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Geometrıa

Juan Pablo Pinasco ([email protected])

Departamento de Matematica e IMAS,FCEyN, UBA - CONICET

2018

JP Pinasco Geometrıa

Que es la geometrıa?


Origen

Se (dice que se) origina en la medicion de tierras,y en el calculo de volumenes para el comercio.

Se ocupa del estudio de:

formas,

tamanos.

Tambien le corresponderıa ocuparse del espacio:

Lo mas grande es el espacio, ya que contiene todas las cosas.

(Tales, s VI aC.)


Herodoto, 440 a.C

[El rey egipcio Sesotris (1300 aC)] dividio el paıs entre todos losegipcios dandoles a cada uno un lote de terreno cuadrado igual, ehizo de esto la fuente de sus ingresos, fijando el pago de unimpuesto anual. Y cualquier hombre al que le hubiera sido robadopor el rıo de una parte de su tierra irıa con Sesotris y declararıa loque le habıa ocurrido; entonces el rey enviarıa hombres paraverificar y medir el espacio por el cual la tierra habıa disminuido, demodo que de ahı en adelante deberıa pagar el impuesto fijado enproporcion a la perdida. De esto, a mi entender, aprendieron losgriegos el arte de medir la tierra...

Nota: lo que perdiste, lo perdiste...


Aristoteles, ∼ 350 aC

..las ciencias que no tienen como proposito el placer o lasnecesidades de la vida fueron descubiertas primero en los lugaresdonde los hombres empezaron a tener ocio. Esto es el porque lasartes matematicas fueron fundadas en Egipto, ya que a la clasesacerdotal le estaba permitido estar ociosa.

(Por mas Aristoteles que sea, la matematica -y la geometrıa en particular- seha ocupado siempre del placer o de las necesidades de la vida)


Por ejemplo

La geometrıa se ocupo de:

juegos,

arte,

viajes,

astronomıa,

ingenierıa,

arquitectura.


Esto sugiere usos previos de los conocimientos geometricos:

juegos y arte:

Nociones de simetrıa para patrones decorativos y para juegos de azar.


Paleolıtico, ∼ 70k aC


Neolıtico, ∼ 2k aC

http://www.neverendingbooks.org/the-scottish-solids-hoax


http://www.neverendingbooks.org/the-scottish-solids-hoax

Viajes y astronomıa.

Nocion de distancia, originalmente no euclıdea y medida en tiempo.

Nociones de inclinacion, perpendicularidad, etc. (relojes de sol desde el3500 aC).

Nociones de patrones y formas, y su evolucion (clima, caza: primerospronosticos, rastros de pisadas de animales).


En algunos casos, laspoblaciones establecıanun centro o campamentosemipermanente, y semovıan radialmente paracazar.

Recuerdan eso de lamatematica es siemprebuena?


ingenierıa y arquitectura

Problema de Dido (la fundacion de Cartago, 814 aC), formas de carpas,chozas y poblados, puntas de lanzas y flechas...

Estas aplicaciones siguen influyendo en la geometrıa aun hoy dıa, yaparecen en problemas de optimizacion.


Curiosidad:

Historicamente, todo problema calificado como geometrico, tarde o tempranocae en las manos del algebra o el analisis:

resolucion de ecuaciones (algebra)

areas y volumenes (calculo integral)

tangentes (calculo diferencial)

geometrıa euclideana (algebra lineal)

geometrıas no euclideanas (geometrıa diferencial)

Es difıcil describir fenomenos visuales, no tenemos una notacion apropiada.


Parte I

La geometrıa griega


Thales, 624-546 a.C.

Se lo conoce por su teorema y los resultados de semejanza de triangulos.

Los angulos opuestos por el vertice son congruentes.

Dadas dos paralelas y una transversal, los angulos alternos internos soncongruentes.

Un diametro divide a un circulo en dos partes iguales.

Los angulos de la base de un triangulo isosceles son congruentes.

Un angulo inscripto en una semicircunferencia es un angulo recto.


Thales/1

Angulos opuestos por el vertice

Rotar la figura 180◦.

Tales habrıa observado que losegipcios medıan en lasconstrucciones los angulos quequedaban de cada lado.

Esta demostracion, como otras queveremos, usa movimientos. Hay unaxioma implıcito: levantar una figura ycorrerla no la deforma.

Ejercicio: escriba una demostracionusando que sumar o restar cosasiguales mantiene una igualdad.


Thales/2

Angulos correspondientes entreparalelas

Deslizar una paralela sobre la otra,desplazandola a lo largo de latransversal, hasta hacer coincidir losdos cruces. Los angulos marcados sesuperponen, ası que son iguales.

Ejercicio: escriba una demostracionusando los axiomas.

Angulos alternos internos entreparalelas

Deslizar una paralela sobre la otra,desplazandola a lo largo de latransversal, hasta hacer coincidir losdos cruces. Los angulos marcados setransforman en opuestos por elvertice, y usamos el primerteorema.

Ejercicio: escriba una demostracionusando los axiomas.


Thales/3

Un diametro divide a un circulo en dos partes iguales

Simetrıa (rotacion o reflexion, a gusto).

Para Euclides, es una de las definiciones:

Un diametro de un cırculo es toda lınea recta que pasa por elcentro y termina en ambas direcciones en puntos de lacircunferencia, y esta lınea recta bisecta el cırculo.

¿Se conocıa antes? Virgilio (70-19 a.C.) habla del problema de Didodespues de Thales.


Thales/4

Los angulos de la base de un triangulo isosceles son congruentes

Pons Asinorum:

Traza un cırculo con centro en el vertice opuesto a la base, y radio igual a lalongitud de los lados que son iguales. Estos forman angulos iguales con lacircunferencia.

La base (una cuerda) tambien forma angulos iguales, y por lo tanto, losangulos en la base del triangulo son iguales.

Todo bien?


Thales/5

Un angulo inscripto en una semicircunferencia es un angulo recto

Sale por semejanza de triangulos, bajando una perpendicular al lado maslargo (en ambos casos, se usa que la suma de los angulos de un triangulo esπ).


Pitagoras, 572-490 a.C.

Ya hablamos (?) de el:

Importancia del numero.

La suma de los angulos interiores de un triangulo es π.

Teorema de Pitagoras.

Irracionales.


Arquitas

Contemporaneo de Platon.

Pitagorico.

Duplico el cubo usando la interseccion de un cilindro, una recta y un toro (!)

Fue siete anos Estratega de Tarento.


Conicas

Apolonio da todas las propiedades, no se le ocurre el compas generalizado,

(los arabes, ∼ 1100, permite duplicar el cubo)


Parte II

La formalizacion Euclıdea


Geometrıa euclıdea

Se basa en un sistema axiomatico, donde se aclaran de entrada las reglasde juego (vıa definiciones, postulados, y nociones comunes).

Si bien los axiomas estan inspirados en la realidad, no esta permitidoutilizarla para justificar nada.

Se cambia La unica verdad es la realidad por La unica verdad es la que sededuce logicamente.


Definiciones

Son bastante tramposas; sirven para fijar los nombres de las ideas primitivasque necesita (punto, recta, plano, numero).

Define (=pone nombre) a ciertos objetos distinguidos (triangulo, cuadrilatero,divisor).

Paradojicamente, define los terminos oblongo, rombo, romboide... pero nolos usa! Y utiliza paralelogramo pero jamas lo define.


Postulados

1 Por dos puntos puede trazarse una recta.2 Una recta dada puede extenderse indefinidamente.3 Dado un centro y un radio puede trazarse un cırculo.4 Todos los angulos rectos son congruentes a uno dado.5 Si dos lıneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los

angulos interiores en un lado es menor de dos angulos rectos, entonceslas dos lıneas deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas losuficiente.

(hay distintas versiones del ultimo)


Axiomas implıcitos

La recta y el cırculo no tienen ”huecos”.

Si un punto de una recta esta en el interior de un cırculo, y otro esta enel exterior, entonces se intersecan.

Dos cırculos cuyos centros estan a menor distancia que la suma de susradios se intersecan.


Regla y compas

Las unicas herramientas permitidas son la regla y el compas.

Se deben entender ambos como una cuerda.


Nociones comunes

1 Cosas iguales a una misma son iguales entre sı2 Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales3 Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales4 Cosas coincidentes son iguales entre sı [Euclides utiliza idistintamente

iguales, congruentes, o equivalentes]5 El todo es mayor que la parte


Nociones comunes

Segun la edicion, hay mas nociones comunes.

Clavius, en dos ediciones (1574 y 1603) incluye primero 19 y luego 20


Geometrıa euclıdea

El uso de coincidir es interesante.

Argumentos de simetrıa (rotaciones, reflexiones) no estan permitidos, ni lastranslaciones.

No hay una nocion permitida de movimiento.

Esto se reemplaza por construcciones.

Es estatica y atemporal.


Ejemplo

Se ve en las primeras proposiciones:

Proposicion

I.2: Se puede trazar un segmento igual a uno dado por un punto dado.

Proposicion

I.8: Si dos triangulos tienen dos lados iguales y tienen las bases iguales,tendran tambien iguales los angulos comprendidos por los lados iguales.

Estos resultados permiten ’mover’ segmentos o angulos


Importancia

Es el cuerpo teorico mas antiguo que permanece vigente en la ciencia

Modelo universal de rigor (pese a detalles menores)

Ejemplo modelo para construir otras ramas de la matematica

Pasarıan 20 siglos antes de que se cuestionara la validez absoluta delos postulados (el 5to)

Pasarıan 22 siglos antes de que se cuestionara la validez absoluta delas nociones comunes (la 5ta)


Paradojas

-No sabemos nada de su autor.

-En el 2006 fue dejado de lado en una lista de los 25 libros de ciencia masimportantes (fue el mas sugerido por el publico en los comentarios alartıculo).

-Se pueden recibir de matematicos sin haberlo leıdo o estudiado en seriojamas.


Demostracion del Pons Asinorum (Euclides, I.5).

Prolonga los lados queson iguales una mismalongitud. (ABZ, ACY).Utiliza I.4 (dos triang. conun par de lados iguales ylos angulos comprendidosentre estos congruentes,tienen el tercer lado igual ylos otros dos anguloscongruentes.

Aplica nuevamente I.4 a los triangulos BCY, BCZ y se demuestra a partir delos angulos en comun.


Curiosidad

Es una demostracion cercana a la de Aristoteles.

Se puede simplificar pensando en los triangulos BAC y CAB!

Es equivalente al postulado 4, aceptando que se pueda trasladar un angulo auna recta dada.


Parte III

Tamano


Area y volumen

Son las nociones mas simpes que se nos ocurren.

En los Elementos no aparecen con recetas practicas para calcularlas.

Los metodos se pueden considerar parte de la prehistoria del calculo:

Exhauscion (Eudoxo, Arquımedes)

Indivisibles (Kepler, Cavalieri...)


Dimension

Es otra nocion asociada a la de tamano tamano, mucho mas esquiva dedefinir.

Hay nociones especıficas en

geometrıa,

algebra,

analisis,

topologıa...


Socrates / Platon

Razon de cambio de longitudes y areas ante cambios de escala:normalmente se atribuyen a Galileo, pero aparecen en el dialogo del Menon,uno de los mas citados por los pedagogos.


Aristoteles

El Cielo:

La lınea tiene una magnitud, el plano dos y el solido tres. Y mas alla de esastres no hay ninguna otra magnitud, porque ellas lo llenan todo.


Descartes

En La Geometrıa (1637) habla de solidos, supersolidos, etcetera.

Con la geometrıa analıtica, se asocia dimension a la cantidad decoordenadas necesarias


Wallis

En su Algebra de (1665) afirma que un espacio con mas de tres dimensionesera

un monstruo de la naturaleza, menos posible que una quimera o uncentauro.


Moebius

Der barycentrische Calcul (1827)

Figuras geometricas que no pueden superponerse en R3 por ser imagenesespeculares una de otra, sı podrıan superponerse en cuatro dimensiones,pero

sin embargo, como tal espacio no puede ser pensado, lasuperposicion es imposible.


Grassman

En Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (1844)introduce los espacios vectoriales de dimension arbitraria.


Como dijo Bourbaki:

y despues los vulgarizadores que toman de Hamilton y Grassmanlo que se ha llamado el ’calculo vectorial’

Distintos problemas fısicos sugieren espacios de dimensiones mayores.

Ası como la geometrıa cartesiana introduce tres coordenadas para unapartıcula, la mecanica le asocia ahora seis (tres de posicion, tres develocidad).

Y si son mas partıculas, seis por cada una.


Dimensiones fractales

Cantor (1845-1918): crisis de la nocion de dimension asociada a la decoordenada

Peano (1858-1932): curvas unidimensionales que llenan un cuadrado

Koch (1870-1924), Sierpinski (1882-1969), Julia (1893-1978): primerosfractales



Hausdorff (1868-1942) y Minkowski (1864-1909): dimensiones ycambios de escala, refinar la nocion de medida.

Mandelbrot: conjunto de Mandelbrot (antes Julia, Fatou,...) aplicacionesy popularizacion.



Idea de como se arman estos conjuntos:

se fija z0 = 0.

se toma c ∈ C.

iteramos:

zn+1 = z2n + c

.

Si zn →∞, el punto c no esta en el conjunto de Mandelbrot.


Bibliografıa

H. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart andWinston, 1969.Beppo Levi, Leyendo a Euclides, Libros del Zorzal 1999.Imagenes de la wikipedia https://wikipedia.org/


https://wikipedia.org/

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