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El plano cartesiano y gráficas
de ecuaciones en dos variables
MECU 3031
Sec. 4.1 Arya 5ta ed.
Slide 1.1 - 2
En una dimensión, una
recta numérica asocia
cada número real con un
punto sobre la recta.
Sistema de coordenadas cartesianas
En dos dimensiones, se
asocian puntos en un
plano con pares ordenados
de números reales.
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El plano de coordenadas cartesianas
• Dos líneas
perpendiculares
llamadas eje de x y eje
de y:
• Dividen el plano en
cuatro cuadrantes
• La intersección de
los dos ejes se
llama el origen.
• Cada punto P en el
plano corresponde a un
par ordenado (x, y) de
coordenadas.
• Los signos de las
coordenadas cambian
según el cuadrante
donde se encuentran.
P
• La primera coordenada, x, indica las unidades a moverse a
la izquierda o la derecha, partiendo del origen.
• La segunda coordenada, y, nos indica las unidades a
moverse hacia arriba o hacia abajo.
Ejemplo:Localizar (3, 5).
Partiendo de el origen,
mover 3 unidades hacia
la izquierda.
Luego, mover 5 unidades
hacia arriba.
Marca el punto.
(–3, 5)
Localización de puntos en el plano
Identificar las coordenadas de los puntos
¿Cuáles son las
coordenadas de:
A?B?C?D?E?F?G?
Ecuaciones y soluciones
Muchas situaciones se pueden decribir
matemáticamente usando una ecuación en la que
aparecen dos variables.
Ejemplos: 2x + 3y = 18
2x2 – 3y + x – 3 = 0
y =3
4𝑥−1
Una solución de una ecuación en dos variables es un par
ordenado, (a, b), para el cual la sustitución del primer
valor en x y el segundo valor en y produce un enunciado
cierto.
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Ejemplos
a.
Determina si el par
ordenado (5, 7) es una
solución de 2x + 3y = 18.
b.
Determina si el par
ordenado (3, 4) es una
solución de 2x + 3y = 18.
Gráfica de una Ecuación
Las ecuaciones en dos variables tienen una infinidad de
soluciones.
Como no podemos enumerar todas las soluciones de
una ecuación en dos variables, construimos un dibujo,
llamado gráfica, que representa el conjunto de todas
las soluciones de la ecuación.
Para construir una gráfica identificamos pares
ordenados que son soluciones de la ecuación.
Unos pares ordenados especiales de una ecuación se
llaman los interceptos de la ecuacion.
Intercepto en x
El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x).
Ejemplo:
Se presenta la gráficade x + 2y = 7.
El intercepto en x es
(7,0).
Intercepto en x (cont.)
El int-x es un punto con forma (a, 0).
Para hallar el valor de a, asignamos el valor de 0 a y. Luego, resolvemos para x.
Ejemplo: Deteminar el int-x de 2x + 3y = 18.
Intercept - y
El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y se conoce como el intercepto en y (abreviaremos int-y).
Ejemplo:
Se presenta la gráficade x + 2y = 7.
El intercepto en y es
(0,3.5).
Intercept - y
El int-y es un punto con forma (0, b).
Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y.
Ejemplo: Deteminar el int-y de 2x + 3y = 18.
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Identificar los
interceptos en
la gráfica
int – y:
int – x:
Práctica
Ejemplo: Deteminar los puntos donde ocurrenintersecciones con los ejes de la ecuación
5x – 2y = 10.
Solución:
int-y int-x
Bosquejar o trazar una gráfica
Una forma de bosquejar o trazar (“sketch”) la gráfica
de una ecuación es determinar suficientes
soluciones de la ecuación (puntos en la gráfica).
Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18.
Debemos conseguir soluciones de la ecuación.
Anteriormente determinamos que el int – x es: (9, 0)
y que int – y es: (0, 6)
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Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18
(cont.)
Determinamos una tercera solución reemplazando xcon el valor de 5, y resolviendo para hallar el valor de y.
2 5 3y 18
10 3y 18
3y 8
y 8
3
Por lo tanto, es una solución.5,8
3
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Ejemplo (cont.)
Trazar la gráfica:
2x + 3y = 18.
int-x:
(9, 0)
int-y :
(0, 6)
Tercer punto:
Ahora unimos los
puntos con una recta.
5,8
3
Diferentes formas de una ecuación
Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una
forma equivalente utilizando correctamente operaciones
inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus
variables.
Formas de la ecuación lineal:
• Forma general
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
• Forma estándar
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
• Forma punto-pendiente
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Diferentes formas de una ecuación
Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una
forma equivalente utilizando correctamente operaciones
inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus
variables.
Ejemplo: Escribir y – 2x + 1= 0 despejada para y.
(Operación inversa de suma es resta. Restamos 1 a
cada lado.)
(Operación inversa de resta es suma. Sumamos 2x
a cada lado.)
(Una ecuación con y en términos de x, en forma
pendiente intercepto.)
Ejemplo: Trazar la gráfica y – 2x + 1= 0
Primero despejamos la ecuación para y,
y = 2x – 1 .
Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x:
x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Determinamos los valores correspondientes de y para
cada valor.
Finalmente, organizamos los pares ordenados en una
tabla conocida como una tabla de valores.
Ejemplo: Trazar la gráfica y = 2x − 1 (cont.)
Completa la tabla:
Localiza los puntos en un plano.
Notas :
Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la forma
típica de una ecuación lineal.
Otro ejemplo
Esboce la gráfica de y = x2 – 3 .
Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de
valores:
Localizamos los puntos en un plano cartesiano:
Ejemplo (cont.)
Unimos los puntos en
esta ocasión con una
curva suave, (sin picos
ni brincos) siguiendo
el patrón que
observamos.
Una gráfica con esta
forma se conoce como
una parábola. Es la
forma típica de una
ecuación cuadrática.
(-3, 6), (-2, 1) (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1), (3, 6)
y = x2 – 3
Ejemplo (cont.)El punto (0, -3) parece dividir la
gráfica en dos partes iguales.
A la izquierda del (0, -3), notamos que a medida que xse hace más grande, y se hace más pequeño.
La gráfica es decreciente en el lado izquierdo del (0, -3).
(decreciente en (-∞, 0))
A la derecha del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande.
La gráfica es creciente en el lado derecho del (0, -3).
(creciente en (0, ∞))
Práctica – Indicar los intervalos donde la
gráfica es creciente o decreciente.
La gráfica baja de izquierda a
derecha, por lo tanto es
decreciente en
La gráfica sube de izquierda a
derecha, por lo tanto es
creciente en
La gráfica baja de izquierda a
derecha, por lo tanto es
decreciente en
Interpretación de gráficas
A menudo la información se presenta en forma gráfica
por lo que interpretar gráficas es una destreza
importante.
Observe la gráfica.
a. ¿Cuál fue la temperatura
a las 6 PM?
b. ¿A qué horas del día era
la temperatura menor que
50 °?
c. ¿Durante qué periodo
antes de las 4 PM era la
temperatura por lo menos
60°?
Interpretación de gráficas (cont.)La gráfica muestra los ingresos y costos mensuales relacionados
a la producción de podadoras de grama de cierta compañía. .
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USANDO CALCULADORA
GRAFICA
Opcional
Trazar la gráfica con calculadora
gráfica: y = 9 – x2
(cont.) Trazar la gráfica con calculadora
gráfica: y = 9 – x2
Hallar los interceptos.
En la gráfica, la escala aumenta
de uno en uno, por lo que
podemos estimar visualmente
los interceptos y luego
confirmar con la calculadora.
int y (0,9)
Trazar la gráfica con calculadora gráfica:
y = 9 – x2 (cont)
Hallar los interceptos en x.
.
Aún en TRACE mode podemos escribir
el valor de x que queremos evaluar y
oprimir ENTER.
Los interceptos
en x son (-3,0) y
(3,0)
Para copiar la gráfica de la pantalla de la calculadora al
papel, debes llenar la tabla para otros valores de y.
Llenamos la tabla y luego localizamos los puntos:
Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 – x2 (cont)
x -4 -2 2 4
y
Oprimimos 2ND WINDOW, para
configurar la tabla que va a producir la
calculadora.
-7 5 5 -7
Localiza los puntos en un plano cartesiano:
• El punto (0, 9) parece
dividir la gráfica en dos
partes iguales.
• A la izquierda del (0, 9):
a medida que x se
hace más grande, y se
hace más grande. (La
gráfica es creciente.)
• A la derecha de este
punto: a medida que x
se hace más grande, y
se hace más pequeño.
(La gráfica es
decreciente.)x -4 -2 0 2 4
y -7 5 9 5 -7
(cont.) Trazar la gráfica: y = 9 – x2