S.KFVMLFDN DFÑVM L L LKFKJFJKKJ KJ FJKD KJDF JK JK

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 2

Agradecemos a los excelentes estudiantes de la especialidad de Matemática, Física e Informática; por interactuar y comunicar sus aprendizajes; correspondiente a la asignatura de Fisica Cuántica, desarrollados en los años 2003, 2004 y 2005.

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 3

SUMARIO

Hoja de Vida de Arthur Compton

Nociones teóricas del efecto Compton

Solución a los problemas de los autores:

Halliday – Resnick- Krane “FISICA” Vol. 2. 4ºEdición.CECSA.Mexico.1996 Serway – Beichner “FISICA” Tomo 2. 5ºEdición.Mc Graw Hill. Mexico.2001

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 4

Arthur Compton

Arthur Holly Compton (n. Wooster, Ohio, 10 de septiembre de 1892 - † Berkeley, California, 15 de marzo de 1962). Físico y Premio Nobel estadounidense.

Sus estudios de los rayos X le llevaron a descubrir en 1922 el denominado efecto Compton. El efecto Compton es el cambio de longitud de onda de la radiación electromagnética de alta energía al ser difundida por los electrones. El descubrimiento de este efecto confirmó que la radiación electromagnética tiene propiedades tanto de onda como de partículas, un principio central de la teoría cuántica.

Compton nació en Wooster (Ohio) y estudió en el Wooster College y en la Universidad de Princeton. En 1923 fue profesor de física en la Universidad de Chicago. Durante su estancia en esta universidad, Compton dirigió el laboratorio en el que se produjo la primera reacción nuclear en cadena. Compton también desempeñó un papel destacado en el Proyecto Manhattan, la investigación que desarrolló la bomba atómica. Desde 1945 hasta 1953 Compton fue rector de la Universidad de Washington y después de 1954 fue catedrático de Filosofía Natural.

Por su descubrimiento del efecto Compton y por su investigación de los rayos cósmicos y de la reflexión, la polarización y los espectros de los rayos X compartió el Premio Nobel de Física de 1927 con el físico británico Charles Wilson.

Efecto Compton

Descubrimiento y relevancia histórica

El efecto Compton fue estudiado por el físico Arthur Compton en 1923 quién pudo explicarlo utilizando la noción cuántica de la radiación electromagnética como cuantos de energía. El efecto Compton constituyó la demostración final de la naturaleza cuántica de la luz tras los estudios de Planck sobre el cuerpo negro y la explicación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico. Como consecuencia de estos estudios Compton ganó el Premio Nobel de Física en 1927.

Este efecto es de especial relevancia científica ya que no puede ser explicado a través de la naturaleza ondulatoria de la luz. La luz debe comportarse como partículas para poder explicar estas observaciones por lo que adquiere una dualidad onda corpúsculo característica de la mecánica cuántica.

El efecto Compton consiste en el aumento de la longitud de onda de un fotón de rayos X cuando choca con un electrón libre y pierde parte de su energía. La frecuencia o la longitud de onda de la radiación dispersada depende únicamente de la dirección de dispersión.

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 5

Los rayos X, dispersados en un blanco de grafito, fueron analizados con un espectrómetro de cristal giratorio, y la intensidad se midió con una cámara de ionización que generaba una corriente proporcional a la intensidad. El haz incidente consistía en rayos X monocromáticos de longitud de onda 0 = 0,071 nm.

Las graficas para los tres ángulos diferentes de cero presentan dos picos, uno en 0 y uno en | > 0 .El pico corrido en | es provocado por la dispersión de rayos X a partir de electrones

libres, y Compton predijo que dependería del ángulo de dispersión . Se llama corrimiento de

Compton :

Al factor h/mc , recibe el nombre de longitud de onda Compton : C =0,002 43 nm

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 6

Es justo decir que estos resultados ¡fueron los primeros que realmente convencieron a la mayoría de los físicos de la validez fundamental de la teoría cuántica! Deducción de la ecuación de corrimiento Compton Es posible deducir la ecuación de corrimiento Compton suponiendo que el foton se comporta como una partícula y choca de manera clásica con un electrón libre inicialmente en reposo(figura):

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 7

Paso 1 : Aplicando el principio de la conservación de la energía a este proceso produce:

Energía fotón incidente = Energía fotón dispersado + Energía electrón retroceso

e|

0

Khchc

Ya que el electrón puede retroceder a magnitudes de velocidad comparables con la de la luz , se

debe emplear la expresión relativista : 2

e

2

e cmcmK . Por consiguiente:

2

e

2

e|

0

cmcmhchc

(1)

Donde : 2

c

v1

1

Paso 2 : Aplicando la ley de la conservación del momentum a este choque, pero observando que se conservan las componentes de momentum x e y .

De la relación energía – momento : 22222 )mc(cpE

Cuando la partícula esta en reposo , p = 0 , asi que E = ER =mc2.Para la partícula que tiene masa cero , como los fotones, se establece m = 0 , y obtenemos : E = pc, de donde :

pcc

hhfE

Cancelando c , obtenemos :

h

p

Como la expresión relativista para el momentum del electrón que retrocede es : vmp ee ,

se obtienen las siguientes expresiones :

Componente x :

cos.vmcoshh

e|

0

(2)

Componente y :

sen.vmsenh

0 e| (3)

Relacionemos las siguientes ecuaciones :

Elevemos al cuadrado la Ec. (2)

Elevamos al cuadrado la Ec. (3)

) 4 .........( .......... cos cos '

cos '

2

) cos ( cos '

2 2 2 2 2 2

2 2

v m h h h

v m h h

e

e

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 8

Elevamos al cuadrado la Ec. (3)

Sumemos Ec. (4) con Ec. (5):

De la ecuación (1), elevamos al cuadrado: 2

e

2

e|

0

cmcmhchc

2

e

2

e

0

cmcm'

hh

22

0

|

|

0

2

||

0

22

0

mc)mc()mc)((h

2hh

2h

Ec(8)

Reemplazando la Ec(8) en la Ec(7):

22

0

|

|

0

2

||

0

22

0

|

0

22

|

2

0

mc)mc()mc)((h

2hh

2h

cosh

2hh

) 5 ....( .......... .......... .......... .......... ) cos 1 ( '

) ( '

2 2 2 2

2 2 2

2 2

|

sen v m h

v m sen h

vsen m sen h

e

e

e

Sen2

)7(Ec...............................................cmcmcos'

h2

'

hh

1cmcos

'

h2

'

hh

)6(doreemplazan1c

v

c

v1

1si

)6(Ec.............................vmcos'

h2

'

hh

sencosvmcos'

h2

'

hh

senvmcosvmcos'

h

'

hcos

'

hcos

'

h2

h

2

e

2

e

222

0

2

222

e

2222

0

2

222

2

2

2

e

0

222

0

1

222

e

222

0

22

e

22

e

2

22

2

2

0

22

0

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 9

)mc)((h

2cosh

2h

2 0

|

|

0

|

0

2

|

0

2

Simplificando:

mc)(coshh 0

|

Ordenando:

0

|)cos1(mc

h

Por lo tanto :

l.q2.d

Ejemplos :

1. Se dispersan rayos X de longitud de onda 0 = 0,200 nm de un bloque de

material. Los rayos X dispersados se observan a un ángulo de 45º en relación con el haz incidente .Calcule su longitud de onda. Solución: Sea

)º45cos1()s/m103)(kg1011,9(

s.J10626,6831

34

0

|

m1010,7 13 0,000 710 nm

Por lo tanto : 0

| 0,200 710 nm

2. De un blanco de carbono se dispersan rayos X con pm1000 .La radiación

dispersada se observa a 90º del haz incidente. a) ¿Cuál es el corrimiento Compton ? b) ¿Qué energía cinética se imprime al electrón de retroceso? Solución: a) Sea

)º90cos1()s/m103)(kg1011,9(

s.J10626,6831

34

0

|

m1043,2 12 2,43 pm

c) Recordemos la ecuación : e|

0

Khchc

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 10

Si se sustituye : | , obtenemos : )(

hcK

00

Reemplazando datos : K = 4,72 10-17J = 295 eV

51. Un fotón de rayos X en particular tiene una longitud de onda de 41,6 pm.

Calcule (a) la energía, (b) la frecuencia y (c) el ímpetu del fotón Solución

(a) Energía : 86,29J1048,0106,41

)103)(10626,6(hcE 14

12

834

KeV

(b) Frecuencia : Hz102,7Hz10072,0106,41

103cf 1820

12

8

(c) Ímpetu : s/m.kg1059,1s/m*kg10159,0106,41

10626,6hp 2322

12

34

55. Sobre electrones libres inciden fotones de 2,17 pm de longitud de onda . (a) Halle la longitud de onda de un fotón que se dispersa a 35º de la dirección incidente . (b) Haga lo mismo cuando el ángulo de dispersión es de 115º Solución

(a) 0

| = )º35cos1(mc

h = 2,87 pm

(b) 0

| = )º115cos1(mc

h = 5,89 pm

57. Demuestre que E/E , la pérdida fraccionaria de energía de un fotón durante

una colisión de Compton, esta dada por:

)cos1(mc

hf

E

E2

|

Solución Tenemos :

)cos1(mc

hf

hc

hf

hc

hf2

||

|

|

Remplazando las energías : )cos1(mc

hf

E

E

E

E2

||

|

|

Dividiendo : )cos1(mc

hf

E

E1

2

||

Solución Sección 49-7 . El Efecto Compton Halliday Resnick Krane . Vol. 2. 4º Edición. CECSA.1996

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 11

Obteniendo mcm : )cos1(mc

hf

E

EE2

||

Por lo tanto )cos1(mc

hf

E

E2

|

l.q2.d

59. Halle el corrimiento máximo de la longitud de onda en una colisión Compton

entre un foton y un protón libre. Solución Tenemos

Reemplazando los valores indicados: 0

| = )º180cos1(mc

h

645,2)103)(1067,1(

10626,62

cm

h2827

34

protón

fm

61. Un foton de rayos X de longitud de onda 0 = 9,77 pm es retrodispersado por

un electrón ( 0180 ).Determine (a) el cambio en la longitud de onda del

fotón. (b) el cambio en la energía del fotón, y (c) la energía cinética final del electrón

Solución Tenemos;

(a) Reemplazando datos : 849,4mc

h2)º180cos1(

mc

h pm

(b) Hallamos : E=0

hc

y E|=

|

hc

; luego : |EEE = -42,1 KeV

(c) 65. (a) Determine que cuando un foton de energía E se dispersa de un electrón

libre , la energía cinética máxima de retroceso del electrón esta dada por :

2

cmE

EK

2

e

2

max

(b)Hale la energía cinética máxima de los electrones dispersados por el efecto Compton expulsados de una hoja de cobre delgada mediante un haz incidente de rayos X de 17,5 KeV

Solución

Sabemos : 22222 )mc(cpE y e|

0

Khchc

De donde , podemos reducir a : E = E| + K (*)

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 12

Por lo demostrado anteriormente : )cos1(cm

1

hc

1

hc

12

e|

Se obtiene : )cos1(cm

1

E

1

E

12

e

|

Simplificando : )cos1(cm

1

EE

EE2

e

|

|

Pero ,de (*) : )cos1(cm

1

E)KE(

K2

e

Reemplazando : º180

Tenemos : 2

ecm

2

E)KE(

K

Ordenando en función de K : l.q2.d

24.- Calcule la energía y momentum de un fotón de 700nm de longitud de onda.

Solución:

mx

xsJxhcE s

m

9

834

0 10700

103.10626.6

JxE 1710028.0

smJx

hP .1000947.0 25

0

smKgxP 221047.9

25.- Rayos X que tiene una energía de 300KeV experimentan dispersión Compton desde un blanco. Si los rayos dispersados se detectan a 37.0º respecto a los rayos incidentes, encuentre a) el corrimiento de Compton a este ángulo, b) la energía de los rayos X dispersados y c) la energía del electrón en retroceso.

Solución: a) el corrimiento de Compton a este ángulo:

0' cos1Cm

h

e

)º37cos1(00243.0 nm

2

cmE

EK

2

e

2

max

Solución Sección 40,3 . El Efecto Compton Serway Beichner . Vol. 2. 5º Edición. Mc Graw Hill.2001

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 13

fm3,489

b) la energía de los rayos X dispersados:

0' cos1cm

h

e

Se sabe que:

2

e

0cm

hcE

''

hcE

Reemplazando:

'E

hc

0E

hc= cos1

cm

h

e

2831193103101,9

º37cos1

106,1)10300(

1

'

1

smxkgxJxxE

Simplificando:

KeV3,268'E

c) la energía del electrón en retroceso:

e0 K'EE

'EEK 0e

keV3,268keV300Ek

keV677,31Ek

26.-Un fotón de 0.110nm choca con un electrón estacionario después del choque el electrón se mueve hacia adelante y el foton retrocede. Encuentre el momentum y la energía cinética del electrón.

Solución: Datos:

º180

nm110.00

0' º180cos1Cm

h

e

c

c

2

11

Pero: c = 0.00243nm

= 0.00486nm

= 4.86x m1210

Después del choque va hacia delante

Después del choque el foton retrocede

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 14

0' 4.86x m1210

Si:

X:

º180cos'0

hh 0

e 0cosVm +

Y:

º180'

0 senh

0

e 0Vsenm

'0

hh Vm e

Vm e = 0

0

0 '.

)'(

'

h

hh

Si: ' 0

Pe)(

)2h(

)(

)h(

00

0

00

00

Pe

mxmxmx

mxmxsJx9912

91234

10110.010110.01086.4

10110.021086.4).10626.6(

Pe 114.6x10-25kg 2)( sm

sm

Pe 1.15kg sm

keV478Ke

m10x110m10x86.4m10x110

m10x86.410x3s.J10x626,6Ke

)(

hcKe

'

'hc

'

hh'EE Ke

Ke'EE

121212

12s

m834

00

0

0

0

0

0

27.- Un fotón de 0.00160nm se dispersa a partir de un electrón libre. ¿Para que

ángulos de dispersión (fotón) el electrón de retroceso tiene la misma energía cinética que la energía del fotón dispersado?

Solución:

9

0 10x00160.0

kEEE '0

Como: KeE '

)

)

º1,70

34.0cos

cos1m10x00243.0m10x00160.0

cos1mc

h

cos1mc

h

'

21

'

hc

'

hchc

94

0

0

|

00

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 15

28.- En un experimento de dispersión Compton un fotón se desvía en 90.0º y el

electrón se desvía en un ángulo de 20.0º. Determine la longitud de onda del foton dispersado.

Solución:

X:

cos'

hh

0

cosVm e

Y:

sen

'

h0 Vsenm e

Luego:

Y :

'

h20Vsenm e º (2)

X :

0

h20cosVm e º (1)

De (2): (1)

º20'0 tg

De:

º90cos1' 0 mc

h

mc

htg º20''

mc

htg )º201('

m10x00243,0)36,01(' 9

m10x8,3' 12

29.- Un Foton de 0.880mev es dispersado por un electrón libre inicialmente en

reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del foton dispersado ( ) a) Determine los ángulos y b) La

energía y el momentum del fotón dispersado y c) La energía cinética del electrón dispersado

Solución: a) Determine los ángulos y

X:

cos'

hh

0

cosVm e

Y:

sen

'

h0 Vsenm e

De Y:

'

0h

Vm e Vm'

he

En X:

cos'

hcos

'

hh

0

( )

Si 20

90

)

)

)

)

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 16

:

cos2'cos'

h2

h0

0

0' cos1cm

h

e

00 cos2 cos1cm

h

e

Pero : 0

0

hcE

, reemplazando y combinando:

cos11cos2E

cm

0

2

e

cos1J10x6.110x880.0

1cos210x9)kg10x1.9(196

sm1631

2

2

cos11cos210x09.58 2

73.016.2

58.1cos

º1.43

b) La energía y el momentum del fotón dispersado:

'E'

hc Si: cos2´ 0

'E cos2

hc

0

Si: 0

0E

hc

'Ecos2

0E Reemplazando: 'E KeV

meV,602

º43cos2

808.0

P'

h =

s

mx

xx

c

E8

193

103

106.110602'

Psmkgx 221021.3

c) La energía cinética del electrón dispersado:

KeV278K

KeV602KeV880K

e

e

30.- Un Foton que tiene energía Eo es dispersado por un electrón libre

inicialmente en reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del foton dispersado ( ) a) Determine los

ángulos y b) La energía y el momentum del fotón dispersado y c) La

energía cinética del electrón dispersado. Resolución:

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 17

a) Determine los ángulos y

X:

cos'

hh

0

cosVm e ………… (1)

Y:

sen

'

h0 Vsenm e ………….. (2)

De: Y:

'

0h

Vm e Vm'

he

…. (3)

Luego (3) en (1)

De: X:

cos'

hcos

'

hh

0

( )

Despejando :'

cos2' 0

Corrimiento de Compton:

De: cos1cm

h

e

0

|

cos1cm

hcos2

e

00 ; Sabiendo que: 0

0E

hc

En función de E0 se tiene:

cos1cm

E1cos2

2

e

0 Si hacemos : xcm

E2

e

0

cos1x1cos2

Aislamos el ángulo :

2x

1xarcCos

b) La energía y el momentum del fotón dispersado: energía

'

hcE'

Si: cos2' 0

cos2

hc E'

0

Si:0

0E

hc

Entonces:

cos2

E E' 0

Si reemplazamos otra vez : xcm

E2

e

0

Obtenemos : 2

e

2| cm

2x2

x2xE

momentum

Sea: '

hP'

Si: cos2' 0

cos2

h P'

0

Si:0

0E

hc

)

)

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 18

Entonces:

cos2.c.

E P' 0

Si reemplazamos otra vez : xcm

E2

e

0

Obtenemos : cm2x2

x2xp e

2|

c) La energía cinética del electrón dispersado: E0=E| + Ke

'EE K 0e

Remplazamos : 2

e

22

ee cm2x2

x2xcx.m K

Simplificando : 2

e

2

e cm2x2

x K

31.- Un fotón de 0.700 MeV dispersa a un electrón libre de modo que el ángulo de

dispersión del fotón es el doble del ángulo de dispersión del electrón, determine a) El ángulo de dispersión para el electrón y b) La rapidez final del electrón.

Solución: a) El ángulo de dispersión para :

X:

cos'

hh

0

cosVm e

Y:

sen

'

h0 meVsen

Si: =2

De X:

2cos'

hh

0

cosVm e

)1cos2('

2

0

hhcosVm e ………(1)

De Y:

)cossen2(

'

h0 Vsenm e

)cos2(

'

h0 Vm e

)cos2('

hmeV

………….(2)

De (2) en (1):

cos)cos2('

h)1cos2(

'

hh 2

0

Despejando ' = )1cos4( 2

0

Pero: 0' cos1cm

h

e

Remplazando:

)

) =2

E0=0.700mev

=700kev

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 19

0

2

0 )1cos4( 2cos1cm

h

e

Sabiendo que: 0

0E

hc

En función de E0 se tiene: 2

2

02 cos1mc

E1cos2

)10x9)(kg10x1.9(

cos1)J10x6.1)(10x700(1cos2

2

2

sm1631

21932

1cos2 2 =1.37 2cos1

º33

84.0cos

b) La rapidez final del electrón:

Si: 0' cos1cm

h

e

Sabemos que: 0

0E

hc

Tambien: '

'E

hc y 2

Remplazamos en Compton :

)2cos1(mc

h

E

hc

E

hc

0

|

Simplificamos :

J10x12,1E

KeV700E:Si

cm)2cos1(E

cmE'E

25

0

0

2

e0

2

e0

Reemplazando E|=0,39 MeV Finalmente :

MeV31,0cmcm

MeV39,0MeV7,0K

'EEK

K'EE

2

e

2

e

e

0e

e0

Aislando 6,1

6,1c

v1

2

2

De donde v = 0,785c

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 20

32. Un foton que tiene una longitud de onda dispersa a un electrón libre en

A(fig) produciendo un segundo foton que tiene una longitud de onda | .Este foton dispersa después otro electrón libre en B produciendo un tercer foton con longitud de onda " que se mueve directamente opuesta al foton original, como se muestra en la fig).Determine el valor numerico de "

Solución

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 21

Aplicamos Compton en :

A : )cos1(mc

h|

B: ))180cos(1(mc

h" | ,

Además : cos(180-)= - cos

Entonces sumamos A y B : mc

h2"

Reemplazando datos : pm85,4"

66) Un foton de 200 MeV es dispersado a 40.0º por un protón libre inicialmente en

reposo. (a) Encuentre la energía (en MeV) del foton disperso (b)¿Cuál es el valor de la energía cinética (en MeV) que adquiere el protón?

Solución: (a)Por el corrimiento Compton decimos:

2

protón

protón

protón

cm

)40cos1(

E

1

E

1

)cos1(cm

h

E

hc

E

hc

)cos1(cm

h´

Reemplazando valores: E|= 190,11 MeV (b) Tenemos : E0 = E| + Ke Luego : Ke = E0 – E| = 200 MeV – 190,11 MeV = 9,89 MeV

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 22

70.- Muestre que un fotón no puede transferir toda su energía a un electrón libre. (Sugerencia: recuerde que la energía y el momentum deben conservarse.)

Supongamos que el foton fuese absorbido por el electrón sin emisión de otro foton. Calculemos la velocidad final del electrón.

Tomáremos en cuenta las leyes de conservación del momento lineal y de la energía:

Donde: om y m son la masa del electrón en reposo y la velocidad 1v respectivamente, verificación ambas:

De las ecuaciones anteriores tenemos: Pero la velocidad final del electrón no puede ser nula pues se violaría el principio de conservación del momento

lineal, en consecuencia, la suposición final es falsa y siempre debe emitir un foton dispersado

71.- Demuestre que la rapidez de una partícula que tiene longitud de onda de

Broglie y la longitud de onda Compton )(mc

hc es:

2)(1 c

cv

Solucion:

La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula cuya masa en reposo es 0m y en

movimiento m viene dada por:

mientras la longitud de onda de Compton es: ccm

h

0

vm

cvh

v

c

v

m

h

mv

h

p

hB

0

22

2

2

0

1

.

1

;c

hfmvcteP

2

e

2

e cmcmhfcteE

2

1

c

v

mm o

0

1

1

)(

)(

222

22

2

2

02

0

22

0

vvcvcvcvc

vcvcc

vcvccm

c

v

vcm

cmvcmmccmmvc

o

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 23

Luego tenemos que: c

B

=

cm

h

vm

cvh

0

0

221

.d.l.q

1

cv

1

cv11

c

v

1c

v

c

vcv1

c

v

v

cv1c

2

2

c

2

B

2

c

2

B

22

2

c

2

B

2

2

2

2

2

c

2

B

2

222

c

B

22

c

B

75.- Un foton de energía inicial 0E sufre una dispersión Compton a un ángulo a

partir de un electrón libre (masa em ) inicialmente en reposo. Utilizando las

ecuaciones previstas para la conservación de la energía y el momentum, obtenga la siguiente relación para la energía final E’ del foton dispersado:

12

000 )cos1)(/(1'

cmEEE

Solución A partir de la formula del corrimiento Compton

0' cos1mc

h

77.- Un electrón inicialmente en reposo retrocede en un choque frontal con un fotón.

Demuestre que la energía cinética adquirida por el electrón es ahfa 212 , donde a

es la proporción de energía en reposo del electrón.

l.q.q.d.cos11''

cos11

cos111

'

1cos1

1

'

1

cos111

'

1cos1

'

1

2

00

2

0

0

2

0

0

2

0

0

0

2

00

mc

EEEE

mc

E

E

mc

E

EEmcE

E

EE

mcEEmc

h

E

hc

E

hc

)

)

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 24

A partir del efecto Compton se tiene:

0' cos1mc

h Dato:

2

e

0

mc

hf

E

Ea 2amchf

º180cos1' 0

mc

h

E

hc

E

hc

kk EEEEEESi 00 '':

.d.q.la21

hfa2E

a21

)mc(mc

Ea2

E)a21(mc

)mc(a2E

aE2mc

)aE(2E

E2mc

E2EE2)E2mc(E

EE2E2mcEmc

2

EEE

E

mc

2

E

1

EE

1

2

k

2

2

0

k2

222

k

0

2

2

ek

0

2

2

0k

2

00

2

k

k0

2

0

2

k2

k00

k

2

0k0

79.- Muestre que la proporción entre la longitud de onda Compton c y la longitud

de onda De Broglie p

h para un electrón relativista es:

21

2

21

mc

Ec

Donde E es la energía total del electrón y m su masa. Solución: De ecuación de Einsten de equivalencia entre masa y energía: Pero:

2mcE 2

1

c

v

mm o

Después del choque va hacia delante

Después del choque el foton retrocede

VII

F A C U L T A D D E E D U C A C I O N M A T E M A T I C A , F I S I C A e I N F O R M Á T I C A

Página 25

Pero:

222

0

22

22

0

2

2

2222

0

2

22

02

22

2

2

1

1

1

ccm

vE

cm

E

c

vEcmE

cmc

vE

c

v

mE o

21

2

2

2

2

0

2

22

222

0

22

2

2

2

0

2

11

1

mc

E

cm

E

m

hcm

m

h

cm

E

B

c

B

c

c

B

vm

hc

mv

hB

0