escuela politÉcnica nacional · 2019. 4. 8. · por esta razó en l trabajo presente trat dae ser...
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE
INGENIERO ELÉCTRICO, ESPECIALIZACION POTENCIA
MAGDALENA CECILIA ORDOÑEZ LOPE?,
Octubre , 1981
-
CERTIFICO QUE EL PRESENTE TRABAJO
DE TESIS HA SIDO REALIZADO EN SU
TOTALIDAD POR LA SEÑORA MAGDALENA
CECILIA ORDOÑEZ LÓPEZ, BAJO MI
DIRECCIÓN,
: W G . MEWTÜR POI/EPA
-
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-
Í N D I C E
P a g . N o .
CAPITULO I
1.1. Alcance del tema 2
1.2. Introducción 4
1.3. Circuitos equivalentes 5
CAPITULO II
ARMÓNICAS DE ESPACIO
2.1. Origen y desarrollo en una Máquina Fun_
damental - 17
2.2. Desarrollo en Máquina Trifásica 23
2.3. Generalización 29
CAPITULO III
3.1. Origen y desarrollo en una Máquina Fun_
damental 35
3.2. Desarrollo en Máquinas Trifásicas 37
-
Pag.No
3.3. Generalización
CAPITULO IV
CRITERIO DE EXISTENCIA DE LAS ARMÓNICAS
4.1 En el Estator 44
4.2. En el Rotor 48
4.3. Armónicas de ranura y subarmónicas.... 53
CAPITULO V
EFECTOS DE LAS ARMÓNICAS
5.1. Torques sincrónicos 60
5.2. Torques asincrónicos 64
5.3. Reactancias de dispersión 66
CAPITULO VI
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1. Respecto de las f.m.m.s 78
6.2. Respecto de las f.e.m.s 79
6.3. Respecto de los torques 82
ANEXO "A" 94
ANEXO "B" 121
BIBLIOGRAFÍA , 127
-
1,1, JUSTIFICATIVO DEL TEMA
El estudio que a continuación se expone, es parte de
un esfuerzo de varias personas que pretende desarrollarse
en etapas, cuyo proposito es tener una visión completa del
fenómeno de las armónicas en las máquinas eléctricas '.
El avance de la tecnología y la ciencia en el mundo
se ha acelerado, desde la utilización de las computadoras
para la resolución de complejos problemas de ingeniería,pe
ro existen fenómenos como el de las armo aicas que por su
importancia en el desarrollo de nuevos diseños de máquinas
se han mantenido como secretos de producción, esto explica
la escasa bibliografía que hay sobre el tema, y el hecho
de que no existen publicaciones actualizadas sobre solucio_
nes computarizadas paraesteproblema.
Sinembargo, resulta una obligación de los técnicos y
profesionales ecuatorianos el tratar de desentrañar estos
"secretos", que de una forma u otra ayuden a desarrollar u
na tecnología propia.
Por esta razón el trabajo presente trata de ser cla-
ro, coherente, y de permitir una comprensión sobre las ar-
-
. - 3 .
monicas en máquinas sincrónicas de polos salientes mostran_
do las ecuaciones que rigen estos fenómenos;tomando como
punto de partida el conocimiento general de este tipo de
máquinas.
La producción de torques parásitos como consecuencia
de la presencia de las armónicas, es parte del estudio ya
que es este efecto uno de los más importantes en el funcio_
namiento de estas máquinas.
Por ultimo se ha tratado de compendiar conclusiones
a las cuales ha conducido este estudio, tratando de suge -
rir soluciones a los problemas que ocasionan las armónicas
estudiadas.
-
LISTADO DE VARIABLES
b - Valor instantáneo de la f.m.m. de sentido ne-
gativo
bu Valor instantáneo de la armónica de orden u 3
de la distribución de flujo del rotor
Bu D Amplitud de la armónica amortiguada de distri-
bución de flujo del rotor5 en lineas por pulga-
da cuadrada
Du1 Factor de amortiguamiento de la armónica de or-
den u3 de flujo del rotor
f Valor instantáneo de la f.m.m. de sentido posi-
tivo
•í-i ' Frecuencia de linea
g Espesor del estrehierro, pulgadas
I« Corriente en el secundario
I y Corriente en el secundario referida al estator
Ib Corriente de sentido negativo del estator
Id Corriente del eje directo
If Corriente de sentido positivo
• Iq Corriente de eje en cuadratura
Ist Corriente de arranque3 por unidad
I^-u Corriente de sentido negativo de devanado deDb °amortiguamiento
Dd Corriente de eje directo del devanado de amor-
tiguamiento
IDf Corriente de sentido positivo de devadado de
amortiguamiento
TDq Corriente de eje en cuadratura de devanado de
amortiguamiento
I ' 5f Corriente de sentido positivo de las barras del
rotor debida a la armónica del estator de or-
-
2 / Listado de variables
I • •lu Corriente inducida en el devanado del esta-
tor por la armónica del rotor de orden u
k2 Cualquier entero positivo o negativo,, inclui-
do cero
kc Factor de cárter
kdp kd x kp 3 factor de arrollamiento
JÜe Longitud efectiva del núcleo
1 Número de fases del estator
2 Número dé fases del rotor
1 Número de vueltas en serie por fase, del es-
tator
2 Número de vueltas en serie por fase, del ro-
tor
Np Número de barras de amortiguación por polo
Np1 1807 s°
p ' Número de pares de polos
^2 . Número de ranuras del rotor de jaula completa
r1 Resistencia del devanado, del estator
rf Resistencia del devanado de campo
Resistencia de «
amortiguamiento
Resistencia de <
de amortiguamiento
' Dd Resistencia de eje directo1 del devanado de
r • •Dq Resistencia de eje en cuadratura del devanado
-
3 / Listado de variables
S Deslizamiento del rotor respecto de la onda
principal
Su1 Velocidad de la armónica del rotor de orden
u con respecto al estator
T Torque, por
V1 Voltaj e primario por fase
XL Abscisa fijada en el estator
X1 Reactancia de dispersión del devanado del es-
tator
Xad Reactancia de reacción de armadura de:eje di-
recto
Xaq Reactancia de reacción de-armadura de eje en
cuadratura
•Xf -Reactancia de dispersión del devanado de campo
Xmu' Reactancia de flujo principal de la armónica
del rotor de orden u
Xm( '=p) Reactancia de flujo principal • •
XDq Reactancia de dispersión de eje en cuadratura
del devanado de amortiguamiento
XDd Reactancia de dispersión de eje directo del de-
vanado de amortiguamiento
Zad Impedancia de flujo principal de eje directo
Zaq Impedancia de fluj o principal de ej e en cua-
dratura
Zf Impedancia de devanado de campo
ZDd Impedancia de eje directo del devanado de amor-
tiguamiento
-
4- / Listado de variables
ZDq =. Impedancia de eje en cuadratura del devanado
de amortiguamiento
Ángulo entre la barra en consideración y el
eje directo
u ^ Orden de la armónica del rotor respecto a la
onda principal (u = 1)
u'=pu Orden de la armónica del rotor respecto de la
onda de dos polos
V = • Orden de la armónica del estator respecto de
la onda principal (V=l)
V'=p Orden de la armónica del estator respecto de
la onda de dos polos
Paso polar
v = 2Tíf
-
. 4
1.2, INTRODUCCIÓN
Las máquinas sincrónicas ocupan dentro de las máqui-
nas eléctricas un muy importante lugar, debido a su estru£
tura, se las prefiere como generadores de corriente alter-
na desde en plantas muy pequeñas hasta las gigantescas ge_
neradoras hidráulicas, de allí el interés de conocer el
porqué y el como de su funcionamiento.
Dentro de las máquinas sincrónicas, las de polos sa-
lientes son el tipo más generalizado, y de ellas las trif JL
sicas son las que se encuentran regularmente, de allí que
se haya particularizado en el estudio de estas máquinas
que forman parte de nuestra vida cotidiana sea directa o
indirectamente.
La estructuración de la máquina es muy variada, pe-
ro se ha tratado siempre de tomar el caso más general, por
ejemplo el análisis se ha hecho considerando que los polos
salientes se encuentran en el rotor; y que las propiedades
constructivas son las mismas de un tipo común, excluyendo
a propósito los casos especiales que sin duda existen.
-
1,3, CIRCUITOS EQUIVALENTES
Los problemas de la obtención de circuitos equivalen^
tes en una máquina sincrónica son los siguientes:
a) El hecho de que existen partes fijas y partes móvi -
les .
b) Las variaciones de entrehierro por efecto de los po-
los salientes.
c) La presencia de devanados de amortiguamiento.
d) La doble alimentación que permite esta máquina.
A los anteriores habrán que sumarse para el análisis
de armónicas los siguientes problemas:
a) La variación de tiempo y espacio.
b) El deslizamiento, que aparece en el movimiento rela_
tivo de armónicas.
De lo dicho puede deducirse cuan complej a puede ser
la -tarea de tener circuitos equivalentes para este tipo de
máquina.
Por tanto no se pretenderá hacer un desarrollo mate-
-
. 6 .
mático y lógico del funcionamiento de las máquinas sincró-
nicas, sino mas bien dar una referencia clara de las ecua-
ciones necesarias para la resolución de los problemas de
armónicas.
Premisas:
a) Los conductores están distribuidos en la armadura en
cada fase de manera de lograr una onda lo más sinu -
soidal posible,
b) Los efectos de saturación e histeresis son desprecia_
bles. (Sabemos que esta aseveración no es exacta pues
la saturación existe en cierto grado prácticamente
en todas las máquinas comerciales, por esta razón los
resultados deberán ser aplicados con cierta discrimi-
nación) .
Valores de Referencia:
Torque unitario: se tomará el torque nominal de una maquina
trifásica.
f.m.m. unitaria: la f.m.m. producida por el valor de la on-
da cuadrada equivalente debida a la reac -
-
ción de armadura, y por lo tanto a la co-
rriente nominal trifásica.
P 3NX/2I Afmm = Ampere - vueltas
Flujo unitario: es la onda fundamental de flujo de campo
nominal que girando a velocidad sincrónica
genera un voltaje unitario,E
Y/7 pir. - f luj o unitario =
2 TTfNltT
N = espiras efectivas
p = pares de polos
Los valores unitarios de corriente, voltaj e e impe -
dancia son los usuales.
Se hace necesario definir el deslizamiento, debido a
que este fenómeno se hace presente a pesar de que en máqui^
ñas sincrónicas no se lo considera, debido a que las velo-
cidades de las armónicas introducen este criterio.
Sea S el deslizamiento en p.u.; la velocidad polar es
p.y= por unidad
-
. 9
entonces :
V (1"s') C1-1)
La corriente que gira en el mismo sentido de rotación
que los polos tendrá una velocidad:
VM= Cl-s) + s = 1 - s + s= l (1-2)
y para efecto de posteriores referencias se denominará ve-
locidad positiva, y se entenderá sistema positivo.
La corriente que gira en sentido contrario tendrá una
velocidad :
vw-(l-s) - s = 1 - 2s
y en adelante se entenderá para el sistema negativo.
En general el deslizamiento se define por:
-V^ ¡".-¿̂ tl-33s l
y en particular para las armónicas se define como:
n n Vr orden de laV S V" n ; nsv= A- 5 armónica ^^
nsv v
de la ecuación anterior se concluye que:
-
10
svf = 1 - v(l- s) O)
o' bien para el sistema negativo
De este modo tengase presente que las frecuencias se-
rán :
� " S?i para la fundamental
í 2 = ^\jfi Para ̂ as armónicas
Donde los subíndices 2 y 1 indican el rotor y el es-
tator respectivamente.
Equivalentes: if = corriente de sen t ido pos i l ivode se-ntido nega t ivo
Las relaciones de corrientes son
i f = ¿ (id + iq) (+0 Cl-7)
ib - y (id - iq) (-) Cl"8)
donde id = componente de corriente de armadura de ej e directo
iq = componente de corriente de armadura de eje en cua-
dratura .
-
. 11 .
Para la obtención de los ejes de voltaje se tomará a
las corrientes como pulsantes en los dos ejes del rotor.
r. Z , + Z Z , - Z= |/£ ad , aq + i. ad . aq i a) ci-9)
Z , - Z Z , + Zad aq . . ad ;b 2
ef .e b son los voltajes de s en t i do positivo y negat ivo, respectiva mcn te
Z , y Z son las impedancias de reacción de armadura másad ' aq r
corrientemente conocidas como X , . X . son ahora los vaload J aq1 —
res completos de impedancias y no solo pas reactancias
El voltaje total del mismo sentido será:
er = ef + es
G = irr( r1 + j xa ) caída de tensión debida a ir en
el estator mientras que en sentido contrario el voltaj e de-
berá ser :
V " ° = eb
. ;Desde este análisis se concluye (Ref . LINVILLE)
= Zad
ri r ri» 1 ~ ¿ """ 7̂ "̂ T "** T -2C n = ^_ o i-.- -i - r -,q aq 2s -1 J l q L 2 s - l 1
-
. 12 .
de lo cual se tiene que
V + Vzd zq l + z d l z q
7 i _ 7 i" J ^ J
Í = - - ~ - r (1-12)b
Zd Zq '
para S = y se produce una indeterminación en los impedan-
¿ias Zj1 y Z i pero para Z,\ Z \ • n
if = ib = O7 + 7¿ ¿
Dadas las ecuaciones 1-11 y 1-12 se prosigue por la in_
treducción de las corrientes de eje directo y eje en cuadra-
tura así:
2 Z iI, = If + L = 3 (1-13)
7 7 , 4 - 7 , 7¿.i -, ¿.i i • ¿j -, \d q d q
- 1 = 5 (1-14)
e introduciendo las equivalencias correspondientes a las im-
-
. 13 .
pedancias : Z . = jx ,; Z = i Xad J adj aq J £
í zf = 1T + jxf (1-15)
ZDq = rDq/S + ' XDq
7 + 7ad £
r-i -iU-1
Las corrientes del devanado de Damper referidas al estator
son :
Z 4TT = T afDd ^d , "
Para el devanado de campo en circuito abierto
T
Dd d
2 A l¿ C^ , + XT,,)+ jy^./s ,T T ad _ d I ̂ ad _ Dd-^ J ' Dd J ad ri - Q
Z + ZZad ZDd
y las corrientes de los ej es en cuadratura para el devanado
de Damper referidas al estator son:
[ = I —=^Dq q +
aq Dq
-
. 14
Xaq qx - . y
v 'Dq' J ' aq Dq-7
De la primera equivalencia de las ecuaciones 1-19 y 1-20 se
obtiene:
-ya1, £ ~ IDf 2 ( IDd
T , = T = r T - Tva1 , b Db 2 L 1Dd -1 Dq
Calculando en función de las impedancias
X = T - r X - , + X ) tendríamos Xm..im 2 ^ a d aq^ v
y además :
i i • ' A2 vava oi -
y entonces las ecuaciones del rotor serán:
va
2 2X
-
. 15
T2va1= ; ' ' sval, f
para el sentido negativo:
mva1
svaí,
donde:
va1 , b
Los diagramas de circuitos equivalentes usados son
FIG.7-7. CIRCUITO EQUIl/ALEWTE FÁRA EL EJE
DIRECTO
-
. 15
'Dq
F I G . 1 - 2 . C I R C U I T O E Q U I l / A L E W T E P A R A E L E J E
EN CUADRATURA
* *
-
C A P I T U L O II
A R M Ó N I C A S DE E S P A C I O
-
2,1, ARMÓNICAS DE ESPACIO
NOCIONES
Se parte del sencillo estudio que se realiza sobre u
na máquina monofásica que tiene una sola bobina de n espic -
ras en el estator, lo cual significa que q = 1. .El número
de polos es dos, es decir que el flujo (visto desde el ro-
tor) entra una vez, y sale una vez. Se asume que la co-
rriente que circula por la bobina tiene un valor i.
FIG. 2-1
Aplicando la ley de Ampere por el circuito así forma_
do, y sabiendo que n i es la misma en todas las líneas de
-
. 18
fuerza, entonces:
= NI = ni (2-1)
Se representa ahora esta función en el eje de ángulos
en el entrehierro, y se obtiene una onda cuadrada, de ampli
tud: n i y período 2 T. Por comodidad, y además para que
quede el fluj o entrante como positivo y el fluj o saliente
como negativo, se gráfica a esta onda como en la figura No.\2 ahora la parte positiva de la onda es igual a n i/2
al igual que la parte negativa.
V
La densidad de flujo B sería igual a: B = UQ uH
; donde:
u0 ~ permeabilidad del vacío
^. u ~ permeabilidad relativa del material
H = intensidad de campot
Las condiciones para el análisis son:
a) El valor de la permeabilidad muy alta del hierro ;
b) u = 1 para el aire;
c) I está en amperios
d) H está en amperios vuelta/cm.
-
19
e) B está en gausses .
-/2 4. V ~fr nclsenw( t\f--
-7 r-i i
Curva de la fmm del arrollamiento monofásico de dos polos,mostrada con la fundamental y dos armónicas únicamente
FTG. 2-2
ahora u0 = 0, 4ir se obtiene que: (2-2)
B = 0,4-rry H
De esta ecuación se obtiene que la integral de línea
está determinada en definitiva por el entrehierro, 7 tiene
un valor de:
- H (2-3)
-
. 20
reemplazo Ec. 1-3 en Ec. 1-1 y se obtiene:
Sabiendo del entrehierro g, que su densidad de flujo
es Bg
Bg = 0,4 irHg (2-5)
reemplazo ahora la Ec. 1-5 en la Ec. 2-4 y obtengo:
n i n i .,Bg = 0,4 ir -̂ - = 0,4-ir . -|- .- i- (2-6)
2g
que representa la densidad de f luj o de la máquina en fun -
ción del número de espiras , y del entrehierro . .
Aplico la serie de Fourier a la curva representada
en la fig. 2-2 haciendo las siguientes consideraciones :
Período +_ T = 2 T .
Amplitud de onda = ni/2
La función tiene simetría de media onda.
La función consta de términos de función seno sola -
mente
El desarrollo correspondiente (obsérvese Anexo B-2) da
-
. 21
como resultado la ecuación siguiente:
t TT 1eos — x - Y cos 57T
+ ±- cos ~ - . . J (2 -7 )
De la observación sencilla de la ecuación última se
obtiene los primeros resultados para las armónicas:
a) Sólo existen armónicas impares para esta disposición
de bobinas.
b) La amplitud de las armónicas es — vece's la ampli-
tud de la fundamental.
De la ecuación 1-7 se obtiene que la fundamental tie-
ne un valor:
Tífrn,(x) = 0,9 n i sen wt cos — x (2-8)11J c —
el subíndice 1 indica que se trata de la fundamental. Anali_
zando esta ecuación se puede ver que si fijamos un instante
de tiempo dado t, la f.m.m, variará con la función coseno
del espacio, mientras que para un punto fijo en el espacio,
x,'variarán tanto la corriente como la densidad de flujo,
B. De la manera siguiente:
-
. 22
imax —*• B, fmm, máximas
i cambia de dirección +• B, fmm, cambian de dirección
i, mínima H3, fmm, mínima.
este comportamiento señala a esta onda como una onda esta -
cionaria fija en el espacio, pero cuya magnitud varía con
el tiempo, al igual que la dirección.
Se aplica la relación trigonométrica
1 1sen a eos b = j- sen ( a-b) + y sen (a+b) (2-9)
a la ecuación 1-8 como sigue:
ff , (x) - 0,9 - >r ncl [sen (wt - ~ x) + sen (wt + -~ x) ]
= 0,45 n I [ sen (wt - — x) + sen (wt + — x)]
ó f r-i) (x) =0,45 n I sen (wt - —x)
+ 0,45 n I sen (wt + — x) (2-10)
Esta ecuación está compuesta de dos términos, la cual
analizada significa que es una onda constituida por la suma
de dos ondas cuyas amplitudes son iguales, pero que tienen
signo contrario. Esta ya no es la ecuación de una onda es-
tacionaria, sino es la suma de dos ondas viajeras, cuyas di_
recciones de propagación son opuestas.
-
23
2,2, ECUACIONES PARA LA MAQUINA TRIFÁSICA
Para proseguir con el análisis se toma a partit de
este punto la máquina trifásica por ser la máquina más fre_
cuente, y para introducirnos a la generalización de las e-
cuaciones.
Las tres bobinas están distribuidas en el estator si-
metricamene como se ve en la fig, 2-3 es/decir están desplsi
zadas 120 grados eléctricos, y están alimentadas por tres
corrientes de igual amplitud y forma senoidal, pero defasa-
das en el tiempo 120 grados. "La ecuación para la bobina No.
1 será como en la Ecuación 2-8.
FIG. 2-3
(x) = 0,9 n I sen eos -x (2-11)
-
. 24 .
mientras que las de las otras bobinas estarán desplazadas
120 grados:
fi;[(x) = 0,9 ncl sen (wt - 120) eos (-~x - 120) (2-12)
fli;[(x) = 0,9 ncl sen (wt - 240) eos (—x - 240) (2-13)
La onda resultante que se obtendría, y que es igual a
la suma de las tres ecuaciones anteriores se obtiene :
£ - f j ( x ) + fjr(x) + f T T - r W = ° > 9 ncí [Sen Wt COS ^~ X
+ sen(wt-120) eos ( —x - 120) + sen(wt-240) eos— x-240
Introduzco la identidad trigonométrica de la ee. 1-9
f = 0,9 n I • i ísen (wt - ~ x) + sen (wt + 7- x)J, L. ¿- L L 1
sen (wt-120 + — x - 120) sen (wt-120 -^— x + 120)
sen(wt-240 +— x-240) +sen (wt*240-*—- x+ 240)]
£T = 0,9 ncl . j [sen (wt~ x) + sen (wt+ ^— x)
+ sen (wt + • — ̂x - 240) sen (wt- — x) + sen(wt +31— x -480)T T T
+ sen (wt - — - x) 1T J
-
. 25 .
£T = 0,9 n i - \3 sen (wt - — x) + sen (wt + — x)I C Z L T T
+ sen (wt - í— x - 240) + sen (wt + ~- x - 480)] (1-14)
Los tres últimos términos de la ec. 1-14 son un sistema
equilibrado cuya resultante es igual a cero , por lo tanto se
obtiene que :
1 Tí= 0,9 • y n I 3 s e n (wt - — x)
7Tf_ =0.45 . 3n I sen (wt- —x)T c T '
la última ecuación indica una onda función del espacio, es la
ecuación de una onda viajera y cuya amplitud tiene un valor:
A = 1,35 n i con lo cual la nueva ecuación será:
fT(x) = 1,35 n I sen (wt - —x) (2-15)
Si nos colocamos imaginariamente en el rotor veremos a
esta onda como un campo magnetomotriz, de amplitud constante
viajando en el entrehierro. Este es el momento para dej ar
establecida la diferencia entre la ecuación de fmm. encentra^
da para la máquina monofásica y la ecuación de fmm., encon -
trada para la máquina trifásica.
- La ec. 1-8 es una fmm. alterna
V-001958
-
. 26 .
es una onda estacionaria fija en el espacio,
cuya magnitud es variable ,
es sustituible por dos fmms., giratorias de direccio-
nes opuestas.
- La ec. 1-15 es una fmm. giratoria
es una onda viajera
tiene amplitud constante.
De todo lo cual se establece que el campo magnético g:L_
ratorio que se obtiene en las máquinas sincrónicas, nace a
partir de la rotación de la bobina de campo que está alimen"i"
tada por corriente continua, tanto en la máquina de induc
ción así como en la máquina sincrónica se origina un campo
magnético cu/as características son:
Máquina de inducción: campo magnético giratorio produ-
cido por bobinas fijas.
Corriente de alimentación alterna.
Máquina Sincrónica: campo magnético giratorio produci-
do por una bobina giratoria.
Corriente de alimentación continua.
Las ecuaciones de las armónicas en la máquina trifási-
ca serían:
-
. 27
£ T = 0,9 n I sen wt eos — x - -=• eos — x +ai c L T ó T
1 5ir 1 7ir•=- eos — x ~ y eos — x + . . .
f II = 0 , 9 n i sen (wt - 120) f c o s ( ^ - x -120) = ~a c ** ^ *i
eos (4f x - 360) + ^ eos (^p. x - 5 . 120) x
- y eos ( — x - 7 x 120) x + . . .
£ T T T = 0,9 n I sen ( w t - 2 4 0 ) [ eos (-^- x - 2 4 0 ) - ^(eosaj .JLJL C ^ o \ x -3 . 240) x + ~ cos(4^ x - 5 . 240)x
- ~ eos (7r x - 7 . 240)17 ~T" J
ya que el espaciamiento entre bobinas de cada fase es:
120 grados para la fundamental
3 - 120 grados para la tercera armónica
5 .. 120 grados para la quinta armónica, y así sucesi^
vamente.
La-suma de las ecuaciones de cada armónica dará la ar_
monica resultante en cada caso.
Se realiza en primer lugar el sumatorio de la tercera ar_
-
momea:
E f 3 00 s - 0,9 -• 3* n I [sen wt eos ^L + sen (wt- 3.120)
eos (̂ x - 3.120) + sen (wt-3 . 240) eos
,3irx - 3.240
= sen a eos b = y [5en (a + b) + sen (a - b ) |
£ 3 C x ) = - 0 , 9 . 1. . 1 n i [sen (wt + ̂ ) + sen (wt ~) +
2 TT "̂ TTsen (wt + — - 480) + sen (wt - — + 240) sen
(wt + ̂ ~ + 960) + sen (wt - — + 480
Son dos sistemas equilibrados de tres ventores eada uno e
iguales a O.
(x) = -0,9 , 1 - I n Iv(o) = O (2-16)3 2 c
Lo cual significa que no se generan fmm de componentes de
tercera armónica en la máquina trifásica; un análisis si
lar indica que ninguno de los múltiplos de esta onda exis-
ten en esta máquina.
Realizados los sumatorios para la quinta y séptima ar_*
mónicas se obtiene:
-
29
= 1 . 1,35 n i sen (wt + STT x) [2-171r- C "̂5 T
f 7 ( x ) = !_ . 1,35 n i sen (wt - 7n x) (2-18)/ -~< *_7 T
2,3, ECUACIÓN GENERAL PARA LA MAQUINA SINCRÓNICA
GENERALIZACIÓN
Las ecuaciones 2-8 y 2-15 fueron deducidas baj o la pre_
misa que se tenía un grupo bobina por polo por fase (q=l) en
adelante trataremos de introducir una ampliación, cual es pa_
ra q mayor que uno para este caso basta hacer la suma geo-
métrica de las q fmms. de las bobinas sencillas, debido a
que tanto las ecuaciones 2-8 como 2-15 denotan funciones senoi^
dales y por tanto se las puede manejar como vectores, así la
fmm. resultante será la fmm total de las fmms individuales de
cada bobina sencilla.
La diferencia entre una máquina con q = 1, y con q>l
constituye la deformación que sufre la onda por efecto de la
distribución de las bobinas, efecto que se refleja en la apa-
rición del factor de distribución (qkd), y aun más si el paso
-
. 30 .
de la bobina no es un paso completo, sino fraccionario tam
bien aparecerá el factor de paso kp.
La relación general en cuanto a la amplitud de la on
da de la ecuación general, se obtiene fácilmente de las e-
cuaciones de la máquina monofásica a la trifásica:
1,35 n iC , r m # ,-. -z t k r: , • m ra ff • t - a coc rJ- j O -i j J l l " X c L ^ C C )
0 , 9 ncl
que es precisamente la relación del número de
fases sobre dos, lo cual quiere decir que además las fases
también tienen una ingerencia directa sobre el resultado
final de la fmm.
Ya puede escribir por tanto la ecuación de la ampli-
tud de la fuerza magnetomotriz:
F = 0,9. m . nr q k, k I . (2-19]V "o"
-
. 31 .
= 0,9. m nc N
2
Fv = 0,45 m N kd k I (2-21)P l
Hasta aquí se ha introducido una generalización sobre
la ecuación de la fundamental. Ahora se tratará de prose -
guir el análisis para las armónicas, por tanto tomo la ecua
ción 2-7
[-] -7 — -1 _ _ t - ' l
" Tcos ll x + l eos 5 - x
5
\s 7 - x + ••• 17 T J
aisladamente cada termino son las ecuaciones de las armóni-
cas :que para el caso son 4e ondas estacionarias conocidas
como "fluj os armónicos" estacionarios.
El termino correspondiente a la tercera armónica es :
f3(x) - -0,9 . j ncl sen wt cos ZL x (2-21)
que para la armónica de orden V sería:
"V 1£ s va = Fsv sen wt ees \ 7̂ ^ (2-23)
Fsy amplitud de la armónica de orden v
Se le puede descomponer como se hiciera antes (en la ecua-
ción 2-8) en dos integrantes girando en direcciones opuestas
-
32
= - 0 , 9 . i . ^- ncl [sen (wt - ¿1 x) + s
"^Tí(wt + ¿- x
en
tomando en cuenta que la ecuación 2-21 ya tenía signo con-
trario que la fundamental , se concluye que :
Cada armónica se puede descomponer en dos ondas que via-
j an en sentidos contrarios , y que tienen signo propio . Así
mientras la tercera armónica se opone a la fundamental, la
quinta armónica concuerda con ella, y sus descomposiciones
serán similares variando únicamente en cuanto a los signos.
Por inducción del estudio hecho para la tercera armó-
nica, y además introduciendo las particularidades de la má-
quina sincrónica de polos salientes se puede generalizar
las ecuaciones de la siguiente manera:
En cuanto a las amplitudes, se tendrán las siguientes
ecuaciones :
If m^ph C+) C 2 - 2 4 )TT V
FV T
-
. 33 .
y las ecuaciones completas serían para el estator.
fvi= Fvi sen (wt - -^ Xi ) ( + ) (2-26)
sen[(2s-l) wt + — Xi] (-) (2-27)q T J
Para el rotor la amplitud sería:
TI V I T . . 1 o \ . _ i. C1ULJ. ,,
sendonde: Kv'u' 1 2
sen ( u1 -v1 ) TÍP m^
donde m2 =
= N2 "p
y las ecuaciones totales son:
f u1 = F u 1 K i i sen ( S ( 1 wt - — — x9 ) (2 -30 )V U V V T ^ ^ ^ J
En estas ecuaciones se han introducido los factoresi !
de paso y distribución cuya explicación se encuentra en el
Anexo A.
-
C A P I T U L O I I I
A R M Ó N I C A S DE TIEMPO
-
3,1, ORIGEN Y DESARROLLO EN UNA MAQUINA FUNDAMENTAL
Considérese un alternador elemental como el de la
figura (3-1) que consiste de una bobina con n espiras
que gira a una velocidad uniforme ̂ y que el campo mag_
nético giratorio que ofrecen los dos polos^son uniformes 3
condición esta que implica que la densidad de flujo en el
plano diametral coincidente con la bobina en el instante
t = 0; es igual en todos sus puntos, que expresado en fór_
muía es :
Bm - (3-1)
donde: Bm - es la densidad máxima de flujo
D = es el diámetro de la bobina
I = es la longitud total axial
A/ espiras
Fig. 3-1 Alternador elemental
¿"(componente radial)
Análisis del alternador elemental
F T G . 3-J
-
. 36 .
para un momento t = t la bobina formará respecto de su po-
sición inicial un ángulo 9 y ahora el flujo que atraviesa
la bobina es :
$̂ = eos 9 (3-2)
cuyo valor de fuerza electromotriz es entonces :
sen 9 d 9 (3-3)dt dt
De la ecuación 3-3, el término d9 expresa la velocidad dedt
rotación de la bobina, la cual expresada en función de la
frecuencia se s u s t i t u y e ;
e = 2 TT/£ N sen wt ' (3-4)
el valor eficaz e = VTTr -£ N $sen wt y la amplitud es Vy E
e = VT E sen wt (3-5)
Cualquiera que sea la distribución espacial de la den-
sidad del flujo, que es función del ángulo espacial 9; la va_
riación en el tiempo de la fem por conductor tiene la misma
forma, puesto que es función del tiempo t, la incidencia de
tiempo y espacio se la realiza para
T _ 2ir1 " w
De la forma obtenida para la f.e.m. se observa una vez
más 1.a presencia de armónicas cuya ecuación vendría dada por
-
. 37 .
la siguiente expresión:
e = VT En Sen (v wt - — v) (3-6)
3,2, DESARROLLO EN MAQUINAS TRIFÁSICAS
Como se deduce del análisis sobre fmm en máquinas tr_i_
fásicas en el capítulo segundo, en este tipo de máquinas se
anulan los fmms armónicas de tercer orden> así como todos sus
múltiplos lo cual señala concluyentemente que si estas orde-
nes de armónicas de fem aparecen en una máquina trifásica ,
no deberán su existencia a la presencia de las primeras, si-
no que necesariamente tendrán otro origen.
Con este precedente, analizaremos la primera armónica
que aparece en una máquina trifásica y que es la de tercer
orden.
fase 1
-
E3 sen 3wt fase 1
E3 sen (3wt- 350° ) ̂ E^ sen 3wt fase 2
e3 = VT E* sen (3wt- 720°) = V7 E3sen 3wt fase 3
de lo cual se deduce que las componentes de las tres fases
están en fase, al contrario de la fundamental que componía
un sistema equilibrado, una vez más para la armónica de or
den n .
7-rre = VT En sen ( vw.t - — v) (3-7)
3,3, GENERALIZACIÓN
La máquina de la figura 3-2 es una generalización del
alternador unipolar de la fig. 3-1. Estructuralmente dif ie_
ren principalmente en el movimiento relativo entre la arma-
dura del inducido y el campo magnético. E-s evidente que la
f.ejn. inducida en una máquina bipolar pasará por un ciclo com_
pleto, mientras que la máquina multipolar lo hará en el án^
guio subtendido para dos pasos polares, es decir que la fem
será p veces la de la máquina bipolar.
e = 2 irf E-) sen wt.
De lo examinado se observa que la fem inducida varía
-
38 A.
Fig.3-2. Al ternadormult ipolar de campo g¡-rbtorio.
F I G . 3 -2 -
-
. 39 .
con respecto al tiempo, como antes la fmm se distribuye en
el espacio.
La fem total es para cualquier instante la suma
algeb'raica de todas las fems instantáneas de los conducto-
res en serie que dependerá de:
a) La distribución de la densidad de Mujo en el en -
trehierro.
b) El número de conductores en serie y la forma en que
están dispuestos en el inducido.
c) La velocidad relativa con que los conductores se mue-
van en el flujo.
Así como cada fem elemental de frecuencia fundamental
se suma para dar la fem resultante principal, así también
cada serie de fems armónicas de su frecuencia respectiva se
combinan con sus semej antes en cada fase para dar una resul_
tante de armónica de frecuencia propia.
Pero la forma en que se combinan estas componentes in-
dividuales no es la misma para todas las frecuencias, con el
-
. 40 .
resultado de que la fem resultante (en función del tiempo)
no es en general igual a la forma espacial de la onda de
densidad de fluj o de la que dependen todas las fems .
Hasta aquí se han considerado las bobinas^ como de pa_
so diamental y concentradas como se observa en la figura si_
guiente:
Fig. 3-3. Armónico de flujo.
F I G . 3 - 3
pero si el devanado es de paso acortado, el caso sería
que se observa en la figura a continuación:
el
-
. 41
Fig. 3-4. Devanado de paso fraccionario
F T G . 3-4
Lo cual hace reflexionar en el hecho de que una gene_
ralización debe contemplar estos factores, hecho lo cual se
tendría para la armónica de ordenv
E., - 4,44 k, f N $V } dpy r x n C3-8)
Cuando la distribución de flujo*no senoidal la ecua
ción de intensidad de flujo vendría dada por:
B -n
n=lB sen
V£ B eos, Vn=l
(3-9)
-
. 42
Y la observación de la figura siguiente daría una i
dea objetiva, de esta característica.
F|u]o fundamento!iFem fundamental
r»m resultantedevanado de pasofraccionarlo
Distribuciónresultanle de f lujo yonda do la fom dadevanadoconcentrado
J . l__ r, , •~"^1. i --- 'Paao da devorado«^3?.-' ' i .ónlo
Fig. 3-5. Variotion de la' forma de onda de lafem debida a[ paso fraccionario
F J G . 3-5.
-
4,1, EN EL ESTATOR
A continuación se pretenderá obtener un criterio ^
mático que nos permita señalar la existencia de un orden d_e_
terminado de armónica.
Como se había deducido en el capítulo primero ecuación
2.23 la ecuación correspondiente a una fuerza m.m. existen-
te en una fase cualquiera de la máquina sincronica.es: ;
fsvA s Fsv sen wt cos * C4-1)
en donde el subíndice l indica que se trata del primario de
la máquina x̂ } una coordenada fija en el primario de la máqui_
na.
En esta ec, la longitud de la fundamental es 2 T y su am
plitud es:
F (v = 1) s 0,9 Ni !5dp 1 Cv = IPIi (4-2)
(p = pares de polos
-
. 45 .
Entonces la ecuación correspondiente a la fase adya-
cente será:
f 115= F , sen ( wt- — ) eos (— Vir - ll v ) (4-33s vB sv ^ mi J ^T mi J ^ J
y para la fase de orden N sería:
j- i- r ^ 2ir ... ,xi ir 27T ,..f = F s e n
-
- 46
trifásica, la variación será:
wt, wt - 120°, wt - 240°
pero en general la variación seráen;—• N; N=0,l,2. . [mi -1)
- mientras el ángulo de espacio variará, según el ángulo
anterior y relacionado con el orden de la armónica así:
m
Ahora interesa obtener la resultante de la onda dei
fmm para la armónica de orden, v y que se obtendría hacien
do el suma torio de la fmm de c/fase así (se ha aplicado a-
demás' las 'identidades correspondientes a sen [a + $) ; sen
([sen (I L \- - - eos N (v -1)= ^ J mi
eos (wt - xi —) £ sen N ( v-1) 2ir
N=0 ml
mi -1r f ^ x i ir v \ ,. , , n > 2 i rsen (wt + ̂ ~ Z eos N ( v + 1)
L T / •xr_n
m -1 ? Aeos (wt + X I T T V \ sen N (v + 1) ^— ( 4 - 6 )- • i IU i -J /
7
IU i
N=0
Como puede verse en la ecuación los dos primeros Tniem_
bros representan a una onda viajera en sentido positivo, y
-
. 47
los dos últimos términos otra onda viajera en sentido con-
trario .
La ecuación 4-6 tiene la particularidad de:
f (tixi) = f (para + \jsin el segundo término + f (para - vjsin
el segundo término
por tanto basta analizar los dos primetos términos deecua -i
ción y considerar valores positivos y negativos para v enton-
ces la ecuación se transforma en
- mi-1 mi-1= ~ F sen A £ eos N B + eos A I sen NB (4-7)
2 SV N=0 N=0
donde A = wt - wi irv (4-8)T .
B = (v-1) — (4-9)^ J mi J
introduciendo en esta ecuación (4-6) la equivalencia que se
indica en el Anexo B-2 se tiene:
2 SV
sen ( nú- 1 ) B/2 sen[A+ mi|l (4_1Q)sen B/2 L 2 J
«í°y por tanto se puede concluir el criterio de existencia de
esta función será analizada por la variación de la función
-
. 4¡
seno como ;
i 2ir (4-11)
o bien v ~ kiiru + 1 (4-12)
- donde kies un entero positivo, negativo o cero-ya que la
función senoidal será siempre cero para ki2ir.
4,2, CRITERIO DE EXISTENCIA DE LAS ARMÓNICAS DEL ROTOR
El criterio de existencia de las armónicas de rotor se
logra mediante un procedimiento muy similar partiendo de i-
guales consideraciones y de que para el caso del rotor la e-
cuación a considerarse será:
M mz \ m2f N= -TT N=—i i / 2 • \ u'rest. = y Fuá sen A1 £ eos B1 + eos A1! sen B1]-
^ N=l N=l /
+ i F ua [ sen C1 £ eos D1^ eos D1^ sen CM (4-13)
I T A ! ^ ^ U T T ^ l n ^ . U 1 " ^donde A1 = s v iw t - - - xz C •= s S v iw t + r- —
P
-
. 49 .
para valores de u1 positivos y negativos, logrando llegar
a que :
u1» k¿m2p + \>l (4-14)
este criterio es válido tanto para jaula incompleta como
para jaula completa si se considera a esta última dividida
en dos partes cada una de las cuales conduce Ibv12
teniendo m2 - Q2P
o^TTU /2 = Np
= I C4-15)Iphv> = p
La ecuación 4-13 puede ser analizada como puede obser
varse en el capítulo correspondiente a circuitos equivalen-
tes, descomponiéndose en dos sistemas, en .donde las corrien_
tes del rotor referidas al estator son:
I i £ correspondiente al sentido de giro positivov a
I ib correspondiente al sentido de gito negativov a
cuyas fuerzas magnetomotrices correspondientes serían:
u ' - v 1r 1 V ? T / - P Ufu = -^ I i , f - ^i sen — Tir v 3 u °
U Tí
P 2P
sen u --.v1
• " * / * •
«sP 2
i i
r c ^ U1 TT , Sen NP V^ ° S / 2sen( s v l f - - - X2 ) - 1
sen u 1 + v1 as
-
1 m-
senC Sv,( wt + £ ?
50 .
(4-16)
mientras que para el sistema de sentido de giro negativo
sería:
fu'-'- u1 • senu1P
TT
2 .!
.o,, i , H p 2
u1-*- v1_G c n p a s /2
sen(
sen Np u 1- v 1P
senP
~ C4-17)
Como puede verse una vez más la variación que una e-
cuación a otra es únicamente de signo, por tanto en adelan
te se procederá al análisis únicamente de una de ellas pa-
ra facilitar y acortar la evaluación.
. La diferencia entre los dos sentidos de giro es ade. ̂
nías el deslizamiento cuyos valores son los de las ecuacio-
nes 1-5 y 1-6.
Las ecuaciones 4-16 y 4-17 están expresadas en termi_
-
51 .
nos de la coordenada x^ del rotor, para poder expresar la ve_
locidad de la armóndca u'del rotor, con respecto al estator,
estas ecuaciones deberán expresarse .en términos de x., que es
una coordenada del estator, lo cual se hace mediante la ex -
presión:
X2= Xl - (1 - S) wt (4-18)
Para determinar las armónicas de f luj o u' se deberá in_
tr educir en las e cu ación es [4-16} y [4-17 J, el valor de per -
me acia del entre hierro jefectiva:(-L)Gff,
i ) eff = gkc( 1 - X eos
2lT(4-19)
kc = factor de Cárter.
A —
x i - xad aq
C*ad + Xaa)/2
Introduzco 4-18 y 4-19 en 4-16 se obtiene
bu1 = VT 5,19
gkc
(4-20)
u - v as
£• -sen u1P 7T2o c j i isp • - • • •
- u1 - v l as
r. 7
2
-
52
sen Np
sen - s u irwt - -*-
senP
/- nsen C 1 rn -A ^ , U* Tí \t + - -xi. j -sen Np u-v1 as
P 2
sen u - v as
2
sen(2s-l),wt- u1 - 2p TT- — i-
(r f i o -v , u1 -sen [(3-2s) + —I
. wt -
sen Npu1+ v!as
sen u •*• v as
[Sení[(25-1) - u+vP
wt
. wt
2p1
p
u 1- 2pP
Xlí rsen I [ (3-2s)
(4-21)
que es la ecuación del valor instantáneo de la distribución
de -flujo de la armónica de orden u1 del rotor.
-
52 A
Valga acotar que tanto la ecuación (4-12) como la
ecuación (4--14) describen la existencia de armóni-
cas en el estator y en el rotor, respectivamente y
son válidos sobre las consideraciones posteriores
que se realizan al introducir las variantes de des-
lizamiento , coordenada de referencia, etc., que se
efectúan en las ecuaciones posterioes a ellas has-
ta la ecuación (4-21).
Asi por ejemplo, un arrollamiento trifásico (m=3)
producirá las siguientes armónicas: (De la ecuación
4-12).
Para % = O KI = -1 K. = +1 K± = -2 K± = +2 ,
se tiene:
V = 1 = -2 = 4 = -5 = +7 .
Como puede verse no aparecen las armónicas de ter-
cer orden, ni ninguno de sus múltiplos.
El signo de V , indicará el sentido de rotación de
la armónica.
De modo similar, la ecuación (4-14) dará la informa-
ción de la existencia de las armónicas en el rotor.
-
. 53
¿1,3, ARMÓNICAS DE RANURA Y SUBARMONICAS
4-3 . 1 . INTRODUCCIÓN
En el estudio precedente sobre el campo se ha ignora_
do el efecto de las ranuras en la superficie del inducido.
La expansión de flujo en los extremos de los dientes hará
que la forma del campo contenga ondulaciones que si perma-
necen fijas respecto de las caras polares podrían tenerse
en cuenta como una armónica adicional de la forma del cam-
po , no obstante lo que realmente ocurre es que las expan - •
siones de flujo siguen a los dientes a su paso por la cara
polar, logrando el efecto final de la superposición de un
flujo adicional sobre el flujo principal produciéndose pu_l_
saciones cuya frecuencia es aquella de paso de los dientes
por los polos salientes. Por consiguiente si hay q ranu-
ras por polo y por fase, m fases, habrán 2 mq ciclos de la
frecuencia de los dientes por cada ciclo completo de la
frecuencia fundamental.
•fd -
-
. 54 .
Introducidas estas consideraciones en el flujo obte-
nido en la ecuación (3-2) se obtiene:
¥' = O + i sen 2 ir
-
. 55
4.3.2. ARMÓNICAS DE RANURA
Se denominan así a las armónicas que tienen el mismo
factor de devanado que la onda principal.
Las órdenes de estas amónicas son para el estator
v - + N Oí , n x. _ „ ~r — p * 1 N = 1, 2, 3, etc. y
para el rotor
Hr B ± N & + i N = 1, 2, 3, etc.
La ecuación de distribución de flujo de las armónicas
de ranura con un factor de amortiguamiento D aproximada-
mente igual a 1 es :
sen wt -
donde:
A i n = 0.45 mj —r N k, , iv s a v dplv
tensión final} se utiliza como referen_
cía para 1 1 .
Lar armónicas de ranura se ven afectadas en su magni -
tud por una serie de ondas de "abertura de ranura" cuya ev_a
luación no se ha realizado hasta hoy, encontrándose única -
mente que estas ondas aumentan las armónicas de ranura del
-
56
estator.
4.3.3. SUBARMONICAS
Cuando se inicia el estudio de armónicas, resulta na_
tural tomar una fundamental de longitud de onda igual a 2^
y se lo hace así porque el perímetro total de la circunfe-
rencia de la armadura guarda una relación directa a los
pares de polos que está determinada por la siguiente rela-
ción :
p
pero esta longitud, de onda provoca entre las armónicas de
ranura la existencia de valores fraccionarios lo cual impli_
caria la existencia de armónicas fraccionarias; para obviar
este problema se define una nueva onda cuya longitud es:
TTD
Con esta nueva longitud de onda, la fundamental ante-
rior resulta una armónica, o como se denominará en adelante:
una onda de dos polos.
Valga la acotación de que esta onda existirá efectiva-
-
57 .
mente en devanados congruentes en máquinas de dos polos pa
ra otro número de polos la onda es ficticia. Mientras que
en devanados no congruentes existirá la onda de dos polos
aun en máquinas multipolares.
Si se desarrollara un ejemplo cualquiera existirían
como puede verse, además de la fundamental armónicas de or_
den superior pero también armónicas de orden inferior que
la fundamental, a estas ondas se las denomina SUBARMONICAS.
La subarmónica de orden 1 será una onda de dos polos,(por par de polos).
Las subarmónicas viajan a velocidad elevada y están
amortiguadas normalmente por corrientes parásitas que aque-
llas producen en la superficie del hierro•
La relación de la fundamental asumida en el acápite
presente con la onda de la longitud 2T se establece para
las armónicas a través de las siguientes ecuaciones :
v1 = vP en e^ estator •
ii1 = up en el rotor
* * *
-
EFECTOS DE LAS ARMÓNICAS
Se parte del hecho de que únicamente la onda funda
mental produce un par motor útil mientras que las armoni •
cas producen fuerzas tangenciales y pares motores parási
tos ,
5.1, TORQUE SINCRÓNICO
Para la producción de este tipo de torque se requie_
re que en' general tanto el rotor como el estator estén cp_
nectados a una fuente de alimentación, por lo tanto se
consigue un par motor útil y uniforme a un solo valor de
velocidad.
La ecuación general del torque sincrónico para las
armónicas es:2pT
T - 0,738 x 1 0 - - K I avblbualdx (S-l)
En esta fórmula, la armónica del rotor búa1 está prodia
cida por la armónica del estator va' donde:
-
. 60
Vb
A YIPT
Ni k, v, i If (•O (5-2)
wt
Avb pr nú v, ! Ib (-) (5-3)
v r _ VT 3,19 T , ry bya, " ~F gkc va1 J ± L'
~n ,i +
UA TT 5,19 iir ' gkc va't C2 .. { (2s-l)
ua - va :. wt -U.'TT
p T(5-4)
búa1 ,' ," ~ igkc va, 1 -•y a - v a.P
(1-s)] wt
ua 3,19
ya1- va1 *wt + (5-5)
donde: C l _ z - senua sen Np
ua1 +
senua as
P 2
(5-6)
-
. 61 .
Ci corresponde signos ( + )
Cs corresponde signos (-)
Asi pues como para cualquier caso de torque sincróni_
co su magnitud, depende de la posición relativa de las fmms,
y para el caso de la posición relativa de las armónicas de
fmm de estator respecto del rotor, en las e cu ación es (5 - 4),
(5-5)y(5-6)se ha considerado el instante t = O y por consi-
guiente X2 - Xi .
Pero se sabe que la condición general para t - O es
Xi = Xi - x^1 condición para la cual se deberán introducir
el ángulo de tiempo, y el espacio, así como un ángulo V̂ Q j
que introduce el desplazamiento entre las corrientes pr_i_
marias y secundarias.
Ángulo de tiempo ( - v^ . ir/ p T ) x2
Ángulo de espacio ( y¿ ir / p T ) X2
A continuación se analiza bajo que condiciones exis-
ten torque sincrónico:
Se necesitará la intervención de las armónicas VA¡ y.A
v-pi del estator V A Í induce y A l en el rotor, y esta pro-i5 }\
duce con v«i un torque sincrónico siempre y cuando ,
-
. 62
(5-7)
donde la ecuación 5-8 impone una igualdad sobre la veloci_
dad de propagación de las armónicas a un valor definido de
deslizamiento.
Si una vez más se tornadla descomposición en ambos
sistemas t positivo y negativo, según su sentido de rotación
se conseguirá la siguiente gama de combinaciones:
para If (+)
V IA = V í^ ; U A 1 ^ ^ AyA vB ' HA A
U * i ~vt>i produce un torque sincrónico a deslizamiento S=l
H A I = = V I produce un torque sincrónico a deslizamiento
S =
para Ib ( - )
VA
y j = +v-ni produce un torque sincrónico a deslizamiento S = l
y i - -v i produce un torque sincrónico a deslizamiento.'A B
-
oy-y) * 2P5 = - - -
V V + 4P
pero además es posible la existencia de torques sincróni-
cos para la combinación de ambos sistemas, es decir por
las armónicas del estator producidas por If y las armóni-
cas del rotor causadas por Ib; para
V
y A i = v -ni produce torque sincrónico a deslizamientoJ\
=_ yA1- vA1
y i =- vp i produce torque sincrónico a deslizamiento S = 1/\ D
Y por último las armónicas del estator producidas por Ib con
las armónicas del rotor causadas por If producen para:-
v
y 1=+v.Ri produce torque sincrónico a deslizamiento:
S = V- ^A1
-
. 64 .
De lo expuesto es evidente que los torques sincroni_
eos son muy numerosos, y se producen para una gran varié -
dad de condiciones.
5,2, TORQUES ASINCRÓNICOS
Los pares motores asincrónicos tienen una caracterís_
tica par motor - deslizamiento de la misma forma, que la
onda principal; pero aquellos causados por las armónicas a_
parecen como caídas, en aquella.
La fórmula general para el torque asincrónico es:
T - n V-^Q vl n v s iX2m2 v1V" °>738 ÜT^^v1 —1_
N
2 sen2 í i /o-,^as2v /2j
Similarmente a lo que ocurre en la máquina de induc-
ción un par motor asincrónico se produce cuando la fmm prin_
cipal del estator produce una onda de fmm en el rotor que
tiene el mismo número de polos que la onda del estator y
-
. 65 .
que está estacionaria con respecto a la onda del estator a
cualquier velocidad del rotor, adaptando este criterio a
lo que ocurre en la máquina sincrónica, con respecto a las
armónicas se tiene que:
las corrientes del estator : If i (+)
las corrientes en el rotor son: I,- i ( + )
se producirán torques asincrónicos en la máquina en estudio
cuando las armónicas inducidas por If i estén estáticas res-
pecto de las armónicas del mismo orden inducidas por If i en
el estator lo cual sucede para las siguientes condiciones:
y'= v 1 y 1 = 1 + ]L-~~ Cl-s)
-
. 66
La evaluación del torque máximo interesa para preve-
nirlo . Para torque sincrónico el valor máximo se produce
para :
^ n 7- 7-1 ' i n ~ 8 _ , .. , 2 dpVa1 dpvb1 sva1Tmax - 0,332 x 10 Tle (miNij x — l - ' -Np Ksva1
If B , I 2 (5-12)
En la ecuación 5-12 se puede sustituir If por Ib se-
gún el valor de avb*que se considere
A esta ecuación se llega a partir de la ecuación 5-1
introduciendo en ella 6\, en vez de la suma de los wt térmi-
nos y los términos constantes; y su diferencia por
-
. 67 .
y se observa que el valor máximo será para sen ( ¿i) = 1
o sen 62= 1
Para el torque máximo asincrónico la evaluación se\
realiza^diferenciación de la ecuación '5-9, respecto de s i
Pero como 11 i no es una función simple de s i sino muy
complicada, debe asumirse que esta diferenciación es una
constante, lo cual se puede hacer gracias a que a desliza-
T̂mientos elevados esta corriente varía muy ligeramente.
Tmax = 0 , 3 6 9 ^- Q2 Xm2x)1 - (5-13)
1+ ^v1
siendo Smax:
c , ' r * V l rv, I" £r- (5-14)S y m a x ™ : — v v '
5.4. REACTANCIAS DE DISPERSIÓN
5.4.1. INTRODUCCIÓN
Se sabe que en la máquina sincrónica se desarrolla un
flujo que no está enlazado con las bobinas inductoras; el
inducido desarrolla un flujo que circula alrededor de las
ranuras y de las cabezas de bobinas, denominado flujo de
dispersión, que es proporcional a la corriente y que por con
-
siguiente da lugar a una reactancia constante o reactancia
de dispersión.
El flujo de dispersión es diferente de aquel flujo u_
til que concatena con el inducido como puede verse en la -
figura 4-3-1.
ú t i ldispersión
FIg.4-3-1.— F l u j o ú t i l y f l u j o de dispersiónen un circuito magné t ico de m a q u i n a sín-crona.
Pero la dispersión no solo existe en el rotor sino
también en el estator, que se cierra sobre los conductores
del estator.
La dispersión del inducido se puede considerar com -
puesta de tres partes:
a) El flujo de ranuras, aquel que se cierra alrededor de
la ranura del devanado inducido.
-
. 69
b) El flujo de dispersión de cabezas de diente o zig -
zag.
c) El flujo de dispersión frontal o de cabezas de bobi_
na, *
La reactancia de dispersión se cuantifica para el flu_
jo principal, el objeto de este acápite es dejar cuantifica-
da la reactancia de dispersión para las armónicas.
La dispersión para las armónicas se denomina también
dispersión diferencial debido a que el sumatorio de las ar-
mónicas de una función es igual a la función total menos la
fundamental.
Se exponen a continuación las ecuaciones de las
reactancias de dispersión armónica, así como las ecuaciones '
correspondientes a los valores de reactancias de flujo prin_
cipal respecto de las armónicas.
5-4.2. EN EL ESTATOR
Reactancia de flujo principal con respecto a cualquier
armónica válida para q entero o q fraccionario:
i _ _ , c ,.2 pT le -m"8 cxmiv1^ 0,16 mifiNi-í; 10 C
-
. 70 .
y la reactancia de dispersión armónica válida para q ente-
ro :
^l1 ^ ^ P ' ̂ l u?¿ í *• V
R^n
De la cual el ' . Qnrt
s u m a í o r i o se evotua1 en ^ 750b.
g r á f i c o a d j u n t o : •§-:> '°°
U\ 5 e5°
"i.s- ^so.§. c; ODU— -^ snow^
CQ|̂M 4°°
r- 350%"*•*:•7— -^" 30O
r-; r- i A CQF i g : 5-2 LAJ xCQ c £50
ZOO\0
1ÜO
50
0
y donde x n u f v ^ p / Z ) = 1,6 m i f
T/G . r , „ , n - 3 ^/ fase
)
•~~->~
"— .
X.
_ÍK._
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*̂ ,
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>^-.
=>
•̂^^.^___
.6
\
V
\.
•̂
•v-r-
_,
0
-
. 71 .
de donde la variación de A para B par o impar se ve en la
figura siguiente: I
\0
34060 - 100300 — Z6O, ,' TT v'n
140 180"2.2Q IDO0
F T G . 5-3
5 . 4 . 3 . EN EL ROTOR
La j aula incompleta, para v = 1 produce a frecuencia
de deslizamientos corrientes en los dos sentidos de giro.
La corriente de sentido negativo, es regularmente me_
ñor que la de sentido positivo, especialmente a grandes -
deslizamientos.
Un valor aproximado satisfactorio para la reactancia
de dispersión diferencial se obtendrá considerando única-
mente las armónicas de flujo producidas por las corrien -
tes de barra de sentido positivo.
La influencia de los espacios interpolares se tomará
-
72
en cuenta a través de la reactancia de flujo principal por
la ecuación :
Xm = Xad + Xaq )5-15)
2
Como puede observarse en las ecuaciones 4-16 y 4-17
cada una de las componentes de by 1 índica una f.em y una
corriente en el devanado del estator .
Estas corrientes amortiguan los flujos producidos por
ellas. Si se denota con Iiy 1 la corriente del estator, se
-
. 73
Comparativamente el valor de r̂ /su1 es pequeño respec_
to de Xmy1 (1+ Tiy1) por ello se puede simplificar como :
1- — (5-21)
Con lo examinado la amplitud de la armónica de flujo
by 1 } ya amortiguada sería
B^D - ̂ |*̂
y1-] as
L sen y - P a
(A)
xisen Np
seny -*• p as
El flujo correspondiente a By^ es
* y ' - .^e=[onquiiud efectiva dd
núcleo
(5-22)
(5-23)
y la fuerza electromotriz inducida por este flujo en las b_a
rras de Damper que es:
VTT»• i 1 -, n-8 . ,By D - y • 10 volts. (5-24)
-
. 74
Luego la reactancia de dispersión debida a la
ca de orden y sería:
X i « ̂ - 2,032 £i-^~ - 10~8 Cy(P-r)2DyV barra (5-25)
" V* *kc "
siendo C la expresión entre los corchetes de la ecuación
(5-22) y la dispersión armónica diferencial de la jaula in
completa es
Xh,i = 2,032 fi1̂ - '- 10"8 ——^ Cy+(2-)2 Dy1 V barra (5-26)g c y J /p y l
para la jaula incompleta:
Xh = 2,032 £ -^-^ • 10~tí üi- ( £ )2 Abarra (5-27)oV 7 T\n V - , o _ - 4 - T iHA. " P -"̂ 2 —" " • 2 x 2 1 - '
evalúese el I por la siguiente figura de la próximo pagina.
El amortiguamiento de una armónica por las corrientes
del estator se incrementa con el decrecimiento del orden de
la armónica así como con el decrecimiento del número de po-
los .
En la j aula completa las armónicas producidas por las
corrientes a frecuencia de deslizamiento comienzan con las
armónicas de ranura que son del orden muy elevado, su amor-
tiguamiento por el estator es despreciable.
-
Rg.
20 24
pora jaula completa sin
Evaluación para la Ec. ( 5 - 2 7 J
-
. 75
Las ecuaciones hasta aquí expuestas no incluyen la
posibilidad de inclinación de las barras, si tal caso se
. da se incluirá el factor de inclinación.
Si se consideró que la reactancia de dispersión
armónica de la jaula completa sin inclinación era:
Xh3i « Xi - Xm (y* = p) (5-28)
donde xi es la reactancia de dispersión del devanado del
estator y xm la reactancia del flujo principal.
Ahora con inclinación sería:
sk = x- xm(y1= P)*s kjy1 =p)'< (5-29)
U1 3 assen p t2s 2
: = (5-30)
as
que Ksk, u es el factor de inclinación..
j& es la inclinación en . las mismas unidades que T2S.
as expresado en radianes.
El amortiguamiento se ve disminuido por la inclina -
-
76
clon de las barras, pero la reactancia de dispersión armó'
nica dependerá ahora de la posición relativa de las ranu-
ras del estator respecto de las ranuras del rotor.
-
C Q N C L U S I O N E S - Y ' R E C O M E N D A C I O N E S
6,1, PARA LOS FLUJOS A R M Ó N I C O S DE f . m . m .
Los flujos armónicos son indeseables por las siguien_
tes razones:
a) Porque distorcionan la curva de tensión.
b) Porque generan pares motores parásitos; ruido y vibra_
ciones.
c) Porque distorcionaTi la curva par motor velocidad, y o_
riginan pares motores de freno.
Por tanto es-aconsejable evitar o por lo menos redu -
cir las armónicas de f.m.m. lo cual se logra tomando las
siguientes medidas:
a) Usando devanado distribuidos y de paso acortado con
esto se logra reducir las armónicas aunque en detri -
mentó del valor mismo de la onda,.sinembargo la forma
que se obtiene es mucho más sinusoidal Las pérdidas
de tensión fluctúan entre el 3,5 y el 10%, dependien-
do del número de fases que tenga la máquina.
b) Un número de ranuras por polo por fase, elevada dismi_
-
. 79
nuye las armónicas .
Es interesante concluir sobre el estudio realizado a_
cerca de este tipo de armónicas que :
En máquinas trifásicas, se anula la fmm de tercer or_
den así como sus múltiplos t lo cual obliga a pensar que en
general una disposición adecuada de los bobinados eliminac
estas armónicas entonces: las armónicas de f.m.m. son debi_
dos a la disposición de los arrollamientos únicamente .
5,2, PARA LAS ARMÓNICAS DE LA CURVA DE
a) La curva de f.c.m tiene un valor eficaz definido por
la ecuación:
E l / T ' 2 . i T 1 2 . i T ' 2 i ! T % 2 i f C. ~\ V Ei + £3 + Es + E? + - - - . LO-IJ
para un mismo factor de paso k 1= k de la fundamental y
las armónicas, la f.e.m. resultante tiene un valor:
E, - En en una relación aproximada de:KC j.
ÍU- « 965o
Lo cual hace reflexionar en el hecho de que baj o estas
circunstancias el valor total de la f.,e.m. está determina^
-
80
do por el valor fundamental, y por tanto las armónicas re_
sultán despreciables.
b) El efecto del empleo de un devanado, de paso fracciona
rio es hacer que la forma de onda de tiempo de la f.
-
. 81 .
tan dirigidas desde los principios hacia los finales de
las tres fases, o viceversa. Por tanto, si se quiere e_
liminar el efecto que causa esta armónica, se deberá co_
néctar los terminales de la máquina en estrella, para
que se cancelen cada dos fases, porque si se conectase,
en delta se sumarán algebraicamente produciendo corrien-
te circulante que provoca pérdidas por calor.
6.2.1. MÉTODOS DE ATENUAR LA DEFORMACIÓN DE LA f.e.m.
Por supuesto una manera de anular completamente la de_
formación de la fcm, es tener una distribución de flujo
puramente senoidal pero como tal no.es obtenible, se lo -
gran buenas aproximaciones con las siguientes medidas :
a) Curvando y achaflanando las piezas polares , asj como las
superficies de las piezas polares para que al ser ma-
yor la reductancia hacia los extremos, sea máxima la
inducción en el centro y menor en las partes latera-
les .
b) Si se inclinan las ranuras respecto de las genetatri^
ees de la superficie cilindrica del inducido > ° bien
se construyen las piezas polares con sus bordes no pa_
-
. . . —-Forma de las piezafc polarespara conseguir un reparto idoal del flu-jo magnético.
FTG. 6-1
ralelos a dichas generatrices, con esto se consigue
que no entre a la vez toda la longitud de cada haz
activo, bajo la pieza polar sino que entre más pro_
gresivamente de tal manera la f.e.m. no estarán for_
madas por rectas verticales, sino que estarán incli_
nadas.
6,3, PARA LOS TORQUES PRODUCIDOS POR ARMÓNICAS
Los flujos armónicos y las armónicas de distribución
que producen, ocasionan fuerzas tangenciales parásitas
que distorcionan la curva po,r motor-velocidad.
Hay otras fuerzas parásitas que en cambio son radia-
les y que están asociadas a torques sincrónicos y ocasio-
nan vibraciones radiales.
-
La fuerza radial está determinada por la ecuación si_
guíente :
fuerza = cter
donde se define b como:
b = [(va + vhj + ( ya + ybj] (6-2)
es decir esta fuerza radial será ocasionada por armónicas
del rotor y del estator en combinación, o bien, por armóni^
cas solo del estator, o solo por armónicas del rotor.
Si en general se define n y m como las órdanes de flu_
jos armónicos, que tienen las siguientes ecuaciones genera^
les :
b 1= B isen (w it - n rrrr— X i ) (6-3)
1 1 J Tí /- -\a fuerza radial producida por estas dos armónicas es,:
fuerzar = cte1 . ̂ , BnlBmi [eos | (wn1 - w1 ) t - (n1 - m1 ) —-
(^-5)
eos ) (wn1 wm1 ) t - (n1 +m: ) — ̂ x/ 1 de lo cual se concluye^ ' JL L i Ji
que :
-
. 84 .
la fuerza radial producida por dos flujos armónicos cuales^
quiera consiste de dos ondas viaj eras cuyas velocidades an
guiares son:
wn1- wm1
wn1+ wm!
y cuyas ordenes son: n1- m1 que además corresponden al nu_
n1* m1
mero de pares de polos de fuerza respecto de la fundamen-
tal de dos polos-que en adelante señalaremos como P 1
P1 = concentraciones de fuerza
Como se señala en el capítulo de criterio de existencia
de armónicas, se debe introducir lo s ordenes tanto positivo s
como negativos de las armónicas, y entonces se supedita a e-
llos el valor absoluto de P'. Pero en general se puede decir
que mientras es mayor el valor de P' menor es la longitud de
onda para un diámetro fijo de la armadura.
Se sabe que el estator es más rígido a la distorsión de
onda corta es decir cuando P' es mayor; que a la distorsión
de onda larga o sea cuando P' es menor y como consecuencia
de esto se deben evitar los valores pequeños de P', aunque ca_
be señalar que este no es el único factor determinante de la
existencia de la vibración y el ruido.
En el gráficosiguiente se puede observar la distorsión
-
que sufre el núcleo del estator que corresponde a:
P ' - O , 1 , 2 , 7 3 .
?. Distorsión del núcleo del estator para diferentes números de paresda polos de la fuerza
FTG'. 6-2
Aquí se puede analizar que ocurre por ejemplo para
P' = O - n'- m'= O con lo cual la ecuación 5-4 sería una
n'+ m'= O onda estática que ocasionaría una £uer_
za pulsante produciendo ensanchamiento
y reducción del diámetro del estator.
P1 >0 La distorsión vi.aj a alrededor de la má_
quina con la onda de fuerza y produce
vibraciones de las que resulta el rui-
do magnético.
Estas conclusiones son válidas para el total de los c;
sos, porque a partir de ecuaciones generales, se introduce
la probabilidad de que la distorsión sea causada por dos
-
16 .
flujos del estator o bien dos flujos del rotor y por últi
mo uno del rotor y otro del estator.
Se procede ahora a particularizar el análisis para
Armónicas solo del estator.
Para este caso se cumple que:
wn1 = wm = w
w = 2 ir *
y por consecuencia: P 1 = va1 - vb ' -f' = O
P = va1 + vb' -f' =2£i
entendiéndose por f la frecuencia de vibración, que cuan-
do tiene valor de cero implica que no existe frecuencia
de vibración. Si dentro de estos se diera el caso que
va = vb = v' es decir que será una sola onda a tomarse en
cuenta, que produce un par de fuerzas.
P1 = 2V1 de frecuencia íl « 2fi
lo cual implica que cada armónica del estator produce ondas
de fuerza del doble de la frecuencia de la línea, tal suce_
de también para la fundamental.
-
(b) Armónicas sólo del rotor
Ese requisito implica que: n ' = ya ; m 1 = yb por tan_
- Vb
t >y a y b 2 + (y a + v * a ) + ( y ' b - v * b ) ( l - s ) l 2 i r f 3P
y por consecuencia:
j au la ( P^y ' a -y 1 b £ l - = (k2a- R z b ) m 2 (1-s)
incompleta [ p ^ y ' a + y ' b
-
m =y a ;p a es producida por v'b del estator
n1 «n b1
P1 «
1 '
f1- = fiP
p1 =v'b +y¿ fl+=\2 4- pQ "' "VqPQ i- p
jaula incompleta
f ̂ =' Í2 + k a m(l-5)}
j aula completa
cuando el orden de kjo = O ya
•£1-= O
f'+= 2fi es decir ocurre lo mismo que
en el primer caso.
Otras particularizaciones de este análisis se hacen
para el caso- de armónicas de ranura.
Pero en general se puede concluir del análisis realiza_
do que:
-
1 . Se debe procurar que el número de ranuras del rotor
Q2 sea un número par, porque de lo contrario dos
fluj os armónicos del rotor pueden producir una onda
_ • - de polos de fuerza P1 = 1, que es una fuerza desequi_
librada que produce esfuerzos, además en el rotor -
(no solo en el estator). La fuerza está aplicada
radiaImente en cada elemento de superficie, para ob_
tener la resultante habría que integrar las proyec-
ciones sobre la superficie total de la armadura.
2. El nuido de disturbio de alta frecuencia es origina^
da normalmente por armónicas de orden superior.
3. La vibración no solo tiene origen electromagnético,
sino también mecánico, pero fuerzas radiales que se
originan en las partes activas de la máquina, así
como toda la máquina que participa en la vibración,
y la frecuencia natural ' del estator que es normal^
mente la fuente de ruido magnético, están determina^
das por las laminaciones del núcleo y además por
sus partes inactivas.
• Si la frecuencia de una onda viajera coincide con -
la frecuencia natural del estator, en cualquiera de sus
-
90
partes, se producirá ruido magnético molesto sin impor-
tar el orden de la armónica.
El estudio detallado del ruido magnético es muy com_=
plicado aún en núcleos sólidos y crece la dificultad si
fuera laminado pero en cambio se puede hacer las siguien_
tes referencias:
La magnitud de la fuerza radial no es determinante
en la intensidad del ruido, no así, los polos de
fuerza,
- Una relación de magnitudes Q?/Q-¡ grande reduce el va_
lor de los flujos armónicos en el rotor, pero produ-
ce pérdidas de hierro adicionales y aumenta los pa -
res motores parásitos.
La inclinación en el rotor disminuye las corrientes
del rotor de frecuencia elevada.
En la jaula completa aparece el ruido sin carga.
En la jaula incompleta puede aparecer en vacío el ru
do; debido a la combinación de la fundamental con
-
. 91
las armónicas de abertura de ranura.
4. Se ha visto en el capítulo correspondiente, la pro-
ducción de pares motores parásitos, cuyos desliza -
mientes son particulares para cada, armónica que es_
tos pares motores producen caídas que pueden dar
ocasión a que en el momento de deslizamiento apro-
piado la máquina no sea capaz de alcanzar su veloci_
dad.
Cuando esta caída aparece en reposo y es lo sufi
cientemente grande, la máquina no arrancará, denom_i_
naadose a este estado "punto muerto".
5. Los pares motores parásitos sincrónicos son función
de los ángulos ( pcl *" VQ-̂ - ) ( - x2>) y â'; para va_
lores iguales de x¿) estos ángulos tienen valores
diferentes para diferentes combinaciones de yQ } y
v ' ••", Y l°s torques sincrónicos calculados para es-b
tas diferentes combinaciones no están en fase, lo
cual implica que su máximo no aparece en la misma
posición del rotor respecto del estator. De aquí que
estos torques se calculen para diferentes combinacip_
nes de armónicas. ' -
-
. 92 .
Normalmente los mayores torques aparecen por•la com
binación de las armónicas de ranura del estator con las
armónicas del rotor para k2= 0.
6. Para el caso de la jaula completa estos pares moto -
res se pueden eliminar por una combinación adecuada
de ranuras del rotor y del estator, mientras que pa-
ra la jaula incompleta no sucede lo mismo. Una so -
lución alternativa ofrece la inclinación de las ranu-
ras del rotor y del estator.
La inclinación es totalmente efectiva sólo cuando
las ranuras están aisladas de lo contrario los pares
motores asincrónicos y sincrónicos debidos a las ar-
mónicas de ranura no se evitan por completo.
7. Los pares motores parásitos asincrónicos pueden re -
ducirse manteniendo pequeño el factor de acelera
miento de la armónica de orden v -
-
. 94
ANEXO A
A.l. PASO POLAR C T)
Se define como paso polar (T ) a la relación entre
el perímetro de la máquina o su circunferencia y el nía
mero de polos.
irD D = diámetro2p
p = pares, de polos
A. 2 PASO COMPLETO
Se define como paso completo cuando la separación -
entre grupos de conductores adyacentes es igual al paso
polar o bien cuando el claro de bobina es diametral.parodos polos.
Otra definición es aquella que agrupa a lados de bp_
bina en densidades de flujo de la misma intensidad.
A.3 PASO FRACCIONARIO
Se define como paso fraccionario a aquel cuya sepa-
ración entre centros de bobina que forman una gama de fa_
-
. 95 .
ses es menor que el paso polar
A.4 ÁNGULO DE RANURA ( s)
Es el ángulo existente entre dos ranuras adyacentes
del devanado de una máquina.
a = 180 x p x 2
Q180a
s m q
p - pares de polos
Q = Numero de ranuras total
m = Numero de fases
q = Numero de ranuras/polo/fase
A.5 ÁNGULO DE CAMPO MAGNÉTICO (am)
Es el ángulo existente entre dos vectores consecuti-
vos de la estrella de ranuras y se define:
n _ 180Q _ _-_m m N
A.6. DEFINICIÓN DE q
q es el número de ranuras por polo por fase y se de-
termina según la siguiente formula:
-
. 96
Qm x p x 2
donde: Q = No. total de ranuras
m = No. total de fases
p = pares de polos
q puese ser expresada como un numero entero o como un nú-
mero mixto tal.
q = 1, 2, 3. . .
q = 1 3 , 2 1 3 etc.T 1T
4.7. FACTOR DE PASO
Un devanado de corriente alterna no suele tener un pa_
so de bobina diametral, es decir un paso completo, sino
que casi siempre el paso es fraccionario o acortado, es de_
cir que un bobinado de este tipo tendrá un espaciamiento
de ranuras menor que el paso polar.
Como'es lógico esta disposición mecánica implica nece_
sariamente una modificación en la onda de f.e.m.
Debido al acortamiento el flujo máximo entrelazado con
la bobina es menor-que el flujo que atraviesa todo el polo.
-
. 97
La relación de flujo es la que puede apreciarse en
la figura y matemáticamente esta relación estaría dada -
por las áreas de la onda acortada y de la onda total.
Wi = paso de bobina acortado
t = paso de bobina diametral
El factor de paso toma en cuenta esta reducción del
flujo y la relación con el flujo si el paso hubiera sido
el paso polar.
-, __ flujo entrelazado por bobina con paso acortado
P flujo entrelazado por bobina con paso diametral
T+ W•y" —
Tísen — xdx- T
X ~ o
X = L
sen —— xdx
x = OT+ W
— OS —TT T
' T- W
eos - •• ( J- eos -
2
eos oi_]X |r eos —̂ - T- eos 0.x ' T
'O
-
TTT + 7T W T Tí - TTWeos —o - eos —=
2 T - 2Tkp = .-1- 1
TTT TTW T TT TTW
-
. 99
Pudores de paso o de acortamiento para la fúndame nial u ¡asarnióritcas superiores correspondientes a diversos grados de ht relación b¡r
bit
1,000O.ÜÍMi0,9 So0.9RI)0,ü-!0
1 ,0000,991!I), S lili0,7070.300
1,0000,
-
• 100 .
Una solución alternativa, realizable, es obtener una
resultante de estos vectores, que en todo caso será me ñor
que aquella f.e.m. que se había obtenido si se habría con
centrado todo el bobinado en dos ranuras, este resultado
multiplicado por un FACTOR DE DISTRIBUCIÓN pretende dar
como resultado un valor muy aproximado a aquel que se hu-
biera obtenido del sumatorio real.
El factor de distribución se define:
-. i f.e.m. resultante _ Erka. -
I f.e.m. individuales q Eb.
Este factor kd, será siempre menor que 1 pues denota
la reducción del valor de la f.e.m., del devanado distri-
buido , comparado al devanado concentrado.
Para la deducción de la fórmula general tomamos un ca_
so cualquiera:
(1) 2a + as - 180• }{])-í2) B a s ~ a1- O = cts = a1
(2) 2a + a1 = 180
1 = BC_ ' "f . e ' . m . ^ Eb_2 2R ^ 2R 2R
-
. 101
sen = 2R sen
Determinación del facfor de distribución
kd =
on aS2R sen q - ~-qas
sen 2
i-nq 2R sen CÍS
que es el factor obtenido para la fundamental mientras que
el factor obtenido para las armónicas será:
assen vq —~—
\ asq sen ~
A.9. ; Como se ha visto las armónicas de flujo de f.m.m.
dependen directamente de la disposición de los
11 amientes., de allí que son necesarios los conceptos
siguientes:
-
. 102 .
A.9.1. Devanado en una máquina de corriente alterna
Los devanados de una máquina de corriente alterna se
definen por las siguientes características:
1) El número de fases
2) El número de circuitos en paralelo por fase que pue-
den ser;uno o más.
3) Las conexiones entre fases que pueden serien estrella
o triángulo.
4) El número de capas de bobinas por ranura, que son 1 o
2, pero de uso más común 2.
5) El ángulo entre conductores consecutivos que pertene_z_
can a una fase determinada.
6) El paso de las bobinas individuales que comprenden el
devanado.
7) La disposición de las conexiones finales.
La variedad de disposiciones de los devanados en una
máquina es muy amplia, y hay variantes en cada uno de las
características antes señaladas, por eso la combinación tp_
tal de estos factores hacen que este fuera totalmente del
alcance de este estudio abarcar semejante variedad de al -
ternativas, por ello más bien se ha enfocado atención so-
-
103
bre las características 4, 5 y 6 que son las que tienen u-
na inferencia directa sobre el estudio de armónicas, pues-
to que son estas las que definen la forma de onda obtenida.
A. 9. 2. Devanados distribuidos
En este tipo de devanados los conductores están dis-
puestos en varias ranuras, es decir que los conductores -\es
tan suj etos a la acción inductiva de un solo polo , ocupan
varias ranuras adyacentes de manera que las f.e.m.s. gene-
radas por ellos están mutuamente desplazados de fase, por
lo cual la f . e .m. resultante de todo el devanado es menor
que el valor que tendría si estuviera concentrado en una
sola ranura ; pero en cambio su forma de onda es mejor.
Aparte de esta ventaja vale la pena señalar otras dos
a) La reacción del inducido es menor
b) La mayor área superficial de las bobinas contribuye a
una mejor disipación del calor.
Dentro de estos devanados existen dos tipos a los
les haremos amplia referencia y que están determinados por
el numero de ranuras por polo, por fase q.
-
. 104 .
Estos dos devanados son:
Congruentes
No congruentes
A.9,3. Devanado congruente
Es aquel devanado que tiene q - un entero, esto es
porque el número de ranuras es múltiplo del número de
polos. El tipo de paso T es completo.
Ejemplo (1) un devanado es congruente con q * 5 ,
quiere decir que existen 5 ranuras por polo por fase, es
decir que si la máquina es trifásica y exapolar, tiene
en total Q = 90 ranuras.
A.9.4. Devanado No congruente
.Es aquél devanado que tiene q = número mixto o bien
aquel que se expresa como una fracción. Aquí el número
de ranuras es múltiplo del número de fases, pero no lo -
es del número de polos .
En este tipo de devanado el paso de bobina, es decir
de centro a centro de las bobinas, es menor que el paso po-
lar T . ,1
-
. 105
Esta disposición de las bobinas se denomina paso acor
tado o fraccionario, y se utiliza mucho en las máquinas de_
bido a que la forma de onda se aproxima mejor a la forma
sinusoidal, y mejor aún como el numero de polos no es múl-
tiplo del número de ranuras se tiende a la supresión de
las pulsaciones de flujo lo cual quiere decir se tiende a
la supresión de las armónicas de f.m.m. (Ref. Langsdorf).
Ejemplo [2), q= número mixto = parte entera y parte
fraccionaria.
b Nq = a + Y ~ N, B no tiene divisor común
-j B
Un devanado congruente con q = i quiere decir que N=9
= número de ranuras de cada fase y lógicamente es igual a
q SjN = q 3-
B - 2 = 2 polos hacen la unidad básica de arrollamiento
mN = indica el número total de ranuras en los B polos
p/B = indica el número máximo posible de circuito en parale_
lo.
Pero que se obtiene de expresar q = a + —B
Pues cada fase dentro de los Apolos tiene:
-(3 - b) grupos bobina con a. bobinas sencillas
b grupos bobina con (a+1) bobinas sencillas
-
. 106
y siguiendo el ej emplo:
q = 4 - \s cada fase tiene dentro de los dos polos:
2 - 1 = 1 grupo bobina con 4 bobinas sencillas
y 'i grupo bobina con 5 bobinas sencillas.
A.9.5. La Estrella de Ranuras
La estrella de ranuras es un gráfico de vectores que
muestran la posición de los lados de la bobina en el cam-
po magnético de la máquina.
Se debe anotar que la estrella de ranuras o la es -
trella del lado activo de bobina es igual tanto para el
devanado de una sola capa, como para aquel de dos capas, y
la única diferencia se establece por el defasamiento que
ocasiona el paso fraccionario, pues el ángulo entre la di_
ferencia del paso polar y el claro de bobina denominado -
ángulo de cuerda hace que la f.e.m.s. no estén mutuamente
en fase, por lo demás la estrella de ranuras de una capa
es la representación exacta de la otra capa porque los a-
rrollamientos son totalmente .simétricos.
-
. 107
A. 9.6. La. estrella de ranuras de un devanado congruente
En un devanado congruente la estrella de ranuras, se
determina fácilmente conociendo o determinando primero el
ángulo de ranura as , que según se puede ver en la defini-
ción de A-4, se determina conociendo el número de polos y
el número total de ranuras.
Ejemplo (3). Siguiendo el ejemplo anterior, para un
devanado congruente con q = 5, tenia Q = 90 ranuras en tp_
tal y p = 3 pares de polos.
as = 180 x p = 180 x 2 x 3 = 2
-
. 108
ros 180° y se conocerá de hecho los demás.
En este ej emplo pertenecen a la fase A los vectores
1, 2, 3, 4, y 5 en la mitad superior y 16, 17, 18, 19 y
20 en la. otra mitad, es decir que ubicados los vectores 1
2, 3, 4 y 5 sabremos por consecuencia la ubicación de los
vectores 16, 17, 18, 19 y 20.
Una manera general de escribirlos es la siguiente:
-
. 109
RANURA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ÁNGULO .ENTRE RANURAS
0
1 2
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
180
RANURA
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
CUADRO No. 1
A. 9 . 7. Estrella de ranuras de un devanado no congruente
A pesar de que la estrella de ranuras de un devanado
congruente es muy similar a la estrella, de un devanado no
congruente, la diferencia aparece por el hecho de que el//
ángulo entre "vectores adyacentes de la estrella as deter_
-
110
mina que los vectores ya no se opongan una a otra 180°, co_
mo antes lo cual hace necesaria la graficacion completa de
la estrella.
Ej emplo 4. sea el generador trifásico visto en el e-
jemplo [2) es decir con 10 polos y Q - 135 ranuras en to -
tal.
Tomamos en consecuencia:
135 0 9q =3 x 2 x 5 m p 2
En el ejemplo existen 45 ranuras, por fase para los
10 polos y por tanto 45 _ _£ con un factor común de (5) en_10 2
tre numerador y denominador lo cual significa que la dis -
posición de las ranuras a cualquier serie del 2 ( 3 ) polos
consecutivos quedará exactamente duplicada en los siguien-
tes 2(g) polos consecutivos? no solo si la máquina tiene
10 polos sino también para todas aquellas que tengan 5 x p
x 2 polos ó , etc. y de igual manera para aquellas máqui -
ñas que tuvieren 5 x Q ranuras y en general:
n x 5 x p x 2 p o l o sn = 1, 2 , . . .
n x 5 x Q ranuras
La estrella de ranuras de este devanado estaría deter
-
. 111
minado por el ángulo de ranura °̂ s.
180 x 2 x 5 180 x 10 _ .Q
Lo cual
RANURA
1
2
3
4
5