espacios booleanosrod/talks/summaries/boolean.pdfun ejemplo importante de espacio booleano es el...

Espacios BooleanosRodrigo Jesus Hernandez Gutierrez

[email protected]

Instituto de Matematicas

Universidad Nacional Autonoma de Mexico

Espacios Booleanos– p. 1/12

Recordemos...

Sea X un espacio topológico. Recordemos que X es...

Hausdorff si cualesquiera dos puntos de X se puedenseparar por abiertos,

compacto si X es homeomorfo a un cerrado de uncubo de Tychonoff [0, 1]κ,

disconexo si X se puede escribir como la unión de dosabiertos ajenos no vacíos.


Recordemos...

Sea X un espacio topológico. Recordemos que X es...

Hausdorff si cualesquiera dos puntos de X se puedenseparar por abiertos,

compacto si X es homeomorfo a un cerrado de uncubo de Tychonoff [0, 1]κ,

disconexo si X se puede escribir como la unión de dosabiertos ajenos no vacíos.

Definici on. Un espacio X es 0-dimensional si es Hausdorff y para cadax ∈ X y U abierto con x ∈ U , existe un abierto y cerrado V tal quex ∈ V ⊂ U .

Por ejemplo, los racionales, el conjunto de Cantor,cualquier espacio discreto; todos son 0-dimensionales.


Espacios Booleanos

Definici on. Un espacio Booleano es un espacio compacto, Hausdorff y0-dimensional.


Espacios Booleanos


Un ejemplo importante de espacio Booleano es el espaciode Cantor generalizado κ

2, que es el producto de κ copiasdel espacio discreto con dos puntos. En el caso κ = ω, setiene el conjunto de Cantor tradicional.


Espacios Booleanos


Un ejemplo importante de espacio Booleano es el espaciode Cantor generalizado κ

2, que es el producto de κ copiasdel espacio discreto con dos puntos. En el caso κ = ω, setiene el conjunto de Cantor tradicional.

Proposici on. Si X es un espacio 0-dimensional con w(X) ≤ κ,entonces X se puede encajar en κ

2.


¿Porqué se llaman Booleanos?

Definici on. Un algebra Booleana es un orden parcial (B,≤,∨,∧,′ ) talque existen el mayor 1, el menor 0, para cualesquiera a, b ∈ B, existenel supremo a ∨ b, el infimo a ∧ b y para cada a ∈ B, existe a′ ∈ B elcomplemento de a.

El ejemplo canónico de álgebra booleana es considerar(P(X),⊂,∪,∩, X − · · ·) para algún conjunto X.





Si X es un espacio topológico, consideramos CO(X) lacolección de cerrados y abiertos de X. Sucede que X esun subálgebra Booleana de P(X).





Si X es un espacio topológico, consideramos CO(X) lacolección de cerrados y abiertos de X. Sucede que X esun subálgebra Booleana de P(X).

Si X es 0-dimensional, entonces CO(X) es base para losabiertos (y para los cerrados) de X.


¿Se vale un regreso?

Pregunta. ¿Dada una algebra Booleana B, existe algun espaciotopologico X tal que CO(X) ≈ B?




Notemos que si X es 0-dimensional y x ∈ X, entoncesN(x) = {U ∈ CO(X) : x ∈ U} cumple las siguientespropiedades:

⋂N(x) = {x},

si U, V ∈ N(x), entonces U ∩ V ∈ N(x),

si U ∈ N(x) y V ∈ CO(X) es tal que U ⊂ V , entoncesV ∈ N(x).




Notemos que si X es 0-dimensional y x ∈ X, entoncesN(x) = {U ∈ CO(X) : x ∈ U} cumple las siguientespropiedades:

⋂N(x) = {x},

si U, V ∈ N(x), entonces U ∩ V ∈ N(x),

si U ∈ N(x) y V ∈ CO(X) es tal que U ⊂ V , entoncesV ∈ N(x).

Es decir, N(x) es un CO(X)-ultrafiltro fijo.


Ultrafiltros

Definici on. Si B es un algebra Booleana, un B-filtro es una coleccionF ⊂ B que cumple las siguientes condiciones:

1 ∈ F, 0 /∈ F,

si a, b ∈ F, entonces a ∧ b ∈ F,

si a ∈ F y b ∈ B es tal que a ≤ b, entonces b ∈ F.


Ultrafiltros


1 ∈ F, 0 /∈ F,



Definici on. Decimos que un B-filtro F es B-ultrafiltro si cada vez quea, b ∈ B cumplen a ∨ b ∈ F, entonces a ∈ F o b ∈ F. De maneraequivalente, un B-ultrafiltro es un B-filtro maximal.


Ultrafiltros


1 ∈ F, 0 /∈ F,



Definici on. Decimos que un B-filtro F es B-ultrafiltro si cada vez quea, b ∈ B cumplen a ∨ b ∈ F, entonces a ∈ F o b ∈ F. De maneraequivalente, un B-ultrafiltro es un B-filtro maximal.

En particular, en un espacio X, los conjuntos de la formaN(x) son CO(X)-ultrafiltros. Cualquier CO(X)-ultrafiltro Ucumple |

⋂U| ≤ 1. Si

⋂U = {x}, entonces U se llama fijo y

es fácil demostrar que U = N(x). Si X es compacto, todoultrafiltro es fijo.


El espacio de Stone de un BA

Dada un álgebra Booleana B, consideramos el conjuntoSt(B) de B-ultrafiltros y demosle la siguiente topología.Para a ∈ A, sea λ(a) = {U ∈ St(B) : a ∈ U}. Observemosque se cumplen:




St(B) = λ(1),




St(B) = λ(1),

∅ = λ(0),




St(B) = λ(1),

∅ = λ(0),

λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),




St(B) = λ(1),

∅ = λ(0),

λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),

λ(a ∨ b) = λ(a) ∪ λ(b),




St(B) = λ(1),

∅ = λ(0),

λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),

λ(a ∨ b) = λ(a) ∪ λ(b),

λ(a′) = St(B) − λ(a).




St(B) = λ(1),

∅ = λ(0),

λ(a ∧ b) = λ(a) ∩ λ(b),

λ(a ∨ b) = λ(a) ∪ λ(b),

λ(a′) = St(B) − λ(a).

Se puede demostrar que con la topología generada porestos conjuntos, St(B) es compacto, Hausdorff y0-dimensional.


Cosas que se saben...

Si X es un espacio discreto, CO(X) = P(X) ySt(CO(X)) = βX, la compactación de Stone-Cech deX.




Si X es un espacio sin puntos aislados, entoncesSt(CO(X)) tampoco tiene puntos ailados, observemosque estos pueden ser distintos espacios ya queSt(CO(X)) no es compacto.




Si X es un espacio sin puntos aislados, entoncesSt(CO(X)) tampoco tiene puntos ailados, observemosque estos pueden ser distintos espacios ya queSt(CO(X)) no es compacto.

Si I es un ideal de un álgebra booleana B, entoncesSt(B/I) es homeomorfo al subespacio cerrado

{U ∈ St(B) : U ∩ I = ∅},

por ejemplo, si κ es un cardinal con la topologíadiscreta, St(κ/[κ]<ω) es el residuo βκ − κ.



Si {Ai : i ∈ I} es una familia de álgebras Booleanas,entonces St(

∏{Ai : i ∈ I}) es homeomorfo a

β(⋃{St(Ai) : i ∈ I}).





β(⋃{St(Ai) : i ∈ I}).

Si A es un subálgebra de un álgebra Booleana B,entonces la función f : St(B) → St(A) definida porf(U) = {a ∈ A : a ∈ U} es continua y sobre.





β(⋃{St(Ai) : i ∈ I}).


Más en general, cualquier morfismo de álgebrasBooleanas f : A → B induce una función continuaf⋆ : St(B) → St(A).





β(⋃{St(Ai) : i ∈ I}).


Más en general, cualquier morfismo de álgebrasBooleanas f : A → B induce una función continuaf⋆ : St(B) → St(A).

Si Fκ es el álgebra Booleana libre sobre κ generadores,entonces St(Fκ) ≈ κ

2.


Dualidad de Stone

Teorema. La categorıa de algebras Booleanas BA es la opuesta a lade espacios Booleanos BS. En particular, existen funtoresF : BA → BS, G : BS → BA definidos de la siguiente manera.En objetos, F (B) = St(B) y G(X) = CO(X). Si f : A → B es unmorfismo en BA, g : X → Y es un morfismo en BS, definimosF (f) : St(B) → St(A) y G(g) : CO(Y ) → CO(X) por:

F (f)(U) = {a ∈ A : f(a) ∈ U},

G(g)(U) = g←[U ].

Funciones continuas inyectivas corresponden a morfismos suprayectivosde algebras (cocientes de algebras) y funciones continuas suprayectivascorresponden a morfismos inyectivos de algebras (subalgebras).


¿Para que sirve?

Si suponemos la hipótesis del continuo, βω es el únicoF -espacio Booleano de peso 2ω en el que todo Gδ novacío tiene interior no vacío.


¿Para que sirve?


En general, las propiedades topológicas de βω quedependen de la hipótesis del continuo se estudian delpunto de vista algebrista. (cita directa del artículo sobreβω de Jan van Mill)


¿Para que sirve?



Las álgebras Booleanas superatómicas estan encorrespondencia con los espacios Booleanos quetienen kernel perfecto vacío.


¿Para que sirve?



Las álgebras Booleanas superatómicas estan encorrespondencia con los espacios Booleanos quetienen kernel perfecto vacío.

Las cubiertas proyectivas en la categoría de espacioscompactos Hausdorff se construyen a través deespacios se Stone de álgebras Booleanas completas.


Bibliografía

“Handbook of Boolean Algebras”, Volumen 1, Editadopor J. Donald Monk, North-Holland Publishing Co.,Amsterdam, 1989.

“An Introduction to βω”, J. van Mill, en “Handbook ofset-theoretic topology”, 503–567, North-Holland,Amsterdam, 1984.


espacios booleanosrod/talks/summaries/boolean.pdfun ejemplo importante de espacio booleano es el...

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