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7/25/2019 Estad_Descript_JRGarnica_Hervas.pdf

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UNIDAD DIDCTICA V

ESTADSTICA DESCRIPTIVA


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OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Construir de series de frecuencias

Graficar histogramas, polgonos de frecuencias y ojivas

Calcular e interpretar las:

-Medidas de tendencia central y de posicin

-Medidas de variabilidad

-Asimetra

-Curtosis

Lograr una actitud positiva frente a las posibles didicultades que pueden

surgir en esta unidad, sugiriendo la comunicacin con el profesor por losdistintos medios propuestos y con compaeros.


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DIAGRAMA CONCEPTUAL

Datos

Recopilacin

Agrupamiento

Procesamiento

Armado series

Grficos

Histograma

Polgono de Frecuencia

Ojiva

Series defrecuencias

Absoluta Simple

Absoluta

Relativamedida aritmtica

media geomtrica

media armnica

Fijas promedioso momentos

mediana

modo

quartiles

deciles

percentiles

Mviles

De dependenciacentral y deposicin

varianza

desviacin

campo de variacin

diferencia entre cuartiles

coeficiente de variacino variabilidad

simtrica

positiva

negativa

mesocrtica

platicrtica

leptocrtica

Curtosis

Asimetra

Relativa

Absoluta

De variabilidad

De orden

Medias

ESTADSTICA

DESCRIPTIVA


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Para que sirve la estadstica descriptiva?

El objetivo de la estadstica descriptiva es resumir y presentar datos con el fin de facilitar suutilizacin

Series de Frecuencias o Distribucin de Frecuencias

Los datos obtenidos por medio de censos, estudios muestrales, o experimentos, consistenen un n de valores numricos brutos y desorganizados. Para poder utilizar dichos datos parapoder ejecutar inferencias como base para una decisin, debe reunirse y extraerse la informacinpertinente.

La mejor manera es mediante la construccin de una tabla o distribucin de frecuencias.

A partir del siguiente ejemplo, vamos a desarrollar el temario. Estos son datos obtenidos enuna muestra en una industria y representa el salario ganado por da por los obreros en pesos.

19,2 13,4 16,6 21,8 15,6 17,8 12,816,4 18,8 15,6 19,4 19,6 21,6 2115 16,6 12,6 14.6 17,6 11,6 1418,4 13,8 17,6 16,2 19 20 16,210,4 18 19,2 15 17 15,2 12,816 14 12,2 17 20 19,6 17,6

Estos datos desorganizados los tenemos que agrupar. Cmo hacemos? A travs de laconstruccin de una tabla de frecuencias

Dividimos el rango total de los valores en nuestro grupo de datos en un nmero de clases ycontamos el nmero de observaciones que caen dentro de cada clase.

Por lo tanto debemos decidir cuntas clases vamos a utilizar (esto es arbitrario, no hay unmtodo cientfico).

La cantidad de clases deterninar la cantidad de filas (horizontales) que se extendernhacia abajo en el cuadro de organizacin de datos.

Vamos a realizarlo a travs de la regla del 2

Existen otros mtodos pero veremos solamente ste.

Regla: Si N es el nmero de observaciones, incluyo a N entre 2 potencias sucesivas de 2, y elnmero de clases ser aproximadamente el exponente de > potencia de dos.

Rango de N n aproximado de clases

23= 8 < N < 24= 16 4

24=16 < N < 25= 32 5

25=32 < N < 26= 64 6

etc.

En nuestro ejercicio N es igual a 42, por lo tanto va a estar incluido entre:


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131

25= 32 < 42 < 26= 64

Y vamos a utilizar 6 clases

Habiendo decidido utilizar 6 clases, podemos determinar los intervalos de clases (tamao

o anchura de la clase = W).

Rango:

MAYOR NUMERO OBSERVADO

menos

menor nmero observado

La diferencia da el rango terico.

En nuestro ejercicio el rango terico es

21,8- 10,4 11,4 divido 6 (cantidad de clases) nos da una anchura o amplitud de 1,9 siempre debemos

aproximar al entero siguiente por lo tanto nuestra anchura o W es igual a 2.

Y como nos interesa trabajar con nmeros enteros empezaremos a partir del menor datoobservado que 10,4 a trabajar y armaremos la clase.

Empezamos

10 a 12 (la anchura es = a 2)

12 a 1414 a 1616 a 18

18 a 20cantidad de clases

20 a 22

Por lo tanto hemos avanzado 6 clases, con una anchura de 2, empezando con el n 10 yterminando con el n 22.

El problema que se nos presenta es, por ejemplo, el dato 14. En qu clase lo colocamos,en la 2da o la 3era? Para poder contestar esto debemos definir La frontera de clase, que allmite superior de la clase le restaremos un valor muy pequeo por ejemplo 0,01 y nos quedaranlas clases de la siguiente manera:


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Frontera de clase

10 12 10 11,9912 14 12 13,99 Y ahora podemos ir colocando cada

14 16 14 15,99 uno de los datos observados dentro16 18 16 17,99 de cada clase18 20 18 19,9920 22 20 21,99

Ni = frecuencia de clase: es la cantidad de datos que contiene una frecuencia; es decir lasumatoria de Ni es igual a N

Veamoslo en nuestro ejemplo:

Ni

10 12 212 14 614 16 816 18 1218 20 920 22 5

42

Ahora necesitamos seleccionar un valor en cada clase para que sirva como representativode ella y a ese valor lo llamaremos Marca de clase que es el semipromedio de la clase.Y adems podemos hacer la frecuencia acumulada de las observaciones, y tambin ver comose compara con probabilidades.

En sntesis nos queda lo siguiente:

Ni X Na Ni/N Na/N10 12 2 11 2 0,0476 0,047612 14 6 13 8 0,1429 0,190514 16 8 15 16 0,1905 0,381016 8 12 17 28 0,2857 0,666718 20 9 19 37 0,2142 0,8809

20 22 5 21 42 0,1191 1,000

42 1

Marca Frecuencias Estas sonde Acumuladas probabilidades

clases (se van su- (se van sumando(promedio) mando cada cada Ni/N)

Ni)

Por ejemplo, cul es la probabilidad de que alguien gane 11$ por da: es igual a 0,0476.


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133

Representaciones grficas

Con las frecuencias (Ni) se pueden ejecutar en un mismo grfico dos representaciones

1) Histograma = representacin grfica de una distribucin de frecuencia que se forma

construyendo barras o rectngulos sobre los intervalos de las clases.

2) Polgono de frecuencias; se unen los puntos medios del histograma.

Con las frecuencias acumuladas (Na) representamos la ojiva

Siempre tenemos la seguridad que en el lmite superior de la clase vamos a tener a todoslos datos observados por lo tanto se grafica con el valor del lmite superior.


1. FRECUENCIAS

Frecuencia Absoluta Simple (Ni): Cantidad de veces que se repite un valor de variable.Para graficar se utiliza un grfico de bastones si la variable es continua.

10 12 14 16 18 20 22 $

2

4

6

8

10

12

0,0476

0,1191

0,1429

0,1905

0,2142

0,2857

Na/Nfrecuenciarelativa

Polgono de frecuencia

Histograma

612

18

24

30

36

42

Na Frecuencia acumulada

ojiva

10 12 14 16 18 20 22 $


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134

Frecuencia Absoluta Acumulada (Na):Cantidad de individuos con valor de variable menoro igual a cierto valor dado.

Para graficar se utiliza un grfico de escalones si la variable es discreta, o el polgono defrecuencias acumuladas si la variable es continua.

Frecuencia Relativa:Mide la importancia que tiene cada valor de variable (var. discreta) ocada intervalo de clase (var. continua). Es el cociente entre la frecuencia absoluta simple y elnmero total de observaciones.

Medidas de Tendencia Central (Valores Medios) o Medidas de Posicin

Se pueden clasificar:

1) Medias Fijas: calculadas en base de todos los valores de la serie

Media aritmtica Media geomtica Simple o Ponderada Media armnica

2) Medias Mviles: Obtenidas en base a algunos trminos de la serie

Mediana Modo o Moda Cuartiles Simple o Ponderada Deciles Percentiles

Medidas de Variabilidad

1) Absolutos: estn expresados en la misma unidad de medida del fenmeno a que se refieren

Varianza desviacin o desvo estndar campo de variacin diferencia entre cuartil

2) Relativos: estn liberados de cualquier unidad de medida, (son nmeros puros, no tienenmagnitud).

coeficiente de variacin o de variabilidad

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son valores de variable que se ubican en la zona de la escala donde se encuentra mayorconcentracin de frecuencias.


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135

2.A MEDIDAS DE POSICIN

No toman en cuenta todos los valores de la variable en estudio, sino que tienen en cuentala posicin de los mismos.

2.A.1 MEDIANA (me)

Es el valor de variable que supera y es superado por igual cantidad de datos. Se grafica enel polgono de frecuencias acumuladas. Es una medida de posicin.

Variable Discreta:Si la cantidad de datos es impar, la mediana es el valor del medio (siempreque estn ordenados). Si la cantidad de datos fuese par, la mediana es la semisuma de losvalores de variable centrales.

Variable Continua:Se calcula utilizando intervalos de clase siguiendo los siguientes pasos:

a) Determinar la mediana de orden (indica la cantidad que representa la mitad de losindividuos).

me (o) = N/2

b) Determinar el intervalo de la mediana de orden (buscar en la tabla de frecuencias absolutasacumuladas el intervalo en el cual se encuentra el individuo que representa el lmite de lamediana de orden o sea el individuo N/2)

c) Calcular la mediana a partir de la siguiente frmula:

meNi

= L + N / 2 - N Wia - 1

Li: lm. inferior del intervalo de la me.N(a-1): frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior al de la me.Ni: frecuencia del intervalo de la me.w: amplitud del intervalo de la me.

Recuerde tomar nota de las frmulas importantes.

2.A.2. MODO- MODA - VALOR MODAL(mo)

Es el valor de variable al que corresponde la mxima frecuencia. Se grafica en el histogramade reas.

Variable discreta:valor de variable con mayor frecuencia simple.

Variable continua:se calcula en base a los intervalos de clase segn los pasos que sedetallan a continuacin:

1) Buscar el intervalo modal (intervalo de clase que tiene mayor frecuencia simple).

2) Calcular el modo en base a la siguiente frmula:


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d1= N Ni i - 1

m = Ld

d + d wo i

1

1 2

+

d i2 = N - Ni + 1

Li: lmite inferior del intervalo modalw: amplitud del intervalo modal.

2.A.3 CUARTILES (Q)

Son los valores de variable que dividen a la poblacin en cuartos. Se grafican en el polgonode frecuencias acumuladas.

Q1: es el valor de variable hasta el cual acumulo la cuarta parte de los valores.

Q2: es el valor de variable hasta el cual acumulo las dos cuartas partes de los valores. Coincide con la mediana.Q3: es el valor de variable hasta el cual acumulo las tres cuartas partes de los valores.

Mtodo de Clculo

1) Establecer el cuartil de orden (me indica la cantidad de valores que tengo queacumular)

QK =K . N

4

2) Buscar en la tabla de frecuencias absolutas acumuladas (Na) el intervalo quecontenga al cuartil de orden.

3) Aplicar la siguiente frmula:

Q K =

K N

4 - N

N W

a - 1

i

N(a-1): frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al intervalo al que pertenece el

cuartil de orden.

Ni: frecuencia absoluta simple del intervalo al que pertenece el cuartil de orden.w: amplitud del intervalo del cuartil.

RECORRIDO INTERCUARTIL:Es el intervalo que contiene el 50% de las observacionesalrededor de la mediana.

RI = Q3 - Q1

2.A.4. PERCENTILES (P)

Son los valores de variables que dividen a la poblacin en centsimos. Se grafican en el


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polgono de frecuencias acumuladas.

Ejemplo: P(20) es el valor de variable hasta el cual acumulo el 20% de los valores.

Mtodo de clculo:

1) Establecer el percentil de orden (me indica la cantidad de valores que tengo queacumular)

PK =K N

100

2) Buscar en la tabla de frecuencias absolutas acumuladas (Na) el intervalo quecontenga al percentil de orden.

3) Aplicar la siguiente frmula:

PKNi

a

=

K N

100 - N

1

N(a-1): frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al intervalo al que perteneceel percentil de orden.

Ni: frecuencia absoluta simple del intervalo al que pertenece el percentil de orden.w: amplitud del intervalo del percentil.

2.B. PROMEDIOS O MOMENTOS

Resultan de aplicar operadores algebraicos sobre la totalidad de los valores observados dela variable obtenindose un valor perteneciente a la escala de la variable.

2.B.1. MEDIA ARITMETICA (m)

Es el valor de variable resultante de la suma de todos los valores que puede tomar dichavariable afectados por las frecuencias, dividido por el total de datos observados.

m =x i

=x i Ni

para i = 1,2,.......,N

N N

Intervalos de clase:se toma como valor de xi el valor intermedio del intervalo de clase.

2.B.2 MEDIA GEOMETRICA (mg)

Es el valor de variable resultante de sacar la raz ensima del producto de todos losvalores de la variable afectados por las frecuencias.

( )mg n= xi xin Ni =

El logaritmo de la media geomtrica es igual a la media aritmtica de los logaritmos de la


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variable:

( ) ( )( )

log mg =log xi Ni

para i = 1,2,....,N

N

La media geomtricano est influenciada por valores extremos grandes, pero s se veafectada por valores extremos chicos y puede calcularse para valores de variablesnegativos.

La media geomtricase utiliza en la construccin de nmeros ndices.

2.B.3 MEDIA ARMNICA (ma)

Es el valor de variable resultante del cociente entre el nmero total de datos y la suma delas inversas de los valores de variables afectados por las frecuencias.

( ) ( )( )ma =N

1 / xi =

N

1 / xi Ni

La recproca de la media armnicaes la media aritmtica. Esta medida se utiliza parapromediar cocientes dnde el denominador es variable.

PROPIEDAD QUE CUMPLEN ESTOS PROMEDIOS

ma < mg < m

Recuerde esto ya que le permitir corregir resultados.

3. MEDIDAS DE VARIABILIDAD

Estas medidas informan acerca del grado de variabilidad de los datos observados o seaque dan idea de concentracin de dichos valores alrededor de un valor promedio.

3.1 DESVO MEDIO (DM)

Es el promedio aritmtico de las desviaciones cuadrticas respecto de la media aritmtica.Representa la variacin que existe entre los valores que puede tomar la variable y la media de

dicha variable.

( ) ( )( ) 2

2 2

2= =

x i - m

x i - m Ni

= m - m2N N

3.3. DESVO ESTNDAR - DESVO TPICO - DESVO ( )

Es la raz cuadrada de la varianza y mide la variacin absoluta de los datos.

=

2


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139

3.4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD(CV)

Es el cociente entre el desvo estndar y la media aritmtica. Permite establecer criteriosgenerales acerca de la homogeneidad de los datos o la representatividad de la media aritmtica.Es un valor neutro porque carece de unidad de medida.

( )CV = / m 100

Cuanto ms alto sea el valor del CV, ms heterogneos van a ser los datos, menosrepresentativa va a ser la media y menor va a ser la concentracin de los valores de variablealrededor de la media.

Ejemplos:

Si CV = 5% se puede decir que los datos son muy homogneos y que la media esrepresentativa de los valores que puede tomar la variable.

Si CV = 90%se puede decir que los datos son muy heterogneos y que la media es pocorepresentativa de los valores que puede tomar la variable.

4. MEDIDAS DE ORDEN SUPERIOR

Permiten comparar una serie de frecuencias con una distribucin normal.

4.1. ASIMETRA

Una funcin de distribucin de frecuencia es SIMTRICA cuando las frecuencias simplescorrespondientes a valores de variables equidistantes de la media son iguales:

( ) ( )f m - s = f m + s s R

Si la distribucin es SIMTRICA los momentos centrados de orden impar son nulosdebido a que las desviaciones positivas y negativas multiplicadas por sus respectivasfrecuencias se compensan.

Para el clculo de la asimetra vamos a utilizar la siguiente frmula:

AS = /33

Resultados Posibles:

As = 0 La distribucin es SIMTRICAme = mo = m

As > 0 La distribucin es ASIMTRICA POSITIVAm < moLas desviaciones positivas superan a las negativas.

As < 0 La distribucin es ASIMTRICA NEGATIVAm < mo


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140

Las desviaciones negativas superan a las positivas.

DEDUCCIN DE LA FRMULA DEL MOMENTO CENTRADO DE ORDEN TRES

( )( )[ ] 3

3

2

23 3

=

=

=

=

= + =

x i - n N

=1

N x i - 3xi m + 3 xim - m Ni=

=1

N x Ni -

1

N 3x mN +

1

N 3x m N -

1

N m N

m 3mx Ni

+ 3 mx N

- mN

N

m 3mm m m

3 2 2 3

i

3

i

2

i i i

3

i

3

i

2

2 1 i 3 i

3 2

3

3

N

N N

m m mm233+

=

m m

m 3mm + 2m3 2

3

4.2. CURTOSIS O ACHATAMIENTO

Es el apuntamiento de una distribucin comparada con el de una normal. Me permitecomparar la altura de la distribucin con la de una normal.

Para calcular vamos a utilizar la siguiente frmula:

K = - 344 /

Resultados posibles:

K = 0 La distribucin es MESOCURTICA(tiene la misma altura que una normal)K < 0 La distribucin es PLATICURTICA(tiene la menor altura que una normal)K > 0 La distribucin es LEPTOCURTICA(tiene la mayor altura que una normal)

DEDUCCIN DE LA FRMULA DEL MOMENTO CENTRADO DE ORDEN CUATRO

( )( )[ ] 4

4

4

4

=

= =

=

x m

Nx

N

i

i

N

1

N - 4 x m + 6 x m - 4x m + m N

=x N

-1

N

4x m N +1

N

6 x m N -1

N

4x m N +

1

N m N m m

x N

N + 6 m

x N

N

i

i

3

i

2 2

i

3 4

i

i

4

i

i

3

i i

2 2

i i

3

i

4

i 4

i

3

i 2 i

2

i

4 mx N

+ mN

N

= m - 4 m m + 6 m m - 4 m m + m

= m - 4m m + 6 m m - 4 m + m =

= m - 4m m + 6 m m - 3 m

3 i i 4 i

4

3

2

2

3 4

4 3

2

2

4 4

4 3

2

2

4

=N


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141

EJEMPLO

1) Media mN

=

x N

=102

20 = 5,1

i i

Xi: representa los valores intermedios de cada intervalo de clase (se exponen en la

columna1)

XiN

i: es el producto entre los valores de X

iy las frecuencias absolutas simples (los

resultados se exponen en la columna 2) 2) Varianza (Resolvemos por momentos)

( )2 12 2= =

=

m m = 31 - 5,1 4,99

mx N

=620

20= 31

X N : Los resultados se exponen en las columnas 3 y 4

2

2

2

i

i

12

i

N

3) Desvo

= 2,2338307902 = =4 99,

4) Coeficiente de variabilidad

CV = / m * 100 =2,233830790

* 100 = 43,80 %51,

La media no es muy representativa de los valores que puede tomar la variable.

DistanciaKm

Ni iX NiiX iX2

NiiX2 Na iX

3N iiX

3iX4

NiiX4

0 - 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2 - 4 5 3 15 9 45 7 27 135 81 405

4 - 6 4 3 20 25 100 11 125 500 625 2500

6 - 8 8 7 56 49 392 19 343 2744 2401 19208

8 - 10 1 9 9 81 81 20 729 729 6561 6561

Totales 20 / 102 / 620 / / 4110 / 28676

1 2 3 4 5 6 7 8 9


16/24

142

5) Mediana

a) Calculo la mediana de orden

me= N

2

=20

2

= 10

b) Busco en la columna de frecuencias absolutas acumuladas el intervalo que contiene alelemento N 10 (ver columna 5)

Intervalo [4, 6]c) Reemplazo en la frmula

meNi

= L i +N/ 2 - Na - 1

w = 4 + 10 - 742 = 5,5 km

De las 20 personas, 10 recorren menos de 5,5 km y las otras 10 correran mas.

6) Modo

a) Busco el intervalo modal (intervalo de clase con mxima Ni)

Intervalo [6,8]

b) Reemplazo la frmula

mo = +

= =

= =

L +d

d d W = 6 +

4

4 + 7 2 = 6,72 km

d N N 8 - 4 = 4

d N - N - N 8 - 1= 7

ii

1 2

1 i i - 1

2 i i i + 1

7) Cuartiles

Q1 Q4

1) Cuartil de orden

= N/4 = 20/4 = 5

1) Cuartil de orden

=

3N

4 =

3 20

4 = 15

2) Busco en columna 5 el

intervalo que contieneal individuo n 5

Int [2, 4]

2) Busco en columna 5 el

intervalo que contieneal individuo n 5

Int [6, 8]

3) Reemplazo en la frmula

QNi

1 = L +

N4

- N W

Q = 2 +5 - 2

5 2 = 3,2 km

i

a-1

1

La cuarta parte de la poblacinrecorre menos de 3,2 km

3) Reemplazo en la frmula

QNi

3 = L + 3

N4

- N W

Q = 6 +15 - 11

8 2 = 7 km

i

a-1

3

Las tres cuartas partes de la poblacinrecorre menos de 7 km


17/24

143

8) Ejemplo: Calcular los km recorridos por el 20% de las personas que menos km recorren

P20

a) Calculo el Percentil de orden

20 N

100 =

20 . 20

100 = 4

b) Busco el intervalo de clase que contiene al individuo n4 (colum. 5)

Int [2,4]

c) Reemplazo en la frmula:

PNR i i

= L +R

N

100 - N

W = 2 +4 - 2

5 2 = 2,8 Km

a - 1

9) ASIMETRA

a) Calculo el = m - 3mm + 2m3 2

3 (momento centrado de orden 3)

mNi

3=

x N =

4110

20 = 205,5

i

3

i

(ver columnas 7/N)

( )

( )( )

m

m m

2

1

3

3

31

51

=

= =

=

columna 4 / N

columna 2 / N

205,5 - 3 5,1 31 + 2 5,1 = - 3,498

,

b) Reemplazo en la frmula

( )AS = / = - 0,313811595 ASIMETRIA NEGATIVA m < m

3

0

=

3498 2233830793

, / ,

)


18/24

144

10) Curtosis

a) Calculo

( )

( ) ( )

4 2

4

3

2 4

= m - 4mm + 6m 3m

=x N

= 28676 / 20 = 1433,8 ver columnas 8 y 9

= 205,5

m = 31

m = 5,1

= 1433,8 - 4 205,5 5,1 + 6 5,1 31 - 3 5,1

= 49,8997

4 3

2 4

i

4

i

2

4

m

mN

m

=

b) Reemplazo en la frmula:

( )K = - 3 =

49,8997

2,23383079 - 3 = 2,003996 - 3 = - 0,996 4

4

4/

Kurtosis negativa < La distribucin es platicrtica (ms baja que una normal)

11) Grficos

Medidas Geomtricas

Ejemplos de Aplicacin

Problema 1) Un capital ha estado colocado. El total de perodos es n. Todos los perodosson iguales. Como definira Ud. la tasa promedio? Destaque en qu magnitud aparece la

HISTOGRAMA

1

2

3

4

5

8

0 2 4

m6 m010

X

OJIVA

FRECUENCIAACUMULADA

2

5

710

11

15

19

20

0 2 4 6 8 10me Q3Qi


19/24

145

media geomtrica.

La frmula hallada en libros es ( )M n= Co 1 + r

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

C

r r

r

n f f fk

n f f fk

f f fk

f f fk

0

1 2

1 2

1 2

1 2

1

1 1

1

1 + r = C 1 + r 1 + r + r

1 + r 1 + r Co = Capital inicial

+ r = 1 + r 1 + r ... 1 + r

1 + r 1 + r ... 1 + r - 1

0 1 2 k

2 k

1 2 k

1 2 k

...

...+ = +

=

( )ri

fi=

=

1 + r - 1k

i1

Media Armnica

Problema 2) Dos autos A y B recorren una distancia de 100 km. El auto A recorre 500 km auna velocidad de 10 km/h, y 500 km a 50 km/h. El auto B recorre todo el trayecto a 30 km/h:

a) Construir la tabla estadstica de distribucin de las velocidades para A.

b) Cul es la velocidad promedio del auto A?

a) Para auto A

media armnica

b)1 1 1

1000

500

H n

f

XA

i

i

=

=

= /

/ =

km

km

10

km

h

+500 km

50

km

h

60

1000

hs

km0,06

hs

km

perodo inters

f1 r1

f2 r2

fk rf

10 km/h

50 km/h

Total

500 km

500 km

1000 km

X (vel)i f (km)i


20/24

146

H = Velocidad promedio de A =1

0,06km

hs = 16,6667

km

hsA


1) La fabricacin de arandelas de distinto dimetro presenta la siguiente distribucin diaria

Dimetro en mm Cant. de Arandelas

a) Calcular la media aritmtica. a) R: 21,75 mmb) Calcular la mediana y el modo. b) R: 22 mm y 23,6 mmc) Calcular la desviacin tpica. c) R: 7,58 mm

2) Se ha confeccionado una tabla de los montos en dlares que adeudan varios clientes deuna casa de prstamo:

a) Hallar el modo y la mediana. a) R: 2312,5 $ y 2312,5 $

b) Calcular la media aritmtica y la varianza. b) R: 2333,33$ : 723,94

c) Calcular los cuartiles de primer y tercer orden. c) R: 1772,7 $ 2846,15 $d) Calcular la asimetra y la curtosis. d) R: As= 0,1864 k=-0,7474

Dimetro en mm Cant. deArandelas

[5;10) 500

[10;15) 1200

[15;20) 1500

[20;25) 2000

[24;30) 1800

[30;35) 600

[35;40) 400

MontoAdeudadoen (U$S)

Cant. declientes

1.000 - 1.500 9

1.500 - 2.000 11

2.000 - 2.500 16

2.500 - 3.000 13

3.000 - 3.500 7

3.500 - 4.000 4


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147

3) Los datos siguientes corresponden a la cantidad de habitaciones en 20 viviendas observadas:

2-3-2-4-3-3-2-3-4-2-6-5-3-3-2-4-2-3-3-2

a) Resumir la informacin en una tabla de frecuencias.

b) Calcular la media y la varianza.

c) Construir el polgono de frecuencias.

d) Dar el porcentaje de viviendas observadas con una cantidad x de habitaciones tal quex>3

e) Y con x < m + ?

Respuestas

a) b) m=3,05 c) ( ) 2 x = 1,1475 d) 25% e)90%

4) A continuacin se presenta la distribucin de frecuencias de las ventas totales diariasefectuadas por una empresa textil:

Respuestasa) m

o= 1376,92

me= 1763,51

Q1= 1161,11 Q2= 2604,65

x Ni

2 7

3 8

4 3

5 1

6 1

Ventas (en U$S) Nmerode Das

0 - 500 30

500 - 1.000 411.000 - 1.500 90

1.500 - 2.000 74

2.000 - 2.500 56

2.500 - 3.000 43


22/24

148

b) m = 1900

( ) 2 x = 1,017500

c) D2= 1050

D4= 1494,44

D9= 3361,11

d) As = 0,4019K = 0,5132

a) Determine analtica y grficamente el modo, la mediana y los cuartiles.b) Calcule la media aritmtica y la varianzac) Calcule los deciles de segundo, cuarto y noveno orden.d) Calcule la asimetra y la curtosis.

5) Se ha realizado una evaluacin parcial a 40 alumnos de un curso de estadstica y lascalificaciones fueron las siguientes:

7-4-6-8-7-9-2-6-3-9-3-2-5-1-4-5-6-8-9-10-6-8-7-8-6-4-4-5-5-7-7-3-8-9-9-4-4-3-9-7-

a) Formar la tabla de frecuencias relativas.

c) Calcular la media y varianza

b) Construir el polgono de frecuencias acumuladas.

d) Cul es el porcentaje de alumnos que obtuvieron una nota x tal que 6 x 8 ?

e) Y con m 2 x m + 2 ?

Respuestas

a) b) m=5,925 c) ( ) 2 x = 5,42 d) 40% e) 97,5%

x Ni

1 1

2 2

3 4

4 6

5 4

6 5

7 6

8 5

9 610 1


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ACTIVIDADES

Resuelva los siguientes casos reales:

Problema N1

La compaa x ha perfeccionado un producto en desarrollo especialmente para pases endesarrollo. La firma tiene la poltica de fabricar sus productos en los pases que se han elegidocomo mercados principales. Para hacer frente a los criterios de inversin de la firma, el productose introducir en los pases en 1 milln o ms de hogares con ingresos anuales de 400 o msdlares.Un empleado de la firma tiene por trabajo recolectar datos iniciales en 5 pases para determinarcules de ellos, si los hay, cumplen con los requisitos en cuestin. La investigacin inicialrevela los datos que a continuacin se detallan:

PAIS MEDIA MEDIANA MODO VARIANZA N DE HOGARES

A 500 137 125 5625 5 millonesB 435 159 147 2704 3,5 millonesC 403 402 398 100 2,7 millonesD 415 390 360 400 2 millonesE 417 410 408 324 1,9 millones

Los datos son en dlares

Qu pas o pases se deberan recomendar para hacer un anlisis ms detallado y por

qu?Problema N2

Se pide analizar la variabilidad de los precios de tres acciones diferentes para ayudar al gerentede un banco a efectuar una inversin. Las tres compaas estn en igual industria y se hanvisto afectadas por una reciente modificacin de las reglamentaciones fiscales, as las 16semanas anteriores son indicativas de la marcha futura. Las acciones han pagado dividendosparecidos hasta ahora y ese es el criterio principal del gerente, pero para evitar especulacionesste prefiere tambin acciones que no flucten mucho de precio. Se dan los precios semanalesal cierre de las 16 semanas anteriores.

Qu sera recomendable hacer y por qu? Cul de las tres acciones elegira?

ACCIN A ACCIN B ACCIN C90 101 94 97 98 96

100 106 97 106 93 105

110 98 112 94 115 94

105 99 96 97 102 101

98 97 106 99 82 102

103 102 113 110 103 105

94 9 92 96 101 98

102 98 95 96 100 105


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Problema N3

El director de personal de una firma va a tener que ver con las negociaciones contractualesprximas con el sindicato. Un estudio reciente de la fuerza laboral indica la existencia de tres

grupos distintos, cada uno con sus propias aspiraciones.

Los trabajadores ms jvenes (20 a 34 aos) mejores sueldosLos trabajadores de media edad (35 a 49 aos) vacacionesLos trabajadores mayores (50 a 64 aos) beneficios de jubilacin

La empresa no puede satisfacer las tres demandas. El nuevo asistente de personal acaba determinar un estudio de la edad de los trabajadores el cual indica que la edad promedio es de41,85 aos.Las edades se distribuyen as:

20-24 87525-29 112230-34 41435-39 33740-44 28745-49 36950-54 39255-59 91560-64 989

El asistente recomienda ms tiempo de vacaciones puesto que el trabajador medio tiene 41,85aos, y el estudio indica que los trabajadores de esta edad se interesan por el tiempo devacaciones.

Esta es una decisin correcta. Por qu?

estad_descript_jrgarnica_hervas.pdf

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