UniversidadTecnologicaNacionalFacultadRegionalSanta FeTEORAESTADOSIng. Hugo A. TosoneMarzo de 2010Profesor Titular:Ing. CIVILRESISTENCIA DE MATERIALESyzAzyyxxyyxzzxzyzyxxySRTnzTENSIONALESESTADOS TENSIONALES CONTENIDOS Concepto de tensin en un punto interior de un slido sometido a carga. Estado de tensin, clasificacin: estado simple, doble y triple. Estado triple de tensiones. Componentes de la tensin. Tensiones en un plano inclinado genrico. Equilibrio del tetraedro elemental. Tensiones normal y de corte en el plano inclinado. Tensiones y planos principales. Tensin de corte mxima. Tensiones octadricas. Estado doble, biaxial o plano. Tensin normal mxima. Tensin de corte mxima. Representacin grfica de Mohr. Procedimiento para dibujarlo. Crculo de Mohr para tensiones principales. Ejemplo de aplicacin para estado triple de tensiones. BIBLIOGRAFA E. FliessEstabilidad II Ortiz Berrocal.Resistencia de Materiales. Teora de la Elasticidad. Beer y Johnston, Jr Mecnica de Materiales. Ed. Mc Graw Hill Timoshenko S.Resistencia de Materiales, Tomo I. Feodosiev V. I.Resistencia de Materiales. Editorial MIR Stiopin P. A.Resistencia de Materiales. Editorial MIR. RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 1 ESTADOS TENSIONALES CONCEPTO DE TENSION Seauncuerposlidocontinuo,istropoy homogneo,solicitadoporunsistemadefuerzas exterioresenequilibrio,enelqueseconsideraal puntointeriorAyaunplano,quecortando imaginariamente al slido pase por el punto A. EnlosalrededoresdeAsedefineunapequea superficie dereaF.Silafuerzaqueactasobre F esP, entoncessedefinetensinabsoluta enelpuntoAparadichoplanodelsiguiente modo: P dPdFF 0lmF [1] Sisecambiala posicin del planodetalmodoquesigaconteniendoalpuntoA,se obtiene en general otro valor para la tensin . ESTADO DE TENSIN - CLASIFICACIN Al conjunto de tensiones que se obtienen al considerar las infinitas posiciones posibles del plano se lo denomina estado de tensin en A . A los estados de tensin se los clasifica en: simples, dobles ytriples. Estadosimple:alestadoselodenominasimplecuandoalvariarlainclinacinde el vector se mantiene paralelo a una determinado recta. Estado doble: al estado se lo denomina doble cuando al variar la inclinacin del plano el vector se mantiene paralelo a un determinado plano. Estado triple: al estado se lo denomina triple cuando al variar la inclinacin del plano el vector se ubica en cualquier posicin en el espacio. COMPONENTES DE LAS TENSIONES Seaelparaleleppedoelementaldedimensiones dx, dy, dz, ubicado en la vecindad de A. En cada cara delparaleleppedoactan diferentes tensiones que se consideran datos del problema. Cada una de ellas se puede descomponer en una que sea perpendicular alacaraconsiderada(),yotrasdoscontenidasen dicha cara () que poseenlas direcciones de los ejes coordenadoscomosemuestraenlafig.2.Resultan lassiguientestensionesquehacenuntotalde9 componentes: xxy xz yyx yz zzx zy AFPPiP1P2P3Pnfig.1xyzyzxzyyzxzyxyxxzzxzyyzxzxyAyzyxydxdydzfig. 2RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 2 Si se plantean ecuaciones de momento esttico con respecto a cada uno de los 3 ejes coordenados, se puede demostrar que: xy yx xz zx yz zy A las tres expresiones resultantes se las conoce como ley de Cauchy Quedan entonces solamente 6 componentes diferentes de la tensin: x y z xy yz zx TENSIONES EN UN PLANO INCLINADO GENERICO El objetivo es hallar el estado de tensin en A, lo que requiere evaluar para cualquier posicin genrica del plano . Se identificar la posicin de por medio de los cosenos directores de su normal n. Si los ngulos que forma n con los ejes coordenados son , , , entonces es: l = cos m = cos n = cos Componentes de la tensin Al vector se lo puede descomponer de dos maneras:1. En y (normal y rasante al plano ) 2. En x, y, z paralelas a los ejes coordenados.Si se define al rea del tringulo TRS como unitaria (rea TRS = 1), resulta entonces Area ATR = l Area AST = m Area ARS = n Equilibrio del tetraedro elemental Partiendo de las tres ecuaciones de proyeccin sobre los ejes y considerando que: x .1 = x y .1 = y z .1 = z resulta entonces: x = x . l + xy . m + xz . n y = yx . l+ y . m+ yz. . n z = zx. l + zy . m + z ..n Las anteriores expresan la tensin en funcin de los cosenos directores l , m, n Tensiones normal y de corte en el plano inclinado Proyectando las componentes x, y, z sobre la direccin n se obtiene : yzAzyyxxyyxzzxzyzyxxySRTnzfig. 3RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 3 = x .l + y . m + z .n Reemplazando las expresiones de x , y , zresulta: = x . l2 + y . m2 + z n2 + 2 (xy . l. m + xz . l. n + yz . m . n)[2] La tensin de corte se obtiene del tringulo rectngulo (fig. 3) haciendo:2 2 2 2 2 2 + + z y x2 [3] Alternativamente se puede tambin calcular y proyectando al vector sobre la normal n y sobre el plano respecti vamente: cos . [4] sen . [5] lo que exige calcular el ngulo comprendido entre las direcciones de y n. Designando a los cosenos directores de como: l , m , n, entonce haciendo el producto escalar de los dos versores resulta: cosf = l. l + m . m + n . n siendo:xl ym

zn con: 2 2 2z y x + + y finalmente: 2cos - 1 sen TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALESComo la tensinvaraalcambiarlaorientacin de la normal npor cambio de inclinacin del plano ,habrentoncesplanosparaloscualesser mximaomnima.Paraesassituacionestendr ladireccindenynohabrtensin(recordar que .sen ). Para esos dos planos 0 y por la ley de Cauchy sesabequesonperpendicularesentres.Habr adems un tercer plano perpendicular a ambos para elque,porelmismomotivo,resulta0yeneste ltimotambinexistirsolamentetensinnormal. Dicha tensin normal se denomina intermedia. Hayentoncestrestensionesprincipales(1>2>3)actuandoenplanosparalos cuales 0, siendo 1 la mxima, 2 la intermedia y 3 la mnima. Denominando genricamentei a cadatensin principal, sus cosenos directores sern los de la normal n por coincidir con su direccin y en consecuencia: x i . l y i . mz I . n Peroesasmismascomponentesde sepuedenexpresarenfuncindelosdatosdel problema del modo visto, o sea: x = x . l + xy . m + xz . n y = yx . l+ y . m+ yz . n z = zx . l + zy . m + z . n AzyxxyiSRTnzfig. 4RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 4 Por igualacin de ambos grupos de ecuaciones, pasando todo a los primeros miembros y sacando factores comunes se obtiene: (x - i). l + xy. m + xz . n = 0 yx . l + (y - i). m + yz . n = 0 zx . l + zy. m + (z - i) . n = 0 Enestesistemahomogneodeecuaciones,paraquel,m,n,tengansolucindistinta quelatrivial(l=m=n=0)debersernuloeldeterminantedelamatrizdelos coeficientes, o sea: (x - i)xyxz yx(y - i)yz= 0 zxzy(z - i) Desarrollando y ordenando se obtiene finalmente el siguiente polinomio de tercer grado en i: x y z2 2 2i x y y z z x xy yz z x2 2 2x y z xy yz zx xy z yz x z x y)( )( 2. ) 03 2i i-( + + + + + + [6] Este polinomio brinda siempre 3 races reales, cosa que se puede demostrar (ver Estabilidad II, Enrique Fliess). Resolviendo dicho polinomio se obtienen finalmente 1, 2, 3. Casos particulares: a las seis componentes de la tensin se las puede agrupar en una matriz de 3 x 3 denominada tensor o matriz de tensiones:xy xzyx yzzx zyxyz 1 1 1 1 ] Silamatrizdetensiones(tensor)esincompleto,porfaltarporejemplodostensionesde corte,entoncessepuededesarrollareldeterminanteporloselementosdeunalneay dejar factorizado el resultado as obtenido, de modo que una de las races queda resuelta inmediatamente.Endichocasonoesnecesarioresolverunpolinomiodetercergrado, puestoquequedaunaecuacindesegundogradoalaqueseleaplicalaconocida resolvente. Planos principales Las tensiones 1, 2, 3 actan en 3 planos cuyos cosenos directores son: RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 5 l1 , m1 , n1 l2 , m2 , n2 l3 , m3 , n3 los que se pretende calcular. Por ejemplo, para calcular l1 , m1 , n1 del plano donde acta 1, debe plantear: (x - 1). l1+ xy. m1 + xz . n1 = 0 yx . l1 + (y - 1). m1 + yz . n1 = 0 zx . l1 + zy. m1 + (z - 1) . n1 = 0 El determinante de la matriz de los coeficientes del sistema anterior de ecuaciones es: (x - i)xyxz yx(y - i)yz= 0 zxzy(z - i) Denominando 1, 2, 3 a las menores correspondientes al desarrollo por la primera fila del determinante de la matriz de los coeficientes, ellos son: 11y yz 1zy z( - )( - ) 1yx yz 2zx z ( - )

1 yx y 3zx zy( - ) [7] Dicho desarrollo por los elementos de la primera fila, teniendo en cuenta el signo segn la posicin, resulta: ) 0 1 x 1 xy 2 xz 3 ( + Comparando esta ecuacin con la primera del sistema de 3 ecuaciones, surge que: 1 1 11 2 3m nK l de donde:11 K l 12 -K m 13 K n Elevando al cuadrado las 3 expresiones y sumando m. a m. se obtiene:2 2 2 2 2 21 1 1 2 3K .( )21m n + + + + lpero: 2 21 121m n 1 + + lPor lo tanto: 2 2 21 2 31K+ + y entonces: 12 2 21 2 31 ++ l22 2 21 2 31 m+ + 32 2 21 2 31 n+ + [8] Para calcular l2 , m2 , n2 se reemplaza la tensin principal 2 en el determinante. De modo similar se pueden calcular: l3 m3 n3. Nota: tanto las tensiones principales como as tambin los planos principales, pueden ser resueltoscalculandolosautovaloresylosautovectoresdelamatrizdetensiones (tensor).Paralosplanosprincipalesseobtienenlascomponentescartesianasdeun vectornormalalplanocorrespondiente.Lascalculadorasprogramables(manuales) suelen tener esas dos funciones incorporadas en forma directa. RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 6 Tensin de corte mxima Se puede demostrar que la mxima tensin de corte se produce en el plano bisector de los dos planos a los que le corresponden la mxima tensin 1 y la mnima tensin 3. Como se conocen las tensiones principales resulta sencillo calcular mx. Cuando se analice el estado tensional doble, se demostrar como se evala mx. Utilizando entonces las tensiones extremas 1, 3 se obtiene: 23 1 mx [9] Para el plano de la mxima tensin de corte, la tensin normal ser:23 1 +[10] En las fig. 5 se muestra un ejemplo cuyo crculo de Mohr se representa en la fig. 6. z31mx223y1x1 > 2 > 3fig. 5 TENSIONES OCTAEDRICAS Se denominan as a las tensiones y que ocurren en lascarasdeunoctaedroqueseobtienepormediode planosquetienensus3cosenosdirectoresigualesen relacinalsistemadeejescoordenadosdedireccin paralela a las tensiones principales 1, 2 y 3 . Partiendodeunprismaelementalsobreelqueactan solo las tensionesprincipales1,2,3 como datos del problema, teniendo en cuenta que las tensiones de corte son nulas y realizando el correspondiente anlisis a partir delasexpresionesdeyconl=m=nseobtiene finalmente: 1 2 3OCT3++ [11] OCT 1 2 3 1 2 2 3 3 1212 ( ) 6 ( )3 + + + + OCT 1 2 2 3 3 12 2 21( ) ( ) ( )3 + +[12] zxy-x-z-yfig. 8fig. 6mx31 2fig. 7312y // 2x // 1z // 3RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 7 ESTADO TENSIONAL DOBLE, BIAXIAL O PLANOSehadefinidoestadotensionalplanoaaquelestado paraelcualalvariarlaposicindelplanoinclinadoque pasaporelpuntoenestudio,latensinresultante cambiadeposicinperosemantieneenunmismo plano. Seaelparaleleppedoelementalenlasvecindadesde un punto A, aislado por medio de los planos paralelos a losplanoscoordenadosysolicitadoporunestado tensionalplano comoelindicadoenelcroquis(fig.9) al queluegoseloseccionaconunplanocualquiera paraleloalejez,cuyanormalforme un ngulo con el eje x (fig. 10). Debidoaquesetratadeunestadoplanoenx-y,se puede suponer que el prisma triangular tiene un espesor unitario en la direccin del eje z. Se denominar: :tensin en el plano abcd. x, y : componentes de segn los ejes x e y. Seadmitequelastensionessedistribuyen uniformementeenlatotalidaddecadareasobrelas queactan.Ademsseconvienequelastensionesde corteseconsideranpositivascuandosussentidosson contrarios a los del anlisis del estado triple, figs. 9 y 10.El equilibrio del prisma elemental de caras triangulares exige que sean nulaslas sumas de las dos proyecciones de las fuerzas que actan sobre el mismo. Dichasproyeccionessegnlasdireccionesdelosejes coordenados x e y son: X 0Y 0 x yx X ab 1 ab 1 cos ab 1 sen 0 x + y xy Y ab 1 ab 1 sen ab 1 cos 0 y + Operando queda: x yx cos sen x y xy sen cos y Siendo y las componentes de la tensin resultante segn la direccin normal n y segnladireccinparalelaalplanoabcd,ellaspodrnsercalculadasproyectandolas componentes x y y sobre dichas direcciones del siguiente modo: x y cos sen + x y sen cos Azyyxxxyyxyyxx xyfig. 9yzxxyyxAyx1nxynormaldeabcfig. 10yxxyyxyxnxyabfig. 11ARESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 8 Sustituyendo las expresiones de x y y se obtiene: 2 2x xy y xy cos sen cos sen sen cos + 2 2x xy y xy cos sen sen sen cos cos + operando resulta: 2 2x y xy cos sen 2 sen cos + 2 2x y xy ) cos sen (cos sen ) ( + quedando finalmente: 2 2x y xy cos sen sen 2 + [13] x yxy)sen 2 cos 2( 2 + [14] TENSION NORMAL MXIMA Resultaentoncesque ysonfuncionesdelngulo,esdecir,delaposicindel planop .Paraconocerlosvaloresmximoymnimo,ascomolaorientacindelos respectivosplanosdondeellasocurrensedeberecurriralconceptomatemticode mximo y mnimo de una funcin. El ngulo (variable independiente de la funcin) para el que ocurre un mximo o un mnimo, se obtiene igualando a cero la primera derivada de la funcin con respecto a dicha variable. Derivando con respecto a se obtiene: x y xydsen cos 2 cos sen 2 cos 2d - 2 + y x xyd) 2sen cos 2 cos2d ( y x xyd) sen 2 2 cos2d ( Esta derivada se hace cero para un cierto ngulo 1: y x 1 xy 1 ) sen 2 2 cos 2 0 ( [14 ] Por lo tanto: xyy x21 tg 2[15] Existendosngulosquesatisfacenlaexpresin[15]queson:(21)y(21 +),de donde que se obtiene (1) y (1 + /2) que corresponden a dos planos ortogonales entre squesonlosplanosprincipalesenlosqueseproducirnlasmximasymnimas tensiones normales (tensiones principales). Multiplicando por 2 a la expresin [14] y comparndola con la [14], se comprueba que en los planos principales las tensiones de corte son nulas ( 0). RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 9 Parahallarlosvaloresdelastensionesprincipalesmxyminqueseidentificarn como: 1 y2 (siendo 1 2 ) se debe sustituir el valor de los ngulos1 y 1+/2 en la expresin [13]. Como el ngulo1estexpresadoporsutangenteenla[15],esnecesariorecurrira las siguientes identidades trigonomtricas: 22 cos 1 + cos2 2tg 21 tg 2 sen 2 t+ 1 cos 2sen22 2 11cos2tg +t 2 Operandoalgebraicamenteseobtienenlastensionesprincipalesmximaymnima respectivamente (ver tambin Estabilidad II, E. Fliess, pg. 63): 2212 2xyy x y x +

,_

++ [16a] 2222 2xyy x y x +

,_

+ [16b] TENSIONES DE CORTE MAXIMAS Se pueden obtener de un modo similar partiendo de la expresin [14]: x yxy2sen 2 cos 2 + x yxyd2 cos2 2 sen2d 2 x y 2 xy 2 ) cos2 2 sen 2 0 ( xy 2 x y 2 2 sen 2 ) cos2( resultando: y x2xytg 22 - [17] La [7] brinda dos soluciones: 2 2y2 2 + lo que implica que existen dos planos para 2y2 + /2 enlos que ocurren las mximas tensiones de corte. Dichos planos difieren en /2 = 90 lo que indica que son perpendiculares entre si. Como:tg 22 = -1 / tg 2 1= - ctg 2 1entonces 2 2 = 2 1- /2 o tambin:2 = 1 - /4 Esto indica que los planosde corte mximoforman un ngulo de 45con los planos de las mximas tensiones normales. RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 10 Paracalcularlamagnituddemx.sesustituye2 enlaexpresin[14],utilizando identidades trigonomtricas y operando, con lo que se obtiene finalmente: 2x y2xy2mx _ t + , [18] Representacin grfica de Mohr Retomando las ecuaciones [13] y [14] que eran: 2 2x y xy cos sen sen 2 + [13] x yxy)sen 2 cos 2( 2 + [14] y sustituyendo: 1 cos 222 cos+ 1 cos 2sen22 se obtiene: x yxy (1 cos 2 ) (1 cos 2 ) sen 22 2 + + x y x yxy cos 2 sen 22 2+ + x y x yxy cos 2 sen 22 2+ [19] x yxy)sen 2 cos 2( 2 + [20] Elevando al cuadrado las [19]y [20] y sumando m. a m. resulta finalmente: 2 2x y x y2 2xy2 2+ _ _ + + , ,[21] Esta es una ecuacin del tipo: (x a)2 + y2 = r2 que describe una circunferencia en funcin de los parmetros: x, y, xy y cuyas variables son y . Tiene su centro sobre el eje con abscisax ya2 + y radio222xyy xr +

,_

LasolucingrficadeMohresunarepresentacindelasecuacionesanalticasque sirve alternativamente como croquis gua a los clculos numricos. Dada la sencillez de las expresiones analticas el mtodo grfico no ofrece una ventaja manifiestasobreelmtodoanaltico,perosucroquis permite una rpida visualizacinde lastensionesqueocurrenenlosdiferentesplanosquepasanporelpunto,comoas tambin la localizacin inmediata de los valores mximos y de las direcciones principales. yx Cxayrfig. 12RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 11 LacircunferenciadeMohresellugargeomtricodelospuntoscuyascoordenadas representanlastensionesqueocurrenentodoslosplanosinclinadosquepasanporun puntodeunslidocargado.Lasabscisasdelospuntosdelacircunferenciarepresentan tensiones normales y las ordenadas la tensiones cortantes. Las convenciones a utilizar sern:-Tensiones de traccin: se consignan con abscisas positivas. -Tensiones de compresin: corresponden abscisas negativas. -Tensiones de corte positivas: se consignan con ordenadas positivas. -Tensiones de corte negativas: se consignan con ordenadas negativas.-Los ngulos se consideran positivos para giros en sentido contrario a las agujas del reloj. -Lo anterior se complementa con el siguiente croquis: +- -++fig. 13 SepuededemostrarqueenlaconstruccindeMohr losngulosenrelacinconel centro de la circunferencia, son de magnitud doble que las magnitudes angulares entre las secciones planas que pasan por un punto interior del cuerpo cargado. Adems, las dos coordenadas de cada punto de la circunferencia, brinda las tensiones normalydecortequeocurrenencadaplanoquepasapordichopuntodelcuerpoen estudio. En consecuencia es posible dibujar el grfico de Mohr si se conoce estado tensional en dosplanosperpendicularesentres,yaquelospuntosdelacircunferencia, representativosdelastensionesqueocurrenenesosdosplanosperpendiculares(90), seencontraranposicionadosenlacircunferenciaconunadiferenciade180 (ngulo doble), lo que implica que son los extremos de un dimetro. Procedimiento para dibujar el crculo de Mohr 1.Datos: las tensiones x , xy y yx en dos planos perpendiculares. 2.Enunsistemacartesianoortogonal ()yconlosdatosdelastensiones,se ubican los puntos A y B que constituyen un dimetro. 3.UniendoAconBseobtieneundimetro.Ensuinterseccinconelejedeabscisas determina el punto C que es el centro de la circunferencia. 4.Con el centro en C y radio CA CB se dibuja la circunferencia. RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 12 yxx11xyyx221mxAPBCxyyx= -xyE2xy1 2mnFGO121yxyxyfig. 14-112 Cadapuntodelacircunferenciacaracterizaalestadotensionalenundeterminado plano. En el caso dibujado corresponde al conjunto de los planos paralelos al eje z. En el grfico se observa que la mxima tensin normal 1 = mx est representada por elsegmentoOFylamnima2porelsegmentoOE.Lamximatensindecortemx est representada por CG. Paralocalizarlasdireccionesde1y2sepuedeutilizarelpuntoauxiliardela circunferencia denominado foco o polo P. Para ubicar el polo P,se traza por el punto A (ligado a la tensinx)unaparalelaala direccin x; o por B (ligado a la tensiny)una paralela a la direccin y; donde intercepten a la circunferencia se obtiene el polo P. UniendoelpoloPconlospuntosF yEseobtienenlasdireccionesdelastensiones principales 1 y 2 respectivamente, sealadas con los nmeros 1 y 2 en la figura. Crculo de Mohr para tensiones principales. Seconsiderarelcasotensionalespacialcuandoen lascarasdelprismaelementalactanlastrestensiones principales 1,2 y 3 de modo que: 1 > 2 > 3

Las tensiones normales y tangencialesque ocurran en un plano cualquieraparalelo alejez,nodependernde 3, sino de las tensiones1 y2 y se caracterizarn por una circunferencia de tensiones con dimetro d=12 como la de la fig. 16a:Elmismoanlisissepuedeefectuarparaplanosparalelosalejeyparalosplanos paralelos al eje x, obtenindose circunferencias de dimetros 1323. Xyz213321fig. 15RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 13 2 13 1Planos paralelos al eje z3 2 3 1 2y31x2 2 2fig. 16y yz z zx x (a) (c) (b)(d)1 13 3Planos paralelos al eje y Planos paralelos al eje x Se pueden dibujarlas tres crcunferencias de Mohr enunamismarepresentacin,fig. 16d;lospuntos decada una dedichascircunferenciasrepresentanlastensionesquese producenencadaunodelosinfinitosplanosparalelosacadaunodelosejes coordenados. Sepuededemostrarqueelestadotensionalqueseproduceenplanosnoparalelosa ningnejecoordenado,seencuentrarepresentadoporlospuntoscontenidosenlazona sombrerada limitada por las tres circunferencias, fig. 16d. Ejemplo de aplicacin para Estado tensional triple. PROBLEMA MOHRT 260 Enlafiguraserepresentaunestadotensionalparaelquesolamentesemuestranlas tensiones que actan en las caras visibles, especificando sus intensidades en kgf/cm2,. Se pide calcular lo siguiente: 1)Tensionesyparaunplanoqueformengulos iguales con los tres ejes coordenados. 2) Tensiones principales 1, 2 y 3. 3) Posicin de los planos principales: (l1,m1,n1), (l2,m2, n2)

y

(l3,m3,n3) 4) Tensin de corte mxima. 5) Tensiones octadricas OCT y OCT. Expresarlosresultadosenenkgf/cm2yenMPa,usandoparalaconversinde unidades la siguiente equivalencia aproximada: 10 kgf/cm21 MPa. RESOLUCIN 1) Tensiones y Tensin normal . Se sabe que l = m = n, por lo tanto: l 2 +m 2 + n 2 = 1 3 l 2 = 1 l 2 = 1/3 zyx400200100 500300800RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 14 de donde: 3l = m = n = 54,7363 Calcularemos a partir de las componentes ortogonales de la tensin en lugar de utilizar la expresin final de puesto que dichos valores son necesarios para el clculo de "". Lossignosdelastensionesnormalesydecortequesondatosdelproblema,deben adecuarse de acuerdo al sentido de los correspondientes vectores que las representan. Para este caso particularmente son todas positivas !. x=x.l+xy.m+xz.n=33(x+xy+xz) =33(800 + 100 + 300 )= 692,82 kgf/cm2 69,28 MPa y= yx.l+y.m+yz.n=33(yx+y+yz)=33(100 + 400 + 500 )= 577,30 kgf/cm2 57,73 MPay= zx.l+zy.m+z.n=33(zx+zy+z)=33(300+ 500 + 200 ) = 577,30 kgf/cm2 57,73 MPa = x . l + y . m + z . n = 33??( 692,80 + 577,30 + 577,30 ) = 1066,67 kgf/cm2 aproximadamente = 106,67 MPa Tensin de corte . 2= 2-2=x2+y2+z2-2= 692,802+ 577,302+ 577,30 2 - 1066,67 2= 8673,53 (kg/cm2)2 = 93,13 kgf/cm2 aproximadamente = 9,13 MPa 2) Tensiones Principales Expresandolascomponentesortogonalesx , y , z enfuncindelastensiones principales (generalizada como i), como tambin en funcin de las tensiones que ocurren en los planos ortogonales (datos del problema) e igualando se obtiene: i . l = x . l + xy . m + xz . n i . m = yx . l + y . m + yz . n i . n = zx . l + zy . m + z . n las que se pueden agrupar por factores comunes (cosenos directores) del siguiente modo: (x i ) . l + xy . m + xz . n = 0 yx . l + ( y - i ) . m + yz . n = 0 zx . l + zy . m + ( z - i ) . n = 0 Estas expresiones constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, l, m y n.Para que tenga solucin distinta de la trivial ( l = m = n = 0 ), debe ser nulo el determinante de la matriz de los coeficientes: 0) () () (i z zy zxyz i y yxxz xy i x desarrollandoeldeterminanteyoperandoalgebraicamenteseobtienefinalmenteun polinomio de tercer grado, ver frmula [6] de teora: RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 15 x y z2 2 2i x y y z z x x y yz zx2 2 2x y z x y yz z x x y z yz x zx y)( )( 2. ) 03 2i i-( + + + + + + Este polinomio tiene tres races reales (Fliess, Estabilidad, Tomo II). Lasracespuedencalcularsededistintasformas,porejemplomedianteelusodeuna calculadoragraficadoraenlaqueserepresentay=f(i),obteniendounacurvacomola representada.Delarepresentacinsepuedeobtenerelvaloraproximadodelastresraces,conlos cualesluegosepuedencalcularunvalormsexactomedianteelprocedimientode Newton Rawson o por prueba y error. Enalgunascalculadoras,comolaHP48G,sepuedeaplicarelsolverdeecuaciones,o bienpuedenemplearseprogramasdePC,talescomoExcel,quecuentaconuna aplicacindentrodelmenHerramientas,denominadaSolver,quepermitecalcularlas races de este tipo de ecuaciones. Tambin se puede utilizar la solucin incorporada en las calculadoras programables, que se denomina autovalores en matemtica. Por cualquiera de esos caminos se llega a los siguientes valore 1=1083,54 kgf/cm22=555,64 kgf/cm23=-239,18 kgf/cm2 o aproximadamente: 1=108,35 MPa2=55,56 MPa 3=-23,92 MPa 3) Posicin de los planos principales Eldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesdelsistemadeecuacioneslinealesque define los valores de l, m y n para las direcciones principales es: 0i z zy zxyz i y yxxz xy i x Reemplazando i por la tensin principal 1 = 1083,5 kgf/cm2 se obtiene: 050 . 883 500 300500 50 . 683 100300 100 50 . 28350 . 1083 200 500 300500 50 . 1083 400 100300 100 50 . 1083 800 Los menores complementarios de los elementos de la primera fila del determinante son: eliminando la primera fila y la primera columna:35387250 . 883 500500 50 . 6831 eliminando la primera fila y la segunda columna:23835050 . 883 300500 1002 eliminando la primera fila y la tercera columna:255050500 30050 . 683 1003 adems: 2 2 2 2 2 21 2 31 1 1K496934353872 ( 28335) 255050 + + + + if(i)-2395551083RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 16 Resulta entonces:11 12 2 21 2 3353872l 0.712 44.6496934 + + 21 12 2 21 2 32383500.479 61.3496934m + + 31 12 2 21 2 32550500.513 59.1496934n ++ Enestecasolosngulos(versorN1enlafig.)quedefinenelplanoprincipaldemxima son: 1 = 44,61 = 61,31 = 59,1 Mediantelaexpresindeenfuncindel1,m1 yn1calculadosenelpasoanterior,se pueden verificar que la tensin normal es aproximadamente 1083,54 kgf/cm2. Para obtener el plano correspondiente a la tensin principal intermedia reemplazamosi por 2=555,6 resultando: 800 555,6 100 300 244,4 100 300100 400 555,6 500 100 155,6 500 0300 500 200 555,6 300 500 355,6 Eliminando la primera fila y la primera columna resulta:1155,6 500194668500 355,6 Eliminando la primera fila y la segunda columna se obtiene:2100 500185560300 355,6 Eliminando la primera fila y la tercera columna se obtiene: 3100 155,696680300 500 2 2 2 2 2 21 2 31 1 1K285788( 194668) ( 185560) 96680 + + + + 12 22 2 21 2 3194668l 0.68 132,94285788 ++22 22 2 21 2 3( 185560)0.649 49,5285788m + + + 32 22 2 21 2 3966800.338 70,2285788n + + En este caso, los ngulos(versor N2 en la fig.) que definen el segundo plano principal son: 2 = 132,942 = 49,52 = 70,2 Para la tercera tensin 3:= - 239,2 kgf/cm2 (la mnima) resultazyx0,4790,5130,712N1 (l1,m1,n1)zyx0,6490,338-0,68N2 (l2,m2,n2)RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 17 800 239,2 100 300 1039,2 100 300100 400 239,2 500 100 639,2 500 0300 500 200 239,2 300 500 439,2++ + Eliminando la primera fila y la primera columna:3073720 . 439 500500 20 . 6391 Eliminando la primera fila y la segunda columna:10608020 . 439 300500 1002 Eliminando la primera fila y la tercera columna: 141760500 30020 . 639 1003 2 2 2 2 2 21 2 31 1 1K17970430737 ( 106080) ( 141760) + + + + 13 32 2 21 2 330737l 0,17 80,15179704 + + 23 32 2 21 2 3( 106080)0,59 53,82179704m + + 33 32 2 21 2 31417600,79 142,08179704n ++ Enestecaso,losngulos(versorN3enlafig.)quedefinenelplanoprincipalparala tensin mnima son: 3 = 80,15 3 = 53,823 = 142,084) Tensin de corte mxima. Separtedeunprismaelementalsometidoalastensionesprincipalesrecin obtenidas, referidoaunsistemadecoordenadascuyosejessonparalelosalasdireccionesdelas tensiones principales 1, 2 y 3. En el plano 1-2: max(1-2) 260 . 555 50 . 108322 1263,95kgf/cm2 26,39 MPa Anlogamente, para 2-3:max (1-3) 2) 20 . 239 ( 50 . 108323 1661,35 kgf/cm2 66,14 MPa En el plano 2-3: max (2-3)40 . 3972) 20 . 239 ( 60 . 55523 2 kg/cm2 39,74 MPa Sehanrealizadolostresclculosparamostrarlosvaloresdetodaslastensionesque ocurrenenplanosbisectrices.Noobstanteello,comosepuedeapreciar,essuficiente calcularlatensindecortequeocurreenelplanobisectrizdelosplanosque correspondenalamximaymnimatensinprincipal,yaqueallocurrelamxima tensin de corte en el material. En la figura se muestra dicho plano sombreado. zyx0,590,17N3 (l3,m3,n3)-0,79RESISTENCIA DE MATERIALESESTADOS TENSIONALES Estados_Tensionales.doc 11/03/2010 11:58:00 Pg. 18 Resulta entonces: max = max (1-3) = 661,35 kgf/cm2 66,14 MPa 5) Tensiones Octadricas Enunplanoparaelcual==:enrelacinconlasdirecciones principales: OCT1 2 3 1083,5 555,6 ( 239.2)3 3++ + + OCT = 466,63 kgf/cm2 aproximadamente: OCT = 46,66 MPa OCT 1 2 2 3 3 12 2 21( ) ( ) ( )3 + + [ ] OCT22 21(1083,5 555,6) 555,6 ( 239,2) ( 239,2 1083,5)3 + + OCT = 543,72 kgf/cm2 aproximadamente:OCT = 54,37 MPa Este material de apoyo didctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el ex-profesor de la Ctedra EstabilidadII, Ing. Guillermo Pons, fue adaptado, modificado, reordenado y ampliado y est destinado exclusivamente para el uso interno de la ctedraResistencia de Materiales de Ingeniera Civil, de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone. Marzo de 2010 312y // 2x // 1z // 3zxy-x-z-y z32y1xRESUMEN DE FRMULAS: ESTADOS TENSIONALES ESTADO TRIPLE yzAzyyxxyyxzzxzyzyxxySRTnzfig. 3 Tensiones normal y de corte en el plano inclinado = x . l2 + y . m2 + z n2 + 2 (xy . l. m + xz . l. n + yz . m . n)[2] 2 2 2 2 2 2 + + z y x2 [3] Tensiones Principales Tensor: xy xzyx yzzx zyxyz 1 1 1 1 ] iiixy xzyx yzzx zyxyz =0 Polinomio: x y z2 2 2i x y y z z x xy yz z x2 2 2x y z xy yz zx xy z yz x z x y)( )( 2. ) 03 2i i-( + + + + + + Planos Principales (versor normal) 2 2 21 2 31K+ +

2 21 121m n 1 + + l11y yz 1zy z( - )( - ) 1yx yz 2zx z ( - )

1 yx y 3zx zy( - ) [7] 12 2 21 2 31 ++ l22 2 21 2 31 m+ + 32 2 21 2 31 n+ + [8] Tensin de corte mxima, y normal p/ ese plano:23 1 mx [9]23 1 + [10] Tensiones Octadricas 1 2 3OCT3++ [11] OCT 1 2 2 3 3 12 2 21( ) ( ) ( )3 + +[12] fig. 7312y // 2x // 1z // 3xyzyzxzyyzxzyxyxxzzxzyyzxzxyAyzyxydxdydzfig. 2ESTADO DOBLE 2 2x y xy cos sen sen 2 + [13] x yxy)sen 2 cos 2( 2 + [14] Tensiones principales xyy x21 tg 2[15] 2212 2xyy x y x +

,_

++ [16a] 2222 2xyy x y x +

,_

+ [16b] Tensin de corte mxima y x2xytg 22 - [17] 2x y2xy2mx _ t + , [18] Representacin grfica de Mohr Crculo de Mohr para tensiones principales.Es: 1 > 2 > 3 Ctedra: Resistencia de Materiales Profesor Titular: Ing. Hugo A. Tosone. Marzo de 2010 +- -++ fig. 13yxx11xyyx221mxA PBCxyyx= -xyE2xy1 2mnFGO121yxyxyfig. 14-1122 13 1Planos paralelos al eje z3 2 3 1 2y31x2 2 2fig. 16y yz z zx x (a) (c) (b)(d)1 13 3Planos paralelos al ejey Planos paralelos al eje xyzxxyyxAyx1nxynormaldeabcfig. 10