estadÍstica plicada guia de ejercicios unidad...

ESTADÍSTICA PLICADAGUIA DE EJERCICIOS

UNIDAD I

1- En cada uno de los siguientes casos clasifique la variable según corresponda encualitativa o cuantitativa y en este último caso, si es de tipo discreta o continua.

a) Util idades obtenidas durante el primer semestre de todos los comerciosminoristas de productos alimenticios.

b) Antigüedad en un empleo.c) Cantidad de accionistas que asistieron a la última asamblea realizada.d) Preferencia por determinada gaseosa.e) Peso netc de los frascos de una determinada marca de café.f) Programa favorito de TV.g) Estado civil de los estudiantes de la de la UNLaRh) Estatura de los estudiantes.i) Deporte que practica.j) Cantidad de goles registrados en el mundial del 98.

2- Una compañía tabacalera desea realizar un estudio de mercado.a) Elabore cinco (5) preguntas que podría incluir en un cuestionario para

realizar una encuesta.b) Clasifique la variable de cada pregunta en cualitativa, cuantitativa discreta o

cuantitativa continua, según corresponda.

3- En los siguientes casos, indique:

a) Cuál es la POBLACIÓN objeto de estudio.b) Cuál es la MUESTRA.c) Cuál es la UNIDAD ESTADÍSTICA.d) Cuál es la CARACTERÍSTICA analizada y de clasifíquela.

3.1. Un fabricante de aparatos de televisión ha afirmado que en el pasado sólo el10% de sus aparatos necesitaron reparación durante los dos primeros años.Para comprobar esta afirmación se hizo un seguimiento a 30 aparatos de TVvendidos en los dos años anteriores al vigente.

3.2. Un empresario desea instalar un restaurante en una zona turística de laprovincia. Para estudiar la conveniencia de la inversión se investiga entre otrosaspectos la cantidad de coches que pasan por la ruta a dicha zona en los períodosvacacionales. El relevamiento se realiza mediante observación directa durante cuatro(4) horas diarias en los meses de Enero y Julio.

3.3. El gerente de comercialización de una empresa de indumentaria estáestudiando la posibilidad de abrir un nuevo centro de ventas en una zona denivel socioeconómico alto. Para ello necesita información sobre nivel deingresos y gastos mensual de las familias de la zona. El relevanniento serealizó a 200 familias mediante una encuesta estructurada dirigida al jefe dehogar.

4- Suponga Ud. que el director de una empresa que fabrica pilas desea saber cuáles la duración promedio de las pilas que producen. Indique cuáles serían lospasos que seguiría Ud. para obtener la respuesta pedida. Si Ud. realizara lainvestigación, indique si trabaja con una muestra o con la población y justifiqueel método seleccionado.

5- Un técnico de control de calidad selecciona partes de una línea de ensamblaje yanota para cada una de ellas la siguiente información:

a) Si está o no defectuosa.b) El número de identificación de la persona que armó la pieza.c) El peso de la pieza.

Clasifique la respuesta para cada uno de los datos relevados.

6- Entre la información contenida en los legajos del personal de una entidadbancaria se encuentra la siguiente:a) Apellido y Nombreb) Documento de Identidad (número y tipo)c) Edadd) Estado civile) Nivel de estudios alcanzadof) Experiencia en años en puestos similares

Se le solicita que clasifique los datos que surgen de los ítems precedentes.

7- Se quiere saber el costo de la educación. Uno de los gastos que hace unestudiante es la compra de libros de texto. Sea "x" el costo de todos los librosde texto comprados en un semestre por los estudiantes de una cierta facultadde la UNLaR. Describa en este caso: a) La población y/o muestra; b) La variableestudiada y clasifíquela; c) La unidad estadística.

8- En cada una de las situaciones siguientes identifique: la población en estudio, launidad estadística, la muestra y la característica analizada clasificándola por sunaturaleza.a) Se trata de predecir el resul tado de un a elecc ión nac ional . Los

encuestadores entrevistaron a un número predeterminado de personas entodo el país y registraron sus preferencias. La pregunta realizada fue:¿Votará Ud. por el candidato A o por el candidato B?

b) Se pretende determinar la eficacia de una nueva vacuna para la gripe, paraello se vacunan a 10 personas.

c) Se realiza un estudio sobre el estado nutricional de los niños en edad escolaren la Provincia de la Rioja.

d) Un estudio sobre los ingresos familiares fue realizado sobre una muestrarepresentativa de hogares de la ciudad de Córdoba durante el año pasado.

ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"GUIA DE EJERCICIOS

1- Mensualmente el departamento de ventas de la firma ## S. A. realiza controlesde venta diaria de los productos que comercializa. La cantidad de yoguresvendidos por día en el mes de Junio /2004 por la f irma se muestra acontinuación.

400 300 300 400 500 700 600 400 400 400200 300 300 500 600 300 200 300 200 300200 200 300 400 500 400 300 500 500 200

Con la información anterior se le pide:a) Construya una tabla de distribución de frecuencias.b) Calcule la frecuencia relativa y las frecuencias acumuladas relativas y

absolutas.c) Represente gráficamente y clasifique la variable.d) Responda: ¿Qué cantidad de unidades diarias vendidas se repite más

veces en el mes?; ¿Qué cantidad de unidades diarias vendidas es menosfrecuente en el mes?; Dentro del mes ¿en cuántos días se comercializan más de600

unidades?.2- La siguiente tabla muestra la cantidad de personas que asistieron a ver la obrade teatro presentada en dos funciones diarias en una sala conocida de VillaCarlos Paz en la última la semana de Enero del año 2006.

Fi 200 200 300 300 350 300 400F2 300 300 350 350 400 400 400

e) Represente gráf icamente y c las i f ique la var iable. Compare yanal ice. c) Responda: Si la sala se llena con 400 espectadores, ¿en quéfunción se

trabaja con sala llena, más días?; ¿en qué función se recauda más?; ¿quécantidad de espectadores tiene mayor frecuencia en cada función y qué

porcentaje del total de días, representa esa cantidad en cada función?.

Cifras expresadas en .esos300 550 850 1100 1500300 560 850 1200 1600350 600 850 1200 1650350 600 900 1250 1800450 685 950 1250 1900450 700 1000 1300 2000500 750 1000 1400 2500500 750 1000 1500 3000

UNIDAD IIORGANIZACIÓN Y PRESENTADIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS

-71"- 7r-i "I T 1 - •


a) Construya la tabla de frecuencias con 7 intervalos.b) Calcule las frecuencias absolutas y relativas.c) Calcule las frecuencias acumuladas absolutas y relativas.d) Obtenga la marca de clase.e) Utilice el histograma de frecuencias y el polígono de frecuencias para

representar gráficamente.f) ¿Qué porcentaje de observaciones asumen valores menores que $1458?g) ¿Qué cantidad de observaciones asume valores mayores o iguales a $1844?h) ¿Entre qué valores de la tabla se encuentran concentrados el 60% de las

observaciones?.

4- Un estudio sobre el ingreso familiar real izado en cien (100) familiasseleccionadas a leator iamente, dio lugar a la s iguiente distr ibución defrecuencias:

454035

30252015105O

Distribución de los montos mensuales de gastosgenerales de la Cía. Factory

14

12

10

o•8U)

136o

42

,\o-11- osz ,\zilQ5,99,

0P •\1.Q'13

6 NO \ NO' riP 26\gastos generales

Distribución acumulada de los gastos generalesmensuales de la Cía.Factory

--,--

0300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

gastos generales


INGRESOS en 'esos) CANT. DEFAMILIAS

200- 400 5400 - 600 10600 - 800 18800 - 1000 37

1000 - 1200 30TOTAL 100

a) Trace el histograma y el polígono de frecuencias.b) Construya la ojiva.

5- Un inversionista ha registrado los rendimientos mensuales de los dos últimosaños de las acciones de la Compañía "A" y la de la Compañía "B", paradeterminar en cuál de ellas invertir sus ahorros.El rendimiento por acción expresado en pesos ($) es el siguiente:

CIA. "A"

10 10 12 15 17 1818 19 20 21 22 2424 24 24 26 27 2728 29 32 35 35 35

CIA. "B"

15 15 17 17 20 2021 23 24 25 26 2728 29 29 30 31 3132 32 34 34 35 40

a) Construya en un mismo gráfico las ojivas para cada compañía. Trabaje concuatro intervalos.

b) Compare las gráficas de ambas distribuciones e indique en cada compañía, cuáles el rendimiento (en $) aproximado para el 50% de las observaciones.

c) Observe las ojivas e indique para qué cantidad de meses la compañía "A"registró rendimientos superiores a $25 y en qué porcentaje de meses registró

rendimientos inferiores a $20 la compañía "B".


6- Una encuesta realizada a los estudiantes de esta Universidad respecto al estadode situación laboral arrojó los siguientes resultados:

6 14 22 30 38 46rendimientos mensuales

Distribución de los rendimientos mensuales de lascompañías

12

10

o

Distribución de los rendimientosmensuales de la Cía. "A"

04:,,a.el) "J> 52, 0

'D 0.

NÇ) N 153 "Jrendirrientos mensuales

Distribución de los rendimientosmensuales de la Cía. "B"

.92a

E12

10

-

ca864

,2 „

O __0

930-153 <bbs 5:ahrl'9> ,2>

0 N (15') `b

rendimientos mensuales

Distribución acumylada de los rendimientos30 de las Cías. "A" y "B"

25

10o

10 18 26 34 42rendimientos mensuales

7


SITUACION/TURNO Mañana Tarde TotalNo Trabaja 75 35 110

Trabaja menos de 4Hs.

20 30 50

Trabaja 4 Hs. o más 5 35 40

Total 100 100 200

a) Construya un gráfico de barras porcentuales,correspondientes comparaciones por turno.

b) Confeccione un gráfico de pastel para cada tuc) ¿Cuál de las dos gráficas anteriores le parece

en el cual usted pueda hacer las

rno.más adecuada?

7- Un estudio sobre las preferencias que t ienen los consumidores de unadeterminada zona por las principales marcas de gaseosas reveló la siguienteinformación expresada en porcentajes:

Proporción de alumnos dentro de cada turno declases

100%

80% -

60%

40% -20%

lo No trabaja Trabaja menos de 4 horas o Trabaja más de 4 horas

Trabaja+ de 4

hs.5%

rabaja •e 4 hs. \2 0 % \

Proporción de alumnos en el turnomañana según la situación laboral

Proporción de alumnos en el turnotarde según la situación laboral

Trabaja+ de 4

hs.35%

Notrabaja

35%

Trabaja."—de 4 hs.

30%

14...•11111111.11.1111/111.11,101111111111.11.17111.1171.11.1111..1111,0* mingo~»...I


MARCA DE BEBIDAS PORCENTAJE DEPERSONAS QUEPREFIEREN LA MARCA

* COCA COLA 28* PEPSI 26* COCA COLA DIET 13* PEPSI DIET 12* TODAS LAS DEMÁS

TOTAL 100

a) Construya una gráfica de barras de partes componentes.b) Construya una gráfica de barras.c) Construya un diagrarna de pastel.

8- Una importante firma nacional vende ropa de moda para damas y caballerosademás de artículos de uso doméstico. A continuación se listan las ventas netasen el período comprendido entre los años 1992 y 1999. Trace una gráfica delínea que permita observar la evolución de las ventas en el período considerado.

Participación de las marcasen la preferenciade los consumidores

TODAS LASDEMÁS

21°

COCA COLADIET13%

PEPSI

26%

Participación porcentual de las marcas en lapreferencia de los consumidores

COCACOLA

Marcas

PEPSI COCA PEPSI DIET TODASCOLA DIET LAS

DF_MÁ S

50%45%40%35%

j is 30%

5% -0%

28% 26%21%—

13% 20/

o


AÑO Ventas netas(millones de $)

ANO Ventas netas(millones de $)

5441992 500 19961993 519 1997 5201994 535 1998 5251995 560 1999 550

9- Un informe elaborado para el gobernador indicó que 56% de los impuestosrecaudados fueron destinados para educación, el 23% para el fondo general, el9% para programas de tercera edad y el remanente a salud. Trace una gráficaque permita observar en forma clara la diversificación del presupuesto.

10- Dados los siguientes datos:

5 10 12 12 14 15 16 17 22 2525 25 26 30 32 34 40 45 50 51

a) Construya un diagrama de tallo-hojab) Indique la cantidad de observaciones efectuadas (n).c) Indique cuál es el menor y el mayor valor registrado.d) Indique cuál es el valor que más se repite.

11- A partir del siguiente diagrama de tallo y hoja:Tallo Hoja1 2 4 52 2 2 4 73 5 5 5 7 8

4 0 0 1 25 0 1 2

a) Construya la tabla de distribución de frecuencias por intervalos.b) Calcule las frecuencias relativas y acumuladas.c) Construya un histograma y en el mismo gráfico marque el polígono de

frecuencias.

.••••. I • . . . . .. 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 1 .

1 11 I


UNIDAD I I IMEDIDASRESUMEN

1- Con lo siguientes dos conjuntos de datos correspondientes a dos lotes delmismo tamaño:

Lote 1 12 14 16 16 18 20 50Lote 2 10 25 25 27 30 30 35

a) Calcule la media, mediana y modo, para cada lote.b) Compare resultados.c) Compruebe la siguiente propiedad: E (x, —x) =0d) Calcule los valores del primer y tercer cuartil para cada lote.e) Analice el comportamiento de la variable.f) Calcule la varianza y la desviación estándar, para cada lote.g) Calcule el coeficiente de variación de ambos lotes e interprete.

2- Examinando los registros de cuentas mensuales de una compañía que vendelibros por correo, el auditor toma una muestra de 12 de esas cuentas nopagadas. Los montos de deudas registradas eran:

a) ¿Cuál es la naturaleza de la variable que estamos analizando?b) Calcule la media, mediana y modo.c) Si hubiera 350 facturas pendientes de pago, utilice la media para calcular la

cantidad total de deuda a la compañía. (suponiendo que la muestra tomadaes representativa).

d) ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar este conjunto de datos?e) Calcule los cuartiles y analice.f) Calcule las medidas de dispersión y analice.

3- Con los siguientes datos:.

7 8 1 5 1 7 1 8 2 0 2 0 2 2 2 632 32 3 2 3 4 3 5 3 9 4 0 4 7 6 0

a) Confeccione un diagrama de tallo y hoja.b) Calcule la media, mediana y modo.c) Analice la forma que presenta la distribución.d) Indique el recorrido de la variable.e) Calcule la varianza y desviación estándar de la variable.f) Calcule los cuartiles y analice.

4- Los siguientes datos corresponden al precio por acción de 10 empresasseleccionadas aleatoriamente las cuales cotizan en la bolsa de valores:

11


1 0 1 2 1 2 1 5 1 6 1 6 1 6 1 7 3 0 3 8

Calcule:a) Media, mediana y el modo.b) Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.c) Calcule los cuartiles y analice.d) ¿ E s t á n s e s g a d o s l o s n ú m e r o s ? ; ¿ D e q u é m a n e r a ? .

e) Con base a la regla de Tchebychef, ¿entre qué par de valores se estimaríaque están contenidos por lo menos el 75% de los datos?

5- En un examen de matemáticas se presentaron a rendir 30 alumnos, de loscuales 10 son estudiantes del sexo femenino.Las calificaciones fueron las siguientes:

MUJERES VARONEScalificación n i calificación h i

4 3 2 0.305 3 5 0.356 3 6 0.257 1 7 0.10

Total 10 1

Calcule:a) El promedio de calificaciones de las mujeres.b) El promedio de calificaciones de los varones.c) Media general (Calificación promedio del grupo de varones y mujeres).d) Varianza y desviación estándar para cada grupo.e) Coeficiente de variación. Analice y compare las distribuciones.

6- Una importante inmobiliaria de la ciudad de Córdoba está analizando lascomisiones percibidas por su gestión en la administración de inmuebles a 100de sus clientes.La tabla siguiente nos revela dicha información:

Comisiones cobradas Hi20— 40 0.3040— 60 0.5560— 80 0.7580- 100 0.90

100- 120 1

Con la información, calcule:a) Media de las comisiones cobradas. Interpreteb) Varianza y desviación estándar.c) Coeficiente de variación. Interpreted) Media y varianza luego de producirse una disminución del 8% en las

comisiones.e) ¿Qué tipo de variable es y qué gráfico utilizaría para representar dicha

variable?.

I?


7- Dada la siguiente información:

a) Construya las tablas correspondientes para cada gráfico.b) Obtenga la media.c) Ubique la mediana en los gráficos y determine su valor.d) Calcule la varianza y desviación estándar.e) Determine los coeficientes de variación.f) Analice la forma de las distribuciones.g) Compare los resul tados obtenidos en ambas dis tr ibuc iones y ob tenga

conclusiones.

8- Para saber cuál es la cantidad de agua que cada familia consume por año en lazona sur de una ciudad cordobesa, el intendente pidió al administrador de laempresa que provee el servicio, que hiciera una investigación al respecto. Paraello se tomó una muestra de 30 familias de la zona en cuestión y se registraronlos siguientes datos en el año anterior (expresado en miles de litros):

Vi ni11.2 614.2 716.9 822.7 526.5 4

11

0,4

0,3

0,2

0,1

10 20 30 40 50

gráficos es igual a 100que la cantidad de observaciones en ambosADEMAS: conocemos(n=100)

POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS


a) ¿Cuál es la cantidad promedio anual utilizada por familia?b) Suponga Ud. que el intendente estima que dentro de 10 años resida en la

zona sur unas 45.000 famil ias. ¿Cuántos l i tros de agua se requerirán al añosi la tasa de consumo por familia permanece igual?

c) Calcule la varianza y desviación estándar.d) Analice la forma de la distribución de estos datos.e) ¿Cuál se rá l a cant idad d e l i t ros q ue req uer i r án s i la ta sa de co nsumo se

incrementa en un 15%?.

9- El analista de investigación para la empresa de corretaje de acciones SF deseacomparar la d ispersión de las razones precio - rendimiento para un grupo deacciones comunes, con la d ispersión de sus rendimientos sobre inversión. Paralas razones precio-rendimiento la media es 10.9 y la desviación estándar es 1.8El rendimiento medio sobre inversión es 25% y la desviación estándar 5.2%.a ) ¿ P o r q u é d e b e u s a r s e e l c o e f i c i e n t e d e v a r i a c i ó n p a r a c o m p a r a r l a

dispersión?b ) Compare la d ispers ión rela t iva para las razones precio -rendimiento y e l

rendimiento sobre inversión.

1 0 - Un estudio realizado por el departamento de producción de NDB Electrónica,contempló entre otros aspectos la relación entre el número de trabajadores quearman un sub -ensamble y e l número de sub -ensambles producidos. Los paresde observaciones se muestran en la siguiente tabla:

Cantidad deempleados

Producción en unahora (unidades)

2 154 251 105 403 30

a) T race e l d iagrama de d i spers ió n y observe e l t i po de asoc iac ió n q ue hayentre las variables.

b) Calcule la covarianza e interprete el resultado obtenido.

1 1 - La empresa RF ap lica en fo rma cont inua un régimen de pub l ic idad comopar te de su po l í t ica de co merc ia l izac ió n razó n por la cua l es amp l iamenteconocida en relación a ofertas, rebajas y condiciones de financiación. Es por elloque el directorio quiere analizar la relación entre el gasto en publicidad y losingresos por ventas. Los datos se transcriben en la siguiente tabla:

Gastos en publicidad (enmillones de pesos)

Producción en unahora (unidades)

2 71 33 85 104 12

1 1 ~ . 1 . 1 1 . 1 0 . 1 ~ ~ 1 1 1 9 1 9 ~ 0 e . • ~ 1 , . . , . .

II - 7 7 1 7 1 - 7 7 7 7 - "


a) Trace el diagrama de dispersión y observe el tipo de asociación que hayentre las variables.

b) Calcule la covarianza e interprete el resultado obtenido.

EJERCITACIÓN REPASO UNIDADES I a III

1- En un estudio realizado sobre PBI de 30 países se obtuvo la siguienteinformación. Los valores están expresados en millones de dólares.

LI - LS (PBI) j v {---

1 11. :.' . . ... ' .... .

i ..., 1

25 — 75 ; r 0 . 1 r i ,75 — 1251í 0.2 ,

125 — 175 , 10.4 f. ..175—22

5 IFC) 20 7

.:

•

,

7

_ .225 - 275 1 f o . i o ,j1 TIC1 f 1 f. ......____.--.

_.

.._._..........

,

Con los valores de la tabla Ud. deberá:a) Analizar la variable y clasificarla.b) Completar la tabla de frecuencias.c) Graficar la frecuencia absoluta. Observar la forma de la distribución.d) Realizar en una ojiva una interpolación que le permita determinar qué

porcentaje de países tienen PBI superior a 200 millones de U$S y quécantidad de países tiene PBI inferior a 100 millones de U$S.

e) Calcular la media e interpretar su valor . Ind icar s i es un promediorepresentativo en este caso.

f) Calcular la varianza.g) Calcular el coeficiente de variación.h) Calcular el nuevo valor de la media varianza y coeficiente de variación luego

de producirse un aumento del 9% en el PBI de todos los países.

2- Con los siguientes datos calcular media, mediana y modo, analizar elcomportamiento de la variable en cuanto a su asimetría e indicar si la media esrepresentativa en este caso de lo contrario que medida cumple esa condición.

X: 3,5,7,9,12,15,35,38,40 !

3- En una distribución de 50 observaciones, con coeficiente de asimetría cero, cuyamedia es 50 y la desviación estándar es 15. Determinar:

a- Los límites del intervalo ubicados a dos desvíos estándar de la media.


b- La cantidad de observaciones contenidas en el intervalo ubicado a 3 desvíosde la media.

c- El porcentaje de observaciones contenidas en el intervalo ubicado a 1 desvíode la media.

d- El coeficiente de variación de w, siendo w = 3/5 x + 10

4- En una distribución asimétrica con media 30 y desviación estándar 18 calcularlos límites del intervalo ubicado a dos desvíos estándar de la media.

5- Represente en un gráfico a mano alzada la distribución de las calificaciones deun grupo de alumnos:a- Cuyo rendimiento fue bajo con algunas excepciones de muy buenos

rendimientos.b- Cuyo rendimiento fue muy alto con algunas calificaciones muy bajas.

Marcar en cada gráfico aproximadamente qué ubicación tiene la media, lamediana y el modo.

6- Calcular lacovarianza

de las siguientes

X: tasa de renuncia

variables:

Y: tasa de desempleo

0.4 0.390.5 0.250.5 0.26

0.38 0.460.39 0.490.45 0.340.46 0.290.30 0.52

Analizar e interpretar el resultado.

7- Piense y responda fundamentando

a- Explicar el significado de asimetría y curtosisb- Explicar el significado de covarianza. Analizar los valores que esta medida

puede asumir.

8- Con los siguientes datos construya un diagrama de bloque y analice:

1S


9- La información siguiente corresponde al peso (en kg.) de 100 personas adultas.

a) Realizar un diagrama de bloque.b) Determinar la desviación intercuartílica.c) Analice la forma de la distribución.d) Saque conclusiones.

N = 15= 61

Me = 753= 27,98Mín. = 10Máx. = 90Q1 = 30

= 80

n = 100Media = 65,35

Mediana = 63,50Desviación Estándar = 11,21

Valor Mín. = 47Valor Máx. = 100Percentil 25= 57Percentil 75 = 72

17


10- EJERCICIO INTEGRADOR

De un estudio realizado a 20 estudiantes universitarios de primer año de la Fac.deIngeniería de la UNC con la finalidad de describir aspectos relacionados con elnivel de trabajo y la formación recibida, se recopiló información sobre lassiguientes variables:

orient romsec Cantrab cantrabl2 5.50 8 23 5.90 6 11 6.00 7 12 6.00 8 21 6.50 12 23 6.70 10 22 6.80 8 23 6.80 6 1

7 11 7.002 ____7.30 103

3 7.60 6 1 ____1 7.80 7 11 7.90 12 22 7.90 8 21 8.50 8 23 8.50 8 21 8.90 7 12 8.90 8 22 9.00 8 22 9.20 8 2

VariablesR ó t u l o

orient Orientación recibida en el secundario

promsec Puntaje promedio del secundario

Cantrab Cantidad de trabajos realizadosdurante el secundario en el período

de orientación.

Descri ación Categorías1: Administración2: Cs. Naturales3: Cs. Sociales

cantrabl Remodificación de la cantidad detrabajos

1: 7 o menos trabajos2: más de 7 trabajos

Con la información que se le proporciona, Ud. deberá, integrando todo lo estudiado

en las tres primeras unidades:1. Definir la población, la muestra y la unidad de observación.

IR


2. Clasificar cada variable en estudio según su naturaleza eindicar la escala de medición.

3. Confeccionar una tabla de frecuencias para cada variable.4. Graficar las frecuencias simples y destacar los aspectos

importantes que observe en cada distribución.5. Graficar para la variable puntaje promedio del secundario la

frecuencia relativa acumulada y utilizando el gráficodeterminar la cantidad aproximada de estudiantes conpromedio inferior a 6,30 y el porcentaje de casos con unpromedio superior a 8,80

6. Obtener las medidas resumen de las variables cuantitativase interpretar los resultados.

7. Confeccionar el diagrama de caja y brazos y analizar elcomportamiento de la variable puntaje promedio.

8. Armar una tabla de doble entrada con las variablesor ientac ión en e l secundar io y cant idad de trabajos(recategorizada).

9. A partir de la tabla cruzada confeccionar un gráfico quepermita observar el comportamiento simultáneo de lasvariables.

10. Sacar conclusiones.


UNIDAD IVPROBABILIDAD

1- Lea los siguientes enunciados y seleccione la alternativa correcta en cadacaso:

Si "A" y "B" son conjuntos mutuamente excluyentes:

a) La probabilidad de la intersección es igual a 1.b) La probabilidad de la intersección es un número cualquiera.c) La probabilidad de la intersección es igual a cero.

2- Los valores entre los cuales están comprendidas las probabilidades dediferentes eventos son:

a) Entre cero y uno, inclusive.b) Entre cero y uno sin incluir.

c) Entre - Go y + 00.

3- Si "A" y "B" son conjuntos no mutuamente excluyentes:a) La probabilidad de la intersección es igual a cero.b) La probabilidad de la intersección es distinta de cero y mayor que uno.

c) La probabilidad de la intersección es distinta de cero, pero no mayorque uno.

4- Sea la probabilidad de A=0,40 y la de B=0,50 y siendo A y B eventosmutuamente excluyentes, pertenecientes al espacio muestral S; calcule:

P ( A B ) =

P (A n B) =

5- Sea la probabilidad de A = 0.30 y B = 0.50; y siendo A y B eventos nomutuamente excluyentes pertenecientes al espacio muestra! S, por locual P (A n B)= 0,15. Calcule:

P ( A B ) =

P (A / B) =

6- Elija la opción correcta:

6.1. Si dos eventos son mutuamente excluyentes:a) Son estadísticamente independientes.b) Son estadís t icamente depend ientes , para una so la ex t racc ión .

c) Son estadísticamente independientes si extrae una selección demuestreo con reposición.

20


6.2. Si dos eventos son no mutuamente excluyentes, son:a) Únicamente independientes.b) Únicamente dependientes.c) Pueden ser dependientes o independientes.

7.1. Si seleccionamos un producto al azar;

¿Cuál sería la probabilidad de extraer un producto de la marca "A", y cual laprobabilidad de extraer un producto de la marca "B", según la teoría clásica?a) Asigne la probabilidad del espacio muestral según la teoría relativa.b) Calcule la probabilidad de que ambos sean de la marca "A".c) Calcule la probabilidad de que ambos sean de la marca "B".

7.3. Si seleccionamos al azar una muestra de tres productos con reposición:

a) Defina el espacio muestral.b) Asigne probabilidades según la teoría clásica.a) la cara del dado sea impar?b) la cara del dado sea par?c) la cara del dado sea par y uno?d) la cara del dado sea impar y uno?e) sea un uno, sabiendo que la cara es impar?

a) Elabore una tabla de contingencia.b.1. Que fume.b.2. Que sea mujer.b.3. Que no fume.b.4. Que sea hombre.b.5. Que sea mujer y no fume.b.6. Que sea hombre y fume.b.7. Que sea hombre o que fume.b.8. Que sea mujer o que no fume.

21


c) Dado que el empleado seleccionado es mujer, ¿cuál es la probabil idadde que fume?.

d) Dad o q ue e l emp lead o fu ma , ¿c uá l e s l a p ro b ab i l id ad d e q ue seamujer?.

e ) ¿So n e s t ad i s t i c a me nt e ind ep end ien te s e l hec ho d e q ue fu me co n e lhecho de que sea mujer?.

10- Si se lanza un dado dos veces; se pide:

a) Determine el espacio muestral.b) ¿Cuál es la p robabi l idad que la suma de caras sea igua l a un número

par?.c) Si uno de los dados es impar cuál es la probabil idad de que la suma de

puntos sea 5.

1 1 - Dada la siguiente tabla de contingencia:

ECONOMÍA DERECHOMATEMÁTIC

A TotalAPROBADOS 150 180 120 450NO APROBADOS 9 0 7 0 4 0 2 0 0

Total 240 250 160

a) Si seleccionamos un a lumno al azar ; ¿Cuál es la probabil idad que:al . Sea un estud iante de derecho? .a.2. Sea un estudiante aprobado?.a.3. Sea un estudiante de economía á derecho ó aprobado?.a.4. Sea un estudiante de economía y esté aprobado? .a.5. Sea un estudiante de economía o de derecho?.a.6. Sea un estudiante de matemática y derecho?.a.7. Sea un estudiante de matemática ó economía y no esté aprobado?.a.8. Sea un estudiante de economía y no esté aprobado?.

b ) Si sabemo s que es un es tud iante de derecho , ¿cuá l es la p robab i l idadde que esté aprobado?.

c) Si sabemos que es un estudiante aprobado, ¿cuál es la probabilidad deque sea de matemática?.

d) Ind ique si hay independencia ent re los hechos de ser un es tudianteaprobado y de derecho.

12- La siguiente información es de una impor tante empresa fabr i l quecuenta con 250 empleados de los cuales 150 trabajan en turno mañana yel r e s to p o r l a t a rd e . De l tu rno ma ña na 1 2 0 t i enen una a n t i güed adsup e r io r a 5 año s y en e l t u rno d e l a t a rd e so lo 3 0 d e e l lo s t i enenantigüedad superior a 5 años.

Con esta información se solicita que:a) Confeccione la tabla de doble entrada correspondiente.b) S i s e s e l e c c i o n a u n e m p l e a d o a l a z a r , c a l c u l e l a s s i g u i e n t e s

probabilidades:

22

r I! 17 1


b.l. Que sea un empleado del turno mañana.b.2. Que sea un empleado del turno mañana o tarde.b.3. Que sea un empleado del turno mañana o tenga una antigüedadsuperior a 5 años.b.4. Que sea un empleado del turno mañana y no tenga antigüedadsuperior a 5 años.b .5 . Dado que es un em pleado de l tu rno ta rde , que no tengaantigüedad superior a 5 años.b.6. Dado que es un empleado del turno mañana, que tenga antigüedadsuperior a 5 años.

c) Verif icar si son estadísticamente independiente los eventos: turnomañana y antigüedad superior a 5 años.

13-La gerente de una boutique desea determinar la relación entre elt ipo de cliente y la forma de pago. Al respecto ha recopilado lossiguientes datos:

Crédito EfectivoRegular

Irregular7040

5040

Si se selecciona una cliente al azar, ¿Cuál es la probabilidad que:a) La cliente sea regular.b) La cliente sea regular y pague a crédito.c) La cliente sea irregular o pague en efectivo.d) La clienta sea regular, sabiendo que paga en efectivo.

14-La siguiente información corresponde a alumnos de una facultad,año 1998:

S e x oFemenino Masculino Total

Trabaja 186 386No Trabaja 384 230Total 570 1000

a) Complete la tabla.b) Si se selecciona un alumno aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad

de que:b.1. Sea mujer.b.2. Sea mujer y trabaje.b.3. Sea hombre o trabaje.b.4. Sea mujer y no trabaje.b.5. Si trabaja, sea hombre.

c) Verifique la independencia estadística entre los eventos de ser mujer yno trabajar.

23


15- De una caja que contiene 6 bolillas rojas; 4 blancas y 5 azules; seextrae una al azar.

a) Determine la probabilidad de que:al. Sea roja.a.2. Sea blanca.a.3. Sea azul.a.4. No sea roja.a.5. Sea roja o blanca.

b) Si se extraen sucesivamente 3 bol i l las de la caja. Calcule laprobabilidad de que sean extraídas en este orden: roja, blanca y azul.Nota: trabaje el experimento con reposición y luego sin reposición.

16- Dos amigos tiran al blanco. La probabilidad de que A acierte es 1/4,la probabilidad de que B acierte es 2/5. Si disparan juntos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos peguen en el blanco?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno pegue en el blanco?.

17- La probabilidad de que una política comercial tenga éxito se estimóen 0,75. La probabil idad de que los gastos para desarrollar dichapolítica no sobrepasen el presupuesto inicial es de 0,15. La probabilidadde que se logren los dos objetivos es de 0,10.

Se pide:a) Calcular la probabilidad de que se logre por lo menos uno de los

objetivos.b) Calcular la probabi l idad de que se imponga la pol í t ica con un

presupuesto mayor.c) Calcular la probabilidad de que la política comercial tenga éxito

suponiendo un estricto control presupuestario que asegure la vigenciadel presupuesto inicial.

d) Hay independencia entre la implementación de la política comercial yel presupuesto asignado para la misma. Verificar.

18- Se realizó una encuesta a 100 mujeres empleadas en una empresa;siendo una de las preguntas más importantes la siguiente: ¿Son másimportantes los estudios universitarios para un hombre que para unamujer?

RespuestaEdad SI NO Total18 - 24 años 17 43 60Mayor de 24 años 26 14 40

a) ¿Cual es la probabilidad de que una empleada seleccionada al azar:al. Conteste afirmativamente la pregunta.a.2. Conteste sí o tenga más de 24 años?a.3. Tenga más de 24 años, dado que contestó no.

b) Verifique la independencia entre los aspectos analizados. Interprete.c) Explique que significa cada probabilidad de la tabla.

24


19- Una empresa desea probar un producto en una zona comercialseleccionada aleatoriamente. Las áreas pueden ser clasificadas conbase en su ubicación y densidad de población. En la siguiente tabla sepresenta el número de mercados en cada categoría.

Ubicación

Densidad depoblaciónUrbana Rural Total

Este 25 50 75Oeste 20 30 50

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el mercado seleccionado esté en eleste?.

b) ¿Cuál es la probdbilidad de que el mercado seleccionado esté en eloeste?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el mercado seleccionado esté en unárea rural y al oeste?.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el mercado seleccionado esté al esteo dentro de un área urbana?.

e) ¿Cuál es la probabilidad de que si está en el este, se encuentrelocalizado en un área urbana?.

f) ¿Son independientes la ubicación y la densidad de población?.

20- Si P(A)=0,15 y P(B)=0,75 y si A y B son eventos independientes;

obtenga:

P(A U B); P(B/A)

21- Con el ejemplo anterior; si A y B son mutuamente excluyentes;obtenga las mismas probabilidades.

22- Si, P(G)=0,5 ; P(H)=0,4 y P (G y H)= 0,1Determine:

a) P(G/H)b) P(G ó H)

c) P(H/G)d) Son independientes los eventos G y H. Explique.

23- El 5% de las unidades producidas por una fábrica se encuentrandefectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control.Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% deunidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso seencuentre bajo control es 0,92. Si se elige aleatoriamente una unidad yse encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que elproceso se encuentre bajo control?

25


24- Una fábrica de prendas deportivas compra telas a tres proveedores,el 60% al proveedor A, el 30% al proveedor B y el resto al proveedorC. El 95% de los rollos de tela que provienen del proveedor A, el 80%de l o s q u e p r o v i e n e n d e l p r o v e e d o r B y e l 6 5 % d e l a s t e l asprovenientes del proveedor C no tienen fallas. Calcule la probabilidadque un rollo de tela elegido al azar que no presenta fallas, provenga:

a) Del proveedor A.b) Del proveedor B.c) Del proveedor C.

25- En una empresa hay 2 máquinas con las que se enlata una nuevagaseosa. La máquina A produce el 40% del total de la producción y lamáquina B el 60% restante. Además se sabe que la máquina A produceun 20% de artículos con defectos en su envasado y la B un 15%.Calcular la probabilidad de que seleccionada una lata defectuosa en suenvasado esta haya sido enlatada por la máquina B.

26- Una empresa de productos de limpieza de primera línea usa treshoteles del inter ior del país para proporcionar hospedaje a susviajantes. Por experiencia pasada se sabe que al 20% de los viajantesse les asigna habitaciones en el hotel "A", al 50% en el hotel "B" y al30% en el hotel "C". Además en dichos hoteles es común que sepresenten inconvenientes con el aire acondicionado central o en laslíneas telefónicas internas, ello ocurre el 4% de las veces en el hotel"A", e l 8% en el hote l "B" y e l 5% en el hotel "C". Si uno de losviajantes este mes se encuentra con problemas del tipo mencionado,¿cuál es la probabi l idad que la empresa le haya asignado unahabitación del hotel "B"?.

27- El departamento de crédito de un negocio informó que el 30% desus ventas son en efectivo, 30% son pagadas con cheque en elmomento de adquisición y 40% son a crédito. Se tiene que 20% de lascompras en efectivo, 90% de las pagadas con cheque y 60% de lasadquisiciones a crédito son por más de $50. Una conocida clienta acabade comprar un traje que cuesta $120. ¿Cuál es la probabilidad de quehaya pagado por el en efectivo?

28- Un serv ic io de c las if icac ión de bonos munic ipales t iene trescategorías: A, B, C, en el últ imo año, de los mencionados bonosemitidos en el país, 60% se clasificaron como A, 30% como B, y 10%como C. De los bonos clasificados como A, 40% fueron emitidos porc iudades, 40% por suburbios, y 20%, por áreas rura les . De lasobligaciones clasificadas como B: 50% fueron de ciudades; 30% desuburbios y 20% de áreas rurales. De los bonos clasificados como C,80% fueron de ciudades; 10% de suburbios y 10% de áreas rurales.Se selecciona un bono al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad condicional de haber seleccionado unaobligación emitida por un área rural dado que esté clasificado como C?

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b) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de seleccionar un bono clasificadocomo C proveniente de un área rural?

c) ¿Cuál es la probabil idad de que el bono sea C, dado que fue emit idopor un área rural?

29- Un docente de estadíst ica por su experiencia sabe que 80% de losestudiantes terminan los problemas asignados. Determinó además que,de los alumnos que cumplen con su trabajo 90% aprobará el curso. Deaquel los e s tud iantes q ue no lo hacen a s í , 60 % será p ro mo vido . E lalumno Miguel tomó estadíst ica durante e l úl t imo semestre con e ldocente y recibió una calificación aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidadde que si haya hecho los problemas asignados?

27


CITSFIRPMPIZOIR311749.811,1217

UNIDAD VVARIABLE ALEATORIA

1- Conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Qué propiedades debe cumplir una función matemática definida en elcampo discreto para ser función de probabilidad?.

b) ¿Cómo define una función de acumulación?.c) ¿Qué es una distribución de probabilidad?.d) ¿Cuál es la diferencia entre una distribución de frecuencias y una

distribución de probabilidad?e) Según el tipo de variable aleatoria, ¿cómo se denomina la función de

probabilidad?

2- La demanda de teclados de computadora de una empresa varía muchode un mes a otro. La siguiente distribución de probabilidad muestra lademanda mensual de teclados durante los últimos dos años:

Demanda mensual P(x)40 0,154550 0,4555 0 1 5

a) Represen te grá f icam ente la f unc ión de probab i l i dad y la deacumulación.

b) Determine la probabilidad de que en el próximo mes la demanda seade 45 o más teclados.

c) Calcule la media y desviación estándar de la variable y analice.

3- Determinar la prima anual para una póliza de seguros de $1000 quecubre un evento que en un período largo ha ocurrido 2 veces de 100. Elvalor debe determinarse de modo tal que cubra los gastos y constituyala base para que la empresa aseguradora le añada costosadministrativos y utilidad.

4- La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por unincendio en cualquier período de 12 meses es 0.005.Una empresa aseguradora ofrece vender al propietario de esa casa unapóliza de seguro contra incendio por $20.000 a un año y por una primade $150. ¿Cuál es la ganancia esperada de la empresa?

5- Dada la función f(x) = 3x ; continua en el intervalo O < x < 1;a) Verificar si es función de densidad, en caso contrario transformarla

para que lo sea.b) Calcular la esperanza y varianza de la variable x (utilice la función de

densidad),

28


6- Dada la función

f(x)= 5 - x para x = 1, 2, 3, 410

a) Ver i f i que s i es f unc ión de p robab i l i da d , en c as o c on t ra r iotransformarla.

b ) Calcular la esperanza (media) y varianza de x.

7- En una oficina trabajan 30 personas de las cuales 20 son varones. Seseleccionan al azar 3 personas y se define la variable x: cantidad demujeres seleccionadas. Determinar la distribución de probabilidad deesta variable aleatoria. Calcular la media y la varianza. Analizar eindicar si puede aplicar la regla empírica para calcular ciertosporcentajes de observaciones en intervalos notables.

8- Se def ine la función f(x) = ax para O < x < 6. Se pide:a) Calcular el valor de "a" para que f(x) sea función de probabilidad.b) Obtener F(x).c) Graficar ambas funciones.d) Calcular media y desviación estándar de x.

9- Sea x el número de accidentes por día que ocurrieron en una plantafabril durante el año pasado:

Cantidad de CantidadAccidentes de días

0 1851 1022 553 124 11

a) Construya una distribución de probabilidad.b) Represente gráficamente la distribución de probabilidad.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 accidentes mañana?d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 2 accidentes mañana?e) Calcular la esperanza y la varianza del número de accidentes.

10- Dada la función de probabilidad:

f(x) = 0,25 para x = 1;2;3;4

a) Determine la media y desviación estándar de la variable.b) Calcule la probabilidad de que la variable x asuma valores menores

que 3

29


c) Calcule la probabilidad de que la variable x asuma valores mayoresue 2

d) Calcule la probabilidad de que la variable asuma el valor 4

11- Con las siguientes distribuciones:

DistribuciónA

DistribuciónB

x P(x) x P(x)0 0,20 0 0,101 0,20 1 0,202 0,20 2 0,403 0,20 3 0,204 0,20 4 0,10

a) Calcule la esperanza matemática para cada distribución.b) Calcule la desviación estándar para cada distribución.c) Compare los resultados del punto a) y b) y comente.

12- Dada la función 1/3 x para x = 0;1;2;3

a) Indique si esta función cumple con las condiciones de una función deprobabilidad.

b) Si la función no fuera de probabilidad realice la transformación enforma conveniente, para generar una función de probabilidad.

c) A partir de la función de probabilidad calcule la media y el coeficientede variación de la variable.

13- Sean "x" e "y" variables aleatorias discretas para las cuales losposibles valores que éstas pueden tomar son: -2; 0; 2. En la siguientetabla se proveen las probabilidades conjuntas para todos los valores delas dos variables.

xY

-2 0 2

-2 1/16 3/16 1/160 3/16 0 3/162 1/16 3/16 1/16

a) Obtener las funciones de probabilidad marginalesb) ¿Son estadísticamente independientes "x" e "y"?c) Obtener la Covarianza entre las variables.

14- Dada la siguiente distribución Bidimensional:

Yx

3 4 5

1 2 7 12 3 5 2

30

.....ememieeemeenemeieeleTween.B.40 91 e 111111 7 11


Se le pide:a) Obtenga la tabla de probabilidades conjunta.b) Calcule las distribuciones marginales.c) Obtenga la Esperanza de cada una de las variables.d) Obtenga una medida de variación conjunta entre las dos variables e

interprete su resultado.

15- Dada la siguiente función:

O x < 0F(x) {x3 O < x < 1

1 x > 1

a) Obtenga la esperanza y la varianza.b) Calcule la P (-0,3 < x < 0,5).

c) Obtenga la P (1/4 < x <1/2).


4kx 0 < x < 5f(x)

O para todo otro x

a) Determ'ne el valor de k para que f(x) sea función de densidad.b) Obtenga la función de acumulación.e) Encuentre la esperanza matemática.


{ 2/25xf(x)1

0 < x < 5

para todo otro x

a) Calcule la esperanza y la varianza de la variable.b) Obtenga la función de acumulación.c) Calcule la P (2 < x < 5).d) Calcule la P (3 < x < 8).

18-Sea X una variable aleatoria para la cual se desconoce ladistribución de probabilidad, aunque se sabe que la esperanza es iguala 64 y la desviación estándar es igual a 5.

Se solicita:a) Encontrar el valor máximo de probabilidad de que un valor particular

de la variable X se desvíe de la esperanza en 7 ó más.b) Encontrar el valor mínimo de probabilidad que un valor particular de la

variable X se desvíe de la esperanza como máximo en un 10%.

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19- La tabla siguiente presenta la función de probabilidad conjunta delas variables "w" y "x".

wx 10 20 302 0,20 0 0,304 0,15 0,25 0,10

a) Calcular la esperanza y la varianza para las variables.b) Calcular la covarianza entre las variables.

c) ¿Son estadísticamente independientes "w" y "x"?

20- Sea X una variable aleatoria que representa las ventas (en miles depesos) de un determinado negocio, se conoce que la esperanza es de$200 y la desviación estándar es de $10. Encuentre la cota quecorresponde a las siguientes colas de probabilidad: se venda unacantidad que supere a la esperanza en dos desviaciones estándar(considerada en valores absolutos).

21- Por la Desigualdad de Tchebycheff se sabe que:

P [ I X - E ( x ) I k D S ( x ) ] 1 - 1 / k 2 y P [ IX - E(x)I > kDS(x) ] < 1/k2

Se solicita encontrar el valor de k de modo que el intervalocontenga al 95% y al 99% de los valores de la variable.

32

1


UNIDAD VIMODELOS DE PROBABILIDAD

1- Usando la tabla correspondiente a la Distribución Binomial determinelas siguientes probabilidades:

a- Si n = 5 p = 0,20 ; entonces ¿cuál es?:P ( x = O , n = 5 , p = 0 , 2 0 ) =

b- Si n = 10 p = 0.40 ; entonces ¿cuál es?:P ( x = 6 , n = 10 , p = 0,40 ) =

c- Si n = 15 p = 0.50 ; entonces ¿cuál es?:P ( x = 8 , n = 15, p = 0,50) =

d- Si n = 10 p = 0.60 ; entonces ¿cuál es?:P ( x = 7 , n = 15 , p = 0,60 ) =

e-. Si n = 15 p = 0.80 ; entonces ¿cuál es?:P ( x = 6 , n = 15 , p = 0,80 ) =

2- Se sabe que el 30% de las piezas defectuosas en un proceso demanufactura, pueden volver a quedar bien mediante un trabajo dereprocesado. Si se selecciona un lote de 6 piezas defectuosas:

a) ¿Cuál es la probabilidad que se puedan reprocesar por lo menos tresde ellas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas se pueda reprocesar?c) ¿Cuál es la probabilidad de que todas se puedan reprocesar?d) Calcule la esperanza y la var ianza y ana l ic e la f o rm a de la

distribución.

3- En base a la experiencia anterior la impresora principal del centro decómputos de cierta Universidad funciona adecuadamente el 90% deltiempo. Si se hace una muestra aleatoria de 10 inspecciones:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la impresora principal no funcione enforma apropiada?a.l. Exactamente nueve veces.a.2. Por lo menos nueve veces.a.3. Como máximo nueve veces.a.4. Menos de nueve veces.

b) ¿Cuántas veces se puede esperar que no funcione en forma apropiadala impresora principal? (Para ello calcule la esperanza matemática).

c) Calcule la varianzad) Analice la forma de la distribución.

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4- En un examen de contabilidad de 100 alumnos que se presentaron arendir, 30 de ellos no aprobó el examen. Si se eligen en forma aleatoriadel listado de alumnos 10 de ellos:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que:a.1. tres estén reprobados?.a.2. cuatro o cinco de ellos no hayan aprobado?.a.3. menos de tres no hayan aprobado?.a.4. ninguno esté reprobado?.a.5. cuatro o más hayan reprobado?.a.6. más de tres pero menos de cinco hayan reprobado?.a.7. exactamente seis hayan aprobado?.a.8. dos o más hayan aprobado?.a.9.cinco o menos hayan aprobado?.a.10. ninguno haya aprobado?.

a.11. que hayan aprobado exactamente la mitad?.b) Calcule la esperanza matemática y la desviación estándar para la

variable "x" = alumnos aprobados.

5- Suponga que en un examen de matemáticas muy largo Ana obtendríabien el 70% de las preguntas.Para un examen de 10 preguntas:

a) Calcule la probabilidad:a.1. De que obtenga correctas por lo menos siete preguntas.a.2. De que obtenga menos de seis preguntas correctas.a.3. De que obtenga nueve o diez preguntas correctas.

b) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas que tendrá Ana?

6- Una caja contiene seis (6) productos de la marca "AA" y cuatro (4)productos de la marca "BB".

6.1. Si se seleccionan al azar cinco (5) productos (sin reposición):¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan?:

a- Exactamente 3 productos de la marca "BB".b- Más de 2 productos de la marca "BB".c- Cinco productos de la marca "BB".d- Entre 4 y 6 productos de la marca "BB".e- Exactamente 2 productos de la marca "AA".f- Entre 3 y 7 productos de la marca "AA".g- Exactamente 6 productos de la marca "AA".h- Ningún producto de la marca "AA".

6.2. Calcule la esperanza y la varianza para la variable "x" = productode la marca "BB".

7- Sea X una variable aleatoria Binomial y si seleccionamos una muestrade tamaño cinco con una probabilidad de éxito de 0,50:

a) Construya la distribución de probabilidad.b) Calcule la función de acumulación.c) Calcule la esperanza matemática y la varianza.

34

r• • • • • • • ~ ~ ~ " ,


d) Grafique y analice la forma de la distribución.8- Con los datos de la tabla de Distr ibución de Poisson determine lo

siguiente:

a) Si X. = 2,6 entonces la P (x = 2)=b) Si X. = 1,2 entonces la P (x = 3)=c) Si X = 3,0 entonces la P (x = 4)=.d) Si k = 2,5 entonces la P (2 <x < 4)=

9 - El fabricante de unidades de discos de una reconocida marca demicrocomputadoras, espera que sólo el 2% de esas unidades vendidas,tengan problemas de funcionamiento durante el período de garantía defábrica.En una muestra de 50 discos, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) ninguna presente problemas durante el período de garantía?b) exactamente una presente problemas durante ese período?c) por lo menos dos presenten problemas?

10- El centro educativo de computación de una universidad tiene 300terminales de computadoras preparadas para uso diar io de losestudiantes. La probabilidad de que alguna terminal requiera serviciodeterminado día es de 0,015.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día en particular:a.l. cuando mucho dos terminales requieran el servicio?.a.2. tres o cuatro terminales requieran servicio?.

b) ¿Cuál es la probabi l idad de que en un período de dos d ías enparticular:

b.1. por lo menos 5 requieran servicio?.b.2. exactamente dos requieran servicio?.

1 1 - El número promedio de llamadas por minuto recibidas en un tallerde servicio de televisión es de 1,2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado:a.l. se reciban menos de dos llamadas?.a.2. se reciban más de tres llamadas?.a.3. se reciban menos de dos llamadas o más de tres llamadas?.a.4. se reciban ya sea dos o tres llamadas?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 minutos dados:b.l. se reciban dos llamadas?.b.2. se reciban tres o más llamadas?.b.3. se reciban cuatro llamadas?.

12- Una compañía de exploración de gas natural tiene un promedio decuatro hallazgos (es decir, encuentra gas natural) por cada 100 pozos

35


perforados. Si se van a perforar 20 pozos, ¿cuál es la probabilidad deque haya:

a) exactamente un hallazgo?.b) por lo menos dos hallazgos?.

Solucione este problema utilizando dos distribuciones de probabilidad(Binomial y Poisson) y compare los resultados obtenidos.

13- Un almacén contiene diez máquinas impresoras, cuatro de lascuales están defectuosas. Una empresa selecciona al azar 5 máquinas,pensando de que todas están en condiciones de trabajar:

a) ¿Cuál es la probabil idad de que las 5 máquinas estén en buenestado?.

b) ¿Cuál es la probabil idad de que por lo menos una esté en buenestado?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna esté en buen estado?.

14- Un grupo de 10 alumnos está formado por 5 de Córdoba. Calcularla probabilidad de que en una muestra aleatoria sin reemplazo de 6alumnos se obtengan exactamente 3 alumnos cordobeses.

15- Un grupo de 9 personas está formado por 4 hombres y 5 mujeres.Si se selecciona al azar sin reemplazo 3 individuos para desempeñarcargos que son incompatibles entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a) los 3 sean hombres?.b) 1 sea hombre?.

c) menos de 3 sean hombres?.

16- Al saber que una distribución normal estándar tiene media O ydesviación estándar 1:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que:a.1.) Z sea menor que 1,57?.a.2.) Z exceda a 1,84?.a.3.) Z se encuentre entre 1,57 y 1,84?.a.4.) Z sea inferior a 1,57 o mayor que 1,84?.a.5.) Z se encuentre entre -1,57 y 1,84?.a.6.) Z sea menor a -1,57 o mayor a 1,84?.

b) ¿Cuál es el valor de Z si el 50% de todos los valores posibles de Zson mayores?.

c) ¿Cuál es el valor de Z si sólo el 215% de todos los posibles valores deZ son mayores?.

d) ¿Entre qué par de valores de Z (distribuidos simétricamente alrededorde la media) se encuentra el 68,26% de todos los posibles valores deZ?.

17- Encuentre el valor de Zo tal que:

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a) P (Z > Zo) = 0,025b) P (-Zo < Z < Zo) = 0,8264c) P (Z < Zo) = 0,2981d) P (-Zo < Z < Zo) = 0,4709e) P (Z > Zo) = 0,9750f) P (-Zo < Z Zo) = 0,99g) P (Z < Zo) = 0,9251h) P (-Zo < Z < Zo) = 0,2673i) P (Z > Zo) = 0,6985j) P (-Zo < Z < Zo) = 0,4750

-6 -2 o 2 4

-6 -4 -2 o 2 4 6

a) ¿Qué porcentajes:al. de estos gastos son inferiores a $350?.a.2. de estos gastos se encuentran entre $250 y $450?.a.3. de estos gastos son inferiores a $250 o mayores a $450?.

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UNIDAD VIIDISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

1- El número de relojes de marca "RR" que tienen 3 familias es:

Familia A: 4

Familia B: 2Familia C: 5.Se pide:a) Determinar todas las muestras posibles de tamaño 2 que pueden

extraerse de esa población con reposición y establecer la probabilidadcorrespondiente a cada muestra.

b) Calcular la media muestral para cada muestra seleccionada yconformar su distribución de probabilidad.

c) Calcular la esperanza matemática o media aritmética de la mediamuestral y comparar con el parámetro poblacional correspondiente.

d) Calcular la varianza de la media muestral y verificar que es igual a02/n.

e) Trabajar los puntos a); b) y c) sin reposición.

2- Considere el conjunto de los números impares {3;5;7}.a) Haga una lista de todas las muestras posibles de tamaño 2 que

puedan ser seleccionadas de éste conjunto trabajando con reposición.b) Cons t ru ya la d i s t r i bu c ión po r m ues t reo pa ra las m ues t ras

seleccionadas en el punto a).c) Calcule la esperanza y la varianza de la media muestral y compare

con los parámetros poblacionales.d) Resuelva los items a); b) y c) trabajando sin reposición.

3- Si consideramos una población de 4 alumnos (A; B; C; D) de un mismocurso que tienen realizados cursos de perfeccionamiento anteriores conlas siguientes cantidades: 4; 8; 10 y 14, respectivamente; además seconoce que los tres primeros de ellos están de acuerdo con loscontenidos del curso actual.

a) Determinar todas las muestras posibles de tamaño 2, sin reposición,que pueden extraerse de esta población.

b) Obtener la proporción poblacional de personas que están de acuerdocon el curso actual.

c) Obtener la distribución de probabilidad de la proporción muestral depersonas que están de acuerdo con el curso actual.

d) Calcular la esperanza y la varianza de la proporción muestral ycomparar con los parámetros poblacionales.

e) Obtener la distr ibución por muestreo del promedio de cursosrealizados anteriormente por los alumnos seleccionados en la muestrade tamaño 2 del punto a). Calcular la esperanza y la varianzacomparando con los parámetros poblacionales.

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4- Se encontró que las calificaciones de un curso de informática tienendistribución normal con media de 57 puntos y desviación estándar de 9puntos.

a) ¿Qué porcentaje de estudiantes calificó entre 55 y 59 puntos?.b) Si se toma una muestra de 36 estudiantes, ¿qué porcentaje de

estudiantes tendrá una calificación media comprendida entre 55 y 59puntos?.

5- La media de los puntajes del coeficiente intelectual de los alumnos deuna universidad es de 98 y la desviación estándar es de 7.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje medio de una muestra de49 alumnos sea mayor a 100?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje medio de una muestra de196 alumnos sea mayor a 100?.

6- El sueldo de los empleados de comercio se distribuye Normal conmedia de $400 y desvío estándar de $50.

a) Si se elige una persona al azar del total de empleados de comercio,¿cuál es la probabi l idad de que sus ingresos mensuales sean

superiores a $425?.b) Si se elige una muestra de 64 empleados, ¿cuál es la probabilidad de

que el sueldo promedio de la muestra sea mayor que $425?.

7- Se conoce que en una población de tres habitantes A; B y C; dos deellos prefieren la marca "SS" para su desodorante de modo que:

A prefiere "SS"B prefiere "SS"C prefiere "XX"

a) Calcular todas las muestras posibles de tamaño 2 que puedanseleccionarse en esa población trabajando con reposición.

b) Determinar para cada muestra la proporción muestral de los queprefieren marca "SS" y conformar su distribución de probabilidad.

c) Calcular la esperanza y la var ianza de la proporción muestralcomparando con los parámetros poblacionales.

d) Trabajar los puntos anteriores sin reposición.

8- El dueño de una inmobiliaria considera que de las 3000 cuentas de laempresa un 60% se ha l lan en exce lente es tado. Si pretendeseleccionar una muestra de 150 cuentas.

a) Determinar la esperanza y la varianza de la proporción muestral decuentas en excelente estado, con muestras de n=150. Trabaje conreposición.

b) Calcular la probabilidad de que la proporción de cuentas en excelenteestado sea superior a 0,80 considerando muestras de tamaño 150.c) Resuelva los items anteriores suponiendo un muestreo sin reposición.

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M.OI


9- Si una variable x tiene media igual a 20 y una desviación estándar iguala 6 y se selecciona una muestra de tamaño n, para la cual se calcularála media muestra!:

a) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para asegurar que en e lintervalo [15 < x < 25] estarán comprendidos como mínimo el 90%

de los valores de la media muestral?.b) Determine el tamaño de muestra del punto a) si conoce que la

población tiene distribución de probabilidad normal.

10- El gasto promedio mensual por vivienda en servicios en la ciudad"AA" es de $85 con una desviación estándar de $20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 25 viviendasel gasto medio sea superior a $82?. ¿Qué supuesto es necesariorealizar para resolver este caso?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 25 viviendasel gasto medio esté comprendido entre $76 y $93?. ¿Qué supuesto esnecesario realizar para resolver este caso?.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 36 viviendasel gasto medio sea superior a $82?. ¿Necesita suponer algo respectode la distribución poblacional?. Fundamente.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 36 viviendasel gasto medio esté comprendido entre $76 y $93?.

e) Analice las diferencias entre los planteos realizados para muestras detamaño 25 y 36. Utilice el gráfico de la distribución de probabilidadpara explicar.

11- Si hay tres empleados en una empresa de los cuales dos tienenestudios especializados y uno no. Si se diseña el experimento deseleccionar dos empleados aleatoriamente con reposición. Determine:

a) La esperanza y la varianza poblacional en la población Bipuntualespecificada.

b) La distribución muestral de la proporción de empleados que tienenestudios especializados considerando todas las muestras posibles detamaño dos.

12- Calcule la esperanza y la varianza de la variable proporción

muestral y compare con los parámetros de la población Bipuntual.

Completar el siguiente cuadro:

Variable Aleatoria Esperanza Varianza*** Distribución de

probabilidadMEDIA MUESTRAL

PROPORCIÓNMUESTRAL

***MARCAR LAS DIFERENCIAS ENTRE MUESTREO CON Y SIN REMPLAZO.

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13- Encontrar las siguientes probabilidades:

n =12n =12n =10

a) P (5,23 < X2 < 14,8) =b) P (x 2 < 26,2) =c) P (X 2 > 3,25) =

14- Encontrar el valor de X2* tal que:

a) P (x 2 < x2*) = 0,05b) P (x 2 < x 2 *) = 0,01c) P (x 2 > x 2 *) = 0,90

n = 10n = 5n = 15

15- Encontrar las siguientes probabilidades en una distribución t destudent con 5 grados de libertad.

a) P (t < - 0,727) =b) P (t < 0,920) =c) P (t > 4,032) =d) P (-1,476 < t < 3,365) =

16- Hallar el valor t* tal que:

a) P (t < t*) = 0,05b) P (-t* < t < t*) = 0,95

n = 7 n = 11

17- Encontrar las siguientes probabilidades:a) P (F 5 ,3 > 14,9) =b) P (F 9,8 < 7,34) =c) P (1/2,38 < F 10 ,8 < 7,21) =

18- Encontrar F* tal que:

a) P (F r10,8 > F*) = 0,95

b) P (Fr 5 ,7 < F* ) = 0,975'c) P (F 7 ,6 < F*) = 0,05d) P (F 8,3 < F*) = 0,005

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.~41/111~1~010,M~1~04*. PO,"

estadÍstica plicada guia de ejercicios unidad...

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