EL CAMPO MAGNÉTICO

1) Un hilo recto de longitud infinita lleva una corriente de intensidadI. Calcular el campo magnético B creado a una distancia a del hilo,por integración directa.

Sol. B(a)=(I/2a)uz

2) Calcular el campo magnético B en el centro de una espiracuadrada de lado L y recorrida por una corriente de intensidad I.

Sol. B= (2.83I/ L)uz

3) Calcular el campo magnético producido por una espira circular deradio a recorrida por una corriente de intensidad I, en los puntos desu eje, asi como en el centro de la espira

Sol. B(z)=(Ia2 /(a2 +z2)3/2)uz

4) Sea un conductor rectilíneo por el que circula una corriente deintensidad I; una varilla metálica de longitud L se desplazaparalelamente al conductor con velocidad suponiendo la varillaorientada transversalmente a la dirección del conductor y que suextremo más próximo a éste se encuentra a una distancia d delmismo, calcular el valor de la f.e.m. inducida en la varilla.

Sol. V=vIln(d+L/d)/2

5) Dos alambres verticales separados una distancia 2a, estánrecorridos por corrientes de igual intensidad I, dirigidas en sentidosopuestos.

a) En un punto P1 equidistante de los dos alambres y situado a unadistancia b del plano formado por los dos alambres, calcular el campomagnético B.

b) Si se coloca en el punto P1 una espira de pequeñas dimensiones,de momento magnético m, ¿cuál será la orientación de equilibrio deldipolo en dicho punto?

c) ¿Cuál es el valor del par necesario para colocar el dipolo en unaposición perpendicular a la de equilibrio?

Sol. a) B=(Ia/(b2+a2))uy; b) m paralelo a B; c) T=mIa/(b2+a2)

6) Una cinta conductora delgada de anchura a, es recorrida por unaintensidad I. Calcular el campo magnético en un punto P del plano dela cinta, a una distancia d de su extremo.

Sol. B=(Iln((a+d)/d)/2a) ux

7) Sobre un tronco de cono de bases circulares de radios b y b/2 yaltura a/2, se dispone un arrollamiento regular de n espiras porunidad de longitud (medida sobre el eje del cono) recorrido por unacorriente de intensidad I. Este tronco de cono pertenece a un cono dealtura a y base circular de radio b. Calcular el campo magnético en elvertice del cono.

Sol. B=( nIab2 ln2/2(a2+b2)3/2)uz

8) Sobre la superficie de una esfera no conductora de radio R searrolla uniformemente un hilo conductor de modo que las N espirasresultantes cubren por completo la superficie de la esfera; los planosde todas las espiras son perpendiculares a un eje de la esfera, siendoI la intensidad de la corriente que recorre el hilo. Calcular el campomagnético en el centro de la esfera.

Sol. B= (NI3R) uz

9) Por el circuito indicado en la figura circula una corriente deintensidad I. Calcular la inducción magnética B en el punto (0,0,0)

Sol. B=[I(R1-R2)/4R1R2] uz

10) Un alambre doblado como se muestra en la figura, lleva unacorriente I y se halla colocado en un campo magnético uniformedevalor B, que sale perpendicular al plano del papel. Calcular la fuerzaque actúa sobre el alambre.

Sol. F= -2IB(L+R) uy

11) Un electrón se mueve en el plano XY con velocidad v uniforme ycorta en un instante determinado al eje X segun un angulo Paraleloal eje X existe un campo magnético uniforme, de valor B.

a) ¿Que tiempo transcurrirá hasta que el electrón vuelva a cortar eleje X?

b) ¿ Que distancia a lo largo del eje X habrá recorrido en ese tiempo?

Sol. a) T=2me/eB; b) X= 2mevcos

12) Utilizando un electrón se miden los campos existentes en unaregión del espacio donde existe vacío. Se realizan tres tipos demedidas:

a) se sitúa el electrón en reposo y éste adquiere una aceleraciónay=a2uy.

b) Se introduce el electrón con una velocidad vo=vouy y adquiere unaaceleración a=a2uy+a3uz.

c) Introduciendo el electrón con velocidad v=vouy se observa que nose acelera en la dirección z. Calular los campos E y B en la regiónconsiderada.

Sol. E=-(mea2/e)uy; B=-(mea3/evo) uy

13) Calcular la fuerza ejercida por una corriente indefinida I sobre unrombo de lado L que determina un plano con dicha corriente y a suvez es recorrido por una intensidad de corriente I', estando a unadistancia d de la corriente, tal y como se indica en la figura.

Sol. F= ('/tg)ln[d2/(d2 - L2 sen2

14) Calcular el momento magnético de un circuito formado por unaespiral, de corriente I, muy compacta sabiendo que a es el radio de laespira más interna, b el de la espira más externa y N el numero totalde espiras.

Sol. m=NI(b3 - a3) /3(b-a)

15) Consideremos un disco circular con una densidad superficial decarga ,de radio r y que gira a una velocidad angular . Calcular sumomento magnético y el potencial magnético vector que produce enun punto del plano del disco que dista a de su centro, siendo a>>r.

Sol. m= r4/4; A(a)=r4/16a2

16) Calcular el campo magnético creado por un solenoide de longitudb y radio R, que tiene N espiras recorridas por una intensidad Iuniformemente distribuidas, en un punto de su eje.

Sol. B=[nI(cos - cos)/2b] ux

17) Se tiene un disco de radio a, de material aislante y espesordespreciable, está cargado sobre una de sus caras con una densidadsuperficial de carga . Si el disco gira con velocidad angularalrededor de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa porel centro de éste, calcular el campo magnético en los puntos del ejedel disco.

Sol.

18) Una esfera de radio a y densidad superficial de carga gira conuna velocidad angular alrededor de uno de sus diámetros. Calcularel campo magnético en el centro de la esfera.

Sol.

19) Un conductor rectilíneo C, de gran longitud, es recorrido por unacorriente de intensidad I. Calcular la diferencia de potencialmagnético escalar entre dos puntos a distancias r1 y r2 de C, talesque los planos meridianos que pasen por ellos formen entre sí unángulo .

Sol. V1-V2= I/2

20) Un conductor cilíndrico de longitud infinita lleva una corriente deintensidad 100 A y está colocado en un campo magnético exterioruniforme de B= 50 G, siendo el conductor perpendicular al campo.Hallar los puntos en los que el campo magnético resultante total valecero.

Sol.

Se anula en en la recta paralela al conductor que pasa por el punto Py dista ro=0.004 m del centro del conductor.

21) Consideremos un cable coaxial infinito, con un materialmagnético aislante ocupando el espacio entre los dos conductores. Elconductor interior lleva una corriente de intensidad I y el exterior -I.Determinar los campos B y H en las tres regiones del cable y en elexterior de él. Supóngase que las corrientes están uniformementedistribuidas por la sección del conductor por el que circulan.

Sol.

22) Un toro de radio interior a y radio exterior b, tiene unarrollamiento uniforme de N espiras, recorridas por una corriente deintensidad I. Calcular:

a) El valor del campo B en un punto que diste r del eje del toro,siendo a<r<b.

b) El cociente b/a para que el modulo de B no varíe más del 20%dentro del toro.

Sol. a) b=NI/2r; b) a/b=0.8

23) Un conductor de gran longitud, de radio a y permeabilidad ,lleva una corriente de intensidad I. Coaxialmente al conductor secoloca un tubo de la misma permeabilidad, de radio interior b y radioexterior c. Determinar los vectores de campo B, H y M en todos lospuntos del espacio.

Sol.

23) Sea un sistema de conductores coaxiales indefinidos, de radiosR1 y R2 respectivamente. Por el conductor de radio R1 circula unacorriente de intensidad I y por el otro una corriente en sentidocontrario, de igual valor de intensidad. En el espacio entreconductores existen dos materiales magnéticos de permeabilidades y , distribuidos espacialmente como se indica en la figura. Calcularlos vectores campo H y B en el espacio entre

conductores.

Sol.:

24) Un conductor cilíndrico , recto , de radio a, transporta uncorriente de intensidad I, uniformemente distribuida sobre su seccióntransversal. La permeabilidad del conductor es una función de la

distancia r al eje del mismo, de la forma (r)= o(ka-r)/a, donde K esuna constante, (k>2). Determinar los vectores B, H y M en el interiordel conductor.

Sol.:

25) Un paralepípedo de un material ferromagnético se imana de talforma que el vector imanación es perpendicular a una cara delparalepípedo y varía linealmente de 0 a M de una cara a otra.Determinar las densidades de corriente de imanación Jm y Km, siendoM =uzM(b-y)/b.

Sol.

:

26) Un hilo recto e indefinido, recorrido por una corriente deintensidad 5 A, está sumergido en un medio de susceptibilidadmagnética m=10-3. Calcular:

a) El campo magnético H y la imanación M en un punto que diste del hilo 5cm.

b) ¿Cuál es la energía potencial máxima de un dipolo magnético mcolocado en ese punto?( m=5 A m2)

Sol.: a) H=15.9 A/m, M=15.9x10-3 A/m; b) Ep max=10-4 J.

27) Por un conductor rectilíneo e indefinido, de radio a, circula un corriente deintensidad I. Una arandela de radio interior a, exterior b y espesor e, dematerial cuya permeabilidad es , está dispuesta como indica la figura.Calcular B, H y M en todos los puntos del espacio.

Sol:

Para r<a:0Mu

a2Ir

Bua2

IrH2

o2

Para a<r<b:

ur2

I1Mur2IBu

r2IH

o

Para b<r:0Mu

r2I

Bur2

IH o

28) Sobre un toro de hierro dulce se han arrollado 600 espiras.Averiguar cual es el flujo magnético del circuito cuando pasa unacorriente de 1 A de intensidad por el arrollamiento, sabiendo que lapermitividad relativa del material vale 800, que el diámetro medio deltoro es de 20 cm y su sección de 10 cm2. ¿Cuál es el valor del campoH en el material?

Sol.: H=954.9 A/m, =9.6x10-4 Wb

29) Sea un núcleo toroidal compuesto por dos medios materiales.Cada uno de ellos constituye la mitad del toroide y suspermeabilidades son y . Dos bobinas se situan en cada mitad, conN1 y N2 espiras, respectivamente. El radiomedio del toroide es R y su sección es S.Suponemos a S de radio muy pequeñocomparado con R, de forma que las bobinaspuedan crear campos prácticamente

uniformes en el interior del toroide. Además se supone que no existecampo fuera del toro. Calcular el coeficiente de inductancia mutuaentre las dos bobinas, suponiendo los medios magnéticamentelineales.

Sol.: M12=M21=12N1N2S/R(

30) Un conductor metálico cilíndrico, de longitud infinita, lleva unacorriente de intensidad 10 A uniformemente distribuida. Calcular elflujo del campo magnético que atraviesa una superficie plana delongitud L=1 m, situada tal y como se muestra en la figura.

Sol.: =10-6 Wb

31) Tenemos un sistema de conductores coaxiales indefinidos, cuyosradios respectivos son a y b. Por dichos conductores circulan

corrientes del mismo modulo pero sentidocontrario. En un sector del volumencomprendido entre los conductores existe unmaterial de permeabilidad =100o.Calcular:

a) Los vectores campo H y B en elespacio comprendido entre losconductores.

b) El flujo de B en una sección de longitud unidad perpendicular au.

Sol.: a) H=600I/1101r (sector ocupado por el vacío);H=6I/1101r (sector ocupado por el material de permeabilidad

B=o600I/1101r (ambos sectores).

32) Un haz paralelo de protones se mueve en el espacio en formade cilindro de radio R; la velocidad media de los protones es v, yestán distribuidos con densidad de volumen . Calcular la fuerzaque actúa sobre un protón situado a la distancia r del eje del haz.¿Podrá mantenerse el haz paralelo? Discutir el resultado.

Sol.:r

22o

o

2u

2rvρeμ

ε2reρF

; el haz es divergente, solo semantendría paralelo si v=c.

33) Un toroide ferromagnético tiene unradio R=15 cm, siendo su sección circularde radio r=2 cm. Sobre este toroide seenrollan 400 espiras uniformementedistribuidas. El toroide se ha seccionadode tal forma que queda un entrehierrode 0.2 cm, según se indica en la figura.Siendo la permeabilidad magnéticarelativa del material r=1200, determinarla intensidad necesaria para producir unflujo de 8x10-4 Wb.

Sol.: HI=3.5 A.

34) Determinar el flujo magnéticoque atraviesa el contornorectangular de la figura, creado poruna corriente de intensidad I, quepasa por un conductor rectilíneo y delongitud infinita, así como elcoeficiente de inducción mutua.

Sol.:

a

balnπ2hμ

Ma

balnπ2Ihμ

Φ oo

35) Un circuito magnético está formado por un anillo toroidal dematerial magnético cuyo radio medio es de 10 cm, y tiene unentrehierro de 0.1 cm. La sección transversal tiene un diámetro de1 cm. La permeabilidad relativa del material es de 103. Elarrollamiento es de 1000 espiras y se desprecian los efectos deborde. Calcular la corriente que debe circular por las espiras paraque el campo magnético B en el entrehierro tenga una intensidadde 0.1 T. Hallar el valor del campo H en el entrehierro y de laimanación del material para esa intensidad de corriente. ¿Cuántovale el coeficiente de autoinducción del toroide?

Sol.: I=013 A: He=79577.5 A/m; Mmat=79497.9 ; L=60.3 mH

36) Calcular el coeficiente de autoinducción de un cable coaxial delongitud L, despreciando las autoinducciones propias de los

conductores interno y externo. La corriente que lleva el conductorinterno es I amperios.

Sol.:abln

π2Lμ

L o

37) Una espira conductorarectangular de lados a y b semueve con velocidad v,alejándose de un conductorrectilíneo e indefinidorecorrido por una corriente deintensidad I, tal y como semuestra en la figura.Determinar la f.e.m. inducidaen la espira como una función del tiempo.

Sol.: V=oIbav/2r(r+a)

38) En un plano vertical se encuentra una espira de área S cuyanormal forma un ángulo con la dirección de un campo magnéticouniforme y horizontal que varía sinusoidalmente con el tiempo(B=Bosen t). Calcular:

a) La f.e.m. inducida en la espira.b) La expresión del par que el campo ejerce sobre la espira,

siendo R la resistencia de la misma y considerando despreciablesu autoinducción.

Sol.: a) V=BoS cos( cos(tb) T=[S2 sen(2sen(2t)]/4R

39) Calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos espirascirculares con eje común, de radios a y b, separadas una distanciad, siendo b mucho menor que a y d.

Sol.: M=ob2a2/2(a2+d2)3/2

40) Calcular el coeficiente deautoinducción de un toroide de secciónrectangular, como se muestra en la figura,siendo N el número total de espirasbobinadas e I la intensidad de la corrienteque circula por ellas.

Sol.:abln

π2hNμ

L2

o

41) Un solenoide de 40 cm de longitud y 20 cm de diámetro,consta de una capa de 1000 espiras. En el centro de estesolenoide hay un pequeño carrete de 100 espiras de 4 cm dediámetro medio, colocado coaxialmente con el solenoide. Por elarrollamiento del solenoide circula una corriente de 5 A deintensidad . Si esta corriente se reduce linealmente a 1 A en untiempo de 0.5 s, calcular la intensidad de la corriente inducida enel pequeño carrete si su resistencia es de 50 .

Sol.: I=66.5x10-6 A

42) Un solenoide de 50 cm de longitud y 5 cm de diámetro tieneun arrollamiento de 1000 espiras. Una bobina formada por 10espiras muy apretadas de hilo aislado, rodea la sección central delsolenoide. Los terminales de la bobina se conectan a ungalvanómetro. La resistencia total de la bobina, galvanómetro yconductores es de 25 Calcular la intensidad que pasa por elgalvanómetro cuando la intensidad en el solenoid disminuyelinealmente de 3 A a 1 A en 0.5 s.

Sol.: I=2.48x10-4 A

43) Sea una espira circular de radio A recorrida por una corrientede intensidad I. Frente a ella, en el eje común, se coloca unapequeña espira de sección S que se desplaza con velocidad V a lolargo del eje. ¿Cuál será la distancia entre ellas en el instante en elque la f.e.m. inducida en la espira pequeña es máxima?

Sol.: x=A/2

44) Un disco de cobre de 20 cm de diámetro gira alrededor de sueje, el cual es paralelo a la dirección del campo magnéticoterrestre. Cuando está girando a 3000 r.p.m. se conecta medianteunas escobillas una resistencia de 2 entre el centro y el bordedel disco. Si la intensidad del campo magnético terrestre es de 0.5G, determinar la corriente en la resistencia (se consideradespreciable la resistencia del disco de cobre).

Sol.: I= 3.9x10-5 A

45) Por dos conductores paralelos e indefinidos separados unadistancia de 3 m, circulan en sentidos opuestos sendas corrientesde intensidades I1= 100 A e I2= 75 A. Calcular:

a) La fuerza de interacción magnética por unidad de longitud(indicar mediante un esquema razonado la dirección ysentido de esta fuerza), que experimentan estosconductores (0.85 p)

b) El lugar geométrico de los puntos del espacio en los queel campo magnético se anula, indicándolo en unesquema. (0.85 p.)