1

Coordenadas rectangulares en el plano

Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que llamaremos eje x y eje y

El punto de intersección 0 se llama origen de coordenadas.

II I

III IV0El plano queda

dividido en cuatro regiones llamadas

cuadrantes

2

Representación de los números sobre cada eje

3

Coordenadas de un punto A un punto P del plano le asociamos dos números de la

siguiente manera

Decimos que P tiene coordenadas (Q,R) La primera se llama abscisa y la segunda ordenada de P. Recíprocamente, dado un par de números (Q,R) hay un

número P del plano del cual son las coordenadas.

4

Ejemplo Representación de los puntos P=(1/2,1) y

P´=(-3,2)

5

Ejemplo 2 Conjunto de puntos P=(x,y) cuyas coordenadas

verifican x>2 e y ≤ -1

A={(x,y) : x>2 ; y ≤ -1}

Representación

6

Ejercicio 1

Representar en el plano los siguientes pares ordenados y decir a qué cuadrante pertenecen

(2, -1) ; (-1/2 ,3) ; (5/3, -2) ; (-1, -2)

7

Ejercicio 2

A. ¿Qué signo tienen las coordenadas de un punto del segundo (respectivamente cuarto) cuadrante?

B. Sombrear la parte del plano que corresponde a los puntos de abscisa negativa.

C. Sombrear la parte del plano cuya abscisa es positiva y cuya ordenada es negativa.

8

Ejercicio 3

A. Representar el triángulo de vértices A=(0,0), B=(3,0) y C=(2,3) y evaluar su área.

B. Hacer lo mismo para A=(1,0), B=1,3) y C=(0,1)

9

Ejercicio 4: Representar gráficamente

A = { (x,y) : x > 1 }

B = { (x,y) : y ≤ 0 }

C = { (x,y) : x . y = 0 }

D = { (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2 , y > 0 }

E = { (x,y) : x = y }

F = { (x,y) : x . y < 0 }

10

Ejercicio 5 Definir mediante condiciones los siguientes

subconjuntos del plano

11

Ejercicio 5 (cont) Definir mediante condiciones los siguientes

subconjuntos del plano

12

Rectas en el plano Ejemplo : El conjunto de ptos.de plano de

abscisa 3.

L = { (x,y) : x = 3 }

13

Rectas en el plano Ejemplo : El conjunto de puntos cuya

abscisa coincide con la ordenada.

L = { (x,y) : x = y }

14

Rectas en el plano Ejemplo : La recta horizontal (paralela al

eje x) que pasa por P0=(1,2)

L = { (x,y) : y = 2 }

15

Rectas en el plano Sea L la recta que pasa por P1=(1,2) y P2=(3,5)

131

252

xy

Operando

2y – 3x = 1

16

Ecuación de la recta

Si L es vertical, tiene ecuación x=c

L = { (x,y) : x = c }

Si L es horizontal, tiene ecuación y=c

L = { (x,y) : y = c }

17

Ecuación de la recta

Si L no es ni horizontal ni vertical y pasa por los puntos P1=(a1,b1), P2=(a2,b2) tiene ecuación

que operando se escribe de la forma

Ax + By = C

12

1

12

1

bbby

aaax

18

Ejercicio 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:

A. (2,3) ; (4,5)

B. (5,-1) ; (-5,-1)

C. (½, ½) ; (0,0)

D. (1,-1) ; (-1,1)

19

Ejercicio 8

Sea L la recta que pasa por P1=(-1, 0), P2=(5, 1)

a) Hallar la ecuación de L y comprobarla.

b) Mostrar otros dos puntos de L.

c) ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a L?

Q1 = (3, ½) ; Q2 = (10,2) ; Q3 = (-7, -1)

20

Ejercicio 9

Hallar el valor de k para el cual los puntos

(-1,2) ; (3,1) ; (2, -k+1)

están alineados

21

Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C {A0 o B0}

veremos que los puntos P=(x,y) que la verifican forman una recta.

22

Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C

CASO 1 : A = 0, la ecuación se escribe

es una recta horizontal

BC

y

23

Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C

CASO 2 : B = 0, la ecuación se escribe

es una recta vertical

AC

x

24

Ecuación de la recta CASO 3 : A0 y B0

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 = (0, a) y P2 = ( 1, a+b) es

BC

bBA

adondebxay ;

baxyaby

xbbabyx

010

Los puntos que verifican esta ecuación forman la recta que pasa por P1 y P2.

25

Ejemplo

Si queremos representar en el plano el conjunto de puntos

{(x,y) : 2x – y = -1}

Sabemos que se trata de una recta determinada por dos puntos.

Ej : P1 = (0,1) ; P2 = (1,3)

26

Ejercicio 10

Representar gráficamente

A) 5x + y = 3

B) x – 2 = 0

C) 4x – 3y = 6

D) y = 0

27

Posición Relativa de dos rectas

Transversales Paralelas Coincidentes

28

Sistema de Ecuaciones

Dadas dos rectas, cada una de ellas está representada por una ecuación lineal.

Los puntos de intersección deben verificar ambas ecuaciones

A1x + B1y = C1

A2x + B2y = C2

29

Sistema de Ecuaciones

Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución.

Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución.

Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

30

Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 2x – y = -1

L2 : x – y = 2

El sistema admite una única solución

Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

35

;31 yx

35

,31

P

31

Ejemplo 1

32

Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 2x – y = – 3

L2 : – 6x + 3y = – 6

Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos un sistema equivalente

6x – 3y = – 9

6x – 3y = – 6

Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

33

Ejemplo 2

34

Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 4x – 8y = -12

L2 : – x + 2y = 3

Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

35

Distancia entre dos puntos del plano

Dados dos puntos del plano P1 y P2

Podemos calcular la distancia entre ellos por el teorema de Pitágoras

212

212 )()( yyxxd

36

Ejemplo Calcular la distancia entre

P1=(3,2) y P2=(1,-4)

40364

)24()31( 22

d

d