EL FILTRO DE KALMAN:

APLICACION AL ESTUDIO DEL CICLO ECONOMICO

DOCTORADO EN MODELIZACION ECONOMICA APLICADA.

INSTITUTO L. R. KLEIN.UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MADRID

Julián Moral Carcedo Area Macroeconomía

INDICE

1.- Representación de sistemas dinámicos lineales en el espacio de los estados.2.- El filtro de Kalman.3.-Aplicación práctica.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA.

J.D. Hamilton. (Capítulo 13). Time series analysis. Princeton University Press. 1991J.D. Hamilton. State space Models. Handbook of Econometrics. Volumen IV. 1994.A.C. Harvey. Forecasting structural time series model and the Kalman filter. Cambridge University Press. 1989.Chang-Jin Kim y Charles R. Nelson. State-Space Models with regime switching. MIT Press (1999).

tttt wHxAy ''

ttt vF 1

Ecuación de medida /observación

Ecuación de estado

RE`PRESENTACION EN EL ESPACIO DE LOS ESTADOS : “STATE-SPACE REPRESENTATION”

PARTE ESTATICA

PARTE DINAMICA

(nx1) (nxk)(kx1) (nxr)(rx1) (nx1)

(rx1) (rxr)(rx1) (rx1)

ESPACIO ESTADOSMODELO DINAMICO

tY

1tY

......

1t

t tY

1tY

......

t INOBSERVADO

GENERALMENTE

EJEMPLOS

ttt YY 1

MODELO DINAMICO

AR(1)ESPACIO ESTADOS

ttY

ttt 1

MODELO DINAMICO

AR(p)

tptpttt YYYY ...2211

(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)

(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)

(1x1) (1x1)

(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)(1x1) (1x1)

ESPACIO ESTADOS AR(p)

1

12

1

001

ppt

t

t

tY

0

0

010

001 22

1121

1

12

1

t

ppt

t

tp

ppt

t

t

(1x1) (1xp) (px1)

(px1) (pxp) (px1) (px1)

EJEMPLOS

tqtqtptpttt YYYY ..... 112211

ARMA(p,q)

MODELO DINAMICO

1

12

1

11

ppt

t

t

qtY

0

0

010

001 22

1121

1

12

1

t

ppt

t

tp

ppt

t

t

ESPACIO ESTADOS

EL FILTRO DE KALMAN

tttt wHxAy ''

ttt vF 1

0

)'(Q

vvE t

0

)'(R

wwE t 0)( wvE t

El filtro de Kalman consiste en un algoritmo que proporciona estimaciones de la ecuación de estado a partir de la información disponible hasta el momento t (“condicionada” a la información disponible en t) y de la ecuación de medida, para posteriormente, corregir las estimaciones conforme se amplia la información disponible.El algoritmo precisa de dar un valor inicial t=1 al vector , (y a su error cuadrático medio) el cual no se basa en información muestral, sino que puede considerarse un prior que se impone.

0|00/1̂ P

1|11| tttt F

QFFPP tttt '1|11|

1|1| '' ttttt HxAy

1||1|1| '' ttttttttt HxAyyy

RHPHf tttt 1/1| '

)()( 1|1

1|1/1//

tttttttttt fHP

1/1

1/1/1// ')(

tttttttttt PHfHPPP

DIAGRAMA DE FLUJO

DEL FILTRO DE

KALMAN

APLICACIÓN PRACTICA

OBJETIVO:

¿Existe un ciclo común entre las principales economías europeas?

800

1200

1600

2000

2400

2800

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

ALEMANIAFRANCIA

ESPAITALIA

PRINCIPALES ECONOMIAS EUROPEAS PIB (INDICE 1970=100)

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

.08

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

D(LOG(ALEMANIA))D(LOG(ESPA))

D(LOG(ITALIA))D(LOG(FRANCIA))

PRINCIPALES ECONOMIAS EUROPEAS(PIB TASA DE CRECIMIENTO)

ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIAALEMANIA 1,00 0,45 0,61 0,64 ESPAÑA 0,45 1,00 0,45 0,74 ITALIA 0,61 0,45 1,00 0,69 FRANCIA 0,64 0,74 0,69 1,00

COEFICIENTES DE CORRELACION

tjtjt CCCEC

El ciclo observado en un país responde a dos componentes inobservables: un ciclo específico propio o residual y un

ciclo común que comparten todos los países

jtC

jtCE

tCC

Ciclo observado, crecimiento interanual del PIB del país j en el momento t

Ciclo específico del país j en el momento t, es un componente residual (lo que resulta de restar al ciclo el componente común)

Ciclo común a todos los países en el momento t

SIMILITUDES Y DIFERENCIAS CON EL ANALISIS FACTORIAL

AF: Estático F1

Y1

Y2

Y3

FE1

FE2

FE3

FK: Dinámico

F1

Y1

Y2

Y3

FE1

FE2

FE3

F1

Y1

Y2

Y3

FE1

FE2

FE3

t-1t

D(LOG(ALEMANIA)) 1 1 0 0 0 CE1 (t)D(LOG(ESPA)) 0 1 1 0 0 CC (t)D(LOG(ITALIA)) 0 1 0 1 0 CE2 (t)D(LOG(FRANCIA)) 0 1 0 0 1 CE3 (t)

CE4 (t)

ECUACION DE MEDIDA

ECUACION DE ESTADOCE1 (t) C(5) 0 0 0 0 CE1 (t-1) V1 (t)CC (t) 0 C(6) 0 0 0 CC (t-1) V2 (t)CE2 (t) 0 0 C(7) 0 0 CE2 (t-1) + V3 (t)CE3 (t) 0 0 0 C(8) 0 CE3 (t-1) V4 (t)CE4 (t) 0 0 0 0 C(9) CE4 (t-1) V5 (t)

FORMULACION ESPACIO ESTADOS

0000

0000

0000

0000

R

5

4

3

2

1

0000

0000

0000

0000

0000

Q

Ausencia de relación entre el ciclo común y los ciclos específicos y entre éstos últimos.

La ecuación de estado es una identidad

D(LOG(ALEMANIA))=SV1+SV2 D(LOG(ESPA))=SV2+SV3 D(LOG(ITALIA))=SV2+SV4 D(LOG(FRANCIA))=SV2+SV5@STATE SV1=C(5)*SV1(-1) + [var=exp(C(14))]@STATE SV2=C(6)*SV2(-1) + [var=exp(C(15))]@STATE SV3=C(7)*SV3(-1) + [var=exp(C(16))]@STATE SV4=C(8)*SV4(-1) + [var=exp(C(17))]@STATE SV5=C(9)*SV5(-1) + [var=exp(C(18))]

ESPECIFICACION EVIEWS 4.0

ESPECIFICACION EVIEWS 3.1

D(LOG(ALEMANIA))=SV1+SV2 D(LOG(ESPA))=SV2+SV3 D(LOG(ITALIA))=SV2+SV4 D(LOG(FRANCIA))=SV2+SV5 @STATE SV1=C(5)*SV1(-1) @STATE SV2=C(6)*SV2(-1) @STATE SV3=C(7)*SV3(-1) @STATE SV4=C(8)*SV4(-1) @STATE SV5=C(9)*SV5(-1)

1º CREAR OBJETO SSPACE

2º ESPECIFICACION ESPACIO ESTADOS

3º ESTIMACION : ELEGIR LAS OPCIONES: matriz de varianzas de la ecuación de medida y de la ecuación de estado

4º ALGORITMO DE ESTIMACION Y OPCIONES DE ITERACIÓN

5º ESPERAR Y “REZAR” PARA QUE EL ALGORITMO DE ESTIMACION CONVERGA A UNA MÁXIMO DE LA FUNCIÓN DE VEROSIMILITUD (LOCAL O GLOBAL)

6º EL PROGRAMA HA CREADO NUEVAS SERIES QUE CONTIENEN LAS VARIABLES DE ESTADO, TAMBIEN PODEMOS SOLICITAR LAS VERSIONES ALISADAS Y SU MSE

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIA CICLO COMUN

ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIA C COMUNALEMANIA 1,00 0,41 0,63 0,63 0,54 ESPAÑA 0,41 1,00 0,52 0,72 0,74 ITALIA 0,63 0,52 1,00 0,77 0,77 FRANCIA 0,63 0,72 0,77 1,00 0,97 C COMUN 0,54 0,74 0,77 0,97 1,00

COEFICIENTES DE CORRELACION

RESULTADOS

ALEMANIA ESPAÑA ITALIA FRANCIA C COMUN CE ALEM CE ESPAÑA CE ITALIA CE FRANCIAALEMANIA 1,00 0,41 0,63 0,63 0,54 0,67 0,01 0,42 0,31 ESPAÑA 0,41 1,00 0,52 0,72 0,74 0,19 - 0,68 0,04 0,12 - ITALIA 0,63 0,52 1,00 0,77 0,77 0,04 0,07 - 0,75 0,09 - FRANCIA 0,63 0,72 0,77 1,00 0,97 0,14 - 0,01 0,18 0,05 C COMUN 0,54 0,74 0,77 0,97 1,00 0,27 - 0,00 - 0,16 0,20 - CE ALEM 0,67 0,19 - 0,04 0,14 - 0,27 - 1,00 0,02 0,34 0,52 CE ESPAÑA 0,01 0,68 0,07 - 0,01 0,00 - 0,02 1,00 0,11 - 0,03 CE ITALIA 0,42 0,04 0,75 0,18 0,16 0,34 0,11 - 1,00 0,06 CE FRANCIA 0,31 0,12 - 0,09 - 0,05 0,20 - 0,52 0,03 0,06 1,00

La serie CE Francia parece presentar anomalías, en el sentido de que carece de ciclo específico, resultado coherente con la alta correlación que presenta la serie Francia con el ciclo común.

-.020

-.016

-.012

-.008

-.004

.000

.004

.008

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

SV5

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

ESPAÑA

CICLO COMUN

“... Cuando se registran fases expansivas la economía española registra crecimientos superiores a los de sus socios europeos, de manera contraria, las recesiones resultan más profundas en España ...”