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Alonzo Church1

El mtodo logstico Pargrafo 07 de Introduccin a la lgica matemtica, New Jersey, Princeton University Press, 1956 (con reimpresiones), introduccin, pp. 47-58. Traduccin castellana de Federico Raffo Quintana.

------------------------------ 07. El mtodo logstico. Para establecer un lenguaje formalizado debemos, desde luego, hacer uso de un lenguaje ya conocido por nosotros, digamos el ingls o alguna parte de la lengua inglesa, estableciendo en ese lenguaje el vocabulario y las reglas del lenguaje formalizado. Este procedimiento es anlogo a aquel que resulta familiar al lector en el estudio de una lengua como, e.g., en el uso de una gramtica latina escrita en ingls- pero difiere en la precisin con la cual las reglas son establecidas, en la evitacin de irregularidades y excepciones, y en la destacada idea de que las reglas del lenguaje expresan una teora o un sistema de anlisis lgico. Este mecanismo que consiste en el empleo de un lenguaje para hablar sobre otro es un mecanismo que tendremos la frecuente ocasin de emplear no solo para establecer lenguajes formalizados sino tambin para hacer afirmaciones tericas acerca de lo que puede ser hecho en un lenguaje formalizado. Nuestro inters en los lenguajes formalizados no se centra en su uso real y prctico como lenguajes sino en la teora general de dicho uso y en sus posibilidades en principio. Siempre que empleemos un lenguaje para hablar sobre algn lenguaje (sea s mismo o sea algn otro), llamaremos a este lenguaje el lenguaje objeto y a aqul el meta-lenguaje.

1 Alonzo Church (14 de junio de 1903 - 11 de agosto de 1995), matemtico y lgico estadounidense. Nacido en la ciudad de Washington, se diplom en la Universidad de Princeton en 1924 y obtuvo su doctorado en 1927, donde ejerci como profesor entre 1929 y 1967. Fue miembro fundador de la Association for Symbolic Logic y editor del Journal of Symbolic Logic. A l se debe, entre otros resultados, la demostracin de la indecidibilidad de la lgica de primer orden, as como tambin una reconstruccin del concepto de funcin computable. Su obra Introduction to Mathematical Logic es un extenso tratado, ya clsico, de lgica simblica. El rango de los temas tratados es muy amplio e incluye notas histricas muy valiosas. Aqu se traduce la seccin 07 del libro, omitiendo algunas de las notas.

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Para establecer un lenguaje formalizado primero emplearemos como meta-lenguaje una cierta parte del ingls. No intentaremos delimitar con precisin esta parte de la lengua inglesa, sino describirla aproximadamente diciendo que es suficiente para dar las indicaciones generales para la manipulacin de objetos fsicos concretos (siendo cada caso o aparicin de uno de los smbolos del lenguaje un objeto fsico concreto, e.g., una masa de tinta que se adhiere a un pedazo de papel). Es de este modo un lenguaje que trata con asuntos de la experiencia humana de todos los das, yendo ms all de tales asuntos slo en aquel [en que] no se impone ningn lmite finito superior al nmero de objetos que puede estar implicado en cualquier caso particular, o al tiempo que puede ser requerido para su manipulacin de acuerdo a las instrucciones. Estn excluidas aquellas partes adicionales del ingls que sern usadas para tratar las clases infinitas u otras cosas, tales como objetos abstractos que son una parte esencial de la materia de las matemticas. Nuestro procedimiento no consiste en definir el nuevo lenguaje simplemente mediante las traducciones de sus expresiones (oraciones, nombres, formas) en sus correspondientes expresiones en ingls, porque de este modo difcilmente sera posible evitar transferir al nuevo lenguaje los rasgos lgicamente insatisfactorios del ingls. Mejor, comencemos por establecer, haciendo abstraccin de todas las consideraciones de significado, la parte puramente formal del lenguaje, obteniendo as un clculo sin interpretacin o sistema logstico. En detalle, esto se hace como sigue. El vocabulario del lenguaje se especifica por medio de un listado de los smbolos bsicos que van a emplearse. Estos se llaman smbolos primitivos del lenguaje, y deben considerarse como indivisibles en un doble sentido: (A) para establecer el lenguaje no se hace uso de ninguna divisin de los smbolos en partes y (B) cualquier secuencia lineal finita de smbolos primitivos puede ser considerada de un nico modo como tal secuencia de smbolos primitivos. Una secuencia lineal finita de smbolos primitivos es llamada una frmula. Y entre las frmulas, son dadas reglas por las cuales ciertas [frmulas] son designadas como frmulas bien formadas (con la intencin, hablando toscamente, de que solamente las frmulas bien formadas deben considerarse como siendo genuinamente expresiones del lenguaje). Luego ciertas [frmulas] entre las frmulas bien formadas son establecidas como axiomas. Y finalmente son establecidas las reglas de inferencia (primitivas), o reglas de procedimiento, reglas de acuerdo a las cuales, desde frmulas bien formadas adecuadas como premisas, se infiere inmediatamente una frmula bien formada como conclusin. (Mientras estemos tratando solamente con un sistema logstico que permanece sin interpretacin, los trminos premisas, inferencia inmediata, conclusin tienen solamente tal significado [de acuerdo] como fue concedido ms arriba por las mismas reglas de inferencia). Una secuencia finita de una o ms frmulas bien formadas es llamada demostracin si cada una de las frmulas bien formadas en la secuencia o bien es un axioma o bien es inmediatamente inferido de las frmulas bien formadas precedentes en la secuencia por medio de una de las reglas de inferencia. Una demostracin es llamada demostracin de la ltima frmula bien formada en la

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secuencia, y los teoremas del sistema logstico son aquellas frmulas bien formadas de las cuales existen demostraciones. Como un caso especial, cada axioma del sistema es un teorema, siendo la secuencia finita una demostracin que consiste en una nica frmula bien formada, el axioma solo. El esquema recin descrito a saber, los smbolos primitivos de un sistema logstico, las reglas por las cuales ciertas frmulas son determinadas como bien formadas (siguiendo a Carnap permtannos llamarlas las reglas de formacin del sistema), las reglas de inferencia, y los axiomas del sistema- es llamado la base primitiva del sistema logstico. Para definir un sistema logstico por medio de un listado de las bases primitivas, empleamos como meta-lenguaje la parte restringida del ingls descrita arriba. Adems de esta restriccin, o tal vez mejor como parte de ella, imponemos los siguientes requisitos de efectividad: (I) la especificacin de los smbolos primitivos ser efectiva en el sentido de que hay un mtodo por el cual, siempre que un smbolo es dado, puede siempre ser determinado efectivamente si es o no uno de los smbolos primitivos; (II) la definicin de frmula bien formada ser efectiva en el sentido de que hay un mtodo por el cual, siempre que una frmula es dada, puede siempre ser determinado efectivamente si es o no bien formada; (III) la especificacin de los axiomas ser efectiva en el sentido de que hay un mtodo por el cual, siempre que una frmula bien formada es dada, puede siempre ser determinado efectivamente si es o no uno de los axiomas; (IV) las reglas de inferencia, tomadas conjuntamente, sern efectivas en el fuerte sentido de que hay un mtodo por el cual, siempre que es dada una inferencia inmediata propuesta de una frmula bien formada tomada como conclusin de otras tomadas como premisas, puede siempre ser determinado efectivamente si esta inferencia inmediata propuesta es o no de acuerdo a las reglas de inferencia. (De estos requisitos se sigue que la nocin de demostracin es efectiva en el sentido de que hay un mtodo por el cual, siempre que una secuencia finita de frmulas bien formadas es dada, puede siempre ser determinado efectivamente si es o no una demostracin. Pero la nocin de teorema no es necesariamente efectiva en el sentido de existencia de un mtodo por el cual, siempre que una frmula bien formada es dada, puede siempre ser determinado si es o no un teorema para esto no puede haber un mtodo por el cual podamos o bien encontrar una demostracin o bien determinar que no existe ninguna. Este ltimo es un punto al que volveremos despus.) En cuanto al requisito (I), suponemos que podemos siempre determinar acerca de dos apariciones dadas de smbolos si ellas son o no apariciones del mismo smbolo (excluyendo as por supuesto dificultades tales como la de ilegibilidad). Por consiguiente, si el nmero de smbolos primitivos es finito, el requisito puede ser satisfecho solamente dando la lista completa de los smbolos primitivos, escrita por completo. Frecuentemente, de todas formas, el nmero de smbolos primitivos es infinito. En particular, si hay variables, es conveniente que haya un nmero infinito de diferentes variables de cada tipo porque, aunque en cualquier frmula bien formada el nmero de diferentes variables es siempre finito, difcilmente haya un modo de determinar un lmite

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superior finito del nmero de diferentes variables que puede ser requerido para algn propsito particular en el uso actual del sistema logstico. Cuando el nmero de smbolos primitivos es infinito, la lista no puede ser escrita por completo, pero los smbolos primitivos ms bien deben ser fijados de algn modo por la afirmacin de su longitud finita en el metalenguaje. Y esta afirmacin debe ser tal como para ajustarse a (I). Una observacin similar se aplica a (III). Si el nmero de axiomas es finito, el requisito puede ser satisfecho escribindolos por completo. De lo contrario los axiomas deben ser especificados de algn modo menos directo por medio de la afirmacin de una longitud finita en el lenguaje, y esto debe ser tal como para ajustarse a (III). Podra pensarse que es ms elegante o ms satisfactorio que el nmero de axiomas sea finito; pero veremos que a veces es conveniente hacer uso de un nmero infinito de axiomas, sin que aparezcan objeciones concluyentes para hacer tal cosa si los requisitos de efectividad son satisfechos. Hemos supuesto que el lector comprende la nocin general de efectividad, y en efecto tal nocin general debe considerarse como una nocin matemtica informalmente familiar, ya que est involucrada en problemas matemticos de un tipo que ocurren con frecuencia, llmese, problemas para encontrar un mtodo de clculo, i.e., un mtodo por el cual determinar un nmero, u otra cosa, efectivamente. No intentaremos dar aqu una definicin rigurosa de efectividad, siendo suficiente la nocin informal para permitirnos, en caso que nos encontremos, distinguir mtodos dados como efectivos o no efectivos. Los requisitos de efectividad no implican que una estructura que sea anloga a un sistema logstico excepto que falla al satisfacer estos requisitos pueda no ser til para algunos propsitos o bien que est prohibido tomarlos en consideracin, sino que una estructura de este tipo es inadecuada para su uso o interpretacin como un lenguaje. Comoquiera que la idea comn de un lenguaje est fijada de manera indefinida o imprecisa, para esta idea comn es al menos fundamental que un lenguaje sirva al propsito de la comunicacin. Y en caso en que el requisito de efectividad falle, el propsito de comunicacin no se satisface. Consideremos, en particular, la situacin que surge si la definicin de bien formada [well-formedness] no es efectiva. No hay entonces medios por los cuales, cuando una presunta expresin del lenguaje es pronunciada (de manera hablada o escrita), digamos como una oracin afirmada, el auditor (el que escucha o lee) pueda determinar si es bien formada, y as si alguna verdadera afirmacin ha sido hecha. Por consiguiente el auditor podr con justicia exigir una demostracin de que la expresin es bien formada, y hasta que tal demostracin sea provista puede rechazar tratarla como constituyendo una afirmacin. Esta demostracin, que debe ser aadida a la expresin original para establecer su status, debe ser considerada, parecera, como parte de la expresin, y la definicin de bien formada debera ser modificada para proporcionar esto, o sus equivalentes. Cuando se hace tal modificacin, sin duda la no efectividad de la definicin desaparecer; de lo contrario quedara

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abierta la posibilidad de que el auditor exija ulteriormente una demostracin de buena formacin. Nuevamente, consideremos la situacin que surge si la nocin de demostracin no es efectiva. No hay entonces medios por los cuales, cuando una secuencia de frmulas ha sido expuesta como una demostracin, el auditor pueda determinar si de hecho es una demostracin. Por consiguiente l podr con justicia exigir una demostracin, en cualquier caso dado, de que la secuencia de frmulas expuesta es una demostracin; y hasta que esta demostracin suplementaria sea provista, l podr rehusarse a estar convencido de que el presunto teorema est probado. Esta demostracin suplementaria debe ser considerada, parecera, como parte de toda la demostracin del teorema, y la base primitiva del sistema logstico debe ser modificada para proporcionar esto, o sus equivalentes. En efecto, es esencial a la idea de una demostracin que, para cualquiera que admita los presupuestos en los cuales se basa, una demostracin lleve a la conviccin definitiva [final conviction]. Y puede pensarse que los requisitos de efectividad (I)-(IV) tienen solamente la intencin de preservar esta caracterstica esencial de la demostracin. Despus de establecer un sistema logstico tal como fue descrito, no tenemos todava un lenguaje formalizado hasta que se provea una interpretacin. Esto requerir un meta-lenguaje ms extenso que la parte restricta del ingls usada para establecer el sistema logstico. De todas formas, no se proceder por medio de las traducciones de las frmulas bien formadas a las frases en ingls sino ms bien por medio de las reglas semnticas que, en general, usan ms que mencionan las frases del ingls (cf. 08), y que prescribirn para cualquiera frmula bien formada ya sea su denotacin (convirtindola en un nombre propio en el sentido de 01) o ya sea su valor (hacindola una forma en el sentido de 02). En vista de nuestra anterior postulacin de dos valores de verdad (04), imponemos el requisito de que las reglas semnticas, si deben ser dichas para proveer una interpretacin, deben ser tales que los axiomas denoten valores de verdad (si ellos son nombres) o deben tener siempre valores de verdad como valores (si ellos son formas), y lo mismo debe sostenerse de la conclusin de cualquier inferencia inmediata si lo tiene de sus premisas. En el uso de un lenguaje formalizado solamente sern capaces de ser afirmadas aquellas frmulas que denoten valores de verdad (si ellas son nombres) o que tengan siempre valores de verdad como valores (si ellas son formas); y solamente sern capaces de ser afirmadas correctamente aquellas que denoten verdad (si ellas son nombres) o que tengan el valor de verdadero (si ellas son formas). Desde que se prev que la demostracin de un teorema justificar su afirmacin, llamamos a una interpretacin de un sistema logstico slida (sound) si, debajo de ella, todos los axiomas o bien denotan verdad o bien tienen siempre el valor de verdadero, y si ms bien lo mismo se sostiene de la conclusin de cualquier inferencia inmediata si lo tiene de las premisas. En caso contrario llamaremos a la interpretacin no slida (unsound). Un lenguaje formalizado se llama slido o no slido segn si la interpretacin por la cual se obtiene a partir

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de un sistema logstico es slida o no slida. Y una interpretacin no slida o un lenguaje no slido deben ser rechazados. (Los requisitos, y la definicin de solidez, en el prrafo precedente estn basados en dos valores de verdad. Ellos son satisfactorios para cualquier lenguaje formalizado que recibiera una consideracin sustancial en este libro. Pero ellos deben ser modificados correspondientemente en el caso en que el esquema de los dos valores de verdad se modifique cf. el comentario en 19.) Las reglas semnticas deben, en primera instancia, ser establecidas en un meta-lenguaje presupuesto y por consiguiente sin formalizar, tomado aqu como el ingls ordinario. Posteriormente, para su estudio ms exacto, podemos formalizar el metalenguaje (usando un meta-meta-lenguaje presupuesto y siguiendo el mtodo ya descrito para formalizar el lenguaje objeto) y reformular las reglas semnticas en este lenguaje formalizado. (Esto lleva a la materia de la semntica (09).) Como una condicin de rigor, requerimos que la demostracin de un teorema (del lenguaje objeto) no haga referencia o uso de ninguna interpretacin, sino que proceda puramente por medio de las reglas del sistema logstico, i.e., ser una demostracin en el sentido definido ms arriba para los sistemas logsticos. La motivacin para esto es triple, o ms bien son tres diferentes aproximaciones dadas en el mismo criterio. En primer lugar, esto puede ser considerado como una formulacin ms precisa de la distincin tradicional entre forma y materia y del principio que afirma que la validez de un razonamiento depende solamente de la forma siendo pensada la forma de una demostracin en un sistema logstico como algo comn a sus significados debajo de varias interpretaciones del sistema logstico. En segundo lugar, esto representa el requisito matemtico estndar de rigor segn el cual una demostracin debe proceder puramente de axiomas sin uso de nada (aunque sea supuestamente obvio) que no est expuesto en los axiomas; pero este requisito est aqu modificado y extendido como sigue: que una demostracin debe proceder puramente de axiomas por medio de reglas de inferencia, sin uso de nada no establecido en los axiomas o de ningn mtodo de inferencia no validado por las reglas. Tercero, existe la motivacin de que el sistema logstico sea relativamente seguro y definido, comparado con las interpretaciones que queramos adoptar, dado que est basado en una parte del ingls, como metalenguaje, tan elemental y restringida que difcilmente puede dudarse de su confiabilidad esencial, si es que la matemtica es en absoluto posible. Es tambin importante el hecho de que una demostracin que satisface nuestra condicin de rigor precedente deba, entonces, ser correcta bajo cualquier interpretacin del sistema logstico, de tal modo que haya una economa que resulta para demostrar muchas cosas bajo un nico proceso. La extensin de la economa es solamente sta: que demostraciones idnticas en la forma pero diferentes en la materia no necesitan ser repetidas indefinidamente sino que pueden resumirse de una vez y para siempre. Teniendo en mente retener nuestra libertad del empleo de cualquier interpretacin que pueda encontrarse til, indicaremos, para los sistemas logsticos establecidos en los siguientes captulos, una o ms interpretaciones

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que tenemos especialmente en mente para el sistema y que llamaremos las interpretaciones principales. La lgica formal, cuando es tratada por medio del mtodo del establecimiento de un lenguaje formalizado, se llama lgica simblica, o lgica matemtica, o logstica. Al mtodo mismo lo llamaremos el mtodo logstico. Es familiar en las matemticas el mtodo axiomtico, de acuerdo al cual una rama de las matemticas comienza con una lista de trminos indefinidos y una lista de supuestos, o postulados que involucran estos trminos, y de acuerdo al cual los teoremas deben ser derivados de los postulados por medio de los mtodos de la lgica formal. Si esta ltima oracin se deja sin analizar, siendo presupuesta la lgica formal ya conocida, diremos que el desarrollo es hecho por medio del mtodo axiomtico informal. Y en el caso contrario hablaremos del mtodo axiomtico formal. El mtodo axiomtico formal difiere de este modo del mtodo logstico solamente en las siguientes dos cosas: (1) En el sistema logstico los smbolos primitivos son dados en dos categoras: los smbolos primitivos lgicos, pensados como perteneciendo a la lgica subyacente, y los trminos indefinidos, pensados como perteneciendo a la rama particular de las matemticas. Correspondientemente los axiomas son divididos en dos categoras: los axiomas lgicos, que son frmulas bien formadas que contienen solamente smbolos primitivos lgicos, y los postulados, que involucran tambin a los trminos indefinidos y que son pensados como la determinacin de una rama especial de las matemticas. Las reglas de inferencia, de acuerdo con la concepcin usual del mtodo axiomtico, deben ser tomadas todas como pertenecientes a la lgica subyacente. Y, aunque ellas puedan hacer referencia a trminos indefinidos particulares o a clases de smbolos primitivos que incluyan trminos indefinidos, ellas no deben involucrar nada que, subjetivamente, no estemos dispuestos a asignar a la lgica subyacente ms que a la rama especial de las matemticas. (2) En la interpretacin las reglas semnticas son dadas en dos categoras. Aquellas de la primera categora fijan aquellos aspectos generales de la interpretacin que pueden ser asignados, o que estemos dispuestos a asignar, a la lgica subyacente. Y las reglas de la segunda categora determinan el resto de la interpretacin. La consideracin de diferentes representaciones o interpretaciones del sistema de postulados, en el sentido del mtodo axiomtico informal, corresponde aqu a la variacin de las reglas semnticas de la segunda categora mientras que aquellas de la primera categora permanecen fijas.