CURSO: MECANICA DE FLUIDOS II CAPITULO: III ENERGIA ESPECÍFICA Y FLUJO CRÍTICO

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CAPITULO III: ENERGÍA ESPECÍFICA Y FLUJO CRÍTICO

3.1 GENERALIDADES:

La energía específica en la sección de un canal se define como la energía por kilogramo de agua

que fluye a través de la sección, medida con respecto al fondo del canal.

La energía total de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección se define como la

suma de las energías de posición, más la de presión y más la de velocidad, es decir:

Energía total = Energía de posición + energía de presión + energía de velocidad.

Con respecto al plano de la referencia de la Fig. 3.2, la altura total E de una seccion O que contiene

el punto A en una linea de corriente del flujo de un canal de pendiente alta puede escribirse como:

g

AV

yZE AA2

2

cos.

De lo contrario, la ecuación de Bernoulli, para una sección del canal:

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Figura 3.1 Ecuación de la energía

g

VyZE

2

2

Donde: Z = 0 (ya que el nivel de referencia es el fondo del canal) proporciona la ecuación de la

energía especifica.

g

VyE

2

2

Ec. 3.1

El concepto de energía específica fue introducido por Boris A. Black - Metteff en 1,912. y mediante

su adecuada consideración se pueden resolver los más complejos problemas de transiciones cortas

en la que los efectos de razonamiento son desproporcionados.

En la Ec. 3.1, considerando α = 1, se tiene:

g

VyE

2

2

Ec. 3.2

Pero, de la ecuación de continuidad, para un canal de cualquier forma, se tiene:

A

QV

Ec. 3.3

Sustituyendo Ec. 3.3 en 3.2, resulta:

2

2

2gA

QyE

Ec. 3.4

2

2

2gy

qyE

Ec. 3.5

Suponiendo que Q es considerado y A es función del tirante, la energía especifico es función

únicamente del tirante.

Si la Ec. 3.4 se grafica dará una curva de dos ramas, lo cual se puede apreciar del siguiente análisis:

2

20 0, :

2g

QSi y A luego E

A

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2

20 , : 0

2g

QSi y A luego E

A

Es decir, si E → ∞ tanto cuando y → 0 como cuando y → ∞, entonces para valores del intervalo 0 < y

< ∞, tendremos valores definidos de E, e incluso nos indica que debe haber un valor mínimo de E.

La Ec. 3.5 se puede estudiar de dos maneras:

a) Para q constante.

b) Para E constante.

3.2 RÉGIMEN CRÍTICO.

Se dice que un canal, o alguna sección de él, están trabajando bajo un régimen crítico cuando:

1. Posee la energía específica mínima para un caudal dado, o.

2. Posee el caudal máximo para una energía especifica dada, o.

3. Posee la fuerza específica mínima para un caudal dado.

A continuación los términos del régimen crítico podemos definir como:

Caudal o gasto critico.- Es el gasto máximo para una energía especifica determinada, o el gasto

que se producirá con la energía especifica mínima.

Tirante critico.- Es el tirante hidráulico que existe cuando el caudal es el máximo para una energía

específica determinada, o el tirante al que ocurre un caudal determinado con la energía especifica

mínima.

Velocidad critica.- La velocidad media cuando el gasto es el crítico.

Pendiente critico.- es el valor particular de la pendiente del fondo del canal la cual esta conduce un

caudal Q en régimen uniforme y con energía especifica mínima, o sea, que en todas sus secciones

se tiene el tirante crítico.

Régimen subcritico.- Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son mayores que los

críticos, las velocidades menores que las criticas y los números de Froude menores que 1.

Es un régimen lento, tranquilo, fluvial, adecuado para canales principales o de navegación.

Régimen supercrítico.- Son las condiciones hidráulicas en las que los tirantes son menores que los

críticos, las velocidades mayores que las criticas y los menores de Froude mayores que 1. Es un

régimen rápido, torrencial, pero perfectamente estable, puede usarse en canales revestidos.

Los tipos de flujo están claramente representados en la curva de energía específica. (Fig. No 3.2).

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FIGURA No 3.2

TIPOS DE FLUJO

En Fig. No 3.2, la zona superior corresponde al flujo subcritico (y2 > yC) y la anterior al flujo

supercrítico (y1 < yC).

El número de Froude /F g y , definido anteriormente, es una especie de indicador universal

en la caracterización del flujo de superficie libre. La condición de flujo supercrítico se produce cuando

F > 1, flujo subcritico para F < 1 y crítico para F = 1. En flujo subcritico una perturbación puede

moverse hacia aguas arriba, y esto significa, en términos prácticos, que mecanismos o condiciones

de control tales como una compuerta o una caída influyen sobre las condiciones de flujo aguas arriba

del control; por ello se afirma que el flujo subcritico está controlado por las condiciones de aguas

abajo. Por otra parte, en flujo supercrítico una perturbación solo puede viajar hacia aguas abajo;

estableciendo los posibles controles únicamente del lado de aguas arriba.

Resumiendo lo que ha visto hasta aquí respecto al flujo critico, podemos indicar las siguientes

maneras que podrán usarse para establecer el tipo de flujo en un canal.

a. Por medio de los tirantes:

Si y < yC flujo supercrítico o rápido.

Si y = yC flujo critico.

Si y > yC flujo subcritico o lento.

b. Por medio de la pendiente de fondo (Sf):

Si Sf < Sc flujo subcritico o lento.

Si Sf = Sc flujo critico.

Si Sf > Sc flujo supercrítico o rápido.

c. Por medio del número de Froude:

Si F < 1 flujo subcritico o lento.

Si F = 1 flujo critico.

Si F > 1 flujo supercrítico o rápido.

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d. Por medio de las velocidades medias:

Si v < vC flujo subcritico o lento.

Si v = vC flujo critico.

Si v > vC flujo supercrítico o rápido.

PROPIEDADES DE LA CURVA DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA:

Aunque las características de la ecuación de la Energía Especifica, a gasto constante, han sido

analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en forma de resumen

sus principales características:

a) La curva E-y (energía especifica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una superior que

corresponde al régimen de rio y otra inferior que corresponde a los torrentes.

b) En un torrente dE/dy es negativo, y en un rio es positivo, (menor que 1).

c) La curva E-y tiene dos asíntotas que son E=y; y=0.

d) La curva E-y, tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía, dE/dy=0. Se

define por las ecuaciones anteriores.

El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energías se denominan

críticos.

e) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre la curva; uno

corresponde a un rio y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que se caracterizan por

tener la misma energía específica se denominan alternos.

f) Para la energía específica mínima solo hay un flujo posible: el crítico.

g) En la zona superior de la curva E-y la velocidad siempre es menor que la critica (flujo subcritico).

En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la critica (flujo

supercritico).

h) En un rio el numero de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisis es 1.

3.3 ECUACIÓN DEL RÉGIMEN CRÍTICO.

CONDICIÓN PARA LA ENERGÍA ESPECIFICA MÍNIMA CONSTANTE (Q CONSTANTE).

De los tres valores de y que satisfacen la Ec. 3.5 para q constante, uno es negativo y por lo tanto sin

significado practico. La grafica de y versus E resulta de la forma que indica la Fig. No 3.2.

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FIGURA No 3.3

GRAFICO DE ENERGÍA ESPECÍFICA A GASTO CONSTANTE (E-y)

La curva es asintótica a la recta de 45º. Asimismo se muestra que para una determinada energía

especifica existen dos valores de tirantes: y1 y y2 denominados tirantes alternos correspondientes,

excepto en el punto en que la energía especifica es la mínima en la cual puede pasar el gasto Q a

través de la sección y para la cual existe un solo valor del tirante, yc denominado tirante critico y a la

cual corresponde una velocidad llamada critica. El estado del flujo que se desarrolla con el tirante

crítico recibe el nombre de estado de régimen crítico.

Se observa que hay un valor de energía específica mínima (Em). Designemos el tirante que le

corresponde como tirante crítico (yc) y encontramos una expresión para el igualando a cero la

primera derivada de E:

Por definición, se tendrá un régimen critico si la energía especifica es mínima o también si 0dE

dy

Derivando la Ec. 3.4 con respecto al tirante e igualando a cero se tiene:

22 0

2g

dE d Qy A

dy dy

2 2

1 02g

Q dA

dy

231 2 0

2g

Q dAx A

dy

De donde:

13

2

dygA

dAQ Ec. 3.6

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Interpretación de dA

dy:

En la figura:

FIGURA No 3.4

INTERPRETACION DE dA/dy

El elemento de área dA cerca de la superficie libre es igual a T.dy, es decir:

Tdy

dATdydA

Ec.3.7

Sustituyendo Ec. 3.7 en Ec. 3.6:

13

2

gA

TQ

O también:

c

c

T

A

g

Q32

Ec.3.8

Que es la condición general del flujo crítico en cualquier sección transversal.

Como A y T están en función de y , la Ec. 3.8 impone las condiciones del flujo crítico en un canal de

forma cualquiera y permite calcular al tirante crítico.

Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía especifica tiene dos asíntotas y

un mínimo; por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Fig. No 3.3.

La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En que siempre se cumple que:

12

2

gA

TQ

La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En que siempre se cumple que:

12

2

gA

TQ

El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes corresponde a:

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12

2

gA

TQ

CONDICIÓN PARA EL CAUDAL MÁXIMO CONSTANTE (E CONSTANTE).

De la Ec. 3.4, se tiene:

2

2

2gA

QyE

Ec. 3.9

De donde:

2

22

QE y

gA

2 22 ( )Q gA E y

1/22 ( )Q g A E y Ec. 3.10

Donde E es constante y A = f (y)

En la Ec. 3.10 se observa que para y = 0 => A = 0, luego Q = 0 y para y = E => Q = 0 y entre estos

dos valores existe un máximo para Q.

Si se grafica Q vs y se obtiene una curva como se muestra en la siguiente Fig. No 3.5

FIGURA No 3.5

RELACIÓN ENTRE Q Y EL TIRANTE

Se observa que existen dos valores de y para cada valor de Q, excepto en el máximo.

Por definición, se tendrá un régimen critico, para una E constante, si Q es máximo o también si

0dQ

dy .

Derivando la Ec. 3.10 con respecto al tirante e igualando a cero, se tiene:

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1/2( 2 ( ) ) 0dQ d

g A E ydy dy

0)(2 2/1 yEAdy

dg

1/2 1/21( ) ( 1) ( ) 0

2

dAAx E y E y

dy

1/2

1/2( ) 0

2( )

A dAE y

E y dy

Multiplicando ambos miembros por 1/2( )E y , se tiene:

( ) 02

A dAE y

dy

( )2

dA AE y

dy

Pero: dA

Tdy

, luego:

( )2

AE y T

T

AyE

2

Ec. 3.11

De la Ec. 3.4, se tiene:

2

2

2gA

QyE

Ec. 3.12

Igualando la Ec. 3.11 y 3.12, resulta:

2

22 2

Q A

gA T

O también:

32

CAQ

g Tc

La cual es idéntica a la Ec. 3.8.

Como se puede observar, se ha establecido que el estado crítico no solo proporciona la energía

específica mínima para un gasto dado, sino también el gasto máximo para una energía especifica

dada. Para este último caso, la energía especifica E, es la mínima con la cual puede pasar el gasto

máximo a través de la sección.

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3.4 CALCULO DEL VALOR DEL NÚMERO DE FROUDE PARA LAS CONDICIONES DE FLUJO

CRÍTICO.

De la ecuación de continuidad, se tiene:

Q = V. A

Sustituyendo en la Ec. 3.8, se obtiene:

2 2 3

C C CA A

g Tc

2

C CA

g Tc

Pero:

c

c

c

T

Ay luego:

c

c yg

V 2

12

c

c

yg

V

Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros:

1C

g yc

Por definición:

Fg y

1F

Sera el valor del número de Froude para las condiciones del flujo critico.

3.5 RELACIONES ENTRE PARÁMETROS PARA UN RÉGIMEN CRÍTICO.

Las condiciones teóricas en que se desarrolla el régimen crítico están dadas por la Ec. 3.8

32

CAQ

g Tc Ec. 3.13

Esta ecuación indica que dada la forma de la sección en un canal y el gasto, existe un tirante crítico

único y viceversa.

Veamos a continuación, para las secciones más usuales, las formulas que relacionan los parámetros

en un régimen crítico.

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SECCIÓN RECTANGULAR:

FIGURA No 3.6

SECCIÓN RECTANGULAR

A = by

T = b

1. Relación entre el tirante critico y el caudal unitario:

Sustituyendo valores en Ec. 3.13, se tiene:

3 32

Cb yQ

g b

23

2C

Qy

b g

2

32C

Qy

b g

Se define la relación Q

qb

como “gasto unitario” o gasto por unidad de ancho, luego:

2

3C

qy

g

Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección rectangular.

2. Relación entre velocidad y el tirante critico.

En Ec. 3.13 sustituyendo Q = V.A, se tiene:

2 2 3

C C C

C

A A

g T

2 2

C C C

C

A b y

g T b

c

c yg

V

2 Ec. 3.14

ccygV .

3. Relación entre la energía especifica mínima y el tirante critico:

La ecuación de la energía especifica:

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g

VyE

2

2

Para las condiciones críticas, se expresa:

g

VyE c

c

2

2

min

Ec. 3.15

Sustituyendo Ec. 3.14 en Ec. 3.15, se obtiene:

2min

c

c

yyE

cyE

2

3min

4. Numero de Froude:

Sabemos que Fg y

En este caso: A by

y yT b

, luego Fgy

De la Ec. 3.14 se tiene:

12

c

c

gy

V

1.

c

c

yg

V

De donde se observa que:

FC = 1

SECCIÓN TRIANGULAR:

FIGURA No 3.7

SECCIÓN TRIANGULAR

A = z. y2

T = 2Zy

1. Relación entre el tirante y el caudal:

Sustituyendo valores en Ec. 3.8, se tiene:

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3 62

2

C

C

Z yQ

g Zy

25

2

2C

Qy

gZ

2

22

gZ

Qy

c

Ec. 3.16

Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección triangular.

2. Relación entre la velocidad y el tirante critico:

En Ec. 3.16 sustituyendo la ecuación de continuidad, resulta:

2 25

2

2 C CC

Ay

g Z

Pero: 2

C CA Z y , luego:

2 2 45

2

2 C C CC

A yy

g Z

g

Vy c

c

2

2 Ec. 3.17

2

.c

c

ygV

3. Relación entre la energía especifica mínima y el tirante critico:

De la Ec. 3.17, se tiene:

2

2 4

C Cy

g

Sustituyendo este valor en Ec. 3.15, resulta:

min4

CC

yE y

min

5

4CE y

SECCIÓN TRAPEZOIDAL:

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FIGURA No 3.8

SECCIÓN TRAPEZOIDAL

A = b y + Z y2

T = b + 2 Z y

b y Z conocidos

Relación entre el tirante y el caudal:

Sustituyendo valores en la Ec. 3.8, se tiene:

2 32 ( )

2

C C

C

b y Z yQ

g b Z y

Ec. 3.18

La Ec. 3.18 se puede resolver mediante dos métodos:

1. MÉTODO ALGEBRAICO:

Como se observa, se tiene una ecuación en función de Cy , es decir:

2 3( )( )

2

C CC

C

b y Z yf y cte

b Z y

Ec. 3.19

La Ec. 3.19 resuelta por el método de tanteos (al igual que el cálculo del tirante normal, permite

obtener el tirante critico.

2. MÉTODO GRAFICO:

De donde, mediante tanteos se calcula el tirante crítico.

El cálculo del tirante critico se puede determinar haciendo uso del nomograma preparado por

Ven Te Chow Fig. No 3.9

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FIGURA No 3.9

NOMOGRAMA PREPARADO POR VEN TE CHOW PARA CALCULO DE TIRANTE CRITICO

De donde, mediante tanteos se calcula el tirante crítico.

De la Ec. 3.8, se tiene:

c

c

T

A

g

Q32

O también:

2/1

2/3

c

T

A

g

Qc

Ec. 3.20

Si analizamos las dimensiones del 2º miembro, de la Ec. 3.20 se tiene:

2 3 5/2 2.53/2

1/21/2 1/2

L L L LA

T LL

Como se observa, 3/2 1/2/C CA T , tiene como dimensiones

2.5L , para que de cómo resultado un valor

adimensional, debemos dividir entre una longitud elevado a la 2.5, en este caso podemos dividir

entre 2.5b .

5.22/1

2/3

5.2. bT

A

bg

Q

c

c Ec. 3.20

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Donde Q y b son conocidos, luego:

3/2

1/2 5/2

C

C

Acte

T b

Con este valor, en la Fig. 3.9 como eje x, se entra por la parte superior hasta interceptar a la curva

de Z, luego se encuentra /Cy b , de donde se calcula Cy . Este proceso se muestra en la siguiente

figura:

FIGURA No 3.10

ESQUEMA DE USO DE LA FIGURA No 3.9

Para secciones trapezoidales y rectangulares

3/2

1/2 5/2

C

C

A

T b= Cte

5/2

3/2

1/2

0

C

C

A

T d= Cte

La Fig. No 3.10 permite calcular el tirante crítico (conocidas Q y b ò d) para una sección rectangular,

trapezoidal y circular. Para este último caso se entra con 5/23/2 1/2

0/ /C CA T d por la parte inferior.

En el Cuadro No 3.1, para diferentes tipos de secciones, se presentan relaciones entre los

diferentes parámetros para el flujo crítico.

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CUADRO No 3.1

SECCIONES CRÍTICAS

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