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ESTALMAT-Andalucía Actividades 05/06

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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________

PARADOJAS Una paradoja es, en un sentido amplio, cualquier resultado que, por parecer contrario a la intuición y al sentido común, provoca de inmediato un sentimiento de sorpresa. Las paradojas pueden ser de cuatro tipos:

1. Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas. 2. Afirmaciones que parecen verdaderas, pero en realidad son falsas. 3. Cadenas de razonamientos aparentemente impecables que conducen a una contradicción (se

llaman también falacias). 4. Declaraciones cuya veracidad o falsedad es indecidible.

FRASES PARADÓJICAS

Grandes modestos

“¿Comprendéis ahora por qué los grandes hombres solemos ser modestos?” (Antonio Machado) Principio paradójico.

“Este principio es tan general que no es posible aplicarlo a ningún caso particular”. (George Polya) De los hermanos Marx.

“Si nos encuentran estaremos perdidos”. (En la película "Sopa de Ganso") Vicio paradójico

“Un hombre debe tener por lo menos dos vicios. Uno solo es demasiado”. (Bertold Brecht) No es broma paradójica

“La vida es algo demasiado importante como para ser tomada en serio”. (Óscar Wilde) Cuenta paradójica

“Hay tres tipos de personas, las que saben contar, y las que no”. (Mi vecino)


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ ÁLGEBRA 1.- Demostrando que 2=1 Supongamos que a b=

Multiplicando los dos miembros por a, resulta a a b2 = .

Restando a los dos miembros b2 , a b a b b2 2 2− = −. Factorizando nos queda ( )( ) ( )a b a b b a b+ − = − Y simplificando a b b+ = Pero como era a=b, resulta 2b b= Y simplificando de nuevo nos queda:

2 1= 2.- ¿a > b ó a = b? Supongamos que a, b y c son números positivos tales que a=b+c. ¿Cuál es mayor: a ó b? Parece claro ¿no? Pues veamos este razonamiento: Si a=b+c, multiplicamos ambos miembros por a-b y se obtiene:

a ab ab ac b bc2 2− = + − − (compruébalo) Pasamos ac a la izquierda y tenemos:

a ab ac ab b bc2 2− − = − − Sacando factor común:

a a b c b a b c( ) ( )− − = − − Dividiendo por a-b-c, resulta:

a=b


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ 3.- Un camello muy útil

Un anciano jeque tenía 17 camellos y tres hijos. Cuando murió dejó dispuesto en su testamento

que uno de los hijos se llevase la mitad, otro la tercera parte y el último una novena parte de los

camellos. Los hijos estaban desconcertados, porque no sabían cómo repartir esta herencia. Pero

un sabio tío suyo encontró una forma perfecta de hacerlo: yo os dejo, les dijo, un camello mío al

que tengo en gran aprecio. Con éste ya son 18 los camellos que tenéis. Ahora el primer hermano

se lleva la mitad, que son nueve, el segundo la tercera parte, que son seis, y el tercero la novena

parte, que son dos. En total han sido 9+6+2=17 camellos los que os habéis llevado, y yo me

puedo llevar mi querido camello. ¿Puedes explicar este misterio?


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ 4.- El euro perdido Tres amigos fueron a comer a un restaurante. Al terminar pidieron la cuenta y el camarero les dijo que eran 25 €. Cada uno entregó un billete de 10 €. Cuando el camarero trajo los 5 € de vuelta, cogieron 1 € cada uno y dejaron 2 € de propina. Si hacemos la cuenta resulta que cada uno ha pagado 9 €, que hacen 27 €, más los 2 € de propina son 29 €. Pero habían entregado 30 €, ¿dónde está el euro que falta? 5.- Sacos de judías En un saco rojo hay 2000 judías rojas y en un saco blanco hay 2000 judías blancas. Sacamos 100 judías del saco rojo y las echamos en el saco blanco, mezclando bien todas las judías. Tomamos ahora 100 judías del saco blanco y las echamos en el saco rojo, mezclándolas con las que había. ¿Habrá más o menos judías rojas en el saco blanco que judías blancas en el saco rojo?


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ LÓGICA 1.- El barbero El único barbero de una ciudad dice que afeitará a todos aquéllos que no se afeiten a sí mismos y sólo a ellos. Pregunta: ¿quién afeitará al barbero?

2.- ALICIA EN EL BOSQUE DEL OLVIDO

Cuando Alicia entraba en el Bosque del Olvido, a menudo olvidaba su nombre y algunas veces hasta el día de la semana. No obstante, dos extraños animales, un león y un unicornio, asiduos del bosque, le daban alguna pista para averiguar el día en el que se encontraba.

• El león mentía los lunes martes y miércoles y decía la verdad los otros días de la semana. • El unicornio mentía los jueves, viernes y sábados, pero decía la verdad los restantes días

de la semana.

Un día Alicia entró en el bosque y se encontró con los dos animales que le dijeron:

• León: Ayer fue uno de los días en los que me tocaba mentir. • Unicornio: Ayer fue también uno de los días en los que me tocaba mentir.

Alicia, que era muy inteligente, supo deducir a partir de estos comentarios qué día de la semana era.

¿Cuál era ese día?


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________

3.- Sancho Panza gobernador de la ínsula Barataria

Siendo Sancho Panza gobernador de la isla Barataria (capítulo LI de la segunda parte del Quijote), tuvo que resolver la siguiente situación:

En la isla existía una curiosa ley: un guardia preguntaba a cada visitante:

- ¿A qué viene usted aquí?

Si el viajero decía la verdad lo dejaba pasar libremente. Pero si mentía era ahorcado allí mismo.

Un día un visitante contestó:

- ¡He venido aquí para ser ahorcado!

Los guardias quedaron perplejos: si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su respuesta, y, conforme a la ley debe morir, y si lo ahorcamos, él dijo que iba a morir en la horca, y, habiendo dicho verdad, por la misma ley debe ser libre.

Para decidir la cuestión el visitante fue llevado ante el gobernador de la isla. Tras pensarlo largamente, el gobernador tomó una resolución ... (¿?).


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ NÚMEROS 1.- No siempre el todo es mayor que una parte Parece que el famoso postulado “el todo es siempre mayor que una parte” tiene sus dudas. Si no os lo creéis haced lo siguiente: Poned en una fila vertical todos los números naturales: 1, 2, 3, … y enfrente de cada uno su doble: 2, 4, 6, … ¿En qué fila hay más números? ¿Hay los mismos? Pero en una están todos los números y en la otra sólo los pares. ¿Qué ocurre?

2.- Aquiles y la tortuga Una versión de la paradoja de Zenón es la famosa carrera entre Aquiles y una tortuga. Aquiles, el más rápido de los hombres, no puede alcanzar a una lenta tortuga si le da una ventaja inicial, pues mientras Aquiles recorre el camino que le separaba inicialmente de la tortuga, la tortuga habrá recorrido un cierto trecho. Cuando Aquiles llegue a recorrer este trecho, la tortuga se habrá desplazado otra porción de terreno, aunque más pequeña, y así sucesivamente. Es decir mientras Aquiles llega al lugar donde instantes antes estaba la tortuga, ésta se habrá movido a otro lugar. De está forma la tortuga siempre llevará una pequeña ventaja a Aquiles, quién por tanto nunca la alcanzará.

¿Qué te parece? ¿Crees que la Tortuga vencería a Aquiles? Si decides echar una carrera con un caracol, no se te ocurra darle ventaja, porque... ¡No lo alcanzarías nunca!

Si no estás de acuerdo con estas afirmaciones, algo tendrás que pensar para justificarlo.


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ 3.- Infinitas bolas de ping-pong Se trata de un proceso que dura una hora, en el que se dispone de infinitas bolas de ping-pong. Tenemos dos inmensos toneles, A y B, que inicialmente están vacíos.

Durante la primera media hora se realiza la siguiente operación: se ponen dos bolas en el tonel A y después se coge una de esas dos bolas y se pasa al tonel B. Tras este primer paso, tanto en A como en B hay una bola.

Durante los 15 minutos siguientes se toman otras dos bolas y se ponen en el tonel A. De las tres bolas que ahora hay en A se toma una y se pasa a B. Tras este segundo paso en A y en B hay dos bolas.

Cada paso sucesivo se realiza en la mitad de tiempo que el anterior, pero siempre se ponen dos bolas nuevas en A y después se pasa una (de las que están en A) a B. Al final de la hora, ¿cuántas bolas hay en A?

4.- El Gran Hotel “David Hilbert” El Hotel Hilbert tiene infinitas habitaciones: una habitación por cada uno de los números naturales. Hay una habitación con el número 1, luego una con el número 2, y así sucesivamente. Todas las habitaciones son individuales. i) El Hotel Hilbert está lleno: todas las habitaciones están ocupadas. Llega un nuevo cliente, pide una habitación, y el recepcionista le dice que no hay problema. Les pide a todos los clientes que . . . , y así logra que quede una habitación vacía. ii) Con el Hotel lleno, ¿cómo se acomoda un autobús lleno de la empresa Hilbert? (Sí, sí, un autobús de Hilbert tiene infinitos asientos, numerados con los números naturales). iii) Con el Hotel lleno, ¿cómo acomodarías un tren de la Compañía Hilbert? (En efecto, un tren Hilbert tiene infinitos vagones numerados, 1, 2, . . . , y cada vagón tiene infinitos asientos numerados 1, 2, . . .)


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas _____________________________________________________________________________________________ GEOMETRÍA 1.- Cuadrado fantasma

2.- Más difícil todavía

Al cambiar de posición las piezas, ¿dónde ha ido a parar el cuadrado negro del centro?


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Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas ______________________________________________________________________________________ 3.- La paradoja del cuadrado

Dibuja en un papel o cartulina un cuadrado de lado 8 cm. Recorta los dos triángulos y los dos trapecios como se indica en la figura.

Coloca los trozos A, B, C y D en la forma en que se indica. Resulta un rectángulo de lados:

largo = 13 cm., ancho = 5 cm.

Como el rectángulo se compone de los mismos trozos que el cuadrado, deben tener la misma área. Sin embargo:

Área del cuadrado: 8 cm. x 8 cm. = 64 cm. cuadrados

Área del rectángulo = 13 cm. x 5 cm. = 65 cm cuadrados

¿Cómo esta diferencia de 1 cm. cuadrado?


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4.- ¿Longitudes iguales o distintas?

Observa la siguiente figura. Suponemos que la medida del lado del cuadrado es 1. Para ir de un vértice del cuadrado al opuesto podemos recorrer su diagonal. En ese caso el camino tiene de longitud 2 . Pero si decidimos ir de un vértice al opuesto caminando por encima de dos lados del cuadrado el camino tiene una longitud de 1 + 1 = 2 unidades.

En las tres siguientes figuras se ha optado por ir desde un vértice al opuesto del cuadrado por distintos caminos, recorriendo en cada caso los catetos de triángulos cada vez más pequeños. En el primer caso los catetos del triangulo miden 0.5 y la longitud total del camino mide 0.5×4 = 2. En el siguiente caso los catetos del triángulo miden 0.25 y la longitud del camino es 0.25×8 = 2. En el tercer caso cada cateto mide 0,125 y la longitud total del camino es 0.125×16=2.

Es fácil darse cuenta de que, si seguimos repitiendo el proceso, dividiendo sucesivamente el cateto del triángulo por 2, haciendo, por tanto, triángulos cada vez más pequeños, la longitud del camino es siempre 2.

Por otra parte, si repetimos este proceso indefinidamente, los sucesivos caminos se acercan cada vez más a la diagonal. Por lo tanto llegamos a la sorprendente conclusión de que la sucesión de números 2, 2, 2, 2, … ¡se acerca cada vez más a 2 ! ¿Puedes dar una explicación para esta paradoja?

Sesión: 19 Fecha: 06/05/2006 Título: Paradojas ______________________________________________________________________________________


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5.- Imágenes

¿Joven o vieja?


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Figuras paradójicas

CUBO DE NECKER ¿POSIBLE?

¿PATO O CONEJO? CON TIZA…(muchos más en: http://users.skynet.be/J.Beever/pave.htm)

TRIDENTE DEL DIABLO TRIBAR DE REUTERSVÄRD


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TABLERO CON ESCALÓN? TABLERO SOMBREADO (Las casillas A y B son del mismo color)

TRIÁNGULO DE KANISZA TRIBAR DE PENROSE

COPA DE RUBIN ¿PARALELAS?


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¿Cuántos puntos negros ves en la imagen? … unos pocos…ninguno…van cambiando de lugar…

¿CUÁNTAS PATAS?

Bibliografía

- Cursos Thales – CICA. RECREMAT. - Estalmat – Madrid. - Martin Gadner. Paradojas ¡Ajá!

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