37).

Luego la S1 se puede descomponer en una tuerza vertical que la va a absorber el apoyo(componente V) y la componente horizontal (componente H)es la que va a absorber el anillo.

La componente H valdr llamando a el ngulo que se forma con la tangente a lamembrana en dicho punto (extremo) con la horizontal (fig.37).

cos1 =S H Tambin podra expresarse la componente H en funci6n de V (componente vertical) luego:

H = V. ctg La componente Ves de fcil determinacin, ya que depende del sistema de cargas.Si llamamos con Q a la carga vertical que acta por encima del plano de apoyo (peso de

toda la cascara y carga que est actuando).Entonces V valdr:

rcQ

V 2

=

De donde rc es el radio de contorno del anillo(fig. 38), luego:

tg2

crc

Q H =La fuerza H acta sobre el anillo como una fuerza de presin interior por unidad

de longitud, sobre el anillo.

Quiere decir que la fuerza H va a originar sobre el anillo una fuerza de traccin Z (de estaforma se dimensiona el anillo de borde, que se calcula con la formula general de los cilindros)es decir:

La fuerza Z vale: presin interior por Radio.

tg2

crc

Qrcrc H Z ==

tg

2c

Q Z =

Con est formula dimensionamos el anillo(armadura de corte)

Este anillo en realidad introduce perturbaciones de borde(se producen adems momentosflectores) caso que se ver ms adelante para el rgimen de placas.

La producci6n de momentos flectores est originado debido a que entre ellos es decir anilloy membrana hay distintas rigideces y obstaculizan el libre movimiento de la membrana en elborde inferior, luego existe un grado de empotramiento, y esto origina necesariamente otrosefectos (momentos).

Ocurre en este caso algo similar a lo que se produce en los nudos de un prtico que al tenerun cierto grado de empotramiento impide la libre rotacin de los elementos, por lo tanto seproducen en los nudos momentos flectores.


31/195

Pero veremos ms adelante que estos momentos influyen en el borde solamente de lacascara porque se amortiguan rpidamente a lo largo de la membrana (no ocurriendo esto conlos prticos que se propagan a otros nudos; y su propagacin puede tener cierta importancia),que es la ventaja que se tiene sobre los prticos, pues de otra manera su clculo serademasiado engorroso.

EJEMPLOS DE APLICACIN

Las cpulas tienen gran aplicacin en el proyectode tanques HINTZE.

Se nos pueden presentar cpulas cnicas(techo)cpulas troncocnicas (recipiente)y en la parte inferiorla cpula esfrica.

DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS EN UNA CUPULA ESFERICAproducida por supeso propio.

Tomando entonces una cpula esfrica (fig. 39)y haciendo un corte con el plano (p-p).

Tomando como meridiano media circunferencia tenemos que para este caso particular,R = Rl = R2

La expresin del esfuerzo S 1 es:

sen21 r Q

S=

(Peso que tiene la cpula): Q = s AA = rea del casquete esfrico que hay por encima del plano (p-p)A = 2 R f siendo f la flecha del casquete.Colocando la flecha (f) en funcin de R y tenemos: f = R -R cos Reemplazando en Q nos queda:

f RsQ = 2)cos1(2)cos(2 2 == Rs R R RsQ

22

2

1sen

)cos1(sen2

)cos1( == Rs R Rs

S


32/195

)cos1()cos1)(cos1()cos1(

)cos1()cos1(

121

+=

+=

= RsS Rs RsS

Para el esfuerzo S 2 tendremos: cos12 sR ZRSS ==+

El valor Z para este caso particular, como la carga ( s)(carga por unidad de superficie)acta hacia abajo y su proyeccin acta en el sentido negativo de la normal, luego sernegativo.

cos1coscos 12 +

+== sRsRSsRS

+=

cos

)cos1(1

2 sRS

Por EJEMPLO:para el punto A (superior a la esfera)---------- = 0

Luego :2

)(1

sRS A

= 2

)(2

sRS A

=

Estos son iguales pues si tomamos un elemento en la parte superior de la cscara (fig.40) osea en el centro, las dos tensiones en las dos direcciones son S l e S 2, y las dos estn en lasmismas condiciones de simetra, las dos coinciden con el meridiano.

Para el punto B. ------------ = 90 sRS B =)(1 sRS B =)(2

Con esto analizamos que S l es siempre de compresin (-) y los valores de S 2 cambian a lolargo del meridiano, pasa de un valor de compresin en la parte superior de la cpula a unvalor de traccin en la zona inferior.

Luego hay una zona de la cpula en donde S 2=0La determinaci6n del ngulo de cambio lo podemos hacer haciendo S 2=0En la expresin: (1)

0coscos11 =+

factoreando

0coscos1 2

= 01coscos 2

=+

62.02

24.212

51cos

25

21

45

21

141

21

cos +=+===+=

405162.0cos == En este ngulo se anula el esfuerzo S 2 esto es muy importante tenerlo en cuenta para la

forma de la cpula, por cuanto nos conviene que las cpulas trabajen casi totalmente aesfuerzo de compresin. Tenemos que para valores de menores de 5140' estaremos enzona de compresin.


33/195

DETERMINACION DE LOS ESFUERZOS

Si hubiera una carga uniforme (de nieve o sobrecarga cualquiera) por unidad de superficiehorizontal (fig.41) la carga que se toma es por m 2 de sentido horizontal como carga uniforme alo largo de la cpula.

Las expresiones son simples:La carga "Q" que actua por encima del plano (p-p) es:Q = p r2 (superficie horizontal que se est considerando, y es un circulo la parte

proyectada sobre el plano (p-p), luego el esfuerzo S 1 ser:

sen2sen2

2

1

=

= r r p

r

QS

teniendo en cuenta que: Rr = sen

21

R pS = valor constante.

Luego para cualquier punto de la cscara S 1 se mantiene constante para el caso de cargasuniformes.

para el esfuerzo S 2 tenemos:

R Z SS =+ 12 ; 12 )( S R Z S =

z para este caso particular es distinto de los casos anteriores.Tomando una unidad de la superficie de la cscara (figura 42) y computando cual es la

carga que corresponde a esa unidad de superficie tenemos que es: tomando valor 1 en elsentido de la tangente a la cscara en proyeccin ser (1 cos ) y la carga que incide en esaunidad de superficie de cscara ser: p cos (carga p por la superficie proyectada) y como Z esla proyeccin de esa unidad de superficie sobre la normal ser:

2cos= p Z Es de valor negativo por ser de sentido opuesto al considerado como positivo.

Reemplazando:


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2coscos 21

22

R p pRS pRS +==

)cos(sen2

)cos21(2

2222 ==

R p

R pS

2cos22

R pS =

Resolvemos ahora un ejemplo:

Tenemos una cscara de 7 cm de espesor y una sobrecarga: p = 300 Kg/cm2

.Estocorresponde al peso propio de la cscara.Las expresiones de los distintos esfuerzos son:Sig (esfuerzo debido al peso propio)

cos1 +=sR

Sig

Si consideramos un = 2.400 Kg/m 3 (hormign) = 0,0024 Kg/cm 3.R = radio de la cscara: 20 m.

cos1

6.33cos1

200070024.0+=+

=Sig

Sig = -33.6 kg/cm 2 cos1

1+

Con esta ecuacin podemos hacer la ley de variacion en funcion del coseno de .

+

=

coscos1

12 RsS g vemos que sR = 33.6


35/195

+=

coscos11

6.332 gS

Vemos ahora los esfuerzos que se deben a la sobrecarga:

S1p = -p2

R = -0.03 x2

2000 = -30 kg/cm 2

S1p = -30 kg/cm 2

S2p = -p2

R cos2 = -30 x cos2

S2p = -30 x cos2

Si hacemos una representacin grfica tomando en abscisas y S 1 en ordenadas.Segun el eje de las abscisas tomamos solo 3 puntos 0,10,20 y 30, vemos que para 0

el cos = cos 0 = 1 luego:Sig0 = -16,8 (sentido hacia abajo)Sig10 = -16.95 ; S ig20 = -17.3 ; S ig30 = -18

Sig30 = -18 maximo valor de Sig debido al peso propio luego el mximo lo tomamos en elborde inferior de la cupula.

Vemos ahora el Sip debido a la carga p, es un valor constante e igual a -30 Kg/cm para lostres puntos.

Con esto ya podemos ver cual es elvalor mximo o sea. en donde tenemos elmximo al superponer los valores Sig +Sip luego ser:

Simax = -48 Kg/cm

Para S2 tenemos: S 2g (debido al peso propio).


36/195

Debido a cargas S 2p.El mximo valor de S 2 se obtiene como se ve para =0 o sea en el vertice de la cupula.

S2max = -30 16.8 = -46.8Kg/cm 47kg/cmpara el clculo de la tensin ser para una cscara de espesor 7cm.

2 / 77

/ 47cmkg

cmcmkg

= (valor de compresion)Como se observa la tension con que se trabaja el hormigon es muy baja aun teniendo una

sobrecarga y luz de cupula relativamente alta.Debe tenerse especial cuidado que las tensiones sean bajas por el pandeo.

CUPULA ESFERICA CON LINTERNA

La cubierta de la linterna puede ser otra cpula esfrica, que se puede calcularindependientemente.

En este caso la forma de determinar los esfuerzos es siguiendo el mismo criterio anterior, osea haciendo un corte con un plano (p-p) y estudiando el equilibrio de la parte superior.

Las cargas que actan son: p:peso de la linterna (incluyendose dentro de este peso todo loque sea de la linterna, o sea desde el punto (1) hacia arriba y volviendo hasta (2)) o sea, lasparedes de la linterna y la cubierta.

Luego adems acta el peso propio de la parte de cscara considerada (G), (sin linterna).La carga total se forma con: Q = p + G


37/195

El peso de la porcin de cscara G se puede calcular perfectamente trazando la normal en elpunto B y cortando al eje de revolucion, tenemos el ngulo y si trazamos tambin la normala la cscara en el punto (1) punto donde comienza la linterna, el ngulo que forma con el ejelo llamamos 1.

Si llamamos con F la flecha segn lo indica la figura, el peso G ser:G = s A - peso especifico del material utilizado como cubierta.s - espesor de la cubierta.A - area que corresponde a dicho sector de cubierta.

El area del sector del cubierta se puede calcular perfectamente bien como rea de una zonaesfrica.

A = 2 R f (R: radio de la esfera)

Una forma de recordar la formula del rea es: el area de una franja cualquiera como la de lafigura (2).

Se puede siempre establecer la equivalencia con un cilindro (fig. 2) de radio R (o sea igualque el de la esfera) y como altura el dimetro de la esfera o sea 2R; luego si tomamos unafranja en la esfera, le corresponde una franja equivalente al cilindro de altura (f), luego al reade la zona esfrica es el area que corresponde al desarrollo del cilindro.

El area del desarrollo del cilindro es:

)cos(cos2

)coscos(22

12

1

===

R A

R R R Rf A

La formula para la determinacion de los esfuerzos es siempre la misma o sea:

21 sen2 R

QS = como Q = P+S tenemos

2

12

21 sen2

)cos(cos2

sen2 R

Rs

R

PS

=

( )

2

121 sen

coscos

sen2= sRPS ( A )

Con la expresion A podremos calcular el esfuerzo S1 para cualquier punto de la cascara.


38/195

Por ejemplo el esfuerzo S1 en el punto A.Tenemos que = 1 luego nos queda:

1

21 sen2 P

S A=

Recordando que P es el peso total de la linterna.

Vemos que en el punto A se nos presenta la siguiente situacion: actua la carga V por unidadde longitud de circunferencia:

12 r

PV

= (carga en sentido vertical)

Luego vemos que si aislamos un pequeo elemento (fig 3), en ese elemnto acta la carga Vy est actuando tambin S 1 ( esfuerzo de compresion que se produce en la cscara), luego enlas condiciones dadas no podemos obtener el equilibrio del elemento.

Luego para que en ese punto exista realmenteequilibrio y se efecten las hipotesis de menbrana,hay que considerar un esfuerzo horizontal H 1, queactara de tal forma que al componer con V nos deuna resultante en la direccion de S 1.

Luego se debe prever un anillo de borde. Por lotanto el anillo de bor de trabajar en el puntoconsiderado con los siguientes esfuerzos:

V:en el sentido verticalS1: con el sentido de compresin en la cscara, luego ser de sentido contrario en el anillo y

esto origina una resultante H 1 que lo va absorver el anillo.

Luego el anillo va a trabajar acompresion con una fuerza H 1que acta en todo el contorno(fuerza por unidad de longitud decircunferencia que corresponda).

Luego H1 = S 1 cos1 esfuerzoque soporta el anillo.

H1 que acta como fuerza depresin por unidad de longitudorigina una fuerza normal en unaseccin cualquiera del anillo N 1que ser igual a la presion por elradio.

111111 sencos == RSr H N

22sen

111

RS N =

Con esta fuerza normal se calcula el anillo; y como est sometido a compresin se calculacomo una columna comn, determinandose la seccin del anillo y la ar madura mnima comosi fuera una columna sometida a compresion.

Los esfuerzos en el nudo son equilibrantes o sea si haceroos un esquema de nudo tenmosque en el sentido de dichos esfuerzos son los dados por la figura N 4.

En la membrana el esfuerzo S 1 es de compresion, luego en la cara del nudo es de sentidoopuesto.

En el anillo el esfuerzo es hacia el anillo, pero en el nudo es de sentido contrario y as tambin ocurre con el muro de la parte superior de la linterna.


39/195

Calculo de S2:

Recordando que: Z RS

RS =+

1

1

2

2 ( B )

para este caso parcitular como se trata de una cubierta esfrica tenemos: R2 = R 1 = R ycomo estamos considerando el peso propio de la cscara en un punto cualquiera de la misma:

Z = - s cosPeso en sentido vertical proyectado sobre la nor mal a la cscara.

Reemplazando en (B) tenemos:

( )[ ]12222

21

22

21

22

12

cos1sencossensen2

sen

coscoscos

sen2

sen)cos(cos

sen2cos

cos

=

=

++=

==+

sR R

PS

sR

R

PS

sRPsRS

sR ZRSS

tenemos que en le punto A para = 1

122 cossen2

sR

RP

S A =Elemplo:

Supongamos una cupula con los siguientes datos.Radio de la cupula R = 10mRadio de contorno = 4.35mr1 = 2.45m


40/195

97.0

10

70.9cos

245.01045.2

sen

1

1

==

===

Rr

P = peso de la linterna = 3000 kg

kgkgS A 80076.5

3000245.01014.32

300021 =

=

=

mkgS A / 8001 =

N1 = fuerza que nos interesa para el calculo del anillo.

kg N 192024.02102

8001 == (fuerza de compresion)

Con este valor dimensionamos la seccin del anillo.-

CUPULA CUYO MERIDI ANO ES UN A RCO DE CIRCUNFERENCIA

Con una cuspide en la parte superior.Es un arco de circunferencia en el cual llega al apoyo con una tangente vertical, luego elradio del arco de circunferencia estar en o para el sector izquierdo.R1 = Radio de curvatura del meridiano = RCortamos la cpula con un plano p-p y trazando la normal en ese punto de cscara y hasta

donde corta al eje vertical tenemos R 2.El angulo que forma con la vertical es .

La carga Q que es la carga de la parte superior de la cpula con respecto al plano p-p lacalculamos por medio del teorema de Guldin.Tomando por ejemplo un elemento de longitud ds que lo ubicamos a una distancia del eje

vertical que pasa por el centro de curvatura.


41/195

El peso del elemento de cscara lo llamamos dQ y es por el teorema de Guldin:

s Asds pdQ == 2donde s es el espesor de la cascara.Expresando todo en funcion de alfa tenemos:

sd R RdQ R R R p

= ==

)sen(sen2)sen(sensensen

1

11 ds = R d

integrando entre los limites de a 1 tenemos:

( )

( )[ ]

[ ]1112

12

12

sen)()cos(cos2

)sen(cos2

sensen2

11

1

=

=

==

s RQ

s RQ

d s RQ

el esfuerzo S 1 sera: sen21 r

QS

= ; )sensen( 11 R Rr =

[ ]

[ ])sen(sensen

sen)(coscos

sen)sen(sen2sen)(coscos2

1

1111

11

1112

1

=

=

RsS

R Rs

S

para el esfuerzo S 2 sera:

cos1

1

2

2==+ s Z

RS

RS (valor de Z para peso propio

solamente)R1 = radio del arco de ciurcunferencia = R

sen)sen(sen

sen12

==

Rr R

[ ])sen(sensen

sen)(coscoscoscos

1

1111

2

2

+== ss RS

s RS

[ ]11121

2 sen)(coscossensen

)sen(sencos

+= Rs RsS

tomando el punto A (cuspide) sera = 1 nos quedapara el esfuerzo S 1


42/195

==00

1 AS indeterminacion, para calcularlo aplicamos la regla de

LHospital.para tendiendo a 1; S 2A = 0Si conocemos S 2 y aplicando la expresin general podemos calcular S 1:

Z RS

RS =+

1

1

2

2 ; 1cos = s Z R1 = R

Z R

S =1

1 111 cos == Rs R Z S

para el punto B sera: = 90

[ ]

[ ]112121

11211

sen)(cos

sen1

sen)(cos

=

=

RsS

RsS

B

B

ACLARACION: para la resolucin de dicha indeterminacin se aplica la regla de LHopital yse llega a determinar el lmite de esa expresin o sea derivando numerador y denominador deS1 (expresin general) para 1 , porque si aplicamos la expresin general para ladeterminacin de S 2 vemos que R 2 = 0 luego tenemos aqu un indeterminado como en el casode S1 para 021 = S

Z R

S

R

S ==2

2

1

1 ; Z R

S =+00

1

1 (tipo de indeterminacion superior al

S1)

Aplicando la regla de L'Hopital y partiendo de la expresin (1) tenemos:

[ ])sen(sensen

sen)(coscos

1

1111

= RsS

derivando numerador y denominador con respecto a tenemos:

[ ]1

11 sencoscossen2

sensen0'

+= RsS

Aplicando la regla tenemos:

lim AS

1

1

= [ ]1

11 sencoscossen2

sensen`

= RslimS

[ ] 0cossen

sensen

11

11 ==

Rs

01 = AS

otro caso en cual la cspide es hacia abajo (figura 7)


43/195

En la parte central nunca podria existir equilibrio con la hipotesis membranal.Si estudiaramos el equilibrio solamente de la parte central de la membrana (figura 8).

Los esfuerzos para que se realizen dentro de lateora membranal tienen que ser por ejemplo S1en (A) tangencial a la membrana.

Debiendo resultar para este caso particularhorizontal y como est actuando una carga,

necesariamente en ese punto se presenta un corte, y si se presenta un corte, est relacionadotambin con un momento flector, luego no tendramos nunca la hipotesis de la teoramembranal.

Se puede evitar este inconveniente colocando en el centro un pilar (columna ) ( Figura 9).Si colocamos una columna la porcion central (fig.9) de cscara estara soportada para este

caso particular por la columna.

por lo tanto la otra parte de la membrana la soporta otro apoyo (izquierda o derecha de laparte central).

De no ser as en la cumbre de la cscara, se producen corte y momento flector.El esfuerzo S1 ser:

sen21 r

QS

=

Si tomamos un pequeo elemento de la cscara de longitud ds tenemos. Calculando lacarga dQ por el teorema de Guldin.


44/195


45/195

luego: 2S 1 = 2S 2 = Zb

a 2

Tomando una unidad de superficie nos d como peso. ( s), que proyectado sobre la normala la cscara en el punto considerado nos da Z.

Luego: Z = - s cos

y como en el punto considerado = 0 y cos = 1 por lo tanto: Z = - sReemplazando:

bsa

SS

ba

sb

a Z SS

2

22

2

21

22

21

==

===esfuerzo que se realiza en la cuspide

Estos esfuerzos se suelen relacionar con el de la esfera de radio a. Si tomamos unasemiesfera de radio a.

El esfuerzo en la parte superior ser teniendo en cuenta que: R 1 = R2 = a

se obtiene: S 1 = S 2 = - s2a .

Luego si relacionamos los dimetros de la elipse K ba = o sea que el esfuerzo S 1 que se

tiene en una semielipse es: )(1

)( semiesferaelipse SK S =o sea que el esfuerzo S 1 para la elipse es igual al esfuerzo S 1 que se tiene para la

semiesfera multiplicado directamente por la relacin de los dimetros (K).para el punto B tenemos = 90Podemos calcular con la formula general los esfuerzos:

02

2

1

1 ==+ Z RS

RS

Los radios de curvatura para el punto E son:

a R =2 ab

R2

1 = luego: asA

Se

2

)(

1=


46/195

A(e) = area de media elipse.

Tambien se suele colocar en relacion con la esfera por ser ms comoda su determinacin.Luego si a la relacin entre el rea de una semielipse y el rea de una esfera la llamamos

tenemos :

=)()(

s

e

A A

2)()(

2 a A Ase

==

saa

asS s

== 2

2)(

1 22 (esfuerzo para la esfera)

saa

asS e

== 2

2)(

1 22

=

E s

E e SS )(

1

)(

1

El esfuerzo S1 de la elipse para el punto E vale igual al esfuerzo S 1 para la esfera para elmismo punto E multiplicado por la relacion (relacion de areas).

2)(11

212 K S R R

SS s ==

S1(s) = Esfuerzo S 1 que corresponde a la esfera.

Los valores de y K se pueden tabular y en forma rpida se pueden determinar los valoresde los esfuerzos S 1 y S2 para cualquier punto de la semielipse.

EJEMPLO DE BOVEDA ELIPTI CA

Supongamos una boveda eliptica como la de la figura. Determinaremos los esfuerzos S 1 yS2 en los puntos A y B.

Punto A: para este caso particular tenemos que:

)(221

K as

SS A A == luego la relacion 2==

ba

K

Reemplazando valores tenemos: ( = 2400 kg/m 3)

mkgSS A A / 120022

1005.0240021 ===


47/195

La tension correspondiente para el caso dado ser:

221 / 4.251001200

cmkg A A ===

Se divide por 100 para reducir unidades de Kg/m a Kg/cm.

Punto B: asS B = 1En donde es un coeficiente que relaciona las areas de semielipse y semiesfera.

esf

e

A A=

Coeficiente que se encuentra tabulado en funcin deab (relacion de semidiametros) 21 .

ab 0.25 0.5 0.75 1 0.566 0.69 0.838 1

Para el punto B tenemos queab = 0.5, luego:

mkgmkgS B / 830 / 120069.01 == ; 21 / 65.15100830

cmkg B ==

Con esto se ve que a medida que nos acercamos al ecuador, el esfuerzo S 1 va disminuyendoaunque su carga aumenta debido al peso propio. Reduccion lgica por cuanto la superficie delparalelo va en aumento (aumento de radio) y el esfuerzo se reparte en una mayor superficie:

mkgK SS B B / 33204830212 ===

Esfuerzo de traccion que se absorve con una armadura:

22 / 6.65003320

cmkg B ==

Que si suponemos que el elemento est realizado en hormigon esta tension puede serabsorvida practicamente sin armadura, aunque conviene colocar armadura minima.


48/195

CUBIERTA CONICA

Por defecto de peso propio.

S1 = Esfuerzo de compresion.Q = Carga de la parte superior al corte del plano (p-p).Siendo:

21

1

1

sen2

sen2

sen2

syS

r rls

S

lrsQr Q

S

=

=

=

=

Como es constante para cualquier punto se observa que el valor msximo de S 1 ser paray = h, o sea en el borde inferior.

Z R

S

R

S =+2

2

1

1 como R1 = !

luego: sen22

r Z R Z S ==

El valor de Z en este caso tendra valor negativo y vale:

coss Z = g yr cot=

gsysr

S cotsen

cos2 ==

22 cot gsyS =

Se observa tambien aca que el valor maximo de S 2 se obtiene para y=h (valor decompresion).

CUBIERTA CONICA

Teniendo en cuenta elo efecto de una carga uniforme en sentido horizontal.


49/195

La carga Q que actua sobre el plano (p-p) vale para este caso particular:

por Q = 2 area en sentido horizontal

luego:

sen2sen2sen2

2

1r

por

por

r

QS =

=

=

Colocando r en funcion de (y):

sen2cot

1

g y poS =

Observamos que el esfuerzo maximo se obtiene en la parte inferior.

22 R Z S =

En donde Z es como sabemos, la carga que tenemos por unidad de la superficie de la cscara. Tomando unaunidad (1) en la cascara (fig b), tendremos que es (po cos ) que la proyectamos sobre la normal, nos queda:

2cos= po Z

sencos

sencos

sencos

22

22 === y po po R Z S

y poS =

2

2

2sencos

Con lo cual tambin observamos que el esfuerzo mximo se produce en parte inferior.

CUPULA CONICA con LINTERNA

p; peso de la linterna.


50/195

Consideramos 1 por EFECTO DE PESO PROPIO; siendo s espesor de la cscara cnica.

La carga Q vale: ( )

++=

cosror

ror sPQ

Luego el esfuerzo S 1 vale:

2sen2)(

sen2

22

1

= r

ror sr P

S

2sen

)(sen2

2

1

=r

ror sPS

sencos22

r s ZRS ==

En el pie de la linterna se requiere un anillo;en ese punto habr un S 1 de compresionmientras que en la parte inferior es necesario colocar un anillo que para este caso ser unanillo de traccin.

O sea que el anillo superior trabaja a compresin en el que tenemos actuando la cargavertical V de la linterna que se transmite a todo el contorno del anillo y S 1 que si acta como

compresion en la cscara, en el anillo ser de sentido contrario luego est d una resultante H 1radial.Por lo tanto componiendo S 1 con V nos d H1 radial.

En la parte inferior ocurre lo contrario.Sobre el anillo tenemos la reaccion V y la fuerza de compresion de la cscara, luego la

resultante de la S 1 y V nos origina una fuerza H que produce traccion en el anillo.

Para el caso de considerar una carga por ejemplo de nieve, las consideraciones que sehacen son similares a las ya vistas.

SOMBRILL A CONICA CON UN P ILAR EN EL CENTRO


51/195

Para efectuar la determinacion de los esfuerzos S 1 y S2 se procede en la forma general yavista anteriormente.

Haciendo un corte con un plano (p-p), pero ahora debemos considerar el equilibrio de laparte inferior (figura 2).

Luego est en equilibrio con el peso de la parte inferior considerada Q y los esfuerzos S 1 detraccin que equilibran el peso:

cos

)()(r R

r Rslr RsQ+=+=

cossen2

)( 221

=r

r RsS (positivo por ser un esfuerzo de traccion)

2sen

)( 221

=r

r RsS

Observamos que el valor del esfuerzo S 1 en el punto superior es:como r = 0 S 1 = ! .Luego el esfuerzo S 1 se hace linfinito en el punto superior, por lo tanto es preciso considerar

un radio suficiente de tal manera que nos limite el valor de S 1 a cifras compatibles con elespesor de la cscara.

Para el valor de S 2 tenemos: 222 cos Rs R Z S == para este caso particular Z es de valor negativo:

sen

cos2r

sS =el esfuerzo maximo de compresion para este caso se produce en la parte inferior.

FONDOS DE DEPOSITOS PARA LI QUIDOS(Fondos de tanques)

Los casos ms comunes son para tanques elevados: esfericos, fondos conicos, tronco conicoy como carcteristica especial en los tanques Hintze tenemos fondos tronco cnico y esfrico.


52/195

Caso de FONDO ESFERICO sometidos por ejemplo a una presion de liquido o sea de aguaque hay dentro del tanque.

Haciendo un corte con un plano p-p y viendo cual es el volumen de agua que incide que nos

dar la carga para calcular el esfuerzo S 1.En nuestro caso sera el rayado en la figura.

21 sen2

= R

V S

Como se ve todo el calculo estriba en determinar el volumen de agua que incide sobre laparte de cascara considerada.

Si nosotros tomamos un pequeo cilindro hueco de radio y espesor d , un diferencial deese volumen sera:

yd dV = 2 sen R= d Rd = cos )cos1( += R H yreeemplazando:

[ ]

[ ])1(cossen)(3

cos2

sen2

sen2

)cos1(cossen2

33222

00

3222

2

++=

++==

+=

R R H RV

R R H RdV V

R H d RdV

luego el esfuerzo S 1 sera:

[ ]

2

33222

1 sen2

)1(cossen)(

++=

R R H RS

+++=

+=

)cos1()(cos

1)(2

)cos1()cos1(

)(2

2

32

1

2

3

32

1

R R H R

S

R R H R

S

++= R H RS R

cos1cos

2

2

32

31

El esfuerzo S2 sera teniendo en cuenta que R 1 = R2 = R


53/195

ZRSS += 12

[ ]

++=

+++=

)cos1

cos(cos

2

coscos1

cos2

2

32

35

2

2

32

32

R R H R

S

R R H R R H R

S R

++

+=)cos1(3

cos23cos

2 35

2

R H R

S

Por ejemplo para el punto A = 0 cos = 1

[ ]

21

21

32

31 2 H A

R A

RS

R H R

S

=

+=

[ ]

22

65

35

2 22 H A

A

RS

R R H R

S

=

+=

Cuando los valores de S 1 y S2 son iguales, estos se pueden resolver de la siguiente manera:R1 = R2 = R

Recordando que: ZRSS ++ 21 : HRS =12 :

221 S H S R == FONDO CONICO

H = altura de agua que hay por encima del punto superior de la cscara.Haciendo un corte con un plano p-p a una distancia (y) del vrtice tenemos que el volumen

de lquido que se debe considerar se puede calcular de la siguiente forma (rayado). volumen V = volumen cilndrico volumen cono

)23(3

)(2

2312 y y H

r yr y H r V +=+=

)23(3

2

y H r

V +=


54/195

luego:

)23(6

cot23

)23(21 y H sen

g yrsen

y H r S ++=

+=

)23(6

cot1 y H

sen

g yS +=

Se observa que el esfuerzo mximo se obtiene en el borde inferior.Para el punto A: S 1A = 0

g ysen

y H sen

r Z ZRS cot

)(22

+===

seng

y y H Scot

)(2 +=

Vemos que para y=0 S 2A=0 y que el mximo esfuerzo lo vamos a obtener en la parteinferior.

FONDO TRONCO CONI CO Considerando influencia de lquidoSupongamos que por encima del borde tronco cnico actua un nivel H de agua.

Si hacemos un corte con un plano p-p (figura 1) cuyo radio con respecto al eje derevolucin es r, luego la parte que est en equilibrio es la dada en la figura 2.

Son las tensiones o esfuerzos S 1 que actan en la seccin determinada por el plano p-p queestarn en equilibr1o con el peso o carga de agua, por encima del plano (zona rayada).

Los esfuerzos S 1 son de compresin, luego el volumen que incide se puede calculardescomponiendo la zona rayada en dos volumenes.

Un volumen que ser V 1 de facil clculo dado por un cilindro hueco y otro V 2 de formacnica (tringulo en rotacin).

Luego: V = V1 + V2


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Llamando re radio superior del tronco de cono y r i al inferior tenemos:

)( 22221 r r H H r H r V ee == V2= Lo calculamos aplicando el teorema de Guldin.

Si recordamos el teorema de Guldin que nos dice que el volumen originado por unasuperficie de rotacin cualquiera dado por figura 3.

Siendo G centro de gravedad de 1 la superficie A y r gradio de rotacin con respecto del eje al centro de gravedadtenemos que el volumen es:

gr AV = 2Luego para nuestro caso particular el rea que gira o sea

A2 que vale:

yr r A e )(212 =radio del centro de gravedad =

[ ])(31

r r r e +por lo tanto: [ ])(2)( 31212 r r r yr r V ee += Colocando y en func1on del angulo de inclinacion de la pared luego: tgr r y e )( = [ ])(2))(( 31212 r r r tgr r r r V eee += El volumen total ser:

++=

++=+=

)3

2()()()(

)3

2())(()( 2221

eeee

eeee

r r tgr r r r H r r Vt

r r tgr r r r r r H V V Vt

Forma cmoda de expresar esta expresin es utilizando una relacin que la llamamos K.O sea sacando factor comun r la expresin anterior nos queda.

+++= )3

2()1()1()1(3 r

reeee tgr r

r r

r H

r r

r V

Como vemos K est en funcion de los datos del problema o sea en funcion de, en funcin

de la posicion del paralelo que estamos considerando: r re

)( f K =luego el volumen es:

3r K V = El esfuerzo S1 ser, como es un esfuerzo de compresin ser negativo:

sen2sen2

23

1Kr

r

r K S

==


56/195

sen2

2

1Kr

S= (1)

para el esfuerzo S 2 tenemos que el Z que se tiene es: trazando la normal a la cscara en elpunto considerado, siendo Z la presin en ese punto que es directamente el valor de la presinnormal por cuanto esta es normal a cualquier punto de la cscara y vale:

[ ]

=

+=

++=+==

r Z

r re

r H

r Z

r re H y H p Z

tg1

tg)()(

luego como R1 = ! (radio de curvatura del meridiano) ser:

sensen

2

22r r

Z ZRS ===

sen

2

2r

S= (2)

Consideramos ahora la i n f l u e n c i a d e l p e s o p r o p i o .

s= espesor de la casacaraComo en los casos anteriores cortamos con un plano p-p la cascara que tiene un espesor s

para poder considerar el peso propio (siendo m=peso especifico del material).Al cortar con el plano p-p carga el peso de esa area rayada lateral de tronco de cono de

generatiz l luego:La fuerza Q vale:


57/195

( )

=

+=

+=

1cos

cos)(

22

r rer sm

Q

r rer resmQ

lr resmQ

( ) cosr re

l=

cr smQ

cos

2=

El esfuerzo S1 vale:

cossen2

2

1

=r

cr smS

2sen1cr sm

S= (3)

para el esfuerzo S 2 tenemos:

La componente del peso que acta hacia abajo (positiva) ser: s; luego proyectando en la direccin a la normal a la cscara tendremos z. cos= sm Z

luego:

sen

cos22r

sm ZRS ==

gsr mS cot2 = (4)

Como vemos el esfuerzo S 2 es funcion de r debido a que es constante para cualquierpunto, luego S 2 ser maximo en el borde superior del tronco de cono.

Otra carga que se debe considerar es por ejemplo para tanques: Si tenemos una tapa quepuede ser una cpula esferica.

Tenemos que la tapa transmite una carga vertical como lo indica la figura 5.Es decir que en el borde superior hay la accion de una carga vertical distribuida a lo largo de

toda la circunferencia de radio r e y si a la carga que se transmite la llamamos q por unidad delongitud de la circunferencia es decir una carga continua.

O sea consideramos el efecto de una carga continua (figura 6).La carga Q total vale: reqQ = 2


58/195

El esfuerzo S1 valdr:

sensen2

21 r

reqr

reqS

=

=

r

reqS =

sen1 (5)

para este caso el esfuerzo S 1 es inversamente proporcional al radio r, luego el esfuerzoaumenta a medida que vamos hacia la parte inferior del tanque (tronco de cono) para elesfuerzo S 2 en este caso particular como Z=0 por cuanto el nico efecto que estamosconsiderando es la carga en el borde superior, de manera que sobre la cscara no estactuando carga luego:

02 =S 022 == ZRS

VIGA BALCON

Vamos a considerar el caso ms general que puede ser, por ejemplo, rectangular, de lucesdistintas, por cuanto si las luces son iguales es caso particular.

l1 l2q1 q2 cargas distintas como caso mas general o

sea sobre la luz l 1 actua una carga continua q 1 ysobre l 2 actua q 2.

Generalmente son cargas continuas (por ejemplouna pared, una losa cruzada etc.).

Luego hay que ver cuales son los esfuerzos quehay en el encuentro de las vigas (punto A).

Los esfuerzos que aparecen son momentostorsores, momentos flectores, esfuerzos de corte segn lo indicamos en la figura 2.


59/195

M1: momento de torsion queactua sobre la seccion rayada.

M2: momento de flexion queactua sobre el plano de simetria.

Q: esfuerzo de corte.

M1: momento de flexion queactua sobre el plano de simetria.

M2: momento torsor que actuasobe el plano rayado.

Q: esfuerzo de corte igual ycontrario al otro que actua en lacara de l 2.


60/195

La viga de longitud l 2 tiende a flexionar debido a la carga, luego la seccin extrema tiende agirar o sea a tener una rotacin por flexin, luego esta rotacin por flexin se comunica a laotra viga obligndola a girar y le comunica un par de torsin M 1, (lo consideramos comopositivo para deducir las expresiones) que acta en el plano de la seccin.

O sea que si en la viga N1 acta como par de torsin y de sentido positivo segn muestraconvencin en la otra viga o sea la N2 acta en el plano de simetra como par de flexin y desentido contrario al de torsin (sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj).Luego igualmente ocurre con la otra viga si una de ellas o sea la V 1 tiende a girar y produceen V2 un par de torsin que lo llamamos M 2; entonces ese par de torsin actua como par deflexion en V1 con sentido contrario al de torsin.

Otra forma de indicar esquemticamente los efectos de momento puede ser la de la figura3.

Para el otro caso o sea el de M 2 es a la inversa al dado en la figura 3.Tambin tendremos un esfuerzo de corte Q en cada una de las dos secciones. Que si en la

viga V1 lo consideramos positivo o sea dirigido hacia arriba en la otra, viga V 2 tiene que estardirigido hacia abajo, por el principio de accion y reaccion (los esfuerzos normales se desprecianpor cuanto no hay cargas inclinadas).Tenemos entonces tres (3) incognitas. El par M 1, el par M2 y el esfuerzo de corte Q.

Es un hiperesttico de tercer grado para resolverlo debemos plantear tres (3) ecuaciones.Las ecuaciones que se pueden plantear son:1. Ecuacion: la ecuaci6n de FLECHA EN EL EXTREMO.Se calcula la flecha con los esfuerzos dados y la carga que acta.La flecha en el extremo de la viga 1 ser igual a la flecha en el extremo la viga 2.O sea: f 1=f 2 1 ecuacion.tenemos:La flecha que origina la carga q 1, sabiendo que tenemos un extremo empotrado (con una

carga continua) vale:

EJ lq f = 8

4

11

para simplificar se suele colocar el EJ= llamandolo rigidez de flexion: luego ser la flechadebida a la carga continua q 1:

=

8

4111

1

lq f q

La otra carga que tenemos es un par que para ste caso particular es el M 2; o sea porflexion acta el par M 2 que origina una flecha de sentido negativo que sera:

2

2121

1

l M f M

=Demostracin por los teoremas de MOHR.Y tambien tenemos el esfuerzo de corte Q en el extremo que est dirigido hacia arriba en

este caso, y luego origina una flecha negativa que vale:


61/195

3

31

1

lQ f Q

=

Suponemos para facilitar la resolucin del problema que las dos secciones son iguales quees lo ms normal.

Luego es idntico para las dos vigas.

para la otra viga en la cual tenemos una carga q 2 tendremos un par M 1 negativo, una fuerzaQ dirigida hacia abajo, las respectivas flechas son las indicadas arriba en el diagrama de laderecha.

Entonces la primera ecuacion ser: simplificado el valor de

1)328328

32

222

422

31

212

411 lQl M lqlQl M lq ++=

La segunda ecuacin que se plantea es la ecuacin de que la rotacin por flexin que seproduce en el extremo de la viga V 1 tiene que ser igual a la rotacin por torsin que acta enla seccin de la viga V 2.

Luego la rotacin por flexin de la 1 viga en el extremo tiene que ser igual a la rotacin portorsion en el extremo de la otra viga.

Luego es necesario calcular la rotacin por flexin para las cargas que tenemos:En viga V1 por flexin y en viga V 2 por torsin tendremos: la carga q 1, la fuerza Q hacia

arriba y el par M 2 negativo.

La rotacin debida a la carga continua vale:

=

6

311 lqql

Consideramos las rotaciones positivas en el sentido de las agujas del reloj.La rotacin provocada por el par M 2 (es una rotacin negativa).Luego ser:

122l M

M

=

Q origina tambin una rotacin negativa y vale:


62/195

2

21lQ

Q=

Esto tiene que ser igual a la rotacin por torsin debida al par M 2 en la viga V2.Calcular la rotacin por torsin en una viga de seccin rectangular crea un problema muy

complejo.Un criterio que se fija para el clculo de la rotacion es directamente dividiendo el area deldiagrama de momento de torsin, (que es constante a lo largo de la viga) sobre un valor a que

se llama rigidez de torsin.

c

l M M

222

= donde f JpG

c= (rigidez a torsion)

G: modulo de elasticidad transversal.Jp: Momento polar de inercia.f: Factor de torsin que depende de la forma de la seccin.

Para mayor comodidad se trabaja con una relacin gama ( ) que es la relacin entre los dosmdulos, el modulo de rigidez a flexion y el modulo de rigidez a torsion.

c

= que vale: si uno introduce las expresiones que dan para el factor detorsion:

+

= 132.0

2

bd

para seccion rectangular en funcin de la relacin alto sobre ancho (d/b).Por ejemplo si se tuviera una viga de 20x60 cm donde la relacin

32060 ==

bd

2.3)13(32.0 2 =+= Luego M2 se puede poner en funcin de quedando:

2222l M M =

=

c1

Como esto debe ser igual a la rotacion por flexin de la otra viga ser igualando:

222

11123

11

26l M lQ

ll M lq = 2 Ecuacion

La tercera ecuacin viene a hacer la inversa, es decir, la rotacin flexin de la viga V 2 tieneque ser igual a la rotacin por torsin que corresponde a V 1.

Luego tenemos: la carga q 2, par M1 y Q.

rotacin negativa en el sentido contrario de marcha de las agujas del reloj.


63/195

Tendremos que las tres rotaciones son negativas.Ser:

11212

23

22

26l M l M lQlq =

luego la ecuacin correspondiente ser:

11212

23

22

26l M l M

lQlq= tercera ecuacin

Con estas tres (3) ecuaciones resolvemos el sistema y determinamos las incgnitascorrespondientes.

VIGA DE EJE CIRCULARSi suponemos una viga de eje circular empotrada en ambos extremos como lo indica la

f1gura N1 (con empotramiento perfecto) la resolucin se puede hacer exactamente como sehizo para la viga de ngulo recto (balcon) o sea, produc1endo un corte en la parte central ydeterminando los tres (3) esfuerzos internos que se presentan.

La viga de eje circular que corresponde a un tanqueapoyado sobre columnas como lo indica la figura N2,presenta una diferencia con respecto al primer caso deempotramiento perfecto, por cuanto lo que ocurresobre la viga de eje circular es que descarga unacarga que es la misma que descarga en el tramo

continuo de la figura N2. Entonces al producirse unpar de torsion o momento torsor en el encuentro dela. viga con la columna (punto A) hay una. rotacin yla viga que sigue en el otro costado o tramo tieneexactamente la misma rotacin i por razones desimetra en consecuencia si ambas partesexperimentan la misma rotacin, quiere decir que nohay una rotacin relativa entre la seccion izquierda yderecha de la columna, o sea, eso se comporta y asique considerarlo como si estuviera sujeta en susextremos mediante una especie de charnela, quepermite la libre rotacin por torsin, lo que no permitees la rotacion por efecto de flexin en el puntoconsiderado, porque si hay continuidad, justamente laflexin es impedida por la continuidad del otro tramo,en cambio la rotacin por torsin no es impedida porcuanto ambas rotan con el mismo valor.

Luego la hiptesis que se supone es considerar al tramo entre columnas como si tuviera unacharnela que permite la rotacin por torsion en ambos extremos (figura N3).

Con sta hipotesis el problema se transforma en un simple caso isosttico o sea que sepuede resolver con las ecuaciones de la esttica.

Consideramos por ejemplo uno de los tramos entre dos columnas (fig.N4).


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Designamos con 0 al angulo central (o sea entre columnas y eje central) que depende delas cantidades de columnas que tenga el tanque.

La representacion de los momentos flectores y torsores lo hacemos en forma vectorial(siendo sta la ms adecuada para una facil interpretacin).

En el extremo A suponemos que existe un par de torsion positivo que lo representamosnormalmente al plano de la seccion.

Esto es debido a que si tenemos en la seccin considerada actuando un par de torsin comolo indica la figura N5, nosotros podremos representarlo vectorialmente con un vector M t

normal al plano considerado, que en nuestro casoresulta tangente al eje del arco en ese punto (puntoA).

El momento flector se representa por un vector que

est contenido en el plano de la seccin, es decir queel momento flector en el punto considerado es un par(figura N6) de flexin que acta en el plano normal ala seccin, luego el vector representativo es un vectorque acta en el plano de la seccion, luego como laseccin

tiene la direccin del radio, coincide con el sentidopositivo fijado.

Los pares que actan en el punto A (figura N4) se denominan de la siguiente forma:

Mte = Momento torsor en el extremo.

Mf e = Momento flector en el extremo.

por razones de simetra, es decir,considerando ahora el punto B, larepresentacin vectorial del momento torsorser igual y de sentido contrario al que actaen (A), ocurriendo lo mismo con arepresentacin vectorial del momento flectoren (B), o sea, de igual y de sentido contrarioal que acta en (A).

La carga continua que incide sobre el arco, va a dar una resultante que actuar en centro degravedad de arco AB, es decir, que el punto (C), es dicho centro cuya pasicin se determinapor esttica.

El punto (c), en general, tenemos actuando la resultante de la carga continua uniforme queactua sobre el arco AB. Podemos aplicar las ecuaciones para la determinacin de lasincgnitas, por ejemplo:

1 ECUACIN, de proyeccin de momentos, tomando momento respecto al eje (y).


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=0 y pi M Sumatoria de los momentos de todas las fuerzas pi respecto del eje (y) es igual a cero,

sobre el tramo del arco AB.Adems hay que tener en cuenta el esfuerzo de corte Q que actua en los extremos (A) y (B)

y que vale la mitad de la carga que est actuando sobre el arco AB, es decir, que si nosotrosllamamos (P) a la carga que acta en el punto (C) el esfuerzo ser:

2PQ = y en otro extremo ser igual y

de sentido contrario o sea hacia abajo.Esta consideracin es en cuanto al esfuerzo de

corte en general pero en nuestro caso para eltramo AB el esfuerzo de corte acta en lassecciones con sentido hacia arriba y en el tramosiguiente hacia abajo. Esto es as porque se debemantener el equilibrio de la viga.

Luego tomando momento de todas lasfuerzas respecto al eje (y) tenemos:

Sabemos por esttica que cuando se

toma momento de un par respecto de uneje cualquiera como en este caso, representado por un vector para calcular o para obtener elmomento del par respecto del eje en forma vectorial se obtiene directamente proyectandodicho vector sobre el eje.

Esto se demuestra por definicin vectorial del momento de una fuerza cualquiera respectode un eje, por ej. como se observa en la fig. 8, es igual al vector momento de esta fuerza (p)respecto de un punto del eje (0) proyectado sobre el eje (Mp e).

Es decir que si se quiere calcular el momento de una fuerza, respecto de un eje, tomo unpunto cualqu1era del eje, con respecto al cual se t1ene un momento

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