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ESTALMAT-Andalucía Actividades 09/10

Sesión:6 Fecha: 14/11/09 Un paseo por la Literatura Matemática

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Cinta Nogueiro y Paloma Pascual

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MALDITAS MATEMÁTICAS

Alicia en el país de los números

RESUMEN

"Alicia detesta las matemáticas y considera que no sirven para nada. Un día, mientras está estudiando en el parque, un extraño individuo la invita a dar una vuelta por el País de los Números. Lewis Carroll, el autor de Alicia en el País de las Maravillas, resultará ser su acompañante y en su fantástico viaje se enfrentarán al mosntruo del alberinto, cruzarán un desierto de granos de trigo, se adentrarán en un bosque de números arborescentes, tomarán el té con el Sombrero Loco...

En este libro, la mayor aventura para Alicia, y para todos los lectores, será descubrir que las matemáticas no sólo son útiles, sino también divertidas."

BIOGRAFÍA DEL AUTOR Carlo Frabetti es italiano (Bolonia, 1945), pero vive en España y escribe habitualmente en castellano.

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de cuarenta libros, muchos de ellos para niños y jóvenes, como La magia más poderosa, El vampiro vegetariano, El libro de Guillermo. En 1998 ganó el Premio Jaén de Literatura Infantil y Juvenil con El gran juego.

Ha creado, escrito y/o dirigido numerosos programas de televisión, como La Bola de Cristal, El Duende del Globo y Tendencias, y ha estrenado varias obras de teatro. Ha creado y dirige las colecciones de divulgación científica para niños y jóvenes `El Juego de la Ciencia` y `La Aventura de la Ciencia`.

Tanto sus obras para adultos como las infantiles han sido traducidas a numerosos idiomas. Es presidente de la Asociación Contra la Tortura y miembro fundador de la Alianza de Intelectuales Antiimperialistas.



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Capítulo 12

El cuadrado mágico

Alicia y Charlie continuaron adentrándose en el bosque, siguiendo siempre la diagonal del gran cuadrado de números arborescentes.

Bajo el 651 (de cuyo tronco salían tres ramas, cada una de las cuales se dividía en siete, que a su vez se subdividían en treinta y una), vieron una gran tortuga con un extraño dibujo en el caparazón. Pero al darse cuenta de que alguien se acercaba, el quelonio se escabulló con una rapidez impropia de los de su especie.

—¿Qué era eso? —preguntó Alicia. —La tortuga divina que el sabio chino Yu vio salir del río Amarillo —contestó Charlie—. Al menos

eso es lo que cuenta el Libro de las permutaciones, escrito hace más de tres mil años. Los signos de su caparazón representan los números del 1 al 9 mediante puntos blancos y negros, y componen un cuadrado mágico.

ACTIVIDAD Nº1 —¿Y qué es un cuadrado mágico? A modo de respuesta, Charlie dibujó en su cuaderno un cuadrado dividido en

nueve casillas. —Si consigues disponer en las casillas los números del 1 al 9 de manera que todas

las filas, columnas y diagonales sumen lo mismo, habrás compuesto un cuadrado mágico. Completa el siguiente cuadrado mágico.

—Me he dado cuenta de que en el centro del caparazón de la tortuga había cinco puntos formando

una cruz —comentó Alicia. —Pues ya tenemos mucho adelantado. Pongamos el 5 en la casilla central. —¿Y ahora? —Y ahora, pensemos. ¿Cuánto tienen que sumar los números de cada fila, columna y diagonal? —Lo mismo —contestó la niña. —Sí, pero ¿cuánto? —No sé... —¿Cuánto suman los números del 1 al 9? —insistió Charlie.

—Voy a calcularlo con el truco del pequeño Gauss: 452

9·19

—Entonces, ¿cuánto sumarán los números de cada fila? —¡Ya lo veo! —exclamó Alicia. Si entre las tres filas tienen que sumar 45 y las tres han de sumar lo

mismo, cada fila sumará 15. Y lo mismo las columnas y las diagonales.



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( el texto del libro continúa con la explicación de la construcción)

—Ahí tienes tu cuadrado mágico —dijo Charlie con una sonrisa (amplia, por una vez, en lugar de

enigmática). —¡Cómo mola! —exclamó Alicia—. ¿Hay más cuadrados mágicos? —De orden tres, sólo éste, básicamente. —¿Qué es eso del orden tres? —El orden de un cuadrado mágico es su número de casillas por lado. —Pero hay más de uno —observó la niña—. Si ponemos la columna de la izquierda a la derecha y

la de la derecha a la izquierda, sigue siendo mágico. —Cierto, pero este cuadrado es como la imagen en el espejo del otro, y lo mismo ocurre con todos

los que podemos componer: se pueden obtener a partir de un modelo único mediante giros o reflexiones, o sea que son básicamente iguales.

—¿Y los de orden cuatro? —Ésos son mucho más variados: con los números del 1 al 16 podemos formar 880 cuadrados

mágicos de orden cuatro distintos. —¿Cómo? —Enseguida lo verás. Efectivamente, al poco rato, y siempre siguiendo la diagonal del bosque de números, llegaron al

2.451 (de cuyo tronco salían tres ramas, cada una de las cuales se dividía en diecinueve que a su vez se subdividían en cuarenta y tres), y a la sombra de su tupido ramaje vieron, en el suelo, una losa de piedra cuadrada dividida en dieciséis casillas. En las doce casillas del perímetro había sendos números labrados en la piedra, pero las cuatro del centro estaban vacías. ACTIVIDAD Nº 2 Construye un cuadrado de orden 4. Recuerda que debes calcular lo que valer la constante



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—Ahí tienes un cuadrado mágico de orden cuatro —dijo Charlie—, el mismo que fue inmortalizado por Durero en su famoso grabado Melancolía. Por cierto, los dos números centrales de la fila inferior forman el año de realización del grabado: 1514.

—Pero está incompleto —observó Alicia. —Sí. Tienes que completarlo tú para poder entrar. —¿Para entrar dónde? —Lo averiguarás en cuanto entres. —¿Y cómo voy a grabar los números en esa losa? —Puedes marcarlos con el dedo, siempre que sean los números correctos: la verdad ablanda hasta

la piedra.

16 3 2 13

5 8

9 12

4 15 14 1

—Está bien, está bien, lo intentaré. Déjame tu cuaderno para hacer una prueba... Vamos a ver:

faltan los números 6, 7, 10 y 11, y los tengo que poner en las casillas del centro. Los números de la primera columna suman 16 + 5 + 9 + 4 = 34; por lo tanto, todas las columnas, filas y diagonales tienen que sumar eso... En la segunda columna están el 3 y el 15, que suman 18, luego faltan 16 para llegar a 34. Con los cuatro números que quedan, la única forma de sumar 16 es con el 6 y el 10; por lo tanto los tengo que poner en la segunda columna, pero ¿en qué orden? Supongamos, en principio, que los pongo así...

—¿Lo has conseguido? —pregunto Charhe, mirando el cuaderno por encima del hombro de la niña. —No, así no puede ser —contestó ella tras unos segundos—, porque los tres números de la

segunda fila suman 19 y faltaría el 15 para llegar a 34, pero el 15 ya está colocado. Por lo tanto, tiene que ir el 10 encima y el 6 debajo... Ahora sí, y el 11 y el 7 están chupados...

Alicia se arrodilló en el suelo y marcó los cuatro números en las casillas centrales de la losa. La piedra cedió bajo la punta de su dedo como si fuera arcilla blanda, y en cuanto hubo terminado de grabar el último número se deslizó horizontal-mente y dejó ver una empinada y oscura escalera que se hundía en las entrañas de la tierra.

—¿Adonde lleva? —preguntó la niña volviéndose hacia Charlie. Pero el escritor había desaparecido

ACTIVIDAD Nº3 La constante mágica, o el valor de la suma de cada una de las filas, columnas y diagonales de un cuadrado mágico, hemos visto que se puede obtener a partir del total de números que tenemos que utilizar. Escribe dicha constante:

1. Para un cuadrado de orden 3, que tiene 9 números:



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2. Para un cuadrado de orden 4, que tiene 16 números:

3. Para un cuadrado de orden n , que tiene n2 números:

4. Completa la siguiente tabla:

Orden 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n

Constante

ACTIVIDAD Nº4

Cuadrado mágico de la prueba de Estalmat (Este es el problema de cuadrados

mágicos que se propuso en una prueba de selección de Estalmat)

a) Si las casillas de un cuadrado mágico están ocupadas por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8 y 9, ¿cuál es la suma mágica del cuadrado? ¿Qué número ocupa siempre la casilla

central? ¿Por qué?

b) En este caso, con esos números, muestra los cuadrados mágicos que se pueden

construir.

c) Construye un cuadrado mágico con los números 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 y 17. ¿Qué

número ocupa la casilla central?

d) Existe un cuadrado mágico formado por nueve números impares consecutivos entre los

que aparecen siete números primos. ¿Cuáles son estos números? Escribe un cuadrado

mágico formado por ellos.



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ACTIVIDAD Nº5

Construye un cuadrado mágico con 9 múltiplos de 5 consecutivos.

ACTIVIDAD Nº 6

¿Se podrán construir cuadrados mágicos con otros tipos de números además de con los naturales? ¿e incluyendo al cero?

se pueden formar cuadrados mágicos con cualquier tipo de números: naturales, enteros, decimales, fracciones, potencias, números complejos..

Construye los siguientes cuadrados mágicos: 1. Con los números naturales del 0 al 8 2. Con los números de la siguiente serie: 1,4,7,……. 3. Con los números enteros de valor absoluto menor o igual que 4 4. Con los números de la serie: 0,5 , 0,8, 1,1,……

.



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ACTIVIDAD Nº 7

Buscamos las propiedades que cumplen los cuadrados mágicos

Se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número cada número de un cuadrado mágico dado obteniéndose otro cuadrado mágico.

+ 2 =

- 6 =

· 3 =

: 2 =

Se pueden sumar o restar los números de las casillas homólogas de dos cuadrados mágicos, obteniéndose otro cuadrado mágico. No se pueden multiplicar ni dividir.

+

=

-

=

*

≠

:

≠



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ACTIVIDAD Nº8

1. Piensa en un número cualquiera. 2. Escríbelo en el cuadradito superior izquierda . 3. Ahora piensa en dos números más que sean distintos. Estos números se irán

sumando al número que tenías escrito en la hoja, uno de manera horizontal y el otro de manera vertical hasta obtener nueve números distintos. ( Colócalos encima de las flechas)

□

□

□

□ □ □

□ □ □

4. Haz una lista con estos números ordenándolos de menor a mayor.

5. Escribe el cuadrado mágico 3x3 sustituye sus números con los nuevos de la siguiente forma: el primero de la lista en el lugar del 1, el segundo en el lugar del 2, el tercero en el lugar del 3 y así sucesivamente hasta que completes el nuevo cuadrado.



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AHORA ALGO DE HISTORIA

En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos desde el III milenio a. C., como atestigua el Lo Shu. Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían, aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.

Lo que tenía eran los números naturales del 1 al 9, dispuestos en forma de cuadrado, de tal forma que la suma horizontal, vertical y diagonal de los grupos de tres cifras formados daba siempre la misma cantidad.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).

Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,

edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congreso de los EE.UU.



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Este cuadrado mágico chino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu (El libro del río Lo), y tiene otras propiedades importantes.Por ejemplo, en las cuatro esquinas están los números pares ( Yin ), y los números impares (Yang) forman una cruz central. El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los cinco elementos del universo oriental ( Agua, fuego, madera, metal y Tierra )

CUADRADOS MÁGICOS EN EL ARTE

El más famoso está incluido en un grabado de Alberto Durero, llamado Melancolía y también podemos encontrar un cuadrado mágico en la fachada del templo de la Sagrada Familia, iniciado por el arquitecto Gaudí, en Barcelona.

Melancolía de Alberto Durero

Alberto Durero, pintor alemán nacido en Nuremberg, realizó en 1514 el grabado La Melancolía, que se puede ver en el Germanisches National Museum de Nuremberg o en la Bibliothèque nationale de France, Paris. En este grabado, Durero pintó en lugar destacado un cuadrado mágico de orden 4. Fue realizado en plancha de cobre. Su constante mágica es 34.

El cuadrado está formado por los números del 1 al 16, distribuidos en otras tantas casillas (cuatro por cada lado), la constante mágica es 34, que se obtiene como suma de los números de cualquier fila, columna, diagonal principal, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los



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cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. El número 34 está asociado a Júpiter y a las virtudes atribuidas a este planeta. Alberto Durero, muy aficionado a los juegos numéricos, incluyó también la fecha de ejecución de la obra, que se puede leer combinando las dos casillas centrales de la última fila: 15-14.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Algunas disposiciones particulares en el cuadrado mágico de Durero que suman la constante mágica.

La sagrada Familia de Barcelona

Otro cuadrado mágico se encuentra en la fachada de la Pasión, del Templo Expiatorio de la Sagrada Familia de Barcelona, templo ideado y comenzado a construir por Antonio Gaudí. Está junto al grupo escultórico del Beso de Judas, y se debe a Joseph María Subirachs, escultor que en 1987 recibió el encargo de proseguir el recubrimiento escultórico de esta Fachada.

Como se puede ver el cuadrado mágico, también 4 x 4, es

1 14 14 4

11 7 6 9

8 10 10 5

13 2 3 15

La constante mágica en este caso es 33 que coincide con la edad que tenía Jesucristo cuando le crucificaron. Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1



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unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones. Esto permite rebajar la constante mágica en 1. Esta es la única pega de este cuadrado mágico, lo que quizás le quite algún mérito pero seguramente era necesario para darle el sentido espiritual pretendido.

También se ha atribuido la elección de este número como una velada alusión a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha sido demostrada, de Gaudí, ya que 33 son los grados tradicionales de la masonería.

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