ejercicios taller 1 física iii uis

7/29/2019 Ejercicios taller 1 fsica III UIS

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

ESCUELA DE FISICA, FACULTAD DE CIENCIAS

EJERCICIOS DE FISICA III, OSCILACIONES,

II SEMESTRE DEL 2009

TEMAS

Movimiento Armonico Simple. Ejemplos: Masa unida a un resorte, pendulos (simple, compuesto y de torsion). Energa en el

movimiento armonico simple.

Superposicion de movimientos armonicos simples paralelos de igual frecuencia y con diferente frecuencia. Pulsaciones.

Superposicion de movimientos armonicos simples perpendiculares de igual frecuencia.

Movimiento Armonico Amortiguado Libre y los casos: crticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado. Energaspromedio.

Movimiento Armonico Amortiguado Forzado. Potencia promedio suministrada por un movimiento arm onico forzado. Energaspromedio.

Factor de calidad y Resonancia.

Analogas electricas: Circuito LC, Circuito RLC, Circuito RLC + Vac.

PROBLEMAS

1. Escribir la ecuacion de un movimiento vibratorio armonico de amplitud igual a 5[cm], sabiendo que en un minuto se realizan 150vibraciones y que la fase inicial es igual a 45 grados. Dibujar la gr afica de este movimiento.

2. Una masa m oscila, de tal manera que su movimiento se puede describir por medio de la ecuacion: x(t) = A cos(0t) + B sin(0t),siendo A, B y 0 constantes La partcula oscila con movimiento armonico simple?

3. Cuanto tiempo transcurrira desde el comienzo del movimiento vibratorio armonico hasta que el punto vibrante tenga unaelongacion igual a la mitad de su amplitud? el perodo de las vibraciones es igual a T y la fase inicial de las vibraciones es iguala cero.

4. Un disco de masa m[kg] y radio R[m] puede girar en un punto O a una distancia x de su centro. Encuentre la posicion del puntox en terminos de R para la cual el disco oscila con una frecuencia m axima. Suponga que efectua pequenas oscilaciones.

5. Un movimiento armonico simple tiene un perodo de 4[s]. Si en t = 0, la posicion y la velocidad son 4/3 [cm] y 2[cm/s] Cuales la ecuacion de movimiento del oscilador? Cuanto demora el oscilador para alcanzar su amplitud por primera vez?

6. Un circuito LC cuando la corriente que pasa a traves del inductor es i = i0/2 Cual es la carga del capacitor? Recuerde quei0 = q00, es decir, la amplitud de la corriente.

7. A que es igual la relacion entre la energa cinetica de un punto que vibra armonicamente y su energa potencial? Tome el perododel movimiento como T. La fase inicial de las vibraciones es igual a cero.

8. En un circuito LC, en un instante determinado la carga en el condensador es q0/3. Para este mismo instante cual es la energaalmacenada en el inductor? La capacitancia es C.

9. Un disco metalico delgado de 10[g] de masa y radio 0,5[cm] esta unido por su centro a una fibra larga. Si se retuerce la fibra yse suelta, el disco oscila con un perodo de [s]. Calcule la constante de torsion de la fibra.

10. La fase inicial de una vibracion armonica es igual a cero Al cabo de que fraccion de perodo sera igual la velocidad del punto ala mitad de su velocidad maxima?

11. Una masa m esta unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud l, la barra puede girar en su parte superior.Determinar para pequenas oscilaciones el perodo del movimiento.

12. La fase inicial de una vibracion armonica es igual a cero. Cuando la elongacion del punto es x1 su velocidad es igual a v1 y cuandole elongacion es x2 su velocidad es v2. Encontrar la ecuacion que determina el movimiento, x(t).

13. Una masa unida a un muelle tiene una vibracion armonica de amplitud A[cm] y energa total E[ergios] Cual sera la elongacionde este movimiento cuando la fuerza que actua sobre la partcula es F[dinas].

14. La energa mecanica total de una partcula de masa m esta dada por:

E =1

2mv2 + U(x),

siendo v la velocidad de la partcula y U(x) su energa potencial, esta ultima depende de la posicion de la partcula x = x(t).Si esta es la expresion mas general para la energa de un MAS, determine la relacion que debe existir entre la fuerza que actua

sobre la partcula y su energa potencial para que el movimiento sea un MAS.


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15. La fase inicial de una vibracion armonica es igual a cero. Cuando la elongacion del punto es de 0,63[m] su velocidad es igual a3[m/s] y cuando le elongacion es de 0,77[m] su velocidad es 2[m/s]. Encontrar le ecuacion que determina el movimiento.

16. Hallese la frecuencia de las oscilaciones pequenas de un pendulo, que consta de una bola con masa m y carga q, colgado de unhilo de longitud l y masa despreciable, si lo colocamos en un campo electrico de intensidad E, dirigido a lo largo del campo degravedad.

17. Un circuito RLC es un ejemplo de MAAL. Tomando la solucion oscilatoria de la forma q(t) = q0et/2 cos(At + ) demuestre

que la energa total promedio es< E >= E0e

t/.

Determine el valor de E0.

18. El perodo de una vibracion armonica esT

Dentro de cuanto tiempo mnimo la energa cinetica del oscilador disminuira desdeel valor maximo hasta la mitad de esta? Dentro de cuanto tiempo mnimo la energa potencial del oscilador disminuira desde elvalor maximo hasta la mitad de esta? Suponga que la fase inicial de las vibraciones es igual a cero.

19. Se quiere colgar un aro delgado de un clavo horizontal que oscile un angulo pequeno una vez por segundo Que radio debe tenerel aro?

20. Una masa unida a un resorte oscila con amplitud A. Cuando el desplazamiento respecto del equilibrio es A/

3 que fraccion dela energa total es cinetica y que fraccion es energa potencial?

21. La ecuacion de movimiento de una partcula es x(t) = 2 sin(6

t)[cm]. Hallar los momentos en que los valores de la velocidad yaceleracion son maximos.

22. Una partcula se mueve con MAS de tal forma que su velocidad y aceleracion maxima son 4[m/s] y 8[m/s2], respectivamente.Si la posicion de la partcula inicialmente era de un metro 1[m]. Encuentre: a) El perodo del movimiento. b) La posicion, lavelocidad y la aceleracion para cualquier tiempo t.

23. Encuentre en funcion de la amplitud, A, la posicion para la cual las energas cinetica y potencial son iguales en un MAS.

24. De la superposicion de dos vibraciones armonicas de igual direccion, amplitud y perodo se obtiene una vibracion armonica delmismo perodo y amplitud que ellas. Encuentre la diferencia de fase de las dos vibraciones armonicas.

25. Para un circuito LC encuentre la ecuacion diferencial que satisface la corriente, I(t).

26. Un objeto de masa 10,6[kg] oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante 2 ,05 104[N/m]. El coeficiente(constante) de amortiguamiento es 3[N.s/m] (a) En que porcentaje disminuye la amplitud de la oscilacion en cada ciclo. (b)Encuentre el intervalo hasta que la energa cae al 5 % de su valor inicial.

27. Una masa m esta unida a un resorte de constante k y oscila con movimiento armonico amortiguado. Si A =

8[rad/s] cuales el valor de la constante de rozamiento en terminos de k y m? Siendo = b/2m y donde b es la constante de roce.

28. En un circuito RLC cual es la razon entre dos amplitudes de corriente separadas entre si por una oscilaci on completa?

29. La ecuacion general del MAS, x(t) = A cos(t ), se puede escribir en la forma equivalente x(t) = B sin(t) + Ccos(t).Determine la relacion entre las constantes, A, B, C y .

30. Una partcula que se mueve con movimiento amortiguado tiene una constante de rozamiento igual a (km)1/2, siendo k laconstante de elasticidad y m la masa unida al resorte Para que valores de el movimiento es oscilatorio?

31. El perodo total de oscilaciones amortiguadas de una masa de 1[kg] unida a un resorte es de 0,5[s]. Si una fuerza de 2[N] estirael resorte 5[cm]. Encuentre la constante b que expresa el amortiguamiento.

32. Un cuerpo de 0,25[kg] de masa esta sometido a una fuerza elastica restauradora, con constante de recuperacion 25[N/m]. Elcuerpo inicia su oscilacion con energa potencial de 0.6[J] y energa cinetica 0,2[J]. (a) Encuentre la ecuacion de movimiento delcuerpo. (b) Realiza una grafica de las energas p otencial, cinetica y total en funcion de la posicion.

33. Encuentre la ecuacion diferencial de movimiento de un pendulo simple es funcion de la longitud de arco, s.

34. Un disco de masa M, y radio R puede girar en torno a su b orde. Determine el perodo del disco si este efectua pequenasoscilaciones. (Recuerde que ICM = MR

2/2).

35. Una barra de masa m, y longitud l puede girar alrededor de uno de sus extremos. Encuentre el perodo para pequenas oscilaciones.(Recuerde que ICM = ml

2/12).

36. Una partcula de masa M, se mueve a lo largo del eje x bajo la accion de una fuerza de la forma

F = 2

2x [N],

donde x es el desplazamiento de la partcula. Cuando t = 2[s], la partcula esta en x = 6[m], y cuando t = 4[s] su velocidad esde 3[m/s]. Encontrar la ecuacion del movimiento de la partcula, si su masa es 2 [kg].

37. Hallar la resultante de la superposicion de dos vibraciones armonicas de la forma x(t) = 0,3sin(t)[m] y x(t) = 0,4sin(t+/2)[m].

38. El perodo de un pendulo fsico alrededor de un pivote es T. En otro punto en el lado opuesto del centro de masa el perodo estambien T. Encuentre g en funcion de T y L, siendo L la distancia entre los dos pivotes.

39. Hallar la resultante de la superposicion de dos vibraciones armonicas de la forma x(t) = 0,3cos(t + /2)[m] y x(t) =0,4cos(t)[m].

40. La Figura 1 muestra la potencia media < P > en funcion de la frecuencia impulsora, dada la fuerza impulsora por F = F0 cos(t)en el caso de una masa situada sobre un muelle con amortiguamiento. (a) Encuentre la frecuencia natural del sistema. (b) El

factor de calidad.


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41. Una partcula de masa m se desliza hacia atras y hacia adelante entre dos planos inclinados, sin friccion (Figura 2). (a) Hagaun diagrama de las fuerzas que actuan sobre la masa m. (b) Encuentre la ecuacion diferencial de movimiento. (c) Encuentre elperodo del movimiento en terminos de g, y h. (d) Que tipo de movimiento hace la partcula?

42. La elipse de la Figura 3 representa el movimiento de una partcula con velocidad v, y posicion x para cualquier tiempo t Que tipode movimiento se puede expresar por medio de una grafica de velocidad contra posicion de este estilo? si 0, y x0 son constantes.Justifique su respuesta Que representan fsicamente las constantes 0 y x0?

43. El movimiento de una partcula se puede describir por medio de la grafica de la figura 4. Encontrar la ecuacion de movimientode la partcula.

44. Cual es la frecuencia de oscilacion de las masas, m? (a) si son desviadas un angulo pequeno en la misma direccion, (b) si sondesviadas un angulo pequeno en direcciones opuestas. Ver Figura 5.

45. Un pendulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante k conectado a el como se observa en la figura 6. Encuentre lafrecuencia de vibracion del sistema para pequenos valores de la amplitud ( ). Suponga que la suspencion vertical de longitudL es rgida, pero no haga caso de su masa.

46. Un anillo de radio R tiene una carga uniforme Q. Si una carga q se coloca a una distancia x de un eje que pasa por el centrodel anillo, demuestre que para x R el movimiento de la carga q es un MAS.

][s

rad

5 10 15

25

12.5

][WattsP

h h

00x

0x x

v

Figura 1 Figura 2 Figura 3

2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9t s

0.1

0.05

0.05

0.1

xtcm

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

k

m m

l la

M

L

wwwwwwwwwww


47. De un muelle (resorte ideal) esta colgada una masa m y el perodo de las oscilaciones es T1. Despues de agregar una masa m,el perodo de las oscilaciones es T2 Cual fue la distancia que se alargo el resorte?

48. Dos cargas puntuales q se encuentran ubicadas en (0, a), y (0,a). Demuestre que si se coloca una tercera carga Q a unadistancia (x, 0) el movimiento de la carga Q es armonico simple siempre que x


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54. Encuentre el promedio de la energa mecanica total del MAAF para un sistema masa-resorte. Suponga que la soluci on es de laforma x(t) = x0 cos(ft + ).

55. Escribir y graficar el resultado de la superposicion de dos vibraciones armonicas perpendiculares entre si, de igual frecuencia yde igual fase inicial. La amplitud de las vibraciones es 0,04[m] y 0,09[m].

56. En un punto participan dos vibraciones armonica perpendiculares x = 2 cos(t)[cm] y y = 4sin(t)[cm]. Hallar la ecuacion demovimiento del punto.

57. Para un circuito RLC (R = 1[k], L = 100[H], C = 25[F]) conectado a una fuente V = 10cos(10t). Determine: (a) Lafrecuencia natural del circuito. (b) La frecuencia del movimiento amortiguado del circuito. (c) La amplitud de la carga cuando elcircuito este en resonancia en la energa. (d) El factor de calidad del circuito cuando el circuito este en resonancia en la energa.

58. (a) Cuanto se reduce la amplitud de un movimiento armonico amortiguado en un tiempo igual a un perodo? (b) Cuanto sereduce la amplitud de un movimiento armonico amortiguado en un tiempo igual al tiempo de relajacion ( = 2)?

59. Encuentre una expresion para el perodo de un movimiento oscilatorio utilizado el principio de conservacion de la energa.

60. Un pendulo simple en la Tierra tiene un p erodo igual a T Como vara el perodo del pendulo si se lleva a la luna donde lagravedad es un sexto de la gravedad de la Tierra? (Suponga el perodo para pequenas oscilaciones)

61. Encuentre la ecuacion diferencial para un pendulo de longitud l y masa m, suponiendo que efectua pequenas oscilaciones yutilizando criterios energeticos.

62. Demuestre que la energa total en un circuito LC se escribe E = L2

i20, siendo i0 la amplitud de la corriente y L la inductanciadel circuito.

63. Demuestre que una masa m unida a un resorte ideal de constante de elasticidad k se mueve con MAS cuando el resorte seencuentra suspendido verticalmente.

64. Una placa circular de radio R y momento de inercia I esta suspendida de una varilla de torsion, cuya constante de torsion es k1.Su borde esta conectado a un soporte fijo mediante un resorte ideal de constante de elasticidad k2. Demuestre que cuando se daa la placa un desplazamiento angular inicial pequeno y luego se suelta, oscila con un MAS de frecuencia angular

20 =k1 + k2R

2

I.

65. Una tabla de masa m y longitud l hace pivote en un extremo, el extremo de la tabla est a sostenido por un resorte de constante k.Si la tabla se desplaza un angulo pequeno desde su posicion de equilibrio, muestre que el movimiento es un MAS de frecuenciaangular natural 20 = 3k/m. Ver Figura 7.

66. Una pelota de masa m esta conectada a dos bandas de caucho de longitud l, cada una bajo una tension T, Ver Figura 8. Si lapelota se desplaza una distancia y perpendicular a la longitud de las bandas de caucho muestre que el movimiento es armonicosimple de frecuencia angular natural 20 = 2T/ml.

67. Demuestre que la maxima amplitud de un movimiento armonico forzado se encuentra cuando f =

20 22, y su factor decalidad es

Q =20 2

2

20 22.

Esto es, encuentre la frecuencia de resonancia en la amplitud y su factor de calidad.

68. Encuentre la ecuacion diferencial para un pendulo de torsion utilizando criterios energeticos.

69. Sea la energa cinetica de un oscilador K = 1/2mv2 y la energa potencial U = 1/2kx2. Muestre que si la potencia es bv2, estoequivale a que existe una fuerza adicional de la forma f = bv. (Adicional a la fuerza kx.) Donde b es una constante.

70. Demuestre que la tasa de cambio en el tiempo de la energa mecanica correspondiente a un oscilador amortiguado es negativa yproporcional a la velocidad al cuadrado.

71. El movimiento de una masa en un cierto resorte vertical esta descrito por:

d2x

dt2+ 100x = 36cos8t,

donde x es la distancia medida desde la posicion de equilibrio. (a) Muestre que x(t) = 2sin t sin9t es una solucion de la ecuacion

diferencial. (b) Grafique esta solucion de la ecuacion diferencial. (c) De una interpretacion fsica de la solucion.72. Demuestre que en un circuito RLC la variacion de la energa total en funcion del tiempo es proporcional a la corriente al cuadrado.

73. Demuestre que la variacion de la energa total en funcion del tiempo de un MAAF es de la forma

dE

dt= bv2 + F0v cos(ft),

donde b es la constante de rozamiento, v es la velocidad de la partcula de masa m, F0 es la amplitud de la fuerza impulsora, yf su frecuencia.

74. Se cuelga una esfera solida uniforme de radio R del extremo de un hilo. La distancia del pivote al centro de la esfera es L.Demuestre que el perodo para pequenas oscilaciones es

T = TP

1 +

2R2

5L2,

donde TP es el perodo del pendulo simple.


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75. Una varilla de masa m y longitud L oscila un angulo pequeno alrededor de un eje a una distancia x de su centro de masa.Demuestre que la frecuencia maxima de oscilacion ocurre cuando x = L/(2

3).

76. Un pendulo de reloj esta conformado por una varilla de longitud l y masa m1 unida a una masa m2 puntual en uno de susextremos. Demuestre que si el pendulo efectua pequenas oscilaciones la frecuencia angular es

20 =3g(1 + 2)

2l(1 + 3)

siendo = m2/m1.

77. La posicion de una partcula se define mediante la expresion (t) = 0et cos(t). Siendo 0, , y constantes. Si en t = 0, la

velocidad es v0 y la posicion es maxima. Demuestre que la aceleracion (t) de la partcula se puede escribir de la forma:

(t) =v0

20

et cos[t + 2 arctan(/)].

Donde 0 es la frecuencia angular natural de la partcula.

78. La rapidez de una partcula con movimiento armonico amortiguado es, x = etx00 sin(At++), siendo x0 y 0 la amplitud yla frecuencia natural del movimiento armonico simple, A es la frecuencia del sistema amortiguado y tan() = A/. Demostrarque la aceleracion es

x = x020et sin(At + + 2).

siendo la frecuencia de amortiguamiento.

79. En un MAS la posicion y la velocidad inicial son respectivamente x0 y v0. Si la frecuencia natural del movimiento es 0 demuestrela posicion se puede escribir como

x(t) = x0 cos 0t + v00 sin 0t .

80. La amplitud de un movimiento forzado es

x0 =F0/m

(20 2f)2 + 422f1/2 ,

donde = b/2m. Encuentre el valor de la amplitud de la velocidad, v0, cuando hay resonancia en la velocidad.

81. Determine el movimiento de la partcula de masa m, para cada uno de los casos de la Figura 9.

82. Analice el circuito LC, RLC y RLC + Vac en paralelo.

83. Demostrar que en el oscilador armonico forzado con amortiguamiento, la potencia promedio de la fuerza aplicada es igual a lapotencia promedio disipada p or la fuerza de amortiguamiento.

84. Un cilindro uniforme de masa m rueda sin deslizar sobre una superficie circular de radio R. Si el cilindro tiene radio r, demuestreque para pequenas amplitudes el movimiento es armonico simple de frecuencia angular

20 =2g

3(R r) .

85. Una partcula de masa m se desliza sin rozamiento sobre un hemisferio circular de radio R. Demostrar que para amplitudespequenas el movimiento de la masa es el mismo que el de una masa sujeta a una cuerda de longitud R, pendulo simple.

LL

y



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RESPUESTAS TALLER I, FISICA III, OSCILACIONES, UIS

1. x(t) = 5 cos(5t + /4)[cm]. 2. Si, una manera de demostrarlo es verificando que satisface la ED.

3. t = T /12[s]. 4. x2 = R2/2[m]. 5. (a) x(t) = 8/

3sin(t/2 + /6)[cm]. (b) 2/3[s].

6. q = q0

3/2. 7. K/U = tan2(2t/T). 8. E = 4q20/9C. 9. 5[cm2g/s2]. 10. t = T /6[s].

11. T = 2

2l(M+3m)3g(M+2m)

. De esta expresion se concluye que el perodo de un pendulo fsico depende de la masa.

12. x(t) = A cos(0t), donde A2 = (x22v

21

x21v

22)/(v

21

v22), y

20 = (v

21

v22)/(x

22

x21). 13. x = A

2F/2E[cm].

14. F = dU/dx. 15. x(t) 0,86 cos(5 t)[m]. 16. 20 = qEml + gl . 17. E0 = q20/2C.18. T /8[s] 19. R = g/(82). 20. U = E/3, K = 2E/3.

21. Velocidad t = 0[s], 6[s], 12[s], 18[s],..., y aceleracion t = 3[s], 9[s], 15[s],...

22. amax/vmax = = 2[rad/s], v2max/amax = A = 2[m]. Entonces x(t) = 2cos(2t + /3)[m], v(t) = 4 cos(2t + /3)[m/s], y

a(t) = 4x(t)[m/s2].23. x = A/2. 24. = 2/3. 25. d2I/dt2 + I/LC = 0 26. (a) 2 % (b) 10,6[s]. 27. b2 = 4km/9.28. eTA , siendo TA el perodo de las oscilaciones amortiguadas, y es la frecuencia de amortiguamiento. 29. A

2 = B2 + C2, ytan() = B/C

30. 0 < < 4. 31. b = 4[Kg/s]. 32 x(t) =

8125

cos(10t + /6)[m] 33. d2s/dt2 + 20s = 0. 34. T2 = 62R/g.

35. T2 = 82l/3g. 36. x(t) = 6

2sin(/2t + /4)[cm]. 37. 0,5sin t + arctan 43 [m] 38. g = 4

2l/T2.

39. 0,5cos

t + arctan34

[m] 40. a) 0 = 10[rad/s]. b) Q = 1.

41. (b) d2l/dt2 + gh/l = 0, d2x/dt2 + g sin = 0. (c) l = at2/2, a = g sin , v =

2gh, T = 4t. (d) La partcula efectua un movimientooscilatorio.

42. En el espacio de fase (x, x) una elipse representa un MAS. Los parametros 0, x0 son respectivamente la frecuencia natural y laamplitud del MAS

43. 0,1sint3

+ 6

. 44. (a) 20 = g/l. (b)

20 = g/l + 2k/m. 45.

20 = g/L + k/M.

46. La frecuencia natural del oscilador armonico es 20 = qQke/mR3, donde ke = (40)

1 9109[Nm2/c2]. 47. l = g42

T22 T

48. 20 = 2qQke/ma3, donde ke = (40)

1 9 109[N m2/c2]. 49. v(t) = cebt/m. Donde c es una constante. 50. 1/8.51. a0 = 0F0/b. 52. (a) x0 = F0/[m(

20 2f)], = 0. (b) x(t) = A sin(0t + ) + x0 sin(t). (c) = 0.

53. = ln(10)/5[rad/s]. 54. < E >= 14

mx20(20 +

2f). 55. y/x = 9/4 56. x

2/4 + y2/16 = 1.

57. (a) 20[Hz]. (b) 5

15[Hz]. (c) 103[V]. (d) Q = 2 58. (a) 1

e2TA . (b)

0,6. 59. T = 2 x2x1

dx

(2/m)(EU)60. Tluna =

6 T

Fecha del Primer Corte: Lunes 23 de Noviembre 15 %

Profesor Framsol Lopez-Suspes.

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