EJERCICIOS ESTADISTICA INFERENCIAL

KASSANDRA GÓMEZ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN

2º C P. IND.

PRUEBAS DE HIPÓTESIS.-

1. -Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.

Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.

DATOS:

μ=22 σ= 6 n = 64 a = 5% = 0,05

SOLUCIÓN

H0: (= 22 H1: (> 22 a = 0,05 

2. - Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?

Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:H0: μ = 6      La nota media no ha variado.

H1: μ ≠ 6       La nota media ha variado. Zona de aceptaciónPara α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z

α/2 = 1.96. Zona de aceptaciónPara α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z

α/2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(6-1,96 ·  0,4; 6+1,96 ·  0,4) = (5,22; 6,78)3. Verificación.Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0, con un nivel de significación del 5%.

3. -Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?

DATOS:

μ=170000 σ=51

SOLUCIÓN:

H0: (= 170000 H1: (< 170000 a = 0,05 

4. -  Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.

DATOS

(= 40

n = 8

Nivel de confianza del 99%Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005

SOLUCIÓN:

H0: (= 40 H1: (> 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005 

5. -Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto

DATOS:

n = 1000 x = 25

Donde:x = ocurrenciasn = observaciones = proporción de

la muestra = proporción

propuesta

SOLUCIÓN

a = 0,01 

6.- Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.

. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:H0: μ ≥ 0.40      La abstención será como mínimo

del 40%.H1: μ < 0.40     La abstención será como máximo

del 40%; 2. Zona de aceptaciónPara α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z α =

2.33.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

Verificación.

Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H0. Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la  La abstención será como mínimo del 40%.

 

7. - Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. 

¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de partida?

. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H0: μ ≤ 120     

H1: μ > 120       2. Zona de aceptación Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: z α = 1.28.

Determinamos el intervalo de confianza:

.

 Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 128 €.

4. Decisión

No aceptamos la hipótesis nula H0. Con un nivel de significación del 10%.

 

INTERVALOS DE CONFIANZA

1. -Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?

2.- Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?

3. -En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?

4.- En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:

Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 , 0,212) con una confianza de 95%

5. - Supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos.

Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo:

= 2930s= 450n= 30

Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se obtiene:

Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianza de 95%. Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).

6.- La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al azar,

para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Se sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal)

7.- Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza, la fuerza máxima de los músculos cuadriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue una distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de 85 Nw y una cuasivarianza de 144. Determinar un intervalo de confianza para la media y otro para la varianza de la fuerza máxima de estos músculos.

8.- En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de votantes favorables al alcalde actual.