engaños matematicos curiosos

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Engaos matemticos curiososAutor: Ezequiel Schlosser

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1. IntroduccinEn estas entregas propongo compartir una coleccin de `juegos y situaciones matemticas llamativas, que en un principio pueden parecer extraas. Obtendremos por ejemplo que -1=1, o mas extrao an, que el valor del numero es 2, pasando por encontrar que el nmero mas grande que existe es el 1. Siempre mediante operaciones y procesos que aparentemente siguen una secuencia lgica correcta, pero que llegan a resultados equivocados. En la entrega posterior a la presentacin de la situacin èxtraa se dar la solucin, o èl truco que nos lleva a esa conclusin equivocada. El lector, si esta interesado, puede intentar resolver las situaciones, y luego comparar su resultado con la solucin propuesta. Con conocimientos bsicos de matemtica, es suficiente para poder seguir la entrega. Y en los casos en que sea necesario, se repasarn definiciones o conceptos, antes de presentar el problema, para tenerlos presente y poder utilizarlos. Se quiere aclarar que se trat de hacer la lectura lo mas accesible posible a mucha gente, por lo que seguro habr personas que la encuentren demasiado liviana o reiterativa. Tambin se aclara que las situaciones son una recopilacin de las que considero mas sencillas y a la vez (ms) interesantes. Por ltimo se deja en claro que en ningn momento se pretende insinuar que la matemtica est fallando. Falla el razonamiento, no la matemtica. Espero sea de su agrado e inters.


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2. 2 es igual a 1?Recordar:

Situacin: Partamos de una suposicin sencilla, de la igualdad de dos nmeros, a=b Si multiplicamos por à en ambos lados del igual, no se modifica la igualdad:

Restamos en ambos lados:

Haciendo diferencias de cuadrados en el primer trmino y sacando factor comn en el segundo:

Simplificamos y nos queda que

Y como inicialmente supusimos que a=b, reemplazamos donde dice 'a' por 'b': 2b=b Simplificamos 'b' y obtenemos el increble resultado: 2=1


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3. 2 es igual a 1? - SolucinSolucin: Esta situacin es bastante interesante, sobre todo si uno no sabe el secreto que se esconde tras ella. Si revisamos la secuencia, una y otra vez, parece que todo tiene concordancia lgica y razonable, pero ms all de eso, llegamos a una cosa imposible, absurda. Bsicamente el `truco est en el paso donde simplificamos la siguiente igualdad:

Y llegamos al resultado de que:

Este procedimiento es valido solo si a y b no son iguales. Se explicara porque. Al simplificar, lo que estamos haciendo es dividir a ambos lados de la igualdad por el mismo factor, en este caso, (a-b). Pero si (a-b) es cero (es decir a=b), este paso est prohibido. Se dice que no se permite dividir por cero, o que no esta definida esta operacin. Esto no es un invento, sino una especia de àxioma matemtico. Un hecho que lo explique es que eso nos validara cualquier igualdad, por ejemplo: 0=0 0=148*0=-34*0=0 Y dividiendo por cero (simplificando los ceros) nos queda que 148=-34. Lo cual todos sabemos que no es cierto. Volviendo a nuestro asunto, entonces, como (a-b)=0, esta prohibido que divida a la ecuacin y por lo tanto simplificar los trminos. El resultado equivocado proviene de esta simplificacin (que si no la hacemos no llegamos a nada concluyente). Mas all de eso, todo lo anterior a este punto en el procedimiento est correcto.


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4. Cul es el nmero ms grande que existe?Situacin El nmero mas grande del universo es n. Averigmoslo. Como es el mas grande que existe, obviamente, no existe un nmero mayor a l , a lo sumo, si encontramos otro muy grande, ser igual a n, pero NUNCA mayor. Para empezar, hacemos una suposicin bastante obvia, como n es muy grande, ser mayor (o igual) que 1:

Ahora bien, como n es TAN grande, y como es el ms grande, ocurre que:

Esta condicin es muy rara, pero no es ilgica. Si no hay un nmero mas grande que n, entonces su cuadrado es a lo sumo igual, porque NADIE puede superar a n, ni siquiera su propio cuadrado. De esta ltima desigualdad, pasamos dividiendo 'n' (habamos dicho que era positiva), y entonces:

Juntando las dos desigualdades, la inicial y la reciente, nos queda:

Por lo que se obtiene, obviamente, que n=1 Y a 'n' lo habamos supuesto el nmero mas grande de todos! Increble! El nmero ms grande del universo es el 1!


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5. El nmero ms grande que existe - SolucinRecordar: Cota: elemento a partir del cual se puede delimitar un subconjunto de valores. Si la cota es superior, se dice que ningn elemento del subconjunto supera el valor de la cota. Por ejemplo, una cota superior de la edad de las personas puede ser 125 aos, o, mas an, 3000 aos. (No vamos a encontrar nunca, supuestamente, una edad superior a la cota, aunque s puede ser igual). Solucin: La solucin a este problema es bastante sencilla. Esta situacin, mas all de ser una curiosidad matemtica, es una demostracin vlida de porqu el conjunto de los nmeros (naturales o reales, por ejemplo) no es acotado (superiormente). Y justamente en eso radica el error, en el suponer una cota superior para el conjunto, que es n, de tal manera que ningn otro nmero del conjunto sea mayor a este. Entonces, se llega a un resultado que obviamente es un absurdo. Lo que implica que no hay cota en este conjunto: siempre se puede encontrar un nmero mayor al ms grande que hayamos encontrado. Igualmente se quiere aclara que al resultado al que se llega cuando decimos que el cuadrado de n es menor (o igual) que el mismo n, es perfectamente valida, basndonos en las hiptesis del problema. (La hiptesis de que existe una cota es la que nos introduce esa extraa condicin).


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6. 1 es igual que -1?Recordar:

Situacin: Como partida, escribimos al 1 como un producto de -1:

Tomamos raz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Distribuimos la raz de la derecha; y en la izquierda, la raz de 1 es 1:

Por lo que obtenemos:

Luego:

Otra forma de escribir esta situacin, en una sola lnea es:


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7. 1 es igual que -1? - SolucinSolucin. Esta curiosidad es una de mis preferidas. El procedimiento por el cual se llega a la igualdad errnea es uno de los menos discutibles. Y es un error muy comn en los primeros pasos matemticos de la gente. Habamos quedado es la ìgualdad:

Lo que hay que recordar, o tener en mente para atacar esta situacin es la ` dualidad de cualquier raz cuadrada. Esto proviene de que hay dos formas de multiplicar dos nmeros iguales para encontrar un tercer nmero dado. Dicho de otro modo, podemos elevar al cuadrado dos nmeros diferentes, y obtener el mismo resultado. Por ejemplo: 3*3=9 (-3)*(-3)=9 La Raz cuadrada es la operacin inversa de elevar al cuadrado un nmero. Y es por lo dicho anteriormente, que, por ejemplo, la raz cuadrada del nmero 9 tiene dos posibles valores: 3 y -3. En la situacin que nos interesa, pasa algo similar. Y el problema bsicamente esta en la `preferencia natural por los nmeros positivos que tenemos los seres humanos. En la expresin final que habamos obtenido, vemos que en la ltima igualdad se hace

Pero por lo que se dijo, bien podramos haber escrito

Por lo que llegamos al resultado inicial, que -1=-1, lo que es correcto. O, de otra manera, hacia la izquierda de la igualdad, donde tenamos


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Ntese que

As que podramos haber escrito, arbitrariamente, por ejemplo

Que efectivamente, es lo que tenemos del otro lado de la igualdad (1=1). As que parecera ser que depende de cmo escribimos las cosas, esta situacin funciona o no. Lo cual sera realmente llamativo para la mayora de nosotros, y ciertamente preocupante. La realidad tiene algo que ver con esto que se acaba de decir, pero esta totalmente respaldado por el campo matemtico que estudia los nmeros complejos. En este aspecto, se nos limita (por ejemplo) el multiplicar dos veces por -1, o por el numero i, o el -i. Porque justamente caeramos en situaciones parecidas a sta. Lamentablemente, en estas entregas no se podra profundizar mucho ms sobre el tema, pero como para dar una explicacin completa, es peligroso en el campo de los nmeros complejos dar vueltas alrededor de un punto de ramificacin en el plano. En este caso es eso lo que esta sucediendo. Para solucionar el problema, se dice que se `corta el plano complejo, limitando las circulaciones cerradas alrededor de dicho punto.


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8. Clculo de Pi - Parte I/IIRecordar: Numero pi: Este numero es de gran importancia es las ciencias de todo tipo, y por lo tanto en la tecnologa y en todos los campos donde se aplique la matemtica. Su valor, como el lector sabr, es 3.1415926... y se extiende por muchsimos decimales (tantos que todava no se pudo encontrar su fin, o su repeticin, y van varios millones de decimales encontrados). Longitud de una circunferencia: 2.(pi).r, donde `r es el radio del crculo. Situacin: Trataremos de hallar pi de una manera geomtrica e interesante. Para empezar, dibujaremos una semi-circunferencia de radio R, o lo que es lo mismo, de dimetro 2R (Recuerde que el dimetro vale el doble que el radio).

Calculamos la longitud (L) de la curva, y nos da que es igual a la mitad la del permetro del crculo con radio R:

Ahora lo que hacemos es dividir el segmento 2R (el fragmento de recta en el eje X, entre el punto 0 y 2R) en dos partes iguales (En azul en el dibujo). Y en un paso posterior, hacemos lo mismo, dividindolo en 3 partes, que se muestra en color rojo: Ntese como las curvas, a medida que se aumenta el numero de intervalos, se acerca mas al eje X. Calculamos nuevamente la longitud de las curvas desde el 0 al punto 2R.


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En el caso en que dividimos el segmento en 2 partes (representacin azul), cada semicrculo tiene una longitud dada por su radio R/2 (Note que el dimetro de cada semicrculo es R). Esta longitud entonces ser:

Pero como el otro fragmento de curva es idntico a este, decimos que la longitud total es 2 veces la del primero (Sumamos dos longitudes iguales):

Por otro lado, si dividimos el segmento en 3 partes (representacin en rojo), nos quedara algo parecido. Todas los fragmentos que conforman la curva (cada medio circulo) son iguales. Cada uno tiene un dimetro 2R/3, o lo que es lo mismo, un radio R/3. Calculamos una longitud y multiplicamos por 3 para obtener la total:

Ntese que podemos suponer una frmula general para la longitud total, viendo estos resultados: Donde n es la cantidad de intervalos que hagamos en el segmento de 0 a 2R.


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9. Clculo de Pi - Parte II/II(Continuacin). Si por ejemplo, hacemos una divisin en 6 partes del intervalo, llegamos al dibujo:

Cada mitad de crculo aqu tendr un dimetro que surge de dividir el intervalo de 2R en 6 partes: 2R/6. Por lo que su radio es entonces la mitad, o sea 2R/12, o R/6 que es lo mismo. Calculamos la longitud total de toda la curva verde (la suma de cada pedacito de crculo) sumando todas las longitudes individualmente, o lo que es lo mismo, tomando 6 veces la longitud de media circunferencia:

(Y efectivamente, otra vez nos confirma nuestra frmula general, para n=6). Ntese nuevamente, que esta vez, la curva est ms cerca del eje X que antes. Es fcil darse cuenta de que una vez que partamos el intervalo entre 0 y 2R en muchsimos fragmentos, tantos como infinitos, la curva resultante, va a àplastarse contra el eje X. En la siguiente figura vemos esta curva representada en azul. Caso al que llegamos cuando la cantidad de intervalos (`n) se acerca a infinito: Vemos que por mas que n sea muy grande, incluso infinito, en nuestra formula general podemos simplificar el n que multiplica y divide:


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Pero notemos que en esta situacin, la curva esta pegada al eje X. Y la longitud de la curva (ahora una lnea recta, dibujada en azul) es igual al largo del segmento de 0 a 2R, que claramente es 2R. Igualamos las longitudes: "longitud de la curva" = "longitud del segmento"

Lo que implica que si simplificamos el 2, obtenemos el "verdadero valor de pi":

Increble, no?


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10. Clculo de Pi - SolucinSolucin: Espero que esta situacin haya sido de su agrado. Me parece interesante el problema en primer lugar por intrometerse con el numero pi, y en segundo porque es curioso. La solucin de la cuestin es bastante simple. El problema es suponer que la curva resultante de dividir en infinitas partes el segmento, se va a ajustar tan bien al propio segmento, que sus longitudes van a ser iguales. Si se mira un poco, el significado de que la longitud de la curva se mantenga contaste siempre igual a 2pi, es como si una soga que tenamos inicialmente haciendo un nico arco, la arrugsemos hasta aplastarla contra el segmento. Por mucho que la aplastemos, su longitud no va a igualar a la del segmento. Justamente cuando se va a medir la longitud de algo se procura que la herramienta de medicin est siguiendo por el contorno de la figura a medir de la mejor manera posible. Seria absurdo afirmar que se puede medir directamente mas o menos bien una longitud si no se cumple con este requisito. As que a quedarse tranquilo, el numero pi sigue valiendo, con unos pocos decimales, 3,14159... 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972


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17752 83479 13151 ...


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11. Tringulo escaleno o issceles? - Parte I/IIRecordar: Bisectriz: Lnea recta que separa un ngulo en dos partes iguales. Mediatriz: Lnea recta perpendicular a un segmento que lo corta en dos partes iguales. Tringulo Escaleno: Aquel triangulo que cuyos lados son todos distintos. Tringulo Issceles: Aquel triangulo cuyos dos lados son iguales y el tercero distinto a estos. Tringulo Rectngulo: Triangulo que tiene un ngulo recto (90 o pi/2) Propiedades de tringulo rectngulo: El lado opuesto al ngulo recto (c) se llama hipotenusa (El lado C).

Ntese que a los lados se los denota con letras mayscula, mientras que a los ngulos (o vrtices) con minscula. Sabiendo 2 datos de un tringulo rectngulo (adems del ngulo recto), se pueden averiguar los dems valores involucrados, tanto ngulos como lados. Hipotenusa*Seno(b)=B Hipotenusa*Coseno(b)=A Hipotenusa*Seno(a)=A Hipotenusa*Coseno(a)=B Y dems identidades trigonomtricas, y "frmulas" como la de Pitgoras o la propiedad que asegura que la suma de los ngulos interiores de un triangulo es 180 ( pi). Pero ms que estas relaciones no necesitamos para abordar el problema.


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12. Tringulo escaleno o issceles? - Parte II/IIProblema: Partamos de construir un tringulo escaleno. En uno de sus ngulos tracemos la bisectriz (representada en rojo en la figura). Y en el lado opuesto a dicho ngulo, tracemos la mediatriz (representada en azul en la figura). Marcamos el punto donde se cruzan ambas lneas. Ntese lo siguiente: El ngulo c qued `partido al medio, por lo que cada parte del ngulo son iguales. El segmento C tambin queda cortado al medio, por lo que son iguales los segmentos


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En la prxima figura hacemos lo siguiente: Al punto de cruce de las semirrectas trazadas, le llamamos X. Desde este punto, trazamos dos segmentos hacia a y b respectivamente (representados en verde). Y dos ms hacia el punto medio de A y hasta el punto medio de B (representados en negro). De esta manera nos quedan 6 tringulos formados dentro del triangulo inicial: I, II, III, IV, V y VI.

Ahora bien, los tringulos I y VI son iguales, uno reflejado respecto del otro. Se puede decir que como c1 y c2 son iguales, y ambos son rectngulos en los puntos medios de B y A respectivamente, los lados desde X a estos puntos medios son iguales; y los ngulos que forman dichos lados con la lnea roja (la hipotenusa de ambos) son iguales. Por lo tanto, B1 y A1 son iguales. Esta ltima condicin es la que nos interesa. Por otro lado, los tringulos III y IV tambin son iguales, por argumentos similares: como ambos tringulos son rectngulos en el punto medio de C, y tienen el lado azul (que va desde X al punto medio de C) en comn, los ngulos a1 y b2 son iguales (ya habamos aclarado que los segmentos C1 y C2 son iguales). Cumplindose todo esto, es inevitable que los lados verdes (desde X hacia a y b respectivamente) sean iguales. Esta ltima observacin se debe tener en cuenta.


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Ahora vayamos a los tringulos II y V: Ambos son rectngulos: en el punto medio de B el II, y en el punto medio de A el triangulo V. Las hipotenusas de ambos (las lneas verdes) son iguales. Por lo tanto, los lados en negro (segmentos desde X al punto medio de B y A), que son iguales, se pueden escribir como el seno de los respectivos ngulos opuestos. El seno de a2 por la hipotenusa, en el triangulo II, da el valor de este lado en negro. Lo mismo en el triangulo V: el lado en negro es el seno de b1 por la hipotenusa. Habamos dicho que ambos lados negros eran iguales, por lo tanto, son iguales las frmulas para hallarlos:

Puesto que dijimos que las hipotenusas eran iguales, llegamos a la conclusin de que a2=b1. Sabiendo esto, la prxima observacin es sencilla: De ambos tringulos sabemos 2 lados y 2 ngulos. Podemos averiguar el otro lado sin dificultad (los segmentos B2 y A2). Usando las propiedades que conocemos sobre tringulos:

Evidentemente, como las hipotenusas son iguales (las lneas verdes) y tambin son iguales a2 y b1 por lo que deducimos recin, obtenemos A2=B2 En definitiva, encontramos que B1=A1 y B2=A2. Por lo tanto llegamos a la conclusin: A=B. (Encontramos que dos de sus lados son iguales!). O sea, este triangulo se transform, solo por el hecho de medir sus lados, de escaleno a issceles.


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13. Tringulo escaleno o issceles - SolucinSolucin: Por ms que parezca un poco complicado llegar a la `transformacin del tringulo, el hecho de porqu nos conducimos a un resultado extrao es sencillo. De hecho, la clave esta al principio de todo, cuando comenzamos con el anlisis. Al trazar la mediatriz y la bisectriz del lado y ngulo opuesto respectivamente, buscamos el lugar donde ambas rectas (o semirrectas) se cruzan. Si usted intentara hacer esto, encontrara con no mucho esfuerzo que la nica forma de que dichas rectas se crucen sera que el tringulo sea justamente issceles (tendra dos lados iguales, entre los cuales se encontrara esta nica recta). Al empezar con la situacin, supusimos que podan cortarse sin mayor problema, y el dibujo, aunque no es perfecto, ayuda un poco a convencerse de ello (el tringulo efectivamente es escaleno, pero la mediatriz y bisectriz no son tales, aunque parecen serlo). As que ni ms ni menos, estamos mas cerca de una suerte de ilusin ptica que ante una ilusin matemtica. Que por cierto result interesante.


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