El valor más probable

ASIGNATURAS ,INGENIERIA ,TOPOGRAFIA

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Ninguna medición es exacta y nunca se conoce el valor verdadero de la cantidad que se está midiendo.

Para remediar los errores aleatorios se pueden tomar

repetidas observaciones de la misma medida

(observaciones redundantes) y valerse de la ley de

probabilidades. Siendo n el número de observaciones

y Xi el resultado de cada una de ellas, se puede calcular

un valor medio, cercano a la medida exacta:

Este valor contiene un error que se expresa en función de

la desviación estándar de las observaciones. Para conocer

la desviación estándar (sigma) es necesario averiguar la

diferencia entre cada observación y la media, lo que se

conoce como residuo o error residual (Vi = Xi – Xmedia);

de manera que la desviación estándar de la media es:

Cuando se realizan varias observaciones los resultados

tienden a acumularse al rededor de la media y a

distribuirse de una forma particular, denominadacurva de

distribución normal. Esta curva tiene una típica forma de

campana y sirve para determinar un intervalo dentro del

que, con determinada probabilidad, se encuentra el valor

exacto (o mejor, más probable) de la medición. La

amplitud de la curva también permite conocer la precisión

de la observación en conjunto.

Las anteriores son curvas de distribución normal en las

que el eje de las abscisas marca los intervalos de clase, o

el tamaño del residuo escogido para la distribución, y el

eje de las ordenadas (el vertical) indica la frecuencia de

ocurrencia, o el número de observaciones que caen

dentro de cada intervalo. La desviación estándar señala el

punto de inflexión de cada curva y, como se dijo antes, la

amplitud indica la precisión, de manera que las

mediciones que se hicieron para obtener la curva roja

fueron más precisas que las de la gráfica azul -nótese que

la desviación estándar es menor en el primer caso que en

el segundo-. El área bajo la curva indica a su vez la

probabilidad de error para un determinado valor. Así que,

si se quiere tener una certeza del 50% respecto a una

medida, se debe calcular el error probable como:

En general, se puede calcular Ep como:

En donde Cp es un factor que sale de una gráfica que

relaciona el porcentaje del área bajo la curva de

probabilidad y el error. En topografía se utilizan

comúnmente los errores del 50%, 90%, 95% (o 2·sigma) y

99,7% (o 3·sigma), los cuales tienen su correspondiente

factor:

Finalmente se obtiene el valor más probable de la

medición como:

dependiendo de la certeza buscada. El error unitario de la

medición se puede calcular con la siguiente expresión:

que indica la error que se produjo al medir una unidad,

por ejemplo 0,0003 m por cada metro que se mide, y se

expresa generalmente como:

y se lee “uno a ‘inverso del error unitario’” y consiste en

el grado de precisión de la medición. También se puede

evaluar cada observación por aparte, calculando su

desviación estándar:

Nótese que la desviación estándar de la observación

difiere en una ‘n’ en el denominador del radical, de la

desviación estándar de la media. De igual manera, el

error probable será:

donde Cp es el mismo factor de más arriba y ‘sigma’ la

desviación estándar de la observación.

Los topógrafos suelen usar el error 3 sigma (Cp = 3) para

descartar las observaciones que no caigan dentro de ese

rango, pues corresponden a equivocaciones.

EjemploSe mide una misma distancia cinco veces con la misma

cinta métrica y en iguales condiciones climáticas

obteniendo los siguientes resultados: 19,23 m ; 19,19 m ;

19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . ¿Cuál fue la distancia

medida?

Solución

Hay que tabular los datos de la siguiente manera y aplicar

lo explicado en este artículo:

Xi (m) V (m) V2 (m2)

19,23 + 0,002 0,000 004

19,19 - 0,038 0,001 444

19,27 + 0,042 0,001 764

19,24 + 0,012 0,000 144

19,21 - 0,018 0,000 324

∑ = 96,14∑ = 0,000

∑ = 0,003 68

Como el número de mediciones es igual a 5, entonces

n=5; por lo tanto, la media es:

Xmedia = 96,14 m / 5 = 19,228 m

La desviación estándar se calcula conociendo la

sumatoria de los residuos al cuadrado (0,003 68) y la

cantidad de observaciones:

= [(0,003 68)/(5*(5-1))]½ = 0,013 56 m

Aplicando la fórmula para un error probable del 50% (Cp

= 0,674 5) se tiene:

Ep = 0,674 5 *(0,01356 m) = 0,009 m

Entonces se puede afirmar que existe un 50% de

probabilidad de que la distancia sea:

X = 19,228 m ± 0,009 m

Con estos resultados se puede calcular la precisión con la

que se efectuó la medida:

E = 0,009 m / 19,228 m = 0,000 47

Que significa que por cada metro que se midió se cometió

un error de 0,000 47 m , que expresado como grado de

precisión queda:

Precisión = 1 : 19,228 / 0,009 = 1 : 2 142

lo cual quiere decir que, si se midiera con la misma

precisión una distancia de 2 142 m , se cometería un error

de 1 m .

E.P.E.T. N° 2 - Centenario

6° Año Construcciones

Unidad N° 2 - Teoría de errores, precisión, tolerancia y compensación.

Generalidades: Descripción y objetivo de la teoría de errores, tipos de mediciones, tipos de errores, causa de los errores, notación.

2.2 Precisión: Definición y métodos para aumentar la precisión en las mediciones. 2.3 Tolerancia: Definición, exigencias del Reglamento Nacional de Mensuras, exigencias impuestas por el valor económico de la obra, por la seguridad que debe ofrecer, etc. 2.4 Compensación: Definición, cálculo de la compensación. Apéndice.

2.1 Generalidades:

La teoría de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografía, geodesia, física, química y sobre todo estadística.

Esta ciencia, parte de la estadística, fue desarrollada por el matemático alemán Karl Friedrich Gauss a partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el inglés Sir Isaac Newton quien aplica su teoría del análisis matemático a la estadística y mas tarde por el francés Pierre Simon Laplace quien con su teoría de las probabilidades le da a la estadística y la teoría de errores carácter de ciencia.

Existen varios procedimientos para cumplir los objetivos de la teoría de errores, algunos incluyen procedimientos propios del análisis matemático, como integrales, derivadas,

logaritmos Neperianos, etc. no parece ser necesario en estos apuntes tal profundización sobre un tema que no reviste capital importancia para las prácticas topográficas, por lo que solo se verá una versión básica del tema, que se adecua al tema predominante en el ámbito topográfico, la medición en todos sus aspectos. No obstante en el CD de este apunte se puede encontrar una versión mas completa de esta teoría, para quien quiera profundizar en el tema.

Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un valor aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las mediciones por lo que es imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error que se ha cometido al hacerlo. Es objetivo de la teoría de errores hallar el valor mas cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que hemos cometido durante el trabajo de campo.

Para ello se efectúa una serie de n mediciones de la magnitud a medir (donde n es un número entero, positivo y de un valor absoluto suficientemente grande como para alcanzar la precisión requerida por el trabajo a realizar). Estas n mediciones, en general, nos proporcionan magnitudes que difieren entre si por valores muy pequeños ya que los errores cometidos son, generalmente, pequeños y pasarían desapercibidos sino fueran objeto de observación. Al estudiar estos pequeños errores podemos, por medio de artificios matemáticos llegar a un valor tan aproximado al verdadero de la magnitud, y al error cometido, como se quiera.

Tenemos entonces por razones físicas, y también lógicas, dos premisas fundamentales obtenidas empíricamente:

El valor exacto de una magnitud no se llega a conocer nunca.

Siempre que se mide se cometen errores, es imposible evitarlos.

ACLARACION: En el lenguaje técnico utilizado el término << error >> utilizado repetidamente en esta unidad es sinónimo de vacilación o indeterminación, no de equivocación ya que estos sucesos, llamados errores groseros, no serán considerados en este estudio por su absoluta impredecibilidad.

Causas de los errores

Son numerosas pero solo nombraremos las mas importantes:

Indeterminación de los extremos de la magnitud a medir ( por ej. el ancho de una calle sin líneas municipales perfectamente determinadas o el ángulo o la distancia determinada por dos señales muy gruesas).

Limitaciones de nuestros sentidos, principalmente el de la vista, cuya acuidad visiva es de aproximadamente 00° 01' 00"; disminuyendo con la edad o enfermedades.

Imperfección o inadecuación de los instrumentos utilizados, tanto por fabricación, malos

tratos, falta de mantenimiento, o razones económicas.

Condiciones psicofísicas del operador como ser cansancio, estrés, enfermedades, apuro y por que no falta de responsabilidad o experiencia.

Imprecisión intrínseca de los métodos de cálculo, como cuando se utilizan calculadoras y la cantidad de decimales no son suficientes para las precisiones requeridas.

Condiciones atmosféricas adversas que puedan alterar los resultados de las mediciones.

Tipos de errores

Errores groseros o equivocaciones: Se deben a inexperiencia o irresponsabilidad del operador. En general su valor absoluto es grande y por lo tanto fácil de localizar dentro de una serie de mediciones. Las observaciones que han dado origen a estos valores se descartan ya que no pueden ser tenidas en cuenta para el cálculo pues harían decaer estrepitosamente la precisión.

Errores sistemáticos: Tienen su origen en causas permanentes y por lo tanto actúan siempre con el mismo signo y módulo. Son ocasionados por imperfecciones de los instrumentos, por factores meteorológicos o por la llamada "ecuación personal del operador" tendencia de cada operador a “redondear” las mediciones hacia abajo o hacia arriba, también forma de posicionarse frente al instrumento, acuidad visiva individual y formas características de bisectar, nivelar, etc.

En general se los puede calcular con suficiente precisión y por lo tanto anular. Tampoco son tenidos en cuenta para el cálculo.

Errores Accidentales: Son aquellos que responden únicamente a las leyes del azar, absolutamente fortuitos, se encuentran presentes en todo tipo de mediciones, pueden ser tanto positivos como negativos, y en grandes series tienden a anularse entre sí.

Por su imponderabilidad se los denomina también casuales o irregulares, y de ellos se ocupa fundamentalmente la teoría de errores.

No obstante su irregularidad cumplen con ciertas pautas como lo ha demostrado la experiencia, estas son:

Los errores positivos y negativos de un mismo módulo se producen con igual probabilidad.

Los errores pequeños se producen con mayor frecuencia que los errores grandes.

Objetivos de la teoría de errores

La teoría de errores, sobre la base de las n mediciones a ejecutar, nos permitirá determinar cuatro cuestiones.

* Hallar el Valor Mas Probable de la magnitud ( VMP)

* Hallar el valor del error aparente de cada medición ( v )

* Hallar el valor del error del VMP. también llamado Error Medio Cuadrático (EMC.)

* Hallar el valor del error relativo de las mediciones (

VMP : Es la media aritmética (promedio) de una serie de n valores obtenidos mediante mediciones. Si tenemos una serie de < n > valores l(lecturas) (l1 ; l2 ; l3 ;...;ln),

el VMP (también llamadoen estadística) se obtiene mediante la siguiente fórmula: