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El legado matemático de Juan Bautista Sancho Guimerá, 233-274.©c Real Sociedad Matematica Espanola y Ediciones Universidad de Salamanca

ESCONDIDAS SENDAS

DE LA GEOMETRIA PROYECTIVA

A LOS FORMALISMOS CUANTICOS

SEBASTIAN XAMBO DESCAMPS

A Juan B. Sancho Guimera, in memoriam

Resumen. En este artıculo se consideran algunas de las ideas aprendidasen conversaciones con el maestro Sancho en Barcelona en los ultimos anos

sesenta y primeros setenta. En primer lugar exponemos algunos ((teoremas

fundamentales)) de la geometrıa proyectiva lineal. Despues se incide en el es-trecho parentesco entre el lenguaje de la geometrıa proyectiva y el formalismo

basico de la fısica cuantica, y en algunos rasgos distintivos de este formalismo,

mediante un analisis detallado de un bit cuantico (o q-bit). Finalmente se pre-sentan algunos aspectos del algebra geometrica y se dan diversas indicaciones

sobre su relevancia en matematicas y fısica, particularmente en relacion a las

cuestiones tratadas en la seccion precedente.

Palabras clave: geometrıa proyectiva, fısica cuantica, bit cuantico (q-bit o

qubit), algebra geometrica.

Abstract. In this paper we reflect on some of the ideas learned in conver-sations with the master Sancho in Barcelona in the late sixties and early

seventies. First we inspect a few “fundamental theorems” of linear projective

geometry. Then we consider the close relationship between the language ofprojective geometry and the basic formalism of quantum physics, with the

accent in a few distinctive features of this formalism revealed by a detailed

analysis of a quantum bit (q-bit). Finally some aspects of geometric algebraare presented, and various indications about its relevance in mathematics

and physics are given, particularly in relation to the issues discussed in the

preceding section.

Key words: projective geometry, quantum physics, quatum bit (q-bit or

qubit), geometric algebra.

Sabio visionario y maestro socratico

Si tuviese que destacar un trazo esencial en un perfil cientıfico de Juan B. San-cho Guimera, me inclinarıa por su fascinacion por las estructuras matematicas,sus interrelaciones, y los modos apropiados de expresarlas. A mi modo de ver, esetrazo deriva de la vision que las matematicas pueden expresar las mas profundasrealidades, que a su vez encaja de alguna manera con la ((hipotesis del universomatematico)) [19]. Si bien su autor la apoya con un ((argumento)) segun el cual la((hipotesis de una realidad externa)) (esto es, que existe una realidad fısica externa

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totalmente independiente de los humanos) implica que la realidad ha de ser unaestructura matematica, para los propositos de estas notas nos limitaremos a mi-rarla como una forma lımite de lo que realmente deseamos subrayar: la fecunday persistente idea de ((unificacion)). Con hitos historicos en los que las matemati-cas han tenido siempre un papel de primer orden (Galileo, Descartes, Newton,Leibniz, Euler, Ampere, Gauss, Maxwell, Poincare, Einstein, Dirac, ...), esta pul-sion parece mas viva que nunca cuando contemplamos los esfuerzos de las ultimasdecadas dirigidos a la muy difıcil tarea de armonizar la relatividad general con lateorıa cuantica de campos (v. [2] para una panoramica enciclopedica y [17] paraun excelente texto actual sobre gravedad cuantica, una de las lıneas mas fertilesen este tipo de indagaciones).

Sea como fuere, en Sancho se aunaban este impulso unificador, que infundıa unvigor distintivo a sus discursos y deliberaciones, y una pasion por la sabidurıa de losclasicos antiguos, que en particular se manifestaba en tratar siempre de iluminar deuna manera genuinamente socratica cualquier cuestion que se le planteara. Sirvauna escena, cuyo espıritu no dudo sera familiar a muchos de los que tuvieron lafortuna de escucharle, como ilustracion paradigmatica de su estilo discursivo. EnAnalisis II (curso 1965-66) nos habıamos encontrado con la opacidad de la leccionsobre los multiplicadores de Lagrange. Planteada la cuestion a Sancho en uno detantos momentos peripateticos, su respuesta duro una vuelta al patio porticado dela Facultad de Matematicas. En el primer cuarto, definio las diferenciales en unpunto a como los infinitesimos en ese punto (el ideal de las funciones que se anulanen a) modulo los infinitesimos de orden superior (el cuadrado de dicho ideal). Enel segundo cuarto, definio la diferencial daf de una funcion f en el punto a comola clase del incremento f − f(a) de esa funcion en a, haciendo hincapie en que erainmediato verificar que da satisface la regla de Leibnitz:

da(fg) = g(a)da(f) + f(a)da(g).

En el tercer cuarto, enuncio que las diferenciales son contravariantes, en un sentidonatural, de manera que, en particular, las diferenciales en un punto se puedenrestringir a una subvariedad V , digamos la dada por unas ecuaciones

g1 = · · · = gr = 0.

El desenlace en el ultimo cuarto fue describir el nucleo de esa restriccion: el espaciogenerado por las diferenciales de las ecuaciones. La luz habıa disipado la opacidad,aunque luego en casa costara horas o dıas entender todos los detalles. En efecto,si f |V pasa por un extremo en un punto a ∈ V , entonces

daf |V = da(f |V ) = 0,

con lo cual existen escalares λ1, . . . , λr (multiplicadores de Lagrange) tales que

daf = λ1dag1 + · · ·+ λrdagr.

Naturalmente, con el tiempo supimos que la formulacion de Sancho establecıa unimportante punto de union entre el algebra (diferenciales de Zariski de un anillolocal) y el analisis.

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Dicebamus hesterna die...

La virtud no teme a la luz; antes desea siempre venir aella; porque es hija de ella, y criada para resplandecer yser vista.

Fray Luis de Leon, Libro de Job, 1591.

De entre el caudal de ideas que el maestro Sancho transmitio a quienes querıanescucharle en las aulas, seminarios, pasillos y calles adyacentes de la Facultad deMatematicas de la Universidad de Barcelona, selecciono, entre mis recuerdos, unasindicaciones que me permitieron llegar a una mejor comprension de la geometrıaproyectiva lineal, entendida, siguiendo a Desargues, como el analisis de nuestraintuicion visual del espacio, y, siguiendo a Klein, como el estudio de las nocionesinvariantes por un cierto grupo de transformaciones. La idea de Desargues lleva, demodo natural, a una sencilla presentacion axiomatica (o sintetica) de la nocion deespacio proyectivo (de dimension finita) que permite definir subespacios lineales ymostrar que estos forman un retıculo complementado y modular. Otra indicaciones que vale el recıproco y que, como consecuencia, se pueden entender satisfac-toriamente las nociones mas genuinas de la geometrıa proyectiva elemental: lasoperaciones de proyeccion y seccion y el principio de dualidad. La tercera indica-cion, debatida con ocasion del estudio del libro de Artin sobre algebra geometrica[1], es que todo espacio proyectivo de dimension > 3 (y todo plano proyectivodesarguesiano) es isomorfo al espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial(sobre un cuerpo posiblemente no conmutativo) y que toda transformacion que lle-va rectas a rectas es semilineal. En esta algebraizacion de la geometrıa proyectiva(punto de vista analıtico), tienen un papel principal las caracterizaciones sinteti-cas de las traslaciones y las homotecias. En la prescripcion inolvidable de Sancho,las traslaciones y homotecias son ((aquellas colineaciones que dejan invariantes lospuntos del hiperplano del infinito, y solo ellos en el caso de las traslaciones)).

Ideas similares reaparecen en el estudio sintetico de la fısica cuantica (logicacuantica), y en la correspondiente ((version analıtica)) mediante espacios de Hilbert,y proporcionan, convenientemente retocadas, un metodo satisfactorio para elucidarlas estructuras matematicas que resultan apropiadas para hablar de las elusivaspropiedades de los sistemas cuanticos.

El objeto inicial que nos propusimos para este escrito era aportar unas refle-xiones sobre como hilvanar una presentacion sistematica de estas cuestiones y susinterrelaciones. Este empeno, ademas, conllevaba la oportunidad de dar cuenta delsingular papel del algebra geometrica como lenguaje capaz de incorporar en unmismo plano las nociones geometricas y sus transformaciones, como nos dejo ya in-dicado Sancho en sus reflexiones sobre el texto de Artin [1], y senalar su idoneidadpara formular eficientemente modelos en una diversidad de areas de las matemati-cas y la fısica. Pero la extension de este enfoque ha resultado ser incompatiblecon las limitaciones de espacio indicadas por los editores, con lo cual se ha optadopor remitir a [23, 24] para los detalles omitidos, particularmente demostraciones,referencias mas extensas y comentarios bibliograficos.

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1. Geometrıa

Aprendı a desconfiar de los conceptos fısicos como basepara una teorıa. Se tiene que confiar, en cambio, en unformalismo matematico, incluso si a primera vista noparece estar conectado con la fısica, y concentrarse enobtener resultados matematicos interesantes.

Paul A. M. Dirac, 1977.

Por lo que se refiere a la Geometrıa, el tema de partida era la dilucidacion de lasrelaciones esenciales entre la geometrıa axiomatica y la presentacion en GeometrıaIII (Geometrıa II en los Apuntes de Salamanca, cf. [14]) como ((cambio de lenguajedel algebra lineal)). Lo que sigue esta basado en el pequeno opusculo [22] queescribı como resultado de intentar desarrollar las indicaciones de Sancho, y queahora he revisado e incluido en las notas [23].Definamos espacio lineal como un conjunto X provisto de una familia L = LX

de subconjuntos (llamemos puntos a los elementos de X y rectas a los de L ) talesque:

A.1 Toda recta contiene al menos dos puntos.A.2 Dados dos puntos distintos existe una unica recta que los contiene.

En lo sucesivo diremos espacio en lugar de espacio lineal. Si P es un punto y L unarecta, las frases ((L pasa por P )) y ((P y L son incidentes)) se consideran sinonimasde ((P pertenece a L)). Analogamente, decimos que dos rectas son incidentes, o queson secantes, o que se cortan, si tienen un punto en comun. De los puntos de unconjunto se dice que estan alineados si existe una recta que los contiene.Dado un conjunto de puntos U , diremos que es un subespacio (lineal) si contienetoda recta que contiene dos puntos distintos de U . Toda recta es un subespacio.El conjunto vacıo ∅ y el total X son subespacios. Los puntos (identificados con lossubconjuntos de X con un unico elemento) son subespacios.

Teorema 1.1. El conjunto S = S(X,L ) de subespacios de un espacio (X,L ), conla relacion de inclusion, es un retıculo completo. El elemento mınimo (denotado0) es el conjunto vacıo y el elemento maximo es el espacio total X (tambien deno-tado 1, o 1X).

Demostracion. Es inmediato comprobar que la interseccion de una familia arbi-traria de subespacios es un subespacio. Esta interseccion es el ınfimo de la familia.El supremo de una familia de subespacios es el ınfimo de todos los subespacios quecontienen a todos los elementos de la familia. �

Si U y V son subespacios de X, en lugar de inf({U, V }) = U ∩ V y sup({U, V })escribiremos U ∧ V y U ∨ V , respectivamente. Si P y Q son puntos, pondremosPQ para denotar P ∨ Q, de manera que PQ es P cuando Q = P y es la rectaincidente con P y Q si P 6= Q.La dimension n de un espacio (X,L ), dim(X) = dim(X,L ) en sımbolos, se definecomo el supremo de los n para los cuales existe una cadena estricta

0 ⊂ U0 ⊂ U1 ⊂ · · · ⊂ Un

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de subespacios de X. En particular esta definida la dimension dimU de cualquiersubespacio U de X, o, mas en general, de cualquier elemento U de un retıculo S.Los puntos y las rectas tienen dimension 0 y 1, respectivamente.

Diremos que el espacio (X,L ) es proyectivo si cumple el siguiente axioma:

A.3 (Axioma proyectivo). Si P0, P1, P2, P3 son puntos distintos y las rectas P0P1

y P2P3 son incidentes, entonces las rectas P0P2 y P1P3 tambien lo son:

P0P1 ∧ P2P3 6= 0⇒ P0P2 ∧ P1P3 6= 0.

P0

P1

P3

P2

Figura 1. Axioma proyectivo

Es decir, dos rectas se cortan siempre que se((apoyen)) sobre dos rectas que se cortan. Es-te axioma traduce una propiedad caracterısticade la experiencia visual del espacio: dos rectas((coplanarias)) siempre se cortan.

Teorema 1.2. El retıculo S(X,L ) de un es-pacio proyectivo de dimension finita es comple-mentado y modular.

Demostracion. Es bastante laboriosa. El lemaclave es que si U y V son subespacios no nulos

de un espacio proyectivo X, entonces U ∨ V es la union de los PQ, con P ∈ U yQ ∈ V . �

Sea K un cuerpo (no necesariamente conmutativo) y E un K-espacio vectorial.Pondremos [E] para denotar el conjunto de subespacios vectoriales de dimension1 de E. Si F es un subespacio vectorial de E, entonces [F ] ⊆ [E]. Cuando F =〈e1, . . . , ek〉 (subespacio generado por los vectores e1, . . . , ek ∈ E), en lugar de[〈e1, . . . , ek〉] pondremos simplemente [e1, . . . , ek]. Por ejemplo, dado e ∈ E − {0},[e] = [〈e〉] = {〈e〉}, que identificamos con el elemento de [E] correspondiente a〈e〉. Es obvio que [e] = [e′] (e, e′ ∈ E − {0}) si y solo si e y e′ son linealmentedependientes. En lo sucesivo, esta relacion sera denotada e ∼ e′.Teorema 1.3 (Espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial). Con las no-taciones anteriores, pongamos X = [E] y definamos L como la familia de sub-conjuntos L de X tales que L = [F ], siendo F un subespacio de dimension 2 deE. Entonces:

1) (X,L ) es un espacio proyectivo.2) La aplicacion F 7→ [F ] establece un isomorfismo entre el retıculo R(E) de

los subespacios vectoriales de E y el retıculo S([E]) de los subespacios de[E]. En particular [F ] ∧ [F ′] = [F ∩ F ′], [F ] ∨ [F ′] = [F + F ′].

3) dim(X) = dimK(E)− 1.

Demostracion. Es una consecuencia elemental de las definiciones. Por ejemplo, siP, P ′ ∈ [E] son dos puntos distintos, digamos P = [e], P ′ = [e′] (e, e′ ∈ E − {0}),la unica recta que los contiene es [e, e′].El axioma proyectivo es tambien inmediato: sean ei ∈ E vectores tales que Pi =[ei], i = 0, . . . , 3 (notaciones de A.3). Sea [a] ∈ P0P1 ∧ P2P3 = [e0, e1] ∧ [e2, e3].

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Entonces existen λi ∈ K (i = 0, . . . , 3) tales que

a = λ0e0 + λ1e1 = λ2e2 + λ3e3.

Por tanto,

λ0e0 − λ2e2 = −λ1e1 + λ3e3.

Poniendo b para denotar este vector,

[b] =

{[λ0e0 − λ2e2] ∈ [e0, e2] = P0P2

[−λ1e1 + λ3e3] ∈ [e1, e3] = P1P3

con lo cual [b] ∈ P0P2 ∧ P1P3. �

La siguiente definicion esta motivada por los teoremas 1.2 y 1.3: decimos que unretıculo es proyectivo si es complementado, modular y de dimension finita.

Teorema 1.4 (fundamental de la dimension). En un retıculo proyectivo S, ladimension tiene las propiedades siguientes (U, V ∈ S):

a) Si U 6 V , entonces dim(U) 6 dim(V ), y la igualdad dim(U) = dim(V )solo ocurre si U = V (es decir, U < V ⇒ dim(U) < dim(V )).

b ) Para cualquier cadena estricta 0 < U0 < U1 < · · · < Ud = U de subespaciosde U , d 6 dim(U), y la igualdad es valida si y solo si la cadena es irrefinable.

c) (Formula de Grassmann) dim(U∨V )+dim(U∧V ) = dim(U)+dim(V ). �

En este artıculo, de los espacios proyectivos asociados a espacios vectoriales deci-mos que son neocartesianos. Estos espacios tienen la propiedad adicional, conoci-da como axioma de Fano, que toda recta contiene al menos tres puntos, ya quesi e, e′ ∈ E son linealmente independientes, entonces la recta [e, e′] contiene lospuntos [e], [e′] y [e+ e′].

Un espacio proyectivo puede ser la union (en sentido de conjuntos) de dossubespacios y que contenga rectas reducidas a dos puntos. Sean U y V espa-cios proyectivos y pongamos X = U t V (union disjunta de U y V ). Sea LX =LU ∪LV ∪ {{P,Q}|P ∈ U,Q ∈ V }. Entonces (X,LX) es un espacio proyectivode dimension dimU + dimV + 1. Sus rectas son las rectas de U , las rectas de Vy todos los pares {P,Q} formados con un punto P de U y un punto Q de V . Lasrectas {P,Q}, con solo dos puntos, no intervienen en la comprobacion de A.3, demanera que la validez de este axioma en X equivale a su validez en U y en V .

Un espacio proyectivo se dice que es simple si no es union conjuntista de dossubespacios propios.

Teorema 1.5. Un espacio proyectivo es simple si y solo si cumple el axioma deFano.

Demostracion. Que la condicion es necesaria es inmediato, ya que si X es unionde dos subespacios propios U y V , entonces existen P ∈ U − V y Q ∈ V − U , yesto implica que la recta PQ se reduce a los puntos P y Q. Para la suficiencia, v.[23], pero tiene interes observar (ya que es clave en la demostracion) que una rectaproyectiva abstracta (es decir, un conjunto con al menos dos elementos) es simpleen el sentido anterior si y solo si contiene al menos tres puntos. �

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En lo sucesivo supondremos que espacio proyectivo significa espacio proyectivosimple.

Dos triangulos S = P0P1P2 y T = Q0Q1Q2 de un espacio proyectivo X estanen perspectiva si los seis vertices son distintos y las rectas P0Q0, P1Q1 y P2Q2

son concurrentes en un punto (Figura 2). Naturalmente, llamamos triangulo a unaterna de puntos no alineados, los cuales son sus vertices.

Del siguiente venerable teorema no solo se puede destacar que su demostracion(sintetica) es elemental y nıtida, sino que, como veremos, tiene un papel funda-mental en la elucidacion de que espacios proyectivos son neocartesianos.

Teorema 1.6 (Desargues). Si dim(X) > 3 y S y T son dos triangulos en pers-pectiva, entonces las intersecciones

R0 = P1P2 ∧Q1Q2, R1 = P2P0 ∧Q2Q0, R2 = P0P1 ∧Q0Q1

son tres puntos alineados. �

P0

P1

Q0

P2

Q1

Q2

R2

R0

R1

O

Figura 2. Triangulos en perspectiva yteorema de Desargues

Si X es un plano proyectivo, puede ocu-rrir que no se verifique el teorema deDesargues (cf. [21]). A los que verificandicho teorema, se les denomina planosdesarguesianos. Por ejemplo, todo planoneocartesiano es desarguesiano, pues untal plano puede ser sumergido en unespacio proyectivo neocartesiano de di-mension mayor.

Un atomo de un retıculo proyectivo Ses un elemento A ∈ S minimal entre loselementos no nulos o, equivalentemente,tal que dim(A) = 0. Si U es otro ele-mento de S y A un atomo, diremos queA pertenece a U si y solo si A ≤ U . Fi-nalmente pondremos U para denotar elconjunto de atomos de S que pertenecen

a U . En el caso en que S sea el retıculo de subespacios de un espacio proyectivoX, los atomos son los puntos de X y, dado un subespacio U , U = U .

Teorema 1.7 (Espacio proyectivo asociado a un retıculo proyectivo). Sea S un

retıculo proyectivo, X = X(S) = S el conjunto de sus atomos, y L la familia de

subconjuntos de X de la forma U con dim(U) = 1. Entonces (X,L ) es un espacio

proyectivo. Ademas, la aplicacion S → S(X,L ) tal que U 7→ U es un isomorfismode retıculos. �

Los teoremas 1.2 y 1.7 muestran que las nociones de espacio proyectivo y retıculoproyectivo son fundamentalmente equivalentes, en el sentido que las transforma-ciones X 7→ S(X) y S 7→ X(S) son inversas una de otra. Esta equivalencia permitepasar de un lenguaje al otro sin dificultad y utilizar el que mas convenga para los

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enunciados y demostraciones. Veamos, como ilustracion, la formulacion de los pro-cesos generales mas caracterısticos de la geometrıa proyectiva: proyeccion, secciony dualidad.

Corolario A (Proyeccion). Sea U un elemento de un retıculo proyectivo S. Pon-gamos SU = {V ∈ S |U ⊆ V }. Entonces SU es un retıculo proyectivo y dimSU =

dimS − dimU − 1. Ademas, el espacio de atomos de SU , que denotamos?

Uy llamamos radiacion de vertice U , esta formado por los V ∈ SU tales quedim(V ) = dim(U) + 1. En terminos de espacios proyectivos tenemos que la ra-

diacion?

U de un subespacio U de un espacio proyectivo X tiene una estructura

natural de espacio proyectivo y dim?

U = dimX − dimU − 1. En el caso particularde un espacio neocartesiano X = [E], con U = [F ] (F ⊆ E subespacio vectorial),?

U se identifica con el espacio proyectivo [E/F ]. �

Corolario B (Seccion). Sea U un elemento de un retıculo proyectivo S y U ′ uncomplemento de U . Entonces la aplicacion SU → S(U ′) tal que V 7→ V ∧ U ′ esun isomorfismo. El isomorfismo inverso S(U ′) → SU viene dado por la aplicacion

V ′ 7→ U ∨ V ′. La restriccion de este isomorfismo a?

U nos da una biyeccion de?

U

con U ′ (decimos que es la seccion de la radiacion?

U con U ′). En el caso del espacioproyectivo [E] asociado a un espacio vectorial E, y en el que U = [F ] y U ′ = [F ′](F, F ′ ⊆ E subespacios vectoriales), el isomorfismo en cuestion corresponde alisomorfismo F ′ ' E/F inducido por la proyeccion de E sobre E/F . �

Combinando los corolarios A y B, tenemos:

Corolario C (Proyeccion y seccion). Con las notaciones del corolario B, sea U ′′

otro complemento de U . Entonces la aplicacion

S(U ′)→ S(U ′′), V ′ 7→ (V ′ ∨ U) ∧ U ′′

es un isomorfismo de retıculos (proyeccion de U ′ sobre U ′′ con vertice U). En elcaso neocartesiano, si U ′′ = [F ′′] (F ′′ ⊆ E subespacio vectorial) este isomorfis-mo corresponde a la composicion del isomorfismo F ′ ' E/F con el inverso delisomorfismo F ′′ ' E/F . �

Recordemos ahora que el dual de un retıculo S = (S,≤) es S∗ = (S,≥), quetambien es un retıculo. De hecho, 0∗ = 1, 1∗ = 0, U∧∗V = U∨V y U∨∗V = U∧V .Recordemos tambien que los hiperplanos de un retıculo proyectivo S son los atomosde S∗, es decir, los elementos U tales que dimU = dimS−1. En el caso del retıculoS(X,L ) de un espacio proyectivo (X,L ), los hiperplanos son los subespacios deX de dimension dim(X)− 1.

Corolario D (Dualidad). El dual S∗ de un retıculo proyectivo S es un retıculoproyectivo, ya que la propiedad modular y de existencia de complementario sonautoduales. Si X∗ es el espacio proyectivo asociado a S∗ (Teorema 1.2), sus puntosson los hiperplanos de S y el isomorfismo natural S∗ → S(X∗) viene dado por laaplicacion U 7→ U , siendo U el conjunto de los hiperplanos que contienen a U (haz

de hiperplanos de eje U ; es la version dual de U). En particular, U ∨ V = U ∧ V ,U ∧ V = U∨V , 0 = X∗, 1 = 0. En el caso neocartesiano, el espacio proyectivo [E∗]

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se identifica con el espacio proyectivo dual [E]∗ y el isomorfsmo de S∗([E]) = R∗(E)con S([E]∗) = S([E∗] = R(E∗) viene dado por la aplicacion F 7→ F , siendoF = {ω ∈ E∗ |ω(F ) = {0}} (espacio polar de F ). �

Necesitamos ahora recordar los elementos basicos del lenguaje de la geometrıa afındesde un punto de vista proyectivo.

Sea X un espacio proyectivo e Y un hiperplano de X. Pongamos XY = X − Y(el conjunto complementario de Y en X). Entonces XY es un espacio de modonatural: un subconjunto L de XY es una recta si y solo si existe una recta L de Xno contenida en Y tal que L = L ∩XY . Como L corta a Y en un unico punto, Lcontiene al menos dos puntos (ya que L contiene al menos tres). Por otra parte,si P y Q son dos puntos distintos de XY , entonces PQ ∩XY es la unica recta deXY que los contiene.

Decimos que XY es el espacio afın definido por el hiperplano Y . A los puntos deY los llamaremos puntos del infinito de XY . De la misma definicion se desprendeque si L es una recta de XY , entonces existe un unico punto L∞ ∈ Y (al quellamaremos punto del infinito de L) tal que L = L ∪ {L∞} es una recta de X. Eneste contexto, conviene poner ¯PQ para denotar la recta de X que une dos puntosP,Q ∈ X, y PQ para denotar la de XY que une dos puntos P,Q ∈ XY . Por tanto,PQ = ¯PQ ∩XY si P,Q ∈ XY .

Si U es un subespacio de XY , pondremos U∞ ⊆ Y para denotar el conjunto depuntos del infinito de las rectas de U . No es difıcil ver que U∞ es un subespaciode Y y que U = U tU∞ es un subespacio de X al que denominamos completacionproyectiva de U . Se puede ver que dim(U) = dim(U) y puesto que U∞ = U ∩ Y ,dim(U∞) = dim(U)− 1 y por tanto dim(U) = dim(U∞) + 1.

El espacio afın incorpora de manera natural la nocion de paralelismo. Se diceque dos subespacios U y V de XY son paralelos si U∞ ⊆ V∞ o V∞ ⊆ U∞. SiU y V tienen la misma dimension, entonces son paralelos si y solo si U∞ = V∞.En particular resulta que la relacion de paralelismo entre las rectas de XY es unarelacion de equivalencia (denotada ‖).Ejemplo. Sea E un espacio vectorial de dimension finita sobre un cuerpo K, E ⊂ Eun hiperplano y e0 ∈ E − E. Si ponemos X = [E], entonces Y = [E] es unhiperplano de X y el espacio afın XY se puede describir directamente en terminosde E que resultan familiares. En efecto, la aplicacion i : E → XY , i(e) = [e0 + e],es biyectiva. Por otra parte, si L es una recta de XY , P = [e0 + e] ∈ L y L∞ = [v],v ∈ E, entonces los puntos de L = L−L∞ tienen la forma [e0 +e+λv] = i(e+λv),λ ∈ K. Es decir, L = i(e+ 〈v〉), lo que muestra que L se identifica con el conjuntoe+〈v〉, al que usualmente se llama ((recta de E que pasa por e con vector director v)).Notese que L = i(e + 〈v〉) y L′ = i(e′ + 〈v′〉) son paralelas si y solo si 〈v〉 = 〈v′〉,lo cual coincide con la nocion usual de paralelismo para las ((rectas)) de E. �

Un automorfismo de un espacio afın XY es un automorfismo α de XY tal queα(L) ‖ α(L′) si L ‖ L′. El conjunto Aut(XY ) de estos automorfismos forma ungrupo con la composicion (grupo afın de XY ). Si ponemos Aut(X)Y para denotarel subgrupo de Aut(X) formado por los autormofismos que dejan invariante Y ,entonces existe un homomorfismo Aut(X)Y → Aut(XY ) dado por restriccion y es

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un ejercicio comprobar que este homomorfismo es un isomorfismo. En lo que sigueidentificaremos el grupo afın Aut(XY ) con Aut(X)Y . El elemento de Aut(X)Ycorrespondiente a α ∈ Aut(XY ) sera denotado α.

Pondremos H = HY para denotar el grupo de automorfismos de X que dejaninvariantes todos los puntos de Y . Es un subgrupo de Aut(XY ). De los elementosde H se dice que son homologıas de eje Y .

Teorema 1.8. 1) Una homologıa que deja invariantes todas las rectas de dosradiaciones distintas es la identidad.2) Toda homologıa deja invariantes las rectas de una radiacion. �

Si una homologıa h deja invariantes las rectas de la radiacion?

P , diremos que Pes el centro de h. El teorema anterior prueba que toda homologıa distinta de laidentidad posee un unico centro. A las homologıas con centro en Y las llamaremosY -traslaciones. Al centro de una Y -traslacion lo denominamos direccion de latraslacion. Pondremos T = TY para designar al conjunto de Y -traslaciones. A lashomologıas con centro exterior a Y las llamamos Y -homotecias. El conjunto HY,P

formado por las Y -homotecias con centro en P es un subgrupo de HY . Noteseque para comprobar que una homologıa es una traslacion basta mostrar que sereduce a la identidad si deja invariante un punto exterior a Y . Cuando Y se puedasobreentender, hablaremos simplemente de traslaciones y homotecias.

Teorema 1.9. 1) Las Y -traslaciones TY forman un subgrupo invariante del grupoafın AY = Aut(XY ). En particular, TY es invariante en HY .2) TY es abeliano si no todas las Y -traslaciones tienen la misma direccion. �

P

Q0

P0 P1

Q1

Y

Figura 3. Construccion del punto Q1 =h(P1), donde h es una homologıa de centroP y eje Y tal que h(P0) = Q0.

Diremos que X tiene suficientes homo-logıas si existe, dados puntos alinea-dos distintos P, P0, Q0 y cualquier hiper-plano Y no incidente con P0 y Q0, unaY -homologıa h de eje Y y centro P talque h(P0) = Q0. Observese que si P1

es un punto exterior a P0Q0 (v. Figu-ra 3), entonces Q1 = h(P1) es el puntoque se obtiene como interseccion de lasrectas PP1 y Q0(P0P1 ∧ Y ). Si los datosP e Y se pueden sobreentender, escribi-remos hP0,Q0

(P1) para indicar el puntoQ1 construido como se acaba de indicar.Esta definido si P1 no es incidente conP0Q0. La relacion P1 = hP0,Q0

(P1) equi-vale a que P1 ∈ Y .

Teorema 1.10. La validez del teorema de Desargues equivale a que X tenga su-ficientes homologıas. �

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ESCONDIDAS SENDAS 243

Ası que X tiene suficientes homologıas siempre que dim(X) > 3 (Teorema 1.6). Sidim(X) = 2, entonces X tiene suficientes homologıas si y solo si el X es desargues-siano. Si X es un plano desarguessiano o dim(X) > 3, entonces TY es abelianopara cualquier hiperplano Y de X (Teorema 1.9).

Fijemos un hiperplano Y deX y llamemos E al grupo abeliano de las traslacionesde X. Tautologicamente, E es un End(E)-modulo. Escribiremos E aditivamente,de modo que la identidad sera denotada 0. Si P es un punto exterior a Y y e esuna traslacion, el punto e(P ) se denota tambien P + e. Si P y Q son exteriores aY , existe una unica traslacion e tal que Q = P +e. Esta traslacion se suele denotar

Q− P , o tambien ~PQ.Se dice que un endomorfismo a de E es un escalar si e y a(e) tienen la misma

direccion para toda traslacion e. Los escalares forman un subanillo K = KY deEnd(E) y por tanto E tiene estructura de K-modulo.

Teorema 1.11. 1) Sea P un punto exterior a Y . Dada una homotecia h de centroP , la aplicacion λh : E → E, e 7→ h◦e◦h−1, es un escalar no nulo.2) La aplicacion HY,P → K − {0}, h 7→ λh, es un isomorfismo. En particular, Kes un cuerpo (no necesariamente conmutativo). �

Ejemplo. Sea K un cuerpo y E un espacio vectorial de dimension n sobre K. Conla notaciones del ejemplo de la pagina 241, E se identifica al grupo TY de lastraslaciones de XY . En efecto, si para cada vector v ∈ E definimos la traslaciontv de XY por la formula

[λe0 + e] + tv = [λe0 + e+ λv],

entonces es facil ver que la aplicacion v 7→ tv es un isomorfismo de E ' TY .De modo parecido se ve que K se identifica con KY por el isomorfismo α 7→ α,αtv = tαv. Con esta identificacion, el isomorfismo E

∼−→ TY es un isomorfismo deespacios vectoriales (no solo de grupos). �

Sean E y E espacios vectoriales sobre los cuerpos K y K, respectivamente. Unaaplicacion f : E → E es semilineal si es un homomorfismo de grupos y existe unmorfismo de cuerpos σ : K → K tal que

f(ae) = aσf(e)

para todo e ∈ E y a ∈ K. Si la aplicacion f no es nula, a lo sumo existe unmorfismo σ que verifica la igualdad anterior. Es por esto que se habla del morfismode cuerpos asociado a una aplicacion semilineal. Diremos que f es un isomorfismosemilineal si f y σ son isomorfismos.

Teorema 1.12 (Veblen-Young). Sea X un espacio proyectivo. Si dimX > 3 o Xes un plano proyectivo desarguesiano, entonces X es isomorfo al espacio proyectivo[E] asociado a un K-espacio vectorial E. El cuerpo K y el K-espacio vectorial Equedan determinados salvo isomorfismos semilineales. �

Los teoremas 1.3 y 1.12 muestran que los espacios proyectivos de dimension > 3y los planos proyectivos desarguesianos pueden representarse siempre como un es-pacio proyectivo neocartesiano. Por otra parte, las unicas rectas proyectivas que

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tiene interes considerar son las neocartesianas, ya que un espacio proyectivo dedimension 1 no es mas que un conjunto arbitrario de cardinal > 2. Entre estasrectas, la recta proyectiva compleja, P1

C = [C2], tiene una significacion muy espe-cial no solo en Matematicas, sino tambien, como veremos en la proxima seccion,en Fısica.

Teorema 1.13. Sean E y E′ espacios vectoriales sobre K y K ′, respectivamente, ysupongamos dado un isomorfismo ϕ : [E]→ E′ de espacios proyectivos. Entoncesexiste un isomorfismo semilineal f : E → E′ tal que ϕ([e]) = [f(e)] para todoe ∈ E. �

Diagrama magico de Artin. SeaX = [E] el espacio proyectivo asociado a un espaciovectorial E y pongamos S(E) para indicar el grupo de automorfismos semilinealesde E. Por el teorema anterior, el morfismo S(E) → Aut(X) es epiyectivo. Esfacil ver que su nucleo es K∗, el grupo multiplicativo del cuerpo K. Asociemosahora a cada automorfismo semilineal el correspondiente automorfismo del cuerpo.Obtenemos un epimorfismo S(E) → Aut(K) cuyo nucleo es GL(E). Como a lashomotecias les corresponden automorfismos internos, resulta que el diagrama quesigue es exacto por filas y columnas ([1], pag. 93):

1 1 1

1 1 1

1

1

1

1

1

1

Z(K) K Int(K)

GL(E)

PGL(E)

S(E) Aut(K)

Aut(X) AUT(K)

Z(K) denota el centro de K; aparece en el vertice superior izquierdo porque lahomotecia e 7→ ae es lineal si y solo si a es del centro de K. PGL(E), el grupolineal proyectivo, es la proyectivizacion de GL(E) y se puede caracterizar utilizandoel concepto de perspectividad, que a su vez deriva del la nocion de proyeccion(cf. [23]). AUT(K) se define como el cociente de Aut(K) por el subgrupo de losautomorfismos internos.

Los resultados principales expuestos en esta seccion se pueden mirar como ilus-traciones de la idea de unificacion. Destacan el Teorema 1.7, que esencialmenteunifica la teorıa de retıculos proyectivos con la de los espacios proyectivos, haciendoası posible un tratamiento satisfactorio de las nociones proyectivas fundamentales,y los teoremas 1.12 y 1.13, que unifican la teorıa de los espacios proyectivos dedimension n > 2, exceptuando los planos proyectivos no desarguesianos, con la delos espacios proyectivos neocartesianos de dimension > 2.

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2. Formalismos cuanticos

He pensado cien veces mas sobre el problema cuanticoque sobre la teorıa general de la relatividad.

Albert Einstein.

The language of mathematics makes the world ofMaxwell fields and the world of quantum processesequally transparent. [...] Each of the interpretations ofquantum mechanics is an attempt to describe quantummechanics in a language that lacks the appropriateconcepts. The battles between the rival interpretationscontinue unabated and no end is in sight.

Freeman J. Dyson, [7].

En un primer encuentro, especialmente para matematicos, la terminologıa basi-ca de la fısica cuantica se puede introducir como cambio de lenguaje analogo alde la formulacion neocartesiana de la geometrıa proyectiva, pero usando espa-cios hermıticos en lugar de espacios vectoriales sobre un cuerpo arbitrario. Estelenguaje se desarrollara solo hasta el punto de poder explicar con detalle el com-portamiento de un q-bit (espın 1/2), un analisis que muestra las peculiaridadesesenciales de la fısica cuantica y subraya el papel de las matematicas como lengua-je indispensable para formularlas. Pero por razones de espacio no habra viaje porla senda que llega al lenguaje analıtico de los espacios de Hilbert desde el lenguajesintetico de la ((logica cuantica)), no pudiendo aquı mas que apuntar a la recopila-cion enciclopedica [9], a los tratados [20] y [3], o a la excelente monografıa [5].

Un espacio vectorial hermıtico es un espacio complejo E dotado de un productoescalar 〈x|y〉 que satisface las siguientes propiedades:

(1) 〈x|y〉 = 〈y|x〉. En particular, 〈x|x〉 ∈ R.(2) Es lineal en y. Esta propiedad y (1) implican que es conjugado-lineal en x.(3) 〈x|x〉 > 0 si x 6= 0.

Ejemplo. Cn con el producto escalar

〈(ξ1, . . . , ξn)|(ξ′1, . . . , ξ′n)〉 = ξ1ξ′1 + · · ·+ ξnξ

′n.

Para el tratamiento del q-bit, bastara el espacio C2, al que se llama espacio de2-espinores, o simplemente espinores, por las razones que se veran.Para cualquier x ∈ E, ponemos |x| =

√〈x|x〉 (norma o longitud de x). Si |x| = 1,

decimos que x es unitario. Por ejemplo, x = x/|x| (normalizacion de x) es unitariopara cualquier x 6= 0.

Llamamos operadores a los C-endomorfismos de E. Si L es un operador, se defineel operador adjunto L† como el unico endomorfismo de E tal que 〈L†y|x〉 = 〈y|Lx〉.La aplicacion L 7→ L† es antilineal. Si L† = L, se dice que F es autoadjunto. Laproyeccion ortogonal πF : E → E (esto es, πFx = x′ si x = x′ + x′′ con x′ ∈ F yx′′ ∈ F⊥) es un operador autoadjunto, ya que las expresiones 〈πF y|x〉 y 〈y|πFx〉son ambas iguales a 〈y′|x′〉. Un operador U es unitario si UU† = I.

La introduccion de las nociones cuanticas que usaremos consta de cuatro axio-mas: Q1, . . . , Q4. Hemos optado por enunciarlos juntos y exponer el q-bit despues,

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pero el lector quiza prefiera empezar con el q-bit (pagina 248) y acudir a los axio-mas cuando le parezca conveniente. El objeto de los comentarios incluidos en laexposicion del q-bit, y de las observaciones mas generales anejas a la formulacion decada axioma, es evidenciar el contraste radical entre el marco conceptual cuanticoy las suposiciones inherentes con los paradigmas clasicos.

Q1. (a) Sistemas y estados cuanticosEntendamos por sistema cuantico un espacio vectorial hermıtico E y llamemosestados (puros) del sistema a los elementos del espacio proyectivo [E]. El estado[x] definido por x ∈ E − {0} se suele denotar |x〉 (notacion ket de Dirac). De lasdefiniciones resulta que |x〉 = |x′〉 si y solo si x ∼ x′, y ası [E] = (E − {0})/∼.Consideremos tambien la relacion x ≡ x′ si y solo si x′ = eiαx para algun α ∈ R.Dado que |x〉 = |x〉, vemos que todo estado se puede representar por un vectorunitario u = x, y dos vectores unitarios u y u′ definen el mismo estado (u ∼ u′) siy solo si u ≡ u′. Mas adelante usaremos que x 7→ (|x|, |x〉) da

((E − {0})/≡) ' R+ × ((E − {0})/∼) = R+ × [E].

Q1. (b) Superposicion cuanticaDados dos estados X = |x〉 y X ′ = |x′〉, de los estados de la recta XX ′ se diceque son superposicion de X y X ′. Tales estados tienen la forma |ξx + ξ′x′〉, conξ, ξ′ ∈ C y ξx+ ξ′x′ 6= 0.

Observacion. Lo mas parecido a la nocion de superposicion en sistemas clasicos es lasuperposicion de ondas. Especialmente interesante es el caso de la superposicion deestados de polarizacion de las ondas electromagneticas. Uno de los exitos mayoresde la teorıa de Maxwell fue predecir dichos estados, describirlos matematicamente,y explicar muchos de los fenomenos observados. Pero dicha teorıa no basta paraexplicar porque pasa luz a traves de dos laminas polarizadoras cruzadas a 90◦

cuando se interpone una tercera lamina polarizadora entre ellas. La teorıa cuantica,en cambio, proporciona una explicacion satisfactoria de este fenomeno y mejora lacomprension de los fenomenos que da la teorıa electromagnetica.

Otra cuestion es que en los textos que usan la notacion de Dirac usualmentese comete el abuso que consiste en escribir ξ|x〉 + ξ′|x′〉 en lugar de |ξx + ξ′x′〉.Aunque matematicamente no tiene sentido, en la practica se sobreentiende que elestado |x〉 ((recuerda)) el vector x que se ha usado para construirlo y ası los calculosse pueden usualmente interpretar sin ambiguedad.

Q2. Cuantoscopios, medidas y observablesEntendamos por cuantoscopio (para ((observar)) o ((medir)) el sistema) un conjuntode pares A = {(a1, E1), . . . , (ar, Er)} tales que

1. Los aj son numeros reales distintos ({a1, . . . , ar} es la escala o graduaciondel cuantoscopio y la suponemos ordenada); y

2. Los Ej son subespacios vectoriales no nulos de E con E = ⊕jEj (diremosque son los espacios A-propios).

Una observacion o medida con el cuantoscopio A, suponiendo que el estado delsistema es |u〉 (u unitario), consiste en realizar las dos operaciones siguientes:

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(i) seleccionar un valor aj con probabilidad pj = |uj |2, siendo uj = πEjula proyeccion ortogonal de u en Ej (se dice que aj es el resultado de laobservacion), y

(ii) cambiar el estado |u〉 por el estado |uj〉 (notese que uj 6= 0 si aj resultaseleccionado).

Si u ∈ Ej (es decir, si u es A-propio), entonces uj = u y pj = 1, de maneraque el resultado aj es seguro y la medida no cambia el estado. Ello implica queEk ⊥ Ej cuando k 6= j, pues para todo u ∈ Ej el resultado ak es imposible y estosignifica que πEk(u) = 0. A su vez esto implica que para cualquier u los escalarespj = pAj (u) son efectivamente una distribucion de probabilidad:∑

j

pj =∑j

|πEju|2 = |∑j

πEju|2 = |u|2 = 1,

donde en el segundo paso se ha usado la ortogonalidad dos a dos de los espaciosEj y en el tercero que ⊕jEj = E.

A todo cuantoscopio A le asignamos el operador A =∑j ajπEj . Este operador

es autoadjunto y A 7→ A es una inclusion del conjunto de cuantoscopios en el espa-cio de operadores autoadjuntos. Recıprocamente, dado un operador autoadjuntoA′, sus valores propios son reales (pongamos a1, . . . , ar para denotar los valorespropios distintos de A′, ordenados con el mismo criterio que el usado para orde-nar las escalas de los cuantoscopios) y los correspondientes espacios E1, . . . , Erde vectores propios forman una descomposicion ortogonal de E (este es el con-tenido del teorema de diagonalizacion de los operadores autoadjuntos). Ası puesA = {(a1, E1), . . . , (ar, Er)} es un cuantoscopio (diremos que es el cuantoscopioasociado a A′, o definido por A′).

Observables. Para seguir la terminologıa al uso, de ahora en adelante llamaremosobservables a los operadores autoadjuntos. Una observacion de un observable esuna medida con el correspondiente cuantoscopio. Como ha quedado dicho, una talobservacion suministra, si el estado del sistema es |u〉 (u unitario), un valor propioaj del observable con probabilidad pj = |uj |2, uj = πEju, y deja el sistema en elestado |uj〉.Q3. Dinamica unitariaLa evolucion del sistema E en un intervalo temporal [0, t] se rige por un operadorunitario Ut, en el sentido que si x0 ∈ E representa el estado del sistema en elinstante t = 0, entonces Utx0 representa el estado del sistema en el instante t.Si Ut = eiHt, siendo H un observable, decimos que la evolucion es hamiltoniana,y que H es el hamiltoniano del sistema. Notese que eiHt es un operador unitario,

ya que eiHt(eiHt)† = eiHte−iH†t = Id.

Teorema 2.1 (Ecuacion de Schrodinger). Si la evolucion es hamiltoniana y elhamiltoniano H no depende del tiempo, entonces el vector de estado x = Utx0

satisface la ecuacion x = iHx.

Demostracion. Inmediata. �

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Observacion. Algunos autores toman −H como hamiltoniano, en cuyo caso laecuacion de Schrodinger es x = −iHx.

Q4. EntrelazamientoDados dos sistemas cuanticos E y E′, el sistema cuantico compuesto por los dossistemas es E ⊗ E′ con la metrica hermıtica que cumple

〈x⊗ x′|y ⊗ y′〉 = 〈x|y〉 · 〈x′|y′〉.

De los estados de la forma |x⊗ x′〉 se dice que son compuestos (o descomponiblesen terminologıa matematica).

Los otros estados de E ⊗E′ son estados entrelazados (entangled). Por ejemplo,si |x〉 e |y〉 son estados ortogonales de E, y |x′〉 y |y′〉 estados ortogonales de E′,entonces es facil comprobar que

|x⊗ x′ + y ⊗ y′〉 = |x〉|x′〉+ |y〉|y′〉

es entrelazado. Este tipo de estados se denominan estados EPR debido a quefueron utilizados por Einstein, Podolsky y Rosen en el artıculo [8] como base deun argumento que pretendıa mostrar que la mecanica cuantica no es completa

Figura 4. Esquema del experimento SG.

Bits cuanticos. El comportamientocuantico del espın, o momento angu-lar intrınseco, fue puesto de manifiestopor primera vez con el experimento SG(Stern y Gerlach, 1922) esquematizadoen la figura 4. En general, los valoresobservados en un experimento SG tie-nen (en unidades apropiadas) la formaj = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s, siendo sun numero entero o semientero no ne-gativo caracterıstico del sistema. En to-dos los casos, el numero de valores j ess− (−s) + 1 = 2s+ 1.

El caso mas simple, exceptuando el trivial s = 0, es s = 1/2, con dos valores, ±1/2.Es el sistema que consideramos a continuacion y al que llamaremos simplemente bitcuantico o q-bit. En este caso los resultados experimentales sugieren que podemospensar los estados del q-bit como los vectores de norma 1 (en unidades apropiadas),de modo que el espacio de estados (puros) de espın es la esfera S2.

Dado que S2 ' C = C t {∞}, via proyeccion estereografica de S2 en el plano

ecuatorial z = 0 (que identificamos con C), y que por otra parte C ' P1C = [C2],

via la aplicacion ξ 7→ [1, ξ] (ξ ∈ C) e ∞ 7→ [0, 1], tenemos, por composicion debiyecciones, S2 ' [C2], de modo que, de acuerdo con Q1(a), podemos tomar elespacio de espinores C2 como espacio de vectores de estado del q-bit.

La siguiente tabla resume como actuan todas estas biyecciones en los dos sentidos(en la cuarta fila, k = 2/(a2 + b2 + 1), c = (a2 + b2 − 1)/2):

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S2 C P1C = [C2]

(x, y, z) 6= (0, 0, 1) → x1−z + y

1−z i = ξ → [1, ξ]

(0, 0, 1) → ∞ → [0, 1]

k(a, b, c) ← a+ bi = ξ1/ξ0 ← [ξ0, ξ1] (ξ0 6= 0)(0, 0, 1) ← ∞ ← [0, ξ1] = [0, 1]

Pongamos |ξ0, ξ1〉 ∈ S2 para denotar el estado correspondiente a [ξ0, ξ1] ∈ [C2].Si ξ0 6= 0, |ξ0, ξ1〉 = |1, ξ〉 (ξ = ξ1/ξ0), que escribiremos abreviadamente |ξ〉. Enparticular, |0〉 = |1, 0〉 es el punto S = (0, 0,−1) (el polo sur de la esfera). El estado|∞〉 = |0, 1〉 es el punto (0, 0, 1) = N (polo norte). Observese que la notacion deDirac nos permite escribir |ξ0, ξ1〉 = ξ0|0〉+ ξ1|∞〉, de manera que todo estado delq-bit es una superposicion de los estados |0〉 y |∞〉. Los estados |∞〉 y |0〉 puedenser descritos como ((espın arriba)) (paralelo al campo magnetico) y ((espın abajo))(antiparalelo al campo magnetico).

ξ = x+ iy

u = uϕ,θ = |ξ〉 = |sϕ,θ〉

x

y

z

N = |∞〉 = |0, 1〉

S = |0〉

|i〉−|i〉

|1〉

−|1〉

O

ϕ

θ

Figura 5. Proyeccion estereografica y estados de un q-bit en notacionde Dirac. Para la expresion de sϕ,θ, vease el Teorema 2.2. Los angulosϕ y θ son la longitud y la colatitud de u.

Hay autores que en lugar de |∞〉 escriben |1〉. De este modo todo estado se expresacomo superposicion de los estado |0〉 y |1〉 y explica el termino q-bit por analogıacon el termino bit para referirse a los valores 0 y 1. Aquı hemos optado por seguircon la notacion |∞〉 porque en la presentacion mediante la proyeccion estereograficael estado |1〉 denota el punto unidad del eje Ox. Digamos tambien que otros autoresusan las notaciones | ↑ 〉 y | ↓ 〉 en lugar de |∞〉 y |0〉.

Dado un s = [ξ0, ξ1] ∈ C2, pondremos s⊥ = [−ξ1, ξ0]. La notacion es apropiada,ya que 〈s|s⊥〉 = 0. La aplicacion s 7→ s⊥ es una involucion antilineal que cumple|s| = |s⊥| (con lo cual s, s⊥ forman una base ortonormal de C2 si s es unitario).La involucion ⊥ es compatible con ≡ y ∼, con lo cual induce una involucion de S2,|s〉 7→ |s⊥〉, que seguiremos denotando con el mismo sımbolo, esto es, |s〉⊥ = |s⊥〉.Las coordenadas esfericas (ϕ, θ) que intervienen en el teorema que sigue son (v. laFigura 5) la longitud ϕ ∈ [0, 2π) de |ξ〉 medida en sentido antihorario (coincide con

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el argumento de ξ), y la colatitud θ ∈ [0, π] (el angulo que O|ξ〉 forma con O|∞〉,siendo O el centro de S2). En lo que sigue, la expresion uϕ,θ denota el estado cuyascoordenadas esfericas son (ϕ, θ).

Teorema 2.2. (1) La involucion ⊥ de S2 es la involucion antipodal: u⊥ = −u.(2) Mas generalmente, si s, s′ ∈ C2 son no nulos, y β = β(s, s′) es el angulohermıtico entre s y s′, entonces α(u, u′) = 2β, siendo u = |s〉, u′ = |s′〉 y α elangulo euclıdeo entre u y u′.

Demostracion. Las coordenadas (x, y, z) de u = uϕ,θ = |ξ〉 vienen dadas por

x = sen θ cosϕ, y = sen θ senϕ, z = cos θ.

Su proyeccion estereografica en C es

ξ =x

1− z +y

1− z i =sen θ cosϕ

1− cos θ+

sen θ senϕ

1− cos θi =

sen θ

1− cos θeiφ = eiφ cot θ2 ,

lo cual muestra que [1, ξ] ∼ s, siendo

s = sϕ,θ = [e−iϕ/2 sen θ2 , e

iϕ/2 cos θ2 ]

(notese que s es unitario) y que |sϕ,θ〉 = |ξ〉 = u. Por ultimo es claro que

−u = −uϕ,θ = uϕ+π,π−θ = |sϕ+π,π−θ〉 = |i s⊥ϕ,θ〉 = |s⊥ϕ,θ〉 = u⊥.

Para probar (2), podemos partir del hecho que el angulo α = α(u, u′) viene dado,en terminos de las coordenadas esfericas de u = uϕ,θ y u′ = uϕ′,θ′ , por la relacion

cosα = cos θ cos θ′ + sen θ sen θ′ cos(ϕ− ϕ′)(una de las formulas basicas de la trigonometrıa esferica). Para relacionar β conα, podemos suponer que s = sϕ,θ y s′ = sϕ′,θ′ . Entonces

cos2 β = (cos θ2 cos θ′

2 )2 + (sen θ2 sen θ′

2 )2 + 2 sen θ2 sen θ′

2 cos θ2 cos θ′

2 cos(ϕ− ϕ′).Usando ahora que cos(2β) = 2 cos2 β − 1 e identidades trigonometricas similarespara θ/2 y θ′/2, se obtiene sin dificultad que cos(2β) = cos(α), lo que implica queβ = α/2. �

Dado un estado u = uϕ,θ ∈ S2, podemos considerar el cuantoscopio

Au = {(1, 〈sϕ,θ〉), (−1, 〈s⊥ϕ,θ〉)}.Teorema 2.3. Los resultados de las observaciones con Au reproducen las es-tadısticas de los experimentos SG con el campo magnetico orientado en la direccionu = |sϕ,θ〉.Demostracion. Sea v = |t〉 (t unitario) el estado del q-bit al proceder a efectuaruna medicion con Au, y sea α = α(v, u). Entonces sabemos que β = β(t, s) =α/2 (Teorema 2.2.2). Ahora el axioma Q2 nos dice que una medicion con Aunos proporciona 1 con probabilidad |〈t|s〉|2 = cos2(α2 ) y −1 con probabilidad

1 − |〈t|s〉|2 = sin2(α2 ). Estas probabilidades estan de acuerdo con las estadısticasobservadas en los experimentos de SG con sistemas de espın 1/2. Notese que lasprobabilidades coinciden (iguales a 1/2) precisamente cuando v es perpendicular

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ESCONDIDAS SENDAS 251

a u. Tambien merece ser mencionado que el valor medio de las observaciones,cuando v se puede suponer distribuido aleatoria y uniformemente sobre S2, es 0.En efecto, dicho valor medio es el valor medio de cos2(α2 )− sin2(α2 ) = cos(α) y elvalor medio de cos(α) para α ∈ [0, π] es 0. �

Observables de Pauli. El teorema que sigue describe el observable asociado a Auen terminos de la proyeccion ortogonal πs de C2 sobre s, siendo u = |s〉, s unitario.Notese que esta proyeccion solo depende de u ya que πs(x) = 〈s|x〉s.

Teorema 2.4. (1) El observable asociado a Au coincide con Ps = 2πs− I (siendoI la identidad de C2).(2) Si U es un operador unitario de C2 (U†U = I), UPsU

† = PUs.

Demostracion. (1) Es inmediato comprobar que los vectores s y s⊥ son vectorespropios de 2πs − I con valores propios +1 y −1, respectivamente.(2) Siendo s y s⊥ vectores propios de valores propios 1 y −1 de Ps, resulta queUs y (Us)⊥ = Us⊥ son vectores propios de UPsU

† de valores propios 1 y −1,respectivamente, y esto prueba la identidad. �

Corolario. (1) Si u = (x, y, z) = uϕ,θ y s = sϕ,θ, la matriz de Ps es

Hu =

[− cos θ eiϕ sin θe−iϕ sin θ cos θ

]= xσx + yσy + zσz,

siendo

σx =

[1

1

], σy =

[i

−i

], σz =

[−1

1

].

La matriz Hu es hermıtica, de traza 0, determinante −1 y satisface H2u = I2 (de

modo que Hu ∈ U2).

(2) Las matrices σx, σy, σz son las matrices de los observables Px, Py, Pz asociadosa Aux , Auy y Auz , siendo ux = |1, 1〉 = |1〉, uy = |1, i〉 = |i〉 y uz = |0, 1〉 = |∞〉los puntos unidad de los ejes de coordenadas.

(3) Las matrices de Pauli satisfacen las relaciones (ponemos σ0 = I2)

σ2x = σ2

y = σ2z = σ0

σyσz = −σzσy = iσx, σzσx = −σxσz = iσy, σxσy = −σyσx = iσz.

Demostracion. (1) Dado que escribimos los espinores como vectores fila de doscomponentes, las filas de la matriz de Ps = 2πs − I son iguales a

2πs([1, 0])s− [1, 0] y 2πs([0, 1])s− [0, 1].

Lo calculos de estas expresiones son inmediatos y el resultado la matriz anunciada.Dado que P 2

s = I, H2u = I2. Las demas afirmaciones son obvias.

(2) Basta observar que |1〉 = (1, 0, 0) = u0,π/2, |i〉 = (0, 1, 0) = uπ/2,π/2 y |∞〉 =(0, 0, 1) = u0,0 y sustituir ϕ y θ por estos valores en la matriz Hu.

(3) Sencillas comprobaciones. �

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252 S. XAMBO

Observacion. Usualmente las matrices de Pauli se especifican, usando la notacionesque acabamos de introducir, como σx, −σy y −σz. La discrepancia proviene dehaber elegido el polo norte como centro de la proyeccion estereografica y del hechoque escribimos los espinores como vectores fila, con lo cual las matrices de losoperadores actuan multiplicando por la derecha y por tanto son las traspuestas delas matrices que aparecen cuando se adopta la convencion contraria.

Rotaciones. Hasta ahora hemos usado los espinores s de modulo 1 para representarpuntos u = |s〉 sobre S2, que hemos interpretado como estados del q-bit, pero esfacil extender este formalismo para representar vectores no nulos arbitrarios delespacio euclıdeo E3: dado un espinor s no nulo, pondremos |s〉 = |s||s〉, que es unvector de longitud |s|. Con esto, la igualdad |s〉 = |s′〉 ocurre si y solo si s ≡ s′

(es decir, si y solo si s′ y s difieren en un factor de fase). Ası, todo vector nonulo v ∈ E3 admite la representacion v = |v〉, siendo v = rsϕ,θ y (r, ϕ, θ) lascoordenadas esfericas de v (para la definicion de sϕ,θ, vease la demostracion delTeorema 2.2.1).

Teorema 2.5 (Forma espinorial de las rotaciones). Sea u ∈ S2 y α ∈ R. Seaρu,α la rotacion de E3 de eje Ou y amplitud α y Rs,α = eiPsα/2, donde Ps es elobservable definido en el Teorema 2.4. Entonces para todo v ∈ E3 se tiene

ρu,α(v) = |v Rs,α〉.Como funcion de α, eiPsα/2 es una evolucion hamiltoniana con hamiltoniano 1

2Ps.

Demostracion. Consideremos la aplicacion ρ definida por la formula

ρ(v) = |v Rs,α〉.Entonces ρ es una rotacion, ya que siendo Rs,α unitario tenemos

|ρ(v)|2 = |v Rs,α|2 = |v|2 = |v|2.Veamos que el eje de ρ es Ou, es decir, que u es fijo por ρ. Para ello notemos queP 2s = I implica que

Rs,α = eiPsα/2 = cos(α2 )I + i sen(α2 )Ps,

de donde resulta que u = sϕ,θ es un vector propio de Rs,α con valor propio eiα/2

y por tantoρ(u) = |u Rs,α〉 = |eiα/2u〉 = |u〉 = u.

Falta verificar que la amplitud de ρ es α. El Teorema 2.4.2 implica que las am-plitudes de las rotaciones definidas por Rs,α y RUs,α son iguales para cualquieroperador unitario U . Basta pues verificar el aserto para s = [0, 1], en cuyo caso enlugar de R[0,1],α escribimos Rz,α. Como la matriz de Ps es diag(−1, 1), la matriz

de Rz,α = cos(α2 )I + i sen(α2 )Ps es igual a diag(e−iα/2, eiα/2), la cual transformasϕ,θ en sϕ+α,θ y por tanto Rz,α induce la rotacion de eje Oz y amplitud α. �

Observemos que Rs,α ∈ SU2, ya que det(Rs,α) = eTr(iPsα/2) = 1 por ser Tr(Ps) =0. Por otra parte, la misma construccion de ρu,α a partir de Rs,α nos permitedefinir, para todo U ∈ U3, una aplicacion ρU : E3 → E3: ρU (v) = |vU〉. Estaaplicacion es una isometrıa (|vU |2 = |v|2 = |v|2), es decir, ρU ∈ O3, y la aplicacion

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ESCONDIDAS SENDAS 253

ρ : U2 → O3, U 7→ ρU , es un homomorfismo de grupos. Puesto que para todofactor de fase eiα se tiene que ρeiαU = ρU , la imagen de ρ es la imagen de SU2 enO3. Se sigue que ρ es un epimorfismo de U2 en SO3, pues el teorema anterior nosdice que la imagen de SU2 contiene SO3 y por otra parte ha de estar contenidaen SO3 por ser SU2 conexo (topologicamente es S3). Ahora es facil ver que elnucleo de ρ esta formado por las matrices diagonales unitarias y por tanto que elnucleo de su restriccion ρ : SU2 → SO3 es ±I2. Este homomorfismo 2 : 1 es notrivial, pues dado cualquier s unitario la aplicacion f : [0, 1]→ SU2, t 7→ Rs,2πt escontinua, f(0) = I2 y f(1) = −I2 (en el ambito de los espinores, una ((rotacion))de amplitud 2π transforma I2 en −I2).

Corolario A. (1) la sucesion

1→ {±I2} → SU2ρ−→ SO3 → 1

es exacta.(2) Si u = |s〉, s unitario, las antiimagenes de ρu,α por ρ son Rs,α y −Rs,α =Rs,α+2π �

Corolario B. Al final de la demostracion del Teorema 2.4 se ha visto que

Rz,α =

[e−iα/2

eiα/2

]induce la rotacion ρz,α. De un modo analogo se ve que las rotaciones ρy,α y ρx,αvienen inducidas por

Ry,α =

[cos α2 − sen α

2sen α

2 cos α2

], Rx,α =

[cos α2 i sen α

2i sen α

2 cos α2

],

respectivamente. �

Computacion cuantica. La teorıa del q-bit que hemos presentado, y en particu-lar del tratamiento explıcito de sus rotaciones, es fundamental para el estudiode la computacion cuantica. En este contexto el sistema cuantico relevante es elsistema compuesto de un cierto numero n de q-bits, es decir, (C2)⊗n ' C2n (axio-ma Q4). Una q-computacion es una matriz unitaria de orden 2n y la teorıa dacuenta (v. por ejemplo [18] para una version introductoria y textos como [15] pa-ra una presentacion in extenso) de como descomponer cualquier q-computacioncomo composicion de tres tipos de ((operaciones primitivas)): (1) rotaciones ar-bitrarias de uno cualquiera de los q-bits del sistema; (2) operaciones Ci,j que((niegan)) el j-esimo q-bit si y solo si el estado del i-esimo q-bit es |∞〉 (nega-ciones controladas); y (3) medidas de un cierto numero de q-bits con cuantosco-pios apropiados. El operador de C1,2, por ejemplo, es el que, referido a la base|00〉, |0∞〉, |∞0〉, |∞∞〉, intercambia |∞0〉 y |∞∞〉 y deja los otros dos fijos. Porlo que se refiere a (3), el cuantoscopio para medir el segundo q-bit (por ejemplo)es A = {(1, 〈|0∞〉, |∞∞〉〉), (−1, 〈|00〉, |∞0〉〉)}.Estados de polarizacion de la luz. Entre los resultados que nos hubiera gustadotratar con detalle, siguiendo un metodo analogo al usado para el estudio del bitcuantico, estan los relativos a los estados de polarizacion de la luz. Los puntos clave

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254 S. XAMBO

se expusieron en el simposio del 4 de abril de 2014 en Salamanca y se pueden resu-mir como sigue. El campo electrico de una onda electromagnetica monocromaticaque se propaga en la direccion Oz se puede representar en la forma

(Ex, Ey) = (E0xei(kz−ωt+φx), E0ye

i(kz−ωt+φy)) = (E0xeφx , E0ye

φy )ei(kz−ωt)

El estado de polarizacion de esta onda es

[E0xeiφx , E0ye

iφy ] ∈ P1C ' C ' S2,

es decir, un punto de la esfera de Riemann.

x

y

z

[0, 1] ' Y

[1, 0] ' X

[1, i] ' I[1,−i] ' J

[1, 1] ' U

[1,−1] ' V

Figura 6. Estados de polarizacion de la luz. X = [1, 0] e Y = [0, 1]representan las polarizaciones lineales horizontal y vertical, respectiva-mente. Las polarizaciones oblicuas (diagonal y antidiagonal) correspon-

den a U = [ρ, ρ] y V = [ρ,−ρ] (ρ = 1/√

2). Finalmente, las polarizacio-nes circulares (dextrogira y levogira) esta representadas por I = [ρ, ρi]y J = [ρ,−ρi] (los llamados puntos cıclicos de la recta proyectiva).Estos estados son en principio clasicos, pero se puede ver que descri-ben tambien la version cuantica, en el sentido que predicen todos losfenomenos observados en experimentos de polarizacion.

La esfera de Riemann que aparece en el estudio del q-bit es conocida por los fısicoscomo esfera de Bloch, mientras que la que aparece en el estudio de la polarizacionde la luz se denomina esfera de Poincare.

3. Algebra geometrica

Until recently I was unacquainted with the Ausdeh-nungslehre [...]. I may, perhaps, therefore be permittedto express my profound admiration of that extraordinarywork and my conviction that its principles will exercise avast influence upon the future of science.

Clifford, 1878.

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ESCONDIDAS SENDAS 255

Tomamos como substrato fundamental del algebra geometrica el algebra exteriorΛE de un espacio vectorial E de dimension finita n sobre un cuerpo conmutativoK.En el caso en que E este dotado de una forma cuadratica, ΛE se puede enriquecercon un producto bilineal asociativo (el producto geometrico o producto de Clifford)para el cual todos los vectores no isotropos son invertibles. Este producto, junto conel producto interior (una generalizacion natural del producto escalar), permitendefinir de manera intrınseca diversos grupos de transformaciones de los objectosgeometricos que habitan en ΛE y facilitan considerablemente las operaciones conlas mismas.

En lo sucesivo, terminos como espacio vectorial, aplicacion (multi)lineal, algebra,(anti)derivacion, . . . significan K-espacio vectorial, aplicacion K-(multi)lineal, K-algebra, K-(anti)derivacion, . . .

Con el producto exterior, denotado ∧, ΛE es un algebra graduada,

ΛE =⊕n

k=0ΛkE = K ⊕ E ⊕ Λ2E ⊕ · · · ⊕ ΛnE,

asociativa y anticonmutativa (si x ∈ ΛrE e y ∈ ΛsE, x∧y = (−1)rsy∧x ∈ Λr+sE).En general, dado x ∈ ΛE, pondremos xr ∈ ΛrE para denotar su componente degrado r. Ocasionalmente tambien escribimos 〈x〉0 en lugar de x0.

Como espacio vectorial, ΛrE esta caracterizado por la siguiente propiedad uni-

versal: si f : E× r· · ·×E → F es una aplicacion multilineal antisimetrica con valores

en un espacio vectorial F , entonces existe una unica aplicacion lineal f : ΛrE → F

tal que f(x1 ∧ · · · ∧ xr) = f(x1, . . . , xr). De esta propiedad es facil deducir lasiguiente propiedad universal del algebra ΛE:

Teorema 3.1. Si i : E → A es una aplicacion lineal de E en un algebra A talque i(e)2 = 0 para todo e ∈ E, entonces existe un unico homomorfismo de algebrasj : ΛE → A tal que j(e) = i(e) para todo e ∈ E. �

e

e′e ∧ e′

e

e′ e′ ∧ e

e e′

e

e′′e ∧ e′e ∧ e′′

e ∧ (e′ + e′′)

e′ + e′′

Figura 7. Propiedades del producto exte-rior de dos vectores.

Dada una base e1, . . . , en de E, y unconjunto de ındices I = {i1, . . . , ir} ⊆{1, . . . , n}, pondremos eI = ei1 ∧ · · · ∧eir ∈ ΛE. Los elementos eI formanuna base de ΛE cuando I recorre elconjunto de multiındices (subconjuntosde {1, . . . , n} escritos en orden crecien-te). En particular, dimK ΛkE =

(nk

)y

dimK ΛE = 2n.El algebra exterior, o algebra de

Grassmann, es la estructura algebraicaque este matematico descubrio al elabo-rar su ((teorıa de la extension)) (Ausdeh-nungslehre).

De la misma manera que, en el con-texto geometrico original, los vectorese ∈ E = Λ1E representan extensiones

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256 S. XAMBO

orientadas de dimension 1, los r-vectores x ∈ ΛrE representan extensiones orien-tadas de dimension r. Por ejemplo, si e, e′ ∈ E, entonces el 2-vector (o bivector)e ∧ e′ representa la ((extension)) de dimension 2 que corresponde al paralelogramoorientado definido por e y e′ (v. Figura 7). La inclusion de la orientacion en lanocion de extension se traduce algebraicamente en la anticonmutatividad, esto es,e′ ∧ e = −e ∧ e′ si e, e′ ∈ E.

Si e ∈ E, definimos µe : ΛE → ΛE por x 7→ e∧ x Por motivaciones fısicas, perotambien por la interpretacion geometrica del algebra de Grassmann, a los µe se lesllama operadores de creacion. Es un operador de grado 1. Como e∧ e = 0, resultaque µ2

e = 0. Siendo el producto exterior multilineal, la aplicacion E → EndK(ΛE),e 7→ µe, extiende a un homomorfismo de algebras ΛE → EndK(ΛE), digamosx 7→ µx, y es inmediato comprobar que µx(y) = x ∧ y.

Sea ξ ∈ E∗ = L(E,K) (espacio dual de E). Entonces existe una unica antideri-

vacion ξ de ΛE tal que ξ(e) = ξ(e) para todo e ∈ E. Esta antiderivacion cumple(y queda determinada por)

(1) ξ(e1 ∧ · · · ∧ er) =

r∑k=1

(−1)k−1ξ(ek)e1 ∧ · · · ∧ ek−1 ∧ ek+1 ∧ · · · ∧ er

cualesquiera que sean e1, . . . , er ∈ E. En particular, ξ tiene grado −1 y ξ 2 = 0(por ser una derivacion de grado −2 nula sobre E). Tenemos, pues, una aplicacion

lineal E∗ → EndK(ΛE), ξ 7→ ξ, tal que ξ 2 = 0. Por la propiedad universal delalgebra exterior, existe un unico homomorfismo de algebras ΛE∗ → Endop

K (ΛE),

φ 7→ φ, que coincide con ξ 7→ ξ para ξ ∈ E∗. Si x ∈ ΛE y φ ∈ ΛE∗, en lugar de

φ(x) escribiremos simplemente φ(x). El teorema siguiente establece una formulaprecisa para calcular este acoplamiento, que felizmente coincide (gracias a compo-ner endomorfismos en orden opuesto) con la expresion usualmente introducida adhoc.

Teorema 3.2. Sean ξ = ξ1, . . . , ξr ∈ E∗ y x = x1, . . . , xs ∈ E y supongamos quer 6 s. Pongamos [ξ × x] para denotar la matriz r × s formada con los escalaresξi(xj). Consideremos multiındices I de orden r tales que I ⊂ {1, . . . , s} y pongamosI ′ = {1, . . . , s} − I = {i′1, . . . , i′s−r}. Entonces

(ξ1 ∧ · · · ∧ ξr)(x1 ∧ · · · ∧ xs) =∑I

(−1)I det([ξ × x]I)xI′ ∈ Λs−rE,

siendo (−1)I el signo de la permutacion (I, I ′) de {1, . . . , s}, [ξ× x]I la submatrizde [ξ × x] formada por las columnas indicadas por I y xI′ = xi′1 ∧ · · · ∧ xi′s−r . En

el caso particular en que r = s,

(ξ1 ∧ · · · ∧ ξr)(x1 ∧ · · · ∧ xr) = det([ξ × x]),

ya que el unico multiındice en la suma es {1, . . . , r}. �

El corolario que sigue permite identificar, como ası haremos de ahora en adelante,Λr(E∗) con (ΛrE)∗ y Λ(E∗) con (ΛE)∗.

Corolario. La aplicacion ΛrE∗ → (ΛrE)∗, φ 7→ φ, es un isomorfismo. �

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ESCONDIDAS SENDAS 257

Sea ahora q : E → E∗ una aplicacion lineal o, equivalentemente, una forma bilinealde E (q(e, e′) = q(e)(e′)). Definimos δe : ΛE → ΛE por la relacion e 7→ e(x), dondee = q(e) (a la antiderivacion δe se le llama operador de aniquilacion, tambien pormotivaciones fısicas y geometricas). La aplicacion E → EndK(ΛE), e 7→ δe eslineal y, como se ha visto, δ2

e = 0.Veamos que para todo e ∈ E se cumple la relacion

(2) (µe + δe)2 = q(e, e)IdΛE .

En efecto, desarrollando el cuadrado,

(µe + δe)2 = µ2

e + δ2e + µeδe + δeµe = µeδe + δeµe.

Ahora (δeµe)(x) = e(e∧x) = e(e)x−e∧ e(x) = q(e, e)x−µe(δe(x)), y esta igualdades equivalente a la formula del enunciado.

Consideremos ahora la aplicacion lineal λ : E → EndK(ΛE), e 7→ λe = µe + δe,y su unica extension a un homomorfismo de algebras λ : TE → EndK(ΛE),siendo TE = K ⊕ E ⊕ T 2E ⊕ · · · el algebra tensorial de E. Por la propiedaduniversal del algebra tensorial, esta aplicacion se puede extender de manera unicaa un homomorfismo de algebras λ : TE → EndK(ΛE) que satisface (y quedadeterminado por) la relacion

(3) λ(e1 ⊗ · · · ⊗ er) = λe1 ◦ · · · ◦ λer , e1, . . . , er ∈ E.Dado que por (2) los elementos de la forma te = e ⊗ e − q(e, e)1K estan en elnucleo de λ, λ induce un homomorfismo de algebras λ : CqE → EndK(ΛE),λ(t) = λ(t), siendo CqE el cociente de TE por el ideal bilatero generado por lostensores te, e ∈ E, y t ∈ Cq(E) la imagen de t ∈ TE por la homomorfismo cocienteTE → Cq(E).

El algebra CqE, que en la literatura se suele denotar C`(E, q) o expresionessimilares, es el algebra de Clifford de q (o de (E, q)). Su producto (producto deClifford o geometrico) aquı se denotara por yuxtaposicion de sus factores. A suvez, λ induce una aplicacion lineal

(4) ∧ : CqE → ΛE, t 7→ λt1K .

Si e ∈ E = T 1E, entonces e 7→ e ∈ Λ1E = E. Esto implica que la aplicacion linealE = T 1E → Cq(E), e 7→ e, es inyectiva y por tanto nos permite identificar E consu imagen en Cq(E). Ahora de la misma definicion del algebra de Clifford se coligeque si e, e′ ∈ E, entonces

(5) e2 = q(e, e) y ee′ + e′e = q(e, e′) + q(e′, e).

La segunda ecuacion se deduce facilmente de la primera usando las propiedades delproducto de Clifford, pero la segunda solo implica la primera si la caracterısticade K es distinta de 2.

La regla general para manejar la aplicacion (4) se deduce directamente de laecuacion (3):

(6) ∧(e1 · · · er) = ((µe1 + δe1) ◦ · · · ◦ (µer + δer )) 1K

Notaciones. Si e1, . . . , en es una base de E, e I un multiındice, ponemos eI =ei1 · · · eir ∈ CqE. Recordemos que hemos definido eI = ei1 ∧ · · · ∧ eir ∈ ΛrE.

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258 S. XAMBO

Teorema 3.3. La aplicacion lineal ∧ : CqE → ΛE es un isomorfismo.

Demostracion. Es claro que Λ0E y Λ1E estan en la imagen de ∧. Si r > 1, laformula (6) implica que ∧(e1 · · · er) = e1 ∧ · · · ∧ er + x, con el grado maximo delas componentes no nulas de x menor que r. Por induccion podemos suponer quex = ∧(x′), x′ ∈ CqE, con lo cual e1∧ · · ·∧ er = ∧(e1 · · · er−x′) y ası ΛrE tambienesta en la imagen de ∧. Esto prueba que ∧ es epiyectiva. Por otra parte es facilver, si e1, . . . , en es una base de E, que el conjunto B = {eI}, donde I recorreel conjunto de multiındices de {1, . . . , n}, genera CqE como espacio vectorial, demanera que dimK Cq(E) ≤ 2n. Se infiere que esta desigualdad es necesariamenteuna igualdad, que B es una base de CqE y que ∧ un isomorfismo. �

De ahora en adelante supondremos que q es simetrica y consideraremos la metricaque se define a continuacion como parte de la estructura de ΛE.

La aplicacion lineal

Λrq : ΛrE → ΛrE∗ = (ΛrE)∗

es una forma bilineal simetrica de ΛrE y por suma directa obtenemos una apli-cacion bilineal simetrica Λq de ΛE. El producto escalar asociado a Λq, es decir,((Λq)(x))(y) sera denotado 〈x|y〉 y diremos que es la metrica de ΛE. En particulartenemos 〈e|e′〉 = e(e′) = q(e, e′) si e, e′ ∈ E. Puesto que (Λ

r

E)∗ ⊂ (ΛE)∗ es inci-dente con ΛsE cuando r 6= s, ΛrE y ΛsE son ortogonales cuando r 6= s, es decir,〈x|y〉 = 0 si x ∈ ΛrE e y ∈ ΛsE. Finalmente ponemos Q(x) = 〈x|x〉 (x ∈ ΛE) ydecimos que es la norma metrica de x. Es aditiva respecto de la descomposicionde x en componentes homogeneas: Q(x) =

∑r=nr=0 Q(xr).

Llamamos algebra geometrica de q a la estructura ΛqE que resulta de dotar alalgebra exterior ΛE con el producto geometrico xy y el producto interior x ·y, quese introduce en el parrafo siguiente. El producto geometrico resulta de transportarel producto de CqE via el isomorfismo lineal canonico ∧ : CqE → ΛE y la reglaclave para su evaluacion se deduce de (6):

(7) ex = (µe + δe)(x), e ∈ E, x ∈ ΛE.

En terminos generales, el estudio del algebra geometrica consiste en dilucidar lasinterrelaciones entre los tres productos de ΛE (exterior, geometrico e interior) ytambien los principios y procedimientos para aplicarla a situaciones concretas.Producto interior. Para especificar el producto interior x · y de dos multivectoresx, y ∈ ΛE, nos podemos restringir al caso x ∈ ΛrE e y ∈ ΛsE (e incluso bastaconsiderar el caso en que x e y son descomponibles, como haremos en el Teorema3.4), ya que el caso general queda determinado por bilinealidad. Algunos autores lollaman contraccion, y de hecho distinguen la contraccion por la izquierda, denotadax y, y contraccion por la derecha, denotada x y. Pero esta distincion resultainnecesaria, ya que la expresion x · y sera evaluada de modo distinto segun quer 6 s o r > s, siendo el resultado indistinto cuando r = s.

En el caso r > s, definimos x · y como (−1)s(r−s)y · x (la razon que avala elsigno se vera posteriormente), con lo cual podemos suponer que r 6 s. En estecaso el producto interior ΛrE × ΛsE → Λs−rE se define como la composicion

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ESCONDIDAS SENDAS 259

ΛrE×ΛsE → ΛrE∗×ΛsE → Λs−rE, siendo la aplicacion de la izquierda Λrq× Idy la de la derecha el acomplamiento de dualidad. Es decir, x · y = (Λrq(x))(y). Enparticular,

(8) x · y = 〈x|y〉 = y · x si x, y ∈ ΛrE,

lo cual garantiza la coherencia del caso r > s con el caso r 6 s cuando r = s.

Ejemplo. Si e ∈ E y x ∈ ΛrE (r > 1), e · x = q(e)(x) = e(x) = δe(x). Este hecho,junto con la formula ex = (µe+ δe)x = e∧x+ δe(x), nos proporcionan la ecuacion

(9) ex = e ∧ x+ e · xque combina los tres productos presentes en el algebra geometrica. Veamos tambienque δe = e· cumple e · (xy) = (e · x)y + xα(e · y), siendo xα = x+ − x−, con x+

y x− las componentes par e impar de x (vease el Corolario al teorema 3.5 parala significacion de α), es decir, δe es una antiderivacion del producto geometrico.Para ello basta observar que δe : E → K extiende a una unica antiderivaciondel algebra tensorial y que esta extension anula los generadores e′ ⊗ e′ − q(e′, e′),e′ ∈ E, del ideal introducido para definir CqE.

Teorema 3.4. (1) Sean e1, . . . , er, e′1, . . . , e

′s ∈ E (r 6 s). Si G es la matriz r× s

formada con los productos escalares 〈ei|e′j〉 (i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s), entonces

(e1 ∧ · · · ∧ er) · (e′1 ∧ · · · ∧ e′s) =∑

I∈Ir,s

(−1)t(I) det(GI) e′I′ ,

siendo t(I) el numero de inversiones en la sucesion (I, I ′).

(2) Formula metrica. Si r = s, entonces

(e1 ∧ · · · ∧ er) · (e′1 ∧ · · · ∧ e′r) = 〈e1 ∧ · · · ∧ er|e′1 ∧ · · · ∧ e′r〉 = det(G).

(3) Norma metrica. Como caso particular de (2) obtenemos que

Q(e1 ∧ · · · ∧ er) = (e1 ∧ · · · ∧ er) · (e1 ∧ · · · ∧ er) = det(G),

siendo ahora G la matriz formada con los escalares 〈ei|ej〉 (1 6 i, j 6 r).

Demostracion. La parte (1) es una simple transcripcion de la formula de dualidad(Teorema 3.2). La primera igualdad de (2) es un caso particular de la ecuacion(8) y para la segunda basta observar que el sumatorio de la parte (1) se reduce altermino correspondiente al multiındice {1, . . . , r}. �

Teorema 3.5. Sea f un endomorfismo de E, Λf el correspondiente endomorfismode ΛE y e, e′ un vectores cualesquiera de E. Entonces(1) Λf ◦ µe = µf(e) ◦ Λf .(2) Si f es q-ortogonal, esto es, si q(fe, fe′) = q(e, e′), Λf ◦ δe = δf(e) ◦ Λf .(3) Si f es q-ortogonal, Λf(xy) = Λf(x) Λf(y) y Λf(x · y) = Λf(x) · Λf(y) (enparticular, 〈Λf(x)|Λf(y)〉 = 〈x|y〉) cualesquiera que sean x, y ∈ ΛE. �

Corolario. El algebra ΛqE posee tres involuciones naturales:

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260 S. XAMBO

La involucion lineal e 7→ −e de E induce un automorfismo involutivo αde ΛqE (automorfismo canonico). Su restriccion a ΛrqE es (−1)r. Como

consecuencia, Λ+q E = ⊕jΛ2j

q = {x ∈ ΛqE |α(x) = x} es una subalgebra deΛqE (subalgebra par). En lugar de α(x) tambien escribimos xα.La involucion x 7→ τ(x) = xτ de T (E) que invierte el orden de los factoresde grado 1 es un antiautomorfismo y conserva las relaciones que definen elalgebra exterior y el algebra de Clifford. Por tanto induce un antiautomor-fismo involutivo de ΛqE, que seguimos denotando τ . Su restriccion a Λrq es

(−1)r(r−1)/2. La relacion τ(x·y) = τ(y)·τ(x) se puede deducir sin dificultada partir del Teorema 3.4.1 usando las definiciones y propiedades ya estable-cidas de τ . Observese que la validez de esta formula depende crucialmentedel signo (−1)s(r−s) introducido para definir x · y cuando r > s, siendo r elgrado de x y s el de y. En lugar de τ(x), tambien se escribe x.La composicion κ = τ ◦ α = α ◦ τ es un antiautomorfismo involutivo (con-jugacion de Clifford). Su restriccion a Λrq es (−1)r(r+1)/2. En lugar de κ(x),tambien se escribe xκ o x �

Ejemplo. Con las mismas notaciones del ejemplo en que se ha establecido la ecua-cion (9), tenemos

(10) xe = x · e+ x ∧ e.En efecto, podemos usar la formula (9) y las propiedades de τ :

xe = τ (eτ(x)) = τ(e · τ(x) + e ∧ τ(x))

= τ(τ(x · e) + τ(x ∧ e)) = x · e+ x ∧ e. �

Si en (9) y (10) tomamos x homogeneo de grado r, y tenemos en cuenta quex · e = (−1)r−1e · x y x ∧ e = (−1)re ∧ x, obtenemos inmediatamente que

(11) ex+ (−1)rxe = 2e ∧ x, ex− (−1)rxe = 2e · x,que en caracterıstica distinta de 2 expresan el producto exterior e∧x y el productointerior e · x en terminos del producto geometrico.

Bases ortogonales. Empecemos por un resultado que establece una condicion sufi-ciente para que el producto geometrico e1 · · · er de r vectores sea homogeneo.

Teorema 3.6. Si e1, . . . , er ∈ E es un sistema ortogonal (es decir, 〈ei|ej〉 = 0 sii 6= j), entonces

e1e2 · · · er = e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ er.Demostracion. Podemos suponer r > 1, pues la relacion es claramente cierta parar = 0, 1. Ahora (7) nos da e1e2 · · · er = (µe1 + δe1)(e2 · · · er), que por induccion es(µe1 + δe1)(e2 ∧ · · · ∧ er). El primer sumando de esta expresion es e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ ery el segundo es nulo porque δe1(ej) = q(e1, ej) = 0 para todo j > 2. �

El teorema anterior indica que el algebra geometrica se expresara de una formaparticularmente simple cuando podamos disponer de una base ortogonal. Afortu-nadamente, esto es siempre posible si la caracterıstica de K no es 2. La base delargumento es que si todos los vectores son isotropos (es decir, si q(e, e) = 0 paratodo e ∈ E), entonces q = 0. Este hecho falla en caracterıstica 2 (basta considerar

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ESCONDIDAS SENDAS 261

la metrica q((a1, b1), (a2, b2)) = a1b2 + a2b1 de Z22). Este tipo de metricas no seran

consideradas de ahora en adelante en este escrito para que ası podamos usar unabase ortogonal sin excepciones.

Escojamos una base ortogonal e1, . . . , en de E. El teorema anterior nos per-mite afirmar que los multivectores eI = eI , cuando I recorre los multiındices de{1, . . . , n}, forman una base de ΛE. El metodo de la base ortogonal consiste en usarrelaciones establecidas por medio de la base {eI} para probar resultados intrınse-cos. El teorema siguiente ilustra esta idea con diversas proposiciones. Usaremoslas siguientes notaciones: qi = 〈ei|ei〉 y qI = qi1 · · · qir . Notese que por la formulametrica (Teorema 3.4.2) tenemos qI = 〈eI |eI〉 = Q(eI) y 〈eI |eJ〉 = 0 si I 6= J (esdecir, {eI} es una base ortogonal de ΛE).

Teorema 3.7. Sean x ∈ ΛrE, y ∈ ΛsE.

(1) Grados de un producto geometrico. Si k ∈ {0, 1, . . . , n} y (xy)k 6= 0, entoncesk = |r − s|+ 2i con i > 0 y k 6 r + s. Ademas, (xy)r+s = x ∧ y, (xy)|r−s| = x · ysi r 6 s, = x · y si r > s.

(2) Forma alternativa de la metrica. 〈x|y〉 = (xτy)0. En particular, Q(x) = (xτx)0.

(3) Adjuncion entre · y ∧. Sea m = |s − r| y z ∈ ΛmE (m es el grado de x · y).Entonces

〈z|x · y〉 =

{〈x ∧ z|y〉 si r 6 s

〈z ∧ y|x〉 si r > s

Demostracion. (1) Dado que (xy)k depende bilinealmente de x e y, basta probar elenunciado en el caso en que x sea un elemento de la base {eI}. Por tanto, podemossuponer que x tiene la forma x = u1 · · ·ur (u1, . . . , ur ∈ E dos a dos ortogonales).De este modo

xy = (µu1+ δu1

) · · · (µur + δur )(y).

Si en esta expresion escogemos i veces el sumando µ y (por tanto) r − i veces elsumando δ, obtenemos un multivector homogeneo de grado s+i−(r−i) = s−r+2i.El maximo grado que podemos obtener es r + s (con i = r), y el mınimo es s− rsi s > r (con i = 0) o r − s si r 6 s (con r − i = s, o i = r − s).(2) La parte (1) nos da (xτy)0 = 0 si r 6= s y en este caso 〈x|y〉 = 0. Podemospues suponer que r = s. Dado que la expresion (xτy)0 es bilineal, lo mismo que elproducto escalar, bastara comprobar la igualdad anunciada tomando como x e ycualquier par de elementos de una base de Λrq(E). Usemos la base ortogonal {eI},para la cual Q(eI) = qI . La igualdad (eτI eJ)0 = 0 es consecuencia de (1) y es claroque (eτI eI)0 = qI .

(3) Si r > s, x · y = (−1)s(r−s)y · x, mientras que 〈z ∧ y|x〉 = (−1)ms〈y ∧ z|x〉 =(−1)(r−s)s〈z|y · x〉, con lo cual el segundo caso queda reducido al primero. Supon-gamos pues que r 6 s. Puesto que las dos expresiones de la igualdad a probar sontrilineales en x, y, z, bastara demostrarla tomando x = eI ∈ ΛrE, y = eJ ∈ ΛsE,z = eK ∈ Λs−rE (m = s − r en este caso). El valor de eI · eJ se obtiene por unaaplicacion directa del Teorema 3.4.1: (−1)I,J−I eJ−I si I ⊆ J y 0 en caso contra-rio. Por tanto 〈eK |eI · eJ〉 = (−1)I,J−IqJ−I si I ⊆ J y K = J − I, 0 en cualquier

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262 S. XAMBO

otro caso. Finalmente 〈eI ∧ eK |eJ〉 solo puede ser no nulo si K es disjunto de I yK ∪ I = J , es decir, si I ⊆ J y K = J − I, en cuyo caso es claro que el resultadoes tambien (−1)I,J−IqJ−I . �

Comentarios. Se puede formular otra demostracion de la proposicion (1) usandola formula de Artin (M indica diferencia simetrica)

(12) eIeJ = (−1)t(I,J)qI∩J eIMJ ,

que a su vez se establece facilmente teniendo en cuenta que elementos distintos dela base e1, . . . , en anticonmutan y que e2

i = qi.En la parte (2) se cumple (xτy)0 = (xyτ )0, pues

(xτy)0 = 〈x|y〉 = 〈y|x〉 = (yτx)0 = ((yτx)τ )0 = (xyτ )0,

donde en el penultimo paso hemos usado que τ deja invariante la componente degrado 0.

La parte (3), y especialmente su demostracion, corroboran la idoneidad del signo(−1)s(r−s) introducido en la transposicion del producto interior cuando r > s. �

Grupos de Lipshcitz. Aunque muchos autores los atribuyen a Clifford, aquı hemosseguido las acertadas indicaciones de P. Lounesto en [12], ası como en algunas delas referencias que cita, entre ellas la fundamental memoria [16]. Por otra parte, losmetodos expuestos en [11], aunque restringidos al estudio de los grupos Pin y Spin,han resultado particularmente inspiradores, ya que nos llevaron a concebir unasencilla restriccion en la definicion del grupo de Lipschitz torcido que permite llegara los mismos resultados con demostraciones substancialmente mas asequibles.

El grupo de elementos de ΛqE invertibles por el producto geometrico sera de-

notado Λ×

q (E). Este grupo contiene el conjunto E×

de los vectores no isotropos,

pues de e2 = q(e, e) = Q(e) se colige que Q(e)−1e es inverso de e si Q(e) 6= 0.

Para todo u ∈ Λ×

q (E), ρu : Λq(E) → Λq(E), x 7→ uxu−1, es un automorfismo

de algebras y la aplicacion Λ×

q (E) → Aut(Λq(E)), u 7→ ρu, es un homomorfismode grupos.

El grupo de Lipschitz de q, denotado Γq = Γq(E), es el subgrupo de Λ×

q (E)

generado por E×

, de modo que sus elementos u tienen la forma u = e1 · · · er,e1, . . . , er ∈ E

×, r > 0. Notese que u−1 = e−1

r · · · e−11 . El interes de este grupo

esta en que si u ∈ Γq, entonces ρu(E) = E. En efecto, como ρ es un homomorfismo,basta probar el aserto cuando u es un vector no isotropo, y en este caso se tiene,usando ue = −eu + 2〈u|e〉 para todo e ∈ E, ueu−1 = 2〈u|e〉u−1 − e ∈ E. Quedaası establecido que tenemos una representacion lineal ρ : Γq → GL(E) a la cualllamaremos representacion adjunta, o vectorial, de Γq.

Para todo u ∈ Λ×

q (E), ρu : Λq(E) → Λq(E), x 7→ uαxu−1, es un automorfismo

lineal de Λq(E), y Λ×

q (E)→ GL(Λq(E)), u 7→ ρu, es un homomorfismo de grupos.

El grupo de Lipschitz torcido de q, Γq = Γq(E), se define como el grupo formado

por los elementos pares y los elementos impares u ∈ Λ×

(E) tales que ρu(e) =uαeu−1 ∈ E para todo e ∈ E. Dado que uα = ±u, esta condicion equivale a

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ESCONDIDAS SENDAS 263

ueu−1 ∈ E, de lo cual se sigue que Γq(E) ⊆ Γq(E). La representacion adjunta

torcida, o vectorial torcida, ρ : Γq → GL(E), se obtiene restringiendo los ρu a E.

El grupo Pinq(E) se define como el subgrupo de Λ×

q (E) generado por los vec-tores u ∈ E tales que q(u, u) = ±1. Manifiestamente, Pinq(E) ⊆ Γq(E). Tambien

ponemos Spinq(E) = Pinq(E) ∩ Λ+

q (E). La restriccion de las representaciones ad-juntas (normal y torcida) a Pinq(E) y Spinq(E) produce representaciones linealesρ, ρ : Pinq(E)→ GL(E) y ρ, ρ : Spinq(E)→ GL(E).

Las representaciones adjuntas alcanzan su plena significacion cuando la carac-terıstica de K no es 2, condicion que supondremos en lo que sigue. El punto crucial

es que los automorfismos lineales ρu ∈ GL(E), u ∈ Γq, son q-isometrıas, lo cual

significa que ρ es de hecho un homomorfismo de Γq en Oq, el grupo ortogonal de q

(ρ : Γq → Oq). Puesto que ρu = ±ρu para cualquier u ∈ Γq, ocurre que tambientenemos un homomorfismo de grupos ρ : Γq → Oq.

Veamos, pues, que ρu ∈ Oq(E) (u ∈ Γq). En efecto, para todo e ∈ E,

Q(ρu(e)) = (ρu(e))2 = (uαeu−1)2 = (ueu−1)2 = ue2u−1 = e2 = Q(e),

donde en el tercer paso hemos usado que uα = ±u. Finalmente basta notar que Qdetermina el producto escalar por la formula de polarizacion (valida si la carac-terıstica no es 2): 2q(e, e′) = Q(e+ e′)−Q(e)−Q(e′).

Para concretar el enlace entre el algebra geometrica (grupos de Lipschitz) y

la geometrıa (grupo ortogonal), basta observar que si u ∈ E×

, entonces ρu esla simetrıa axial Au respecto de 〈u〉 y ρu es la reflexion Hu en la direccionu. En efecto, ρu(u) = uuu−1 = u = Au(u) y si v es ortogonal a u, entoncesρu(v) = uvu−1 = −vuu−1 = −v = Au(v). Esto prueba el primer aserto. El segun-do aserto es ahora inmediato, ya que ρu = −ρu = −Au = Hu. (Hemos usado eltermino ((reflexion en la direccion u)) en lugar del mas familiar ((reflexion respectodel hiperplano u⊥)), o ((simetrıa especular respecto de u⊥)), porque para metricasdegeneradas la direccion 〈u〉 en general no queda determinada por u⊥).

Sea SOq = O+

q el subgrupo de Oq formado por las q-isometrıas con determinante+1 (grupo ortogonal especial, o grupo de rotaciones). Una reflexionHu no pertenecea SOq, ya que det(Hu) = −1. La simetrıa Au pertenece a SOq si y solo si n es

impar, ya que det(Au) = (−1)n−1. En cambio, AvAu = HvHu ∈ SOq (u, v ∈ E×),ya que det(HvHu) = (−1)2 = 1. Puesto que la accion de HvHu = AvAu sobre losvectores x ∈ E viene dada por x 7→ vuxu−1v−1 = (vu)x(vu)−1, a los elementos

de la forma R = vu ∈ Γ+

q (u, v ∈ E×) se los denomina rotores. De las definiciones

resulta sin mas que todo elemento de Γ+

q es producto de un numero finito derotores. Es de notar que si ρR denota la rotacion determinada por un rotor R,entonces ρR(x) = RxR−1.

A partir de aquı supondremos que q es no degenerada.

Teorema 3.8. El homomorfismo ρ : Γq → Oq(E) es epiyectivo y su nucleo es

K×

. Es decir, la sucesion 1→ K×↪→ Γq

ρ−→ Oq → 1 es exacta.

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264 S. XAMBO

Demostracion. Por el teorema de E. Cartan y J. Dieudonne ([1], Teorema 3.20),toda isometrıa f de E se puede expresar como un producto f = Hu1 ◦ · · · ◦Hum

de m reflexiones (e incluso se puede tomar m 6 n) en direcciones no isotropas

u1, . . . , um. Como Huj = ρ(uj), es claro que f = ρ(u), con u = u1 . . . um ∈ Γq.

El nucleo de ρ contiene K×

, como se comprueba inmediatamente. Para ver lainclusion contraria, supongamos que u ∈ ker(ρ). Esto significa que ρu = Id, lo cuala su vez equivale a decir, si r es la paridad de u (0 si u es par, 1 si u es impar), que(−1)rueu−1 = e, o bien (−1)rue = eu, para todo e ∈ E. En particular tendremos,si e1, . . . , en es una base de E, (−1)ruej = eju (j = 1, . . . , n). Escogiendo esta basede modo que sea ortogonal, podemos usar la base {eI} de Λq(E) para concluir quepodemos escribir, para cada ındice j dado, u = u′ + eju

′′ de manera que u′ yu′′ no contengan ej . De este modo la condicion (−1)ruej = eju toma la forma(−1)ru′ej + (−1)reju

′′ej = eju′ + e2

ju′′. Pero (−1)ru′ej = eju

′, ya que u′ tiene

paridad r, con lo cual la relacion se simplifica en (−1)reju′′ej = e2

ju′′. Puesto que

la paridad de u′′ es la contraria que la de u, llegamos a la relacion −e2ju′′ = e2

ju′′.

Concluimos pues que u′′ = 0, lo que significa que ej no aparece en u. Visto que jes arbitrario, resulta que u es un escalar. �

Corolario A. El grupo Γq es el subgrupo de Λ×

q (E) generado por K×

y E×

, es

decir, Γq = K×

Γq.

Demostracion. En la demostracion del teorema anterior hemos visto que el homo-

morfismo ρ : Γq → Oq es epiyectivo. Esto implica que todo elemento de Γq tiene

la forma λu, with u ∈ Γq y λ ∈ ker(ρ) = K×

. �

Sea Γ+

q el subgrupo de los elementos pares de Γq. La imagen de este subgrupopor ρ es, de nuevo por el teorema de Cartan y Dieudonne, el subgrupo SOq. De

esto resulta que ρ−1(SOq) = K×

Γ+

q , que coincide, por el corolario A, con Γ+

q (el

subgrupo de los elementos pares de Γq). En resumen:

Corolario B. 1→ K×↪→ Γ

+

qρ−→ SOq → 1 es exacta y Γ

+

q = K×

Γ+

q . �

Corolario C. Pongamos K×

0 = K× ∩ Γq = K

× ∩ Γ+

q . Entonces existe un iso-

morfismo canonico K×/K

×

0 ' Γq/Γq. Ademas, si K×2

= {λ2 |λ ∈ K×} de los

cuadrados de K, entonces K×2 ⊆ K×0 y como consecuencia K

×/K

×

0 es un cocien-

te de K×/K

×2.

Demostracion. La aplicacion K× → Γq/Γq (la inclusion K

×↪→ Γq = K

×Γq segui-

da de la aplicacion cociente Γq → Γq/Γq) es epiyectiva y su nucleo es Γq ∩K×

=

K×

0 . Por tanto tenemos un isomorfismo canonico K×/K

×

0 ' Γq/Γq. Para el se-

gundo aserto, notemos que q(u, u) = u2 ∈ Γq ∩K×

= K×

0 para todo u ∈ E× . En

particular, λ2 = q(λu, λu)/q(u, u) ∈ K×0 para todo λ ∈ K× , �

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ESCONDIDAS SENDAS 265

Corolario D. Supongamos que K = R o K = C. Pongamos U = {±1} en el casoreal y U = {±1,±i} en el caso complejo. Entonces las sucesiones

1→ U → Pinq(E)ρ−→ Oq(E)→ 1

1→ U → Spinq(E)ρ−→ SOq(E)→ 1

son exactas.

Demostracion. Si λ = u1 · · ·uk ∈ Pinq (con u2j = ±1) esta en el nucleo de ρ,

sabemos que λ ∈ K. Pero λ2 = ±u21 · · ·u2

k = ±1. Esto establece que el nucleoes U en ambas sucesiones. Para terminar la demostracion, es suficiente ver que

la reflexion en la direccion de un vector u ∈ E× se puede realizar como Hu conu2 = ±1. Para ello, partamos del hecho que Hu = Hλu para cualquier escalarno nulo λ. Dado que (λu)2 = λ2u2, a fin de que este valor sea ±1 es necesario ysuficiente que λ2 = ±(u2)−1. Pero esta relacion siempre tiene solucion tanto en Ccomo en R. �

Pseudoescalares. A los elementos del espacio unidimensional ΛnqE se les suele de-nominar pseudoescalares. Dada una base e = e1, . . . , en de E, sea

ie = e1 ∧ · · · ∧ en ∈ ΛnE.

Diremos que es el pseudoescalar asociado a e. Por la formula metrica,

Q(ie) = det(G), Gij = ei · ej .Si e′ = e′1, . . . , e

′n es otra base de E, ie′ = dete(e

′)ie, siendo dete(e′) el determi-

nante de la matriz de los vectores e′ respecto de la base e.Sin hipotesis adicionales sobre el espacio E, o sobre el cuerpo K, no se dispone

de ningun criterio para distinguir unos pseudoescalares de otros. Por ejemplo,en general no se puede encontrar un pseudoescalar de norma ±1. En efecto, sitomamos un pseudoescalar arbitrario i, cualquier otro pseudoescalar tiene la formai′ = λi, λ ∈ K, λ 6= 0, y a fin de que i′ tenga norma ±1 se ha de poder encontrar λtal que λ2Q(i) = ±1. Pero esta ecuacion no tiene solucion a no ser que ±Q(i)−1 seaun cuadrado de K, una condicion que no siempre es satisfecha. Pero sin embargoexisten ciertas propiedades generales del comportamiento de los pseudoescalaresque se pueden formular para cualquiera de ellos.

Teorema 3.9. Supongamos que la metrica q es no degenerada. Sea i ∈ Λnq (E),i 6= 0. Entonces se tiene (ponemos n//2 para denotar la parte entera de n/2):

(1) i ∈ C×q (E), i−1 = Q(i)−1iτ = (−1)n//2Q(i)−1i, i2 = (−1)n//2Q(i).

(2) Para todo x ∈ Λrq(E), ix, xi ∈ Λn−rq (E) y las aplicaciones x 7→ ix, x 7→ xi son

isomorfismos lineales Λrq(E) → Λn−rq (E). La aplicaciones inversas son x 7→ i−1x

y x 7→ xi−1, respectivamente.(3) Si n es impar, i es central (conmuta con todos los elementos de Λq(E)). Si nes par, i conmuta con los multivectores pares y anticonmuta con los impares.(4) Si Q(i) = 1, las aplicaciones definidas en el punto (2) son isometrıas (dualidadde Hodge).

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266 S. XAMBO

Demostracion. (1) Puesto que Q(i) = iτ i y Q(i) 6= 0, vemos que i ∈ C×q (E) y que

i−1 viene dado por la formula anunciada. Aquı usamos que (−1)(n2) = (−1)n//2.

(2) Escojamos una base ortogonal e = e1, . . . , en de E. Entonces i = λie =λe1 · · · en = λeN , para cierto λ ∈ K (N = {1, . . . , n}). Ahora la formula de Artinnos da que eIi, ieI ∈ Λn−r(E) para todo multiındice I de orden r.

(3) Usemos la base del punto anterior: eji = ejeN = (−1)n+1eNej = (−1)n+1iej ,donde el segundo paso es consecuencia de la formula de Artin. Es ası claro que iconmuta (anticonmuta) con todos los vectores si n es par (si n es impar).

(4) Calculemos 〈xi|yi〉, x, y ∈ ΛrE, usando la formula alternativa de la norma:

〈xi|yi〉 = ((xi)τyi)0 = (iτxτyi)0

= iτ (xτy)0i = iτ 〈x|y〉i = 〈x|y〉iτ i= 〈x|y〉Q(i) = 〈x|y〉.

En el tercer paso hemos usado que z 7→ iτzi preserva grados (punto (2)). Que〈ix|iy〉 = 〈x|y〉 es aun mas simple: (ix)τ iy = xτ iτ iy = Q(i)xτy. �

Ejercicios de geometrıa euclıdea. A) Sea En el espacio euclıdeo de dimensionn. Dados vectores linealmente independientes v1, . . . , vk, sea V = 〈v1, . . . , vk〉, πVla proyeccion ortogonal sobre V y π⊥V la proyeccion ortogonal sobre V ⊥. Entoncesse tiene que π⊥V (x) = (x ∧ u)u−1, siendo u = v1 ∧ · · · ∧ vk. En efecto, (x ∧ u)u−1

es lineal en x, se anula cuando x ∈ V y su valor es x cuando x ∈ V ⊥, puesen tal caso x ∧ u = xu − x · u = xu. Por otra parte, πV (x) = (x · u)u−1, puesπV (x) = x− π⊥V (x) = x− (x∧ u)u−1 = (xu− x∧ u)u−1 = (x · u)u−1. Esta ultimaformula se puede tambien demostrar directamente, ya que su valor es claramente0 cuando x ∈ V ⊥ y es x cuando x ∈ V , ya que en ese caso x ∧ u = 0 y por tantox · u = xu.

B) Sean ahora u, v ∈ En dos vectores linealmente independientes, U = 〈u, v〉,θ = θ(u, v) el angulo que forman y R = vu el rotor que definen. Entonces larotacion ρR es la identidad sobre U⊥ y una rotacion de amplitud α = 2θ enel plano (orientado) U . En efecto, hemos visto que ρR es la composicion de lassimetrıas respecto de los hiperplanos u⊥ y v⊥. Esta composicion deja invarianteu⊥∩v⊥ = U⊥ y en U es composicion de las reflexiones respecto de las rectas u⊥∩Uy v⊥ ∩ U . Puesto que el angulo formado por estas dos rectas es θ, la composiciones un giro de amplitud 2θ.

Sea u1, u2 una base ortonormal de U con la misma orientacion que [u, v]. Pon-gamos iU = u1u2 = u1 ∧ u2 (area unidad de U), que satisface i2U = −1 (¡sig-nificado geometrico de la unidad imaginaria!). Entonces u ∧ v = |u||v| sen(θ)iU yv∧u = −|u||v| sen(θ)iU . Por tanto R = vu = |u||v|(cos θ−sen θ iU ) = |u||v|e−θiU =

|u||v|e− 12αiU y R−1 = u−1v−1 = |u|−2|v|−2uv = |u|−1|v|−1e

12αiU , con lo cual en el

producto RxR−1 se simplifican las normas y queda ası establecida la que podemosllamar formula espinorial de Euler :

(13) ρR(x) = e−12αiUxe

12αiU .

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ESCONDIDAS SENDAS 267

C) Sean R = vu y S = wv rotores. Sin perdida de generalidad podemos supo-ner que u, v, w son unitarios (por B). Entonces SR = wvvu = wu. Este hechose ilustra en la figura 8. Las correspondientes rotaciones verifican ρS ◦ ρR = ρSR,pero tengase en cuenta que la amplitudes de ρR, ρS , ρSR son iguales a 2θ(u, v),2θ(v, w), 2θ(u,w), respectivamente. Esta interpretacion de la composicion de ro-tores y rotaciones es debida a D. Hestenes.

u

v

w

vu

wv

wv

O

Figura 8. Composicion de rotores y de las correspondientes rotaciones.

D) Sea G = G3 el algebra geometrica del espacio euclıdeo E3 y e1, e2, e3 una baseortonormal. Sea i = e1e2e3 (unidad de volumen), que cumple Q(i) = 1 e i2 = −1(¡otra interpretacion geometrica de la unidad imaginaria!). Siendo la dimensionimpar, i es central y esto permite escribir la base del espacio de bivectores de unamanera compacta:

e2e3 = ie1 = e1i, e3e1 = ie2 = e2i, e1e2 = ie3 = e3i.

De hecho, la aplicacion G1 → G2, x 7→ ix.= x∗, es una isometrıa, y su inversa es

y 7→ −iy (dualidad de Hodge).

La subalgebra par G+

= 〈1, ie1, ie2, ie3〉 es isomorfa al cuerpo H = 〈1, I,J ,K〉de los cuaternios: ie1 = e2e3, ie2 = e3e1, ie3 = e1e2 7→ I,J ,K. Puesto que〈e2, e3〉⊥ = 〈e1〉 y θ(e2, e3) = π/2, la rotacion producida por el rotor I tieneneje 〈e1〉 y amplitud 2θ = π. Es decir, es la simetrıa axial respecto del eje 〈e1〉. Deuna manera parecida se encuentra que la rotaciones generadas por los rotores J yK son las simetrıas axiales respecto de los ejes 〈e2〉 y 〈e3〉, respectivamente. Loscuadrados de estas simetrıas son la identidad, pero en cambio I2 = J2 = K2 = −1.

E) Definamos el producto vectorial v × v′ de dos vectores v, v′ ∈ E3 de maneraque i(v × v′) = v ∧ v′, o bien v ∧ v′ = −i(v × v′). En particular se tiene

ej × ek = −i(ej ∧ ek) = −i(ejek) = −i(iel) = el,

siendo j, k, l una permutacion cıclica de 1, 2, 3. Con esto es facil comprobar queel producto vectorial se puede definir tambien por la relacion v × v′ = −iv · v′.Otras relaciones se establecen tambien sin dificultad. Por ejemplo, (v× v′)× v′′ =−i(v × v′) · v′′ = −(v ∧ v′) · v′′ = v′′ · (v ∧ v′) = (v′′ · v)v′ − (v′′ · v′)v establece laformula del doble producto vectorial. De un modo similar se prueba la del productomixto ((v × v′) · v′′ = −i(v ∧ v′ ∧ v′′) = det(v, v′, v′′)).

Puesto que i cambia de signo cuando se cambia la orientacion del espacio, lomismo le ocurre al producto vectorial. Este hecho usualmente se describe diciendo

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que el producto vectorial es un vector axial (a los vectores ordinarios se los calificade polares), una manera un poco esoterica de constatar que en realidad es undisfraz, peculiar de la dimension 3, del producto exterior.

F) Otro interesante ejercicio es probar que la rotacion ρu,α de eje u (u ∈ E3

unitario) y amplitud α (α ∈ R) viene dada por la formula

(14) ρu,α(x) = e−12 iuαxe

12 iuα.

En efecto, sea u1, u2 una base ortonormal de U = u⊥ tal que u1 × u2 = u, ypongamos iU = u1∧u2 (unidad de area de U). Entonces iU = u1∧u2 = i(u1×u2) =iu y la proposicion se obtiene directamente de la formula espinorial de Euler (13).

Por ejemplo, el rotor que da ρe1,π es e−12 ie1π = e−I

π2 = −I (cf. D).

La formula 14 permite resolver comodamente el problema de determinar el ejeu′′ y la amplitud α′′ de la composicion ρu′,α′ ◦ ρu,α de dos rotaciones. En efecto,

u′′ y α′′ quedan determinados por la relacion eiu′′α′′/2 = eiuα/2eiu

′α′/2, que nosda, igualando componentes reales e ((imaginarias)) y teniendo en cuenta que uu′ =u · u′ + u ∧ u′ = u · u′ − i(u× u′), las ecuaciones de O. Rodrigues (1840):

cos α′′

2 = cos α′

2 cos α2 − (u · u′) sen α′

2 sen α2

u′′ sen α′′

2 = u sen α2 cos α

′

2 + u′ cos α2 sen α′

2 + (u× u′) sen α2 sen α′

2

La primera ecuacion tiene dos soluciones (±α′′), a las que corresponden dos solu-ciones (±u′′) de la segunda, pero de hecho determinan una unica rotacion ya queρ−u,−α = ρu,α.

La demostracion anterior es una adaptacion de la expuesta en [4], una interesantereferencia que hemos descubierto casualmente durante la elaboracion de esta notas.Tambien se han consultado [13] y [6]. A esta ultima volveremos con ocasion delalgebra geometrica del espacio-tiempo.

G) El algebra G3 admite la representacion matricial 1, e1, e2, e3 7→ I2, σ1, σ2, σ3,siendo σk las matrices de Pauli :

σ1 = σx =

[1

1

], σ2 = σy =

[−i

i

], σ3 = σz =

[1−1

].

Esto muestra que G3 ' C(2) (algebra de matrices 2 × 2 complejas). Notese quei = e1e2e3 7→ σ1σ2σ3 = iI2.

La representacion de Pauli de G3, o cualquier otra representacion matricial dela misma, no es necesaria para entender G3 y sus aplicaciones. Las ventajas detrabajar directamente con G3, que viene a ser la ((verdadera)) algebra de Pauli, sehan ilustrado en los ejercicios precedentes. Estas consideraciones valdran tambienpara el algebra del espacio-tiempo (algebra de Dirac) a la cual se dedica el epıgrafesiguiente.

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Estructura geometrica del espacio-tiempo.

Historically, the spacetime algebra was the first modernimplementation of geometric algebra. This is because itprovides a synthetic framework for studying spacetimephysics.

Doran-Lasenby, 2003, Ch. 5.

Podemos empezar, siguiendo a Minkowski, con una definicion neocartesiana deun espacio-tiempo (lorentziano): un espacio cuadratico real (E, η) de signatura(1, 3), que tambien expresamos escribiendo E1,3. Los vectores x ∈ E (sucesos en laterminologıa tradicional) se clasifican en temporales, lumınicos o espaciales segunque η(x, x) sea positivo, nulo o negativo, respectivamente.Una referencia (inercial) de E1,3 es una base ortonormal Γ = γ0, γ1, γ2, γ3:

γ0 · γ0 = 1, γ0 · γj = 0, γj · γk = −δj,k (j, k ∈ {1, 2, 3}),o bien, en las notaciones relativistas familiares,

γµ · γν = ηµν (µ, ν ∈ {0, 1, 2, 3}),donde ponemos x · y = η(x, y).

Hemos adoptado los sımbolos γµ de la teorıa de Dirac para denotar una refe-rencia, aunque en dicha teorıa se usan para representar las llamadas matrices deDirac (ciertas matrices complejas 4 × 4). Estas matrices dan lugar a una repre-sentacion concreta del algebra geometrica G1,3 = Λη(E) del espacio-tiempo, conlo cual G1,3 es de hecho el algebra de Dirac sin matrices, de un modo parecido acomo el algebra G3 del espacio euclıdeo ordinario ha aparecido como el algebra dePauli sin matrices. La reglas fundamentales de calculo en el algebra G1,3 son lasidentidades de Clifford

γµγν + γνγµ = 2ηµν .

Sea i = iΓ el pseudoescalar asociado a la referencia:

i = γ0γ1γ2γ3 = γ0123.

Anticonmuta con los vectores y trivectores y conmuta con los escalares, bivectoresy pseudoescalares. En forma compacta,

xi = (−1)rix si x ∈ Gr.Ademas, por los resultados generales establecidos anteriormente, se tiene:

1) i2 = Q(i) = det(diag(+,−,−,−)) = −1.2) La dualidad de Hodge Gr → G4−r, x 7→ x∗ = xi = (−1)rix es una antiiso-

metrıa (r = 0, 1, 2, 3). Esto implica que las signaturas de G2, G3 y G4 son(3, 3), (3, 1) y (0, 1) = 1 (es decir, Q(i) = −1).

Si ponemos σ1 = γ1γ0 = γ10, σ2 = γ2γ0 = γ20, σ3 = γ3γ0 = γ30, un sencillocalculo muestra que σ∗j = σji = −γkγl = −γkl (j, k, l una permutacion cıclica de(1, 2, 3)). Esta relacion se suele condensar escribiendo σ∗j = −εjklγkl, siendo εjklel signo de la permutacion jkl de 123. Explıcitamente,

σ∗1 = −γ23, σ∗2 = −γ31, σ

∗3 = −γ12.

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Las σj y σ∗j tienen signaturas −1 y +1, respectivamente, y las seis juntas forman

una base de G2.Ası mismo, los γ∗µ = γµi forman una base de G3 y tienen signaturas −1 para

µ = 0 y +1 en otro caso. Es inmediato comprobar que

γ∗0 = γ123, γ∗1 = γ023, γ

∗2 = γ031, γ

∗3 = γ012.

Todos estos hechos quedan recogidos resumidamente en la Figura 9.

1∗

1

γ0 γ1 γ2 γ3

σ1 σ2 σ3 σ∗1 σ∗2 σ∗3

γ∗0 γ∗1 γ∗2 γ∗3

x∗ = x i

Q(x) = +1

Q(x) = −1

Figura 9. Generadores de G1,3. La barra sobre un sımbolo significaque su norma metrica es −1. En todos los demas casos, la norma es+1. El asterisco denota dualidad de Hodge.

El subespacio 〈1, i〉 = G0 + G4 es una subalgebra isomorfa a C. Diremos que es elalgebra de escalares complejos y en lo que sigue C denotara esta algebra. Noteseque C = {x ∈ G |x = xα = xτ} (si x = xα, x = x0 + x2 + x4, y si ademas x = xτ ,x2 = 0). Un escalar complejo tıpico sera denotado α + βi, α, β ∈ R. El espacio

G− = G1 + G3 = G1 + G1i es cerrado por la multiplicacion por i, de manera quees un C-espacio vectorial. Diremos que sus elementos son vectores complejos. Losvectores γ0, γ1, γ2, γ3 forman una base de este espacio y un elemento tıpico del

mismo tiene la forma a+ bi, a, b ∈ G1. Notese que γ0G−

= G−γ0 = G+

. El espacioG2 de los bivectores es cerrado por la multiplicacion por i, de modo que tambien esun C-espacio. Como base del mismo podemos tomar σ1,σ2,σ3. La forma tıpicade un bivector es x+ yi, x,y ∈ 〈σ1,σ2,σ3〉. Vemos pues que todo multivector sepuede escribir de una unica manera en la forma (α+ βi) + (a+ bi) + (x+ yi).Sea E el espacio real 〈σ1,σ2,σ3〉. Ası G2 = E + Ei. Con la metrica de G, E eseuclıdeo y σ1,σ2,σ3 es una base ortonormal. Decimos que es el espacio (euclıdeo)relativo de la referencia Γ. El algebra geometrica de E sera denotada P (algebrade Pauli). Notese que si x ∈ E , Q(x) = −x2 = −|x|2.

Teorema 3.10. (1) El algebra par G+

es isomorfa a P y el pseudoescalar de Pcoincide con i.(2) La graduacion lineal de P viene dada por P0 = R, P1 = E, P2 = Ei, P3 = Ri.

Demostracion. Los bivectores σ1,σ2,σ3 generan G+

como R-algebra, ya que setiene σjσk = −σ∗l (j, k, l una permutacion cıclica de 1, 2, 3) e iσ = σ1σ2σ3 = i.Esto, junto con las relaciones σ2

j = 1 y σjσk + σkσj = 0 (si k 6= j), prueban (1),y (2) se establece sin dificultad. �

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Dado un bivector z = x+yi, z2 = |x|2−|y|2 +2(x ·y)i ∈ C, ya que i conmuta conlos bivectores, x2 = |x|2, y2 = |y|2 y xy + yx = 2x · y. Si z2 6= 0, z es invertibley z−1 ∈ G2, pues z(z/z2) = 1 y z/z2 ∈ G2C = G2. Diremos que z es un espinor(lorentziano) si z2 = ±1. Esta claro, por ejemplo, que σ1,σ2,σ3 y σ∗1,σ

∗2,σ

∗3 son

espinores, pues su cuadrado es 1 para los tres primeros y −1 para los demas.Si z es un espinor, ponemos z2 = ε, ε = ε(z) = ±1, y Rz,α = e

12αz, expresion a la

que podemos llamar, por las razones que se veran en el siguiente teorema, z-rotorde amplitud α. Siendo zτ = −z, esta claro que RRτ = 1, o bien Rτ = R−1. Noteseque la presencia del signo ε comporta el siguiente desarrollo de la exponencial:

(15) Rz,α = cosε(12α) + z senε(

12α),

siendo cosε, senε las funciones cosh, senh si ε = 1 y cos, sen si ε = −1.

Teorema 3.11 (Rotores y transformaciones de Lorentz). Sea z ∈ G2 un espinory R = Rz,α. Sea LR el automorfismo de G definido por LR(x) = RxR−1. Entonces

LRG1 = G1 y LR : G1 → G1 es una isometrıa de Lorentz propia (LR ∈ O+

η ).

Demostracion. Sea a ∈ G1 y pongamos x = LR(a) = RaR−1. Para probar quex ∈ G1, basta ver que xα = −x y xτ = x (la primera relacion asegura quex = x1+x3 y la segunda que x3 = 0). Pero estas relaciones se establecen facilmente:xα = Rαaα(Rα)−1 = −RaR−1 = −a (pues Rα = R y aα = −a), mientras quexτ = (Rτ )−1aτRτ = RaR−1 (pues Rτ = R−1 y aτ = a).

Para ver que LR es una isometrıa, basta comprobar que conserva la formacuadratica Q. Sea a ∈ G1 y b = LR(a) = RaR−1. Entonces Q(b) = b2 =RaR−1RaR−1 = Ra2R−1 = a2 = Q(a). Finalmente, LR(i) = RiR−1 = i, pues iconmuta con los elementos pares, y por otra parte LR(i) = det(LR)i, de maneraque det(LR) = 1. �

Ejemplo. La matriz de LR se puede hallar calculando

(16) γ′µ = LR(γµ) = (c+ zs)γµ(c− zs) = c2γµ − s2zγµz − scγµz + sczγµ,

where c = cosε(α/2) and s = sinε(α/2). Veamos, como una ilustracion, comorepresentar con este procedimiento la transformacion (especial) de Lorentz

t′ = γ(t− βx), x′ = γ(x− βt)con β = v/c y γ = 1/

√1− β2. En terminos de la referencia γ0, γ1, γ2, γ3, esta

transformacion equivale a

γ′0 = γ(γ0 + βγ1), γ′1 = γ(γ1 + βγ0),

y el resultado es que esta trasformacion coincide con LR, con

R = Rσ1,α = cosh( 12α) + σ1 senh( 1

2α), α = tanh−1(β).

En efecto, la matriz de LR se puede calcular usando la ecuacion (16) y el resultadoes

(c2 + s2)

1 2sc

c2+s22scc2+s2 1

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272 S. XAMBO

siendo en este caso c = cosh( 12α) y s = senh( 1

2α) (pues σ2 = 1). Pero entonces

2sc = senh(α), c2 + s2 = cosh(α), 2sc/(c2 + s2) = tanh(α) = β y c2 + s2 = γ, demodo que la matriz final es

γ

1 ββ 1

11

Ejercicios de cinematica relativista. Sea x = x(s) un camino (una curva parame-trizada) de E = E1,3. Es facil ver que el signo de (dx/ds)2 es invariante respectode reparametrizaciones estrictamente monotonas s = s(τ) y esto permite distin-guir entre caminos temporales, lumınicos y espaciales. Si x = x(s) es temporal, elparametro

τ(s) =

∫ s

0

(dx

ds(ξ) · dx

ds(ξ)

)1/2

dξ

no depende de la parametrizacion usada y se llama tiempo propio del camino. Sien-do τ(s) una funcion estrictamente creciente de s, podemos considerar su inversa,s = s(τ), y la parametrizacion x(τ) = x(s(τ)). Entonces dx/dτ , que denotamosx, cumple x2 = 1 (vector tangente unitario). Por ejemplo, τ es el tiempo pro-pio de x(τ) = τγ0, que se interpreta como el camino de una partıcula en reposoen el origen de la referencia Γ parametrizado por el tiempo (de un reloj) propio.Para los caminos espaciales existe un parametro s, llamado distancia propia, talque (dx/ds)2 = −1. El tiempo propio de los caminos lumınicos es nulo y ningunparametro es distinguido.

Espacial

Lumınico

Temporal

Pasado

Futuro

Dondequiera

x

t

t− x = 0

t+ x = 0

Cono de luz: t2 − x2 = 0

γx

γt

Figura 10. Esfera de Lorentz: t2 − x2 = 1.

El vector relativo (respecto de Γ, o de γ0) de un vector x ∈ E es x = x ∧ γ0 ∈ E .Si xµ son las coordenadas de x (en cuyo caso x = xµγµ en la familiar notacion deEinstein), las de x son x1, x2, x3 (y escribimos x = xkσk), pues

x = x ∧ γ0 = x1γ1 ∧ γ0 + x2γ2 ∧ γ0 + x3γ3 ∧ γ0.

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Si ponemos t = x0, entonces xγ0 = x · γ0 + x ∧ γ0 = t+ x. Por tanto

Q(x) = x2 = xγ0γ0x

= (x · γ0 + x ∧ γ0)(x · γ0 + γ0 ∧ x)

= (t+ x)(t− x) = t2 − x2

nos da la expresion en terminos relativos de la forma cuadratica de Lorentz.Sea v = v(τ) la velocidad propia (de una partıcula) x = x(τ) (esto es, v = dx/dτ)

y pongamos u = γ0 (velocidad propia de la partıcula en reposo en el origen de Γ).Entonces

vu = vγ0 =d

dτ(xγ0) =

d

dτ(t+ x),

y por tantodt

dτ= v · u, dx

dτ= v ∧ u.

Si v = dx/dt (velocidad relativa),

v =dx

dt=dx

dτ

dτ

dt=v ∧ uv · u .

Dado que v2 = −Q(v) = −Q(v ∧ u)/(v · u)2 = 1− (v · u)−2, se tiene v2 < 1 y

v · u = 1/√

(1− v2),

que es el factor γ de Lorentz de v.

Para el lector que desee profundizar en las aplicaciones del algebra geometrica alespacio-tiempo, la obra de D. Hestenes es fundamental, y muy especialmente [10]y las referencias citadas en el prefacio.

Epılogo

Una de las inquietudes de Sancho era la etimologıa de las palabras. Le seducıanlos matices del θεωρηµα de los antiguos griegos (derivado de θεωρηω ‘ver, mirar,considerar’, de θεα ‘una vista’, terminos que estan claramente emparentados con‘teatro’), y los realzaba contraponiendolos a los del ‘Satz’ aleman. La nocion deque teorema es lo visto no ha dejado de estar presente, sea como guıa o comofiltro, en la redaccion de estas notas de viaje por algunos tramos de sendas queinterconectan los conocimientos matematicos y estos con los conocimientos fısicos.Aunque hoy existe una inabarcable literatura sobre estos temas, la primera noticiasobre su existencia nos la dio Sancho y la vigencia de sus ensenanzas sobre comoorientarse en su inmensa marana confirman que un maestro lo es para toda la vida.

Referencias

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reality be considered complete?, Physical Review 47 (1935), 777–780.[9] K. Engesser, D. M. Gabbay, y D. Lehmann, Handbook of quantum logic and quantum struc-

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versity press, 1997.[14] J. A. Navarro, Apuntes para una Licenciatura, Universidad de Badajoz, 2013. Notas sobre

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Autonoma de San Luis Potosı (UASLP), Mexico, 9-13 de marzo de 2015: L1, First steps; L2,

Grassmann-Clifford algebra; L3, Geometric algebra; L4, Space-time geometric algebra; L5,Real and complex geometric algebras. Este curso fue suplementado con dos conferencias: L6,

On spinors (Encuentro sobre Geometrıa, Campos y Cuantizacion, organizado por miembros

del Centro de Ciencias Matematicas UNAM-Morelia y del Cuerpo Academico de MatematicaAplicada y Fısica Teorica de la Facultad de Ciencias de la UASLP), y L7, Spinning spinors(V Taller sobre Sistemas dinamicos y Geometrıa, San Carlos, Sonora, 17-21 de marzo de

2015).

Jordi Girona, 1-3, UPC / Omega / D428

Correo electronico: sebastia.xambo@upc.eduURL: http://www-ma2.upc.edu/sxd