Control Moderno - Ing. Electronica

Ejercicio resuelto 4: Controlabilidad y observabilidad

Considere el siguiente sistema

x1 = 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + ux2 = 2x1 3x2 2ux3 = 2x1 2x2 4x3 + 2ux4 = 2x1 2x2 2x3 5x4 u

(1)

siendo la variable de saliday = 7x1 + 6x2 + 4x3 + 2x4. (2)

El sistema dado por (1) es util para estudiar como un sistema puede subdividir en subsistemascontrolable y no controlable, observable y no observable.

Por inspeccion facilmente pueden encontrase las matrices A, B y C del sistema:

A =

2 3 2 12 3 0 02 2 4 02 2 2 5

, B =

122

1

, C =

[7 6 4 2

].

La funcion de transferencia H(s) desde la entrada u a la salida y esta dada por

H(s) =Y (s)

U(s)= C(sI A)1B (3)

donde

(sI A)1 =

1(s)

s3 + 12s2 + 47s + 6 3s2 + 21s + 36 2s2 + 14s + 24 s2 + 7s + 122s2 18s 40 s3 + 7s2 + 8s 16 4s 16 2s 82s2 12s 10 2s2 12s 10 s3 + 6s2 + 7s + 2 2s 22s2 6s 4 2s2 6s 4 2s2 6s 4 s3 + 5s2 + 8s + 4

con(s) = |sI A| = s4 + 21s3 + 35s2 + 50s + 24.

Resolviendo, la (3) resulta

H(s) = C(sI A)1B =s3 + 9s2 + 26s + 24

s4 + 21s3 + 35s2 + 50s + 24, (4)

H(s) =(s + 2)(s + 3)(s + 4)

(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)=

1

(s + 1)(5)

La cancelacion entre polos y ceros de H(s), esta poniendo en evidencia un problema de controlabil-idad y/o observabilidad. Empleemos el test de Gilbert para evaluarlo. Con esta finalidad, buscamosuna matriz de transformacion T , que nos permita obtener un modelo diagonal del sistema. Proce-diendo como hemos visto en practicas anteriores, la transformacion en este caso resulta

T =

4 3 2 13 2 1 12 1 1 11 1 1 1

, T

1 =

1 1 0 01 2 1 00 1 2 10 0 1 2

1

Luego, de aplicar la transformacion tenemos las siguientes ecuaciones de estado

z = Adz + Bdu (6)

y = cdz

donde

Ad = TAT1 =

1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4

, Bd = TB =

1010

, Cd = CT

1 =[1 1 0 0

].

Esto es equivalente a las siguientes ecuaciones diferenciales

z1 = z1 + u,z2 = 2z2,z3 = 3z3 + u,z4 = 4z4,

(7)

y ecuacion de saliday = z1 + z2. (8)

Estas ecuaciones representadas en diagrama de bloques corresponde a la Fig. 1.

uq - g -

z1 q -z1

g -y

1

6

g -z2

qz2

6

2

6

- g -z3

q -z3

3

6

g -z4

q -z4

4

6

Figura 1: Representacion de las ecuaciones (7) y (8)

Puede observarse que solo las variables z1 y z3 son afectadas por la accion de control; y que lasalida solo es influenciada por los estados z1 y z2. Por tanto,

- el estado z1 es controlable y observable,

- el estado z2 no es controlable pero si observable,

- el estado z1 es controlable pero no observable,

- el estado z4 no es ni controlable y ni observable.

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Finalmente, el sistema puede descomponerse en cuatro subsistemas:

- uno controlable y observable correspondiente al estado z1,

- uno no controlable pero observable correspondiente al estado z2,

- uno controlable pero no observable correspondiente al estado z3

- y uno ni controlable ni observable correspondiente al estado z4.

Teniendo en cuenta, que la transformacion T no afecta las propiedades de controlabilidad y ob-servabilidad del sistema. Luego, puede concluirse que solo el estado z1 es controlable y observable.Como la transferencia es determinada solo por el subsistema controlable y observable, es claro que

H(s) =Y (s)

U(s)=

1

s+ 1.

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