Modelización:

Métodos

Patricio Álvarez Opazo

OPP. Taller Estudio de Casos

Talca. Septiembre 2014

¿Qué significa Método?

La palabra método proviene del latín methodus y

este de las palabras griegas, «Meta» y «Hodos»

Meta (𝜇𝜀𝜏𝛼) = Más allá

Hodos (οδος)= Camino

Es decir, juntando el significado de las dos

palabras, significarían « Camino para llegar más

allá»

El método y Descartes

Descartes presentó su método en una obra inacabada, y anterior al Discurso, llamada «Las Reglas para la dirección del espíritu» (1627-1628). Donde define:

«Por método entiendo reglas ciertas y fáciles, mediante la observación exacta de las cuales se estará seguro de no tomar un error por una verdad y, sin malgastar inútilmente las fuerzas del propio espíritu, sino acrecentándolas por un progreso constante llegará al conocimiento verdadero de todo aquello de que sea capaz. En concreto, el método implica la observación escrupulosa de un orden»

Descartes en su libro «El Discurso del Método» (1637)

propone un método que ha de ser matemático y universal.

1. Regla (Evidencia)

Es necesario tener información evidente que muestre el

comportamiento de la situación de estudio.

2.Análisis

Dividir cada una de las dificultades en tantas partes como

fuera posible para resolverlas mejor.

3. Síntesis

Teniendo ya los elementos simples de un problema hay que

reconstruirlo en toda su complejidad, deduciendo todas las

ideas y consecuencias que se derivan de aquellos

principios primeros absolutamente ciertos.

4. Comprobación

Realizar una comprobación si lo realizado previamente

muestra el comportamiento de la situación de estudio.

Método Analítico

Es aquel método que consiste en la desmembración de un

todo, descomponiéndolo en sus partes o elementos para

observar las causas, la naturaleza y los efectos.

Supone una aproximación a la realidad y tiene por función

básica la de ayudar a comprender las teorías y leyes de los

objetos de estudio.

Además tiene como objetivo generalizar situaciones.

Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua

española (22.aed.). Consultado en http://www.rae.es/rae.html

Ejemplo: Formación de una colmena

Una abeja reina puede llegar a poner 2000 huevos por

día. Esta cantidad depende del área disponible para la

postura de huevos, de la calidad genética de la reina y

de las condiciones florales y climáticas.

Cuando una reina disminuye su postura, las operarias

responsables de la manutención de las larvas,

promueven el desarrollo de una nueva reina. La nueva

reina, luego de ser fecundada, retorna a la colmena

desalojando a la reina vieja, la cual partirá para formar

una nueva colmena. Acompañando a la reina le sigue

un sequito de 10000 operarias.

Problema: Se desea establecer un modelo que estudie el

comportamiento poblacional hasta que nacen las abejas operarias en la

nueva colmena.

1.- Evidencia (Exploración del problema):

Una abeja operaria tarda en nacer 21 días.

Una colmena se inicia con una cantidad inicial de 10000 operarias.

La tasa de mortalidad de las abejas operarias es de 1

40.

2.- Análisis

Se desea establecer un modelo poblacional en cuanto al

periodo de adaptación de la colmena a partir de la

postura de huevos hasta el día de su nacimiento (21

días)

Se establece como variable independiente el numero de

días transcurridos.

Hipótesis: Las abejas operarias tienen edades distintas

y equidistribuidas, es decir, de las 10000 iniciales, en

cada día morirán 250, lo que corresponde a 1

40 de 10000

abejas.

3.- Síntesis

Sea 𝑎(𝑛) la cantidad de abejas que hay en el n-esimo

día de existencia de la nueva colmena, 0≤ 𝑛 < 21,

luego se tiene:

𝑎(0) = 10000

𝑎(1) = 𝑎(0) − 250

𝑎(2) = 𝑎(1) − 250 = 𝑎(0) − 500 = 𝑎(0) − 2(250)

𝑎(3) = 𝑎(2) − 250 = 𝑎(0) − 750 = 𝑎(0) − 3(250)

Y generalizando se puede escribir:

𝑎(𝑛) = 𝑎(0) − 𝑛(250)

Así obtenemos un modelo que nos da información

acerca de la cantidad de abejas en el n-ésimo día

de existencia de la colmena con 𝑛 < 21.

𝑎 𝑛 = 10000 − 250𝑛, 0 ≤ 𝑛 < 21 , con 𝑛

un número natural. Sin embargo este es un modelo

discreto

𝑎 𝑡 = 10000 − 250𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 21, con t un

numero real, obtenemos un modelo continuo.

4.- Comprobación

Se desea establecer cuantas abejas quedarán los días 9 y 21 respectivamente.

𝑎 9 = 10000 − 250 ∗ 9 = 7750 𝑎𝑏𝑒𝑗𝑎𝑠

𝑎 21 = 10000 − 250 ∗ 21 = 4750 𝑎𝑏𝑒𝑗𝑎𝑠

.

Método Inductivo

Es una modalidad del razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares o individuales.

Por ejemplo, a partir de la observación repetida de objetos o eventos de la misma índole se establece una conclusión general para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza.

Real Academia Española. (2001). Diccionario de la lengua española (22.aed.). Consultado en http://www.rae.es/rae.html

Ejemplo

Una bacteria se divide en dos cada una hora, determinar un modelo que muestre la cantidad de bacterias pasadas t-horas.

a) Observación: B(t)=2𝑡

B(0)=1

B(1)=2

B(2)=4

B(3)=8

b) Conjetura:

1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ … + 2𝑛 = 2𝑛+1 − 1

c) Demostración:

Luego el modelo que indica el numero de bacterias pasadas t-horas será: N(t)=2𝑡+1 − 1, con t e IR

Método Deductivo

El razonamiento deductivo, también llamado

demostración o prueba, es el razonar a partir de

hechos demostrados, utilizando pasos lógicamente

válidos para llegar a una conclusión.

Real Academia Española. (2001). Diccionario de la

lengua española (22.aed.). Consultado

en http://www.rae.es/rae.html

Ejemplo:

Encontrar 3 números impares positivos que sumen

20.

Bibliografía

Aravena, M., Caamaño, C. & Giménez, J. (2008). Modelos matemáticos a

través de proyectos. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa, 11(1) 49-92. Recuperado de

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Bassanezi, R. Biembengut, M. (1997): Modelación matemática: Una antigua

forma de investigación – Una nuevo método de enseñanza, Revista Números,

N° 32, 13-25.

Fernandez, S., Cárdenas, A. & Mesa, F. (2006). Rene Descartes, Un Nuevo

Método y una Nueva Ciencia. Scientia Et Technica, XII(32) 401-406.

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