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8/21/2019 EJERCICIOS RESUELTOS TORSION.pdf

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Prefacio

El presente libro estudia los temas ms importantes en Resistencia de Materiales, connfasis en aplicacin a, solucin de problemas y diseo de elementos estructurales ydispositivos mecnicos. El libro est orientado para alumnos de Ingeniera del segundo otercer ao.

El desarrollo del curso de Resistencia de Materiales presupone que el alumno posee los

recursos propios del clculo infinitesimal, clculo integral, geometra de masas en loreferente a saber calcular centros de gravedad y momentos de inercia de figuras planas, y,fundamentalmente, de la Esttica, sin cuyo conocimiento es impensable poder obtener unsuficiente aprovechamiento del curso.

En la mayora de los captulos el primer objetivo es la determinacin de las tensionesnormales y transversales, luego la determinacin de los valores mximos de estos tensionesy finalmente el clculo de las correspondientes deformaciones. Se estudian como tipos decarga: Traccin, Corte, Torsin y Flexin. Inicialmente se estudia la teora y esta secomplementa con un apreciable nmero de ejemplos o problemas resueltos y luego con

problemas propuestos para que el alumno refuerce su comprensin.

En el primer captulo se hace una introduccin al estudio de la Resistencia de Materialesmarcando sus objetivos y estableciendo los principios generales, que completan lasconclusiones de la teora de la Elasticidad, para poder desarrollar la disciplina siguiendo elmtodo lgico-deductivo.

En el resto de los captulos se hace un anlisis sistemtico de las acciones que se derivande una solicitacin externa actuando sobre un prisma mecnico. Y este estudio se haceconsiderando los efectos producidos por cada una de las posibles magnitudes causantes,actuando cada una de ellas independientemente de las otras. As, las tensiones normal y

cortante que someten al prisma a traccin o compresin y a cortadura, respectivamente, sontratados en los Captulos 2 y 3.

En el captulo 4 se estudia la teora de la torsin y los tres captulos siguientes se dedican alestudio de la flexin, en sus mltiples aspectos. En los dos primeros de stos se expone lateora general haciendo en uno de ellos un anlisis del estado tensional que se crea en elprisma mecnico cuando se le somete a flexin pura o flexin simple, y en el otro, el estudiode las deformaciones producidas por la misma causa.

El importante tema del pandeo es tratado en el Captulo 8, en el que hay que abandonar unade las hiptesis fundamentales admitidas en Resistencia de Materiales cual es la depequeez de las deformaciones.

Finalmente, un ltimo captulo se dedica al estudio de los estados tensional y dedeformaciones cuando la solicitacin que acta sobre el prisma mecnico es arbitraria. Eranecesario acabar la obra con un tema que nos hiciera ver la generalidad de aplicacin de lasteoras de la Resistencia de Materiales a todo tipo de piezas.

En toda la obra se usa el Sistema Tcnico de Unidades o el Sistema Internacional deUnidades y para la solucin de muchos de los problemas se us software matemtico.

Agradezco la ayuda y sugerencias de los docentes de Ingeniera Mecnica yElectromecnica de la UMSA, quienes realizaron valiosos aportes al texto.


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ContenidoPrefacioINDICE1 Conceptos Bsicos de la Resistencia de Materiales

1.1. Objeto y Finalidad de la Resistencia de Materiales1.2. Concepto de Slido Elstico1.3. Modelo terico de slido utilizado en Resistencia de Materiales. (Prismamecnico)1.4. Principios generales de la Resistencia de Materiales1.5. Tipos de Cargas exteriores sobre un prisma mecnico1.6. Equilibrio esttico y equilibrio elstico1.7. Tipos de Solicitacin1.8. Determinacin de las Cargas Internas (Mtodo de las Secciones)1.9. Tensiones o Tensiones1.10. Deformacin1.11. Diagrama Tensin y Deformacin1.12. Constantes Elsticas1.13,- Diagrama TensinDeformacin para otros materiales1.14. Diagramas Ideales1.15. Coeficiente de Seguridad, Tensin Admisible y Carga Admisible

1.16. Falla frente a Cargas Estticas y VariablesPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

2 Traccin y Compresin2.1. Introduccin2.2. Diagramas de Fuerzas Normales:2.3.- Traccin Compresin Mono axial2.4.- Traccin Compresin Biaxial2.6.- Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos)2.7.- Trabajo de las Fuerzas en Traccin Compresin (Energa Potencial deDeformacin)PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS3 Corte Puro3.1. Introduccin2.2.- Tensiones y Deformaciones en Corte Puro2.3. Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos)PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

4.- Torsin4.1. Introduccin4.2. Diagrama de Momentos de Torsin:4.3.- Torsin Circular4.4 Torsin en Elementos con Seccin Rectangular

4.5 Tensiones en Secciones Cerradas de Pequeo Espesor4.6. Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos)PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

5.- Flexin - Fuerza Cortante y Momento Flector5.1. Introduccin5.2. Cargas5.3. Tipos de Apoyos5.4. Tipos de Vigas5.5. Clculo de Reacciones5.6. Momento Flector y Fuerza Cortante5.7. Relacin entre el momento Flector y la Fuerza Cortante5.8. Determinacin del Momento Flector y la Fuerza Cortante5.9. Valores del Momento Flector y la Fuerza Cortante en los extremos5.10. Clculo de Momentos por funciones de Singularidad5.11. Diagrama de Fuerzas Cortantes y de Momentos FlectoresPROBLEMAS RESUELTOS


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PROBLEMAS PROPUESTOS6.- FlexinTensiones Normales y Cortantes

6.1. Introduccin6.2. Tensiones Normales en Flexin6.3. Tensiones Cortantes en Flexin6.4. Perfiles Comunes Usados en VigasPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

7.- Deformaciones en Flexin7.1. Introduccin7.2 Lnea Elstica7.3 Mtodo de la Ecuacin Diferencial de la Elstica o Doble Integracin delMomento7.4. Mtodo de Superposicin7.5. Mtodo del rea del Diagrama de Momentos o Teoremas de Mohr7.6. Mtodo de la viga conjugada7.7. Sistemas HiperestticosPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

8.- Solicitacin Compuesta

8.1. Introduccin8.2. Combinacin de Tensiones8.3. Combinacin de Deformaciones8.4 Casos de Solicitacin CompuestaPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

9.- Mtodos Energticos9.1. Introduccin9.2. Trabajo9.3 Energa Potencial9.4 Ecuaciones de la energa9.5 Teorema de Castigliano

9.6 Ecuaciones de CastiglianoPROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

10.- Pandeo de Columnas10.1. Introduccin10.2 Equilibrio Estable, Inestable e Indiferente10.3. Tipos de apoyos y Columnas10.4 Carga Crtica de Euler10.5. Ecuacin de la lnea elstica:10.6. Lmites de Aplicacin de la Formula de Euler10.7. Columnas cargadas ExcntricamenteFormula de la SecantePROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS


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1 Conceptos Bsicos de la Resistencia de Materiales

1.1 Objeto y Finalidad de la Resistencia de Materiales

El objetivo del presente libro es establecer los criterios que nos permitan determinar elmaterial ms conveniente, la forma y las dimensiones ms adecuadas que hay que dar a loselementos de una estructura o mquina para que puedan resistir la accin de las fuerzas ymomentos exteriores que los solicitan, as como para obtener este resultado de la forma

ms econmica posible.

Si se someten dos cables de la misma forma y dimensiones, pero de distinto material comopodan ser de acero y cobre a una misma fuerza por ejemplo el peso de un cuerpo, mismoque se incrementa paulatinamente, se observa que el cable de cobre es el primero en el quese produce la rotura. Por lo tanto se puede decir que el acero posee mayor resistenciamecnica que el cobre, entendiendo por tal la capacidad de oponerse a la rotura al sersometido a una solicitacin exterior.

En cuanto a las deformaciones que experimentan ambos materiales, tambin se observaque son distintas. Se llama rigidez a la propiedad que presenta el material de oponerse a lasdeformaciones.

Otro aspecto de gran importancia es la estabilidad, entendiendo por tal la capacidad deoposicin del elemento a grandes desplazamientos y deformaciones como resultado de lascargas exteriores. El clculo de la estabilidad de la pieza nos permitir conocer su capacidadde conservar las formas de equilibrio que adopta en estado deformado.

Teniendo presentes las anteriores consideraciones, podemos dar una definicin ms simplean que la dada inicialmente, y decir que Resistencia de Materiales es la ciencia que tratadel clculo de la Resistencia Mecnica, Rigidez y Estabilidad de las piezas de una estructura

o mquina.

En el presente libro se estudiaran principalmente dos problemas fundamentales:

1. Problema de dimensionamiento. Conocido el sistema de cargas que solicita a una piezade una estructura o mquina, calcular sus dimensiones para que la pieza resista y lasdeformaciones que se originan no sobrepasen unos valores lmites fijados de antemano.

2. Problema de comprobacin. Conocida la solicitacin exterior y terminado eldimensionamiento de una pieza, comprobar su resistencia y calcular las deformaciones.

La Resistencia de Materiales tiene importantes aplicaciones en todas las ramas de laingeniera. Sus mtodos los utilizan los ingenieros aeronuticos y navales para el diseo yconstruccin de aviones y barcos, respectivamente; los ingenieros civiles, al proyectarpuentes, presas y cualquier tipo de estructura; los ingenieros de minas, para resolver lanecesidad de conocimientos de construccin que exige su profesin; los ingenierosmecnicos y electromecnicos. para el proyecto y construccin de maquinaria y todo tipo deconstrucciones mecnicas, como son los recipientes a, presin; los ingenieros energticos,para proyectar los diferentes componentes de un .reactor; los ingenieros metalrgicos, por lanecesidad que tienen del conocimiento de los materiales actuales para la bsqueda denuevos materiales: los ingenieros elctricos, para el proyecto de mquinas y equipos

elctricos, y, en fin, los ingenieros qumicos, para el diseo de instalaciones en industrias desu especialidad.


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1.2 Concepto de Slido Elstico

La Esttica y la Mecnica Terica consideran indeformables los cuerpos materiales, ya seencuentren en estado de movimiento o de reposo. Las conclusiones que se obtienen conesta suposicin son en gran nmero de casos buenas aproximaciones de lo que realmenteocurre. Pero para determinar la resistencia de una pieza y sus deformaciones se debenanalizar los cuerpos como deformables.

Segn lo indicado se pueden considerar los slidos como: a) Slido rgido, b) Slido elsticoy c) Slido verdadero.

a) Slido rgido.- Es aquel que se supone indeformable y que ante cualquier carga (porgrande que sea) a que est sometido, la distancia entre dos molculas cualesquierapermanece invariable.

b) Slido elstico.- Es aquel que ante una tensin exterior se deforma y recupera su formaoriginal al cesar la causa exterior. A los slidos elsticos se les supone una serie decualidades como son las de isotropa, homogeneidad y continuidad. Un cuerpo es istropocuando sus propiedades fsicas no dependen de la direccin en que se han medido en dichocuerpo. El slido es homogneo si toda regin del mismo posee idntica composicin ycaractersticas que otra cualquiera. Finalmente el cuerpo es continuo si no existen huecosentre partculas ni, por consiguiente, distancias intersticiales.

c) Solido verdadero.- Las propiedades de isotropa, homogeneidad y continuidad noconcurren en ningn material, ya sea natural o elaborado por el hombre: no es posible quese d un grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones debido a ladistribucin de sus tomos o molculas en redes cristalinas ordenadamente dispuestas.Tampoco existe en la realidad la homogeneidad perfecta, as como sabemos por las teorasmodernas de la materia que sta no es continua y que existen espacios vacos entre las

molculas y entre los mismos tomos que la componen. Por lo tanto en algunos materialescomo la madera y el hormigo el cuerpo no puede ser analizado como Solido Elstico y debeser analizado como solido verdadero. Entonces slido verdadero es aquel que resulta deconsiderarlo como deformable ante las cargas a que est sometido y falto de isotropa,homogeneidad y continuidad

El considerar a los slidos continuo es muy cmoda, pues permite admitir, cuando existeuna deformacin debida a la aplicacin de una fuerza a unas molculas del slido, que eltensin es absorbido en parte por las molculas prximas y de esta forma queda repartidode forma continua y apta para el clculo. Los materiales a que nos refiramos en lo sucesivo

los consideraremos como slidos elsticos. Quiere ello decir que si microscpicamente noson ciertas las hiptesis que se lo hacen, s lo son macroscpicamente, pues los resultadosque se obtienen quedan sancionados por la experiencia. An podremos en muchos casos,por ejemplo, cuando falte la homogeneidad en un slido, considerar la existencia de variosslidos elsticos dentro del slido dado, cada uno de los cuales estar concretado por zonasque posean perfecta homogeneidad, y aplicarles las consideraciones tericas que hagamospara los slidos elsticos en general.

1.3 Modelo terico de slido utilizado en Resistencia de Materiales. (Prisma mecnico)

Con objeto de estudiar los slidos elsticos se crea un modelo terico que se denomina

prisma mecnico, que desde el punto de vista fsico posea las propiedades de isotropa,homogeneidad y continuidad y que se define atendiendo a un criterio meramentegeomtrico.


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Se llama prisma mecnico al slido engendrado por una seccin plana S de rea cuyocentro de gravedad G describe una curva llamada lnea media o directriz, siendo el planoque contiene a S normal a la curva.

La mayora de las piezas pueden considerarse como uno de los siguientes tipos de prismas:

a) Barra. Se llama as al prisma mecnico cuyas dimensiones de la seccin transversal sonpequeas, en comparacin con la longitud de la lnea media. Pertenecen a este tipo los

elementos de estructuras y los cables, por ejemplo. Este es tipo de prisma mecnico msusado. Adicionalmente la mayor parte de barras son planos, es decir con lnea mediacontenida en un plano, siendo ste, adems, plano de simetra del prisma.

En estructuras de hormign armado se emplean seccin transversal rectangular y cuadrada,mientras que en estructuras metlicas secciones muy usuales son el perfil laminado doble teI en vigas, o dos secciones en U soldadas en pilares.

Fig. 1 Barra

b) Placa. Es un cuerpo limitado por dos planos, cuyo espesor es pequeo en comparacincon las otras dos dimensiones.

Fig. 2 Placa

Pertenecen a este tipo las losas que se fabrican para tapar depsitos subterrneos, as;como las placas utilizadas como forjados en las edificaciones.

c) Cascara. Es un cuerpo limitado por dos superficies no planas, cuya distancia es pequeaen comparacin con las otras dos dimensiones (Fig. 1.7).

Fig. 3 Cascara

Son de este tipo los depsitos, como los tanques de agua, silos, gasmetros, etc., as comolas tuberas de gran dimetro y, en general, las estructuras laminares. En los ltimos tipos,es decir, en placas y cascaras, en vez de lnea media se utiliza la superficie media, que sedefine como la constituida por los puntos que dividen el espesor en dos partes iguales.


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1.4 Principios generales de la Resistencia de Materiales

Como se mencion anteriormente la Resistencia de Materiales requiere hiptesissimplificativas, en el presente texto se asumen las siguientes hiptesis:

a) Los materiales se consideran continuos.- La mayora de los materiales cumple con estahiptesis aun cuando existan poros o se considere la discontinuidad de la estructura de lamateria, compuesta por tomos que no estn en contacto rgido entre s, ya que existen

espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada.

b) Los materiales se consideran homogneos.- Con esta hiptesis se consideran laspropiedades idnticas en todos los puntos.

c) Los materiales se consideran istropos.- Con esta hiptesis se consideran laspropiedades idnticas en todas las direcciones. Los metales son materiales homogneos eistropos y la madera, el hormign y la piedra no lo son.

d) Las fuerzas interiores que preceden a las cargas son nulas.- Las fuerzas interiores entrelas partculas del material se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo

sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas molecularesque existen en un slido no sometido a cargas.

e) Es vlido el principio de superposicin de efectos.- Debido a que las deformaciones de loscuerpos son pequeos en comparacin con las dimensiones del mismo, las ecuaciones deequilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuracininicial, es decir, sin deformaciones, y que las deformaciones son proporcionales a lascargas.

f) Es aplicable el principio de Saint Venant.- Segn este principio las fuerzas interiores en los

puntos de un slido, situados lejos de los lugares de aplicacin de las cargas no dependendel modo de aplicacin de las mismas, por lo que se puede sustituir un sistema de fuerzaspor otro equivalente

1.5 Tipos de Cargas exteriores sobre un prisma mecnico

Las cargas exteriores sobre una pieza estn constituidas por las cargas directamenteaplicadas y las reacciones debidas a los apoyos. Las cargas se clasifican en:

a) Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie.- Las primeras actan sobre todos los puntosdel slido y se deben a campos de fuerzas tales como el campo gravitatorio, el campo de

fuerzas de inercia, o el campo magntico. Las fuerzas de superficie son las que se aplican ala superficie exterior del prisma. Pueden ser concentradas o repartidas.

b) Cargas concentradas y distribuidas.- Las cargas concentradas son aquellas que seaplican en un punto mientras que las cargas distribuidas las que estn aplicadas enporciones de rea o volumen, En la naturaleza no existen fuerzas concentradas sino solodistribuidas sin embargo cuando el rea o volumen de aplicacin son pequeos las cargaspueden considerarse como concentradas. Las cargas distribuidas pueden ser de superficie(presin del viento o del agua sobre una pared) o de volumen (peso propio).

c) Cargas estticas y dinmicas.- Las cargas cuya magnitud, punto de aplicacin y direccinno varan o lo hacen muy lentamente, se llaman cargas estticas mismas que no provocanvibraciones de las estructuras o elementos, mientras que las cargas que varan con eltiempo se llaman cargas dinmicas y son las que provocan vibraciones


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Si la variacin de la carga es de carcter peridico, es decir, que los valores mximos de lacarga se repiten cada determinado intervalo de tiempo las cargas se denominan cargas dergimen estable o cargas de repeticin peridica. La resistencia para cargas estables seanaliza en el presente libro pero no para cargas de rgimen no estable.

1.6 Equilibrio esttico y equilibrio elstico

Para que un slido rgido se encuentre en equilibrio es necesario y suficiente que se

verifiquen:

1 Que la suma de las fuerzas que actan sobre el slido sea igual a cero, o lo que es lomismo, que la resultante sea nula. Esta condicin asegura que el slido no tengadesplazamientos.

2 Que el momento resultante de todas las fuerzas respecto de cualquier punto sea igual acero. Esta condicin asegura que el slido no experimente giros.

En un Slido Elstico estas condiciones son necesarias pero no suficientes, ya que sisuponemos realizado en el slido un corte ideal y prescindimos de una de las partes, es

necesario que el sistema de fuerzas interiores en los puntos de la seccin ideal seaequivalente al sistema de fuerzas que actan sobre la parte eliminada. As, para el equilibrioen un slido elstico no slo se requieren las condiciones del equilibrio esttico, sinotambin que exista equilibrio entre las fuerzas exteriores y las internas en cada una de lasinfinitas secciones.

Esta ltima condicin es la caracterstica del equilibrio elstico: es necesario que las fuerzasexteriores que actan sobre el slido sean contrarrestadas por las fuerzas interiores decohesin molecular.

1.7 Tipos de Solicitacin

Considrese un cuerpo en equilibrio sometido a la accin de fuerzas y momentos externos,en cualquier seccin interna aparecen una fuerza y un momento resultantes internos queequilibran las cargas externas. Los valores de la fuerza y el Momento internos se hallangeneralmente con las ecuaciones de la esttica

P1

P2

P3

P4

Pn

M1

P1

M2

M3 Mn

Fuerza Interna

Momento Interno

Fig. 4 Fuerza y Momento Internos

La fuerza y el momento internos pueden descomponerse en componentes paralelas ynormales a la seccin. Del anlisis individual de estas componentes definen los diferentestipos de carga. As la Fuerza Normal produce cargas Normales de Traccin Compresin, la

Fuerza Tangencial produce cargas de Corte, el Momento Normal produce cargas de Torsiny el Momento Tangencial produce cargas de Flexin.


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a) Traccin Compresin.- Un cuerpo est sometido a Solicitacin de Traccin oCompresin, cuando sobre l se apliquen fuerzas paralelas al eje centroidal yperpendiculares a la seccin transversal. Dependiendo si la carga tiende a estirar o acomprimir la pieza, la carga ser de traccin o compresin.

Fig. 5 Traccin

b) Corte.- Un cuerpo est sometido a Solicitacin de Corte cuando sobre l se apliquenfuerzas perpendiculares al eje centroidal y paralelas a la seccin transversal.

Fig. 6 Corte

c) Torsin.- Un cuerpo est sometido a Solicitacin de Torsin cuando sobre l se aplicanMomentos paralelos al eje centroidal y perpendiculares a la seccin transversal.

Fig. 7 Torsin

d) Flexin.- Un cuerpo est sometido a Solicitacin de Flexin cuando sobre l se aplicanFuerzas y Momentos perpendiculares a su eje centroidal y paralelos a la seccintransversal.


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Fig. 8 Flexin

e) Cargas Combinadas.- Los cuerpos y elementos en condiciones reales presentancombinaciones de los anteriores tipos de carga. En el presente texto inicialmente seanalizan los tipos de carga de forma individual y su combinacin se analiza posteriormente

1.8 Determinacin de las Cargas Internas (Mtodo de las Secciones)

En un cuerpo sometido a fuerzas y momentos, para hallar las cargas internas por el mtodode corte o secciones se imagina un plano imaginario que seccione o divida el cuerpo en dos

partes. Para que cada parte este en equilibrio, en la superficie de corte de cada una de laspartes por la interaccin que ejerce la otra deben actuar una fuerza y un momento internosque equilibran las cargas exteriores, que actan sobre la parte separada. Los valores de laFuerza y el Momento internos se pueden hallar generalmente con las ecuaciones de laesttica

P1

P2

P3

P4

Pn

M1

P1

M2

M3 Mn

Fuerza Interna

Momento Interno

Fig. 9 Fuerza y Momento Internos

La fuerza y el momento internos tienen componentes tangencial y normal a la seccin. Lacomponente normal de la fuerza a la seccin N produce traccin, la componente tangencial

de la fuerza a la seccin Q produce corte, la componente normal del momento a la seccinMt produce torsin y la componente tangencial del momento a la seccin Mf produce

flexin. Frecuentemente las fuerzas exteriores se encuentran en un mismo plano, losmomentos exteriores perpendiculares a este plano y no existen momentos de torsin Mt

Fig. 10 Configuracin Frecuente


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1.9 Tensiones o Tensiones

a) Anlisis Molecular

Considrese una barra sometida a la accin de dos fuerzas iguales, opuestas y colinealesen sus extremos. Se verifica el equilibrio: P - P = 0

Fig. 11 Fuerzas en las Molculas

Realizando un anlisis molecular, la fuerza externa se distribuye en pequeas fuerzastirando de cada molcula, que tratan de separarla de sus vecinas, sin embargo la atraccinentre molculas opone resistencia con una fuerza igual y contraria, lo que finalmente impideque las molculas se alejen entre s. Tomando un par de ellas se verifica que:

-Pi Fi - Fi Pi (1.1

Donde Pi es la accin sobre cada molcula generada por las fuerzas P y Fi la reaccinque opone el material generada por la atraccin molecular (o Atmica).

Aumentando P aumenta la reaccin Fi , que podr crecer hasta un determinado lmite, ms

all del cual las molculas se separan irremediablemente, y como consecuencia la barra sedeforma permanentemente o se separa.

b) Hiptesis de Navier

Segn esta hiptesis los slidos homogneos se imaginan como una sucesin deinnumerables secciones transversales paralelas entre si y perpendiculares a su ejelongitudinal (similar naipes pegados entre s). Cada seccin es tan delgada como eldimetro de un tomo y los tomos estn ordenados segn un arreglo matricial

Fig. 1.12 Hiptesis de Navier

Entonces : n

PPi

(1.2

P y Pi Fuerzas externa e interna sobre cada tomo

n el nmero de tomos que hay en la seccin transversal.


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c) Vector Tensin

Considrese un cuerpo sometido cargas exteriores, si el mismo es cortado idealmente endos partes A y B por medio de un plano y se suprime unade las partes, por ejemplo la B,de la condicin de equilibrio elstico se concluye que en toda la seccin S aparece unadistribucin continua de fuerzas

Fig. 1.13 Vector Tensin

Si df es la fuerza resultante en un punto P, se define como tensin en el punto a:

A

F

Area

FuerzaEsfuerzo

(1.3

dS

fd

S

ft dS

0lim (1.4

El tensin o tensin es un vector colineal con df.

e) Tipos de Tensiones o Tensiones

El vector tensin puede descomponerse en una componente normal al plano () que recibe

el nombre de tensin normal y en una componente paralela al plano () que recibe elnombre de tensin tangencial o cortante. A ambas tensiones se denomina componentesintrnsecas del vector tensin.

Fig. 1.14 Tensiones Normales y Cortantes

La tensin normal provoca que las partculas que estn en el plano dado, tiendan asepararse o a acercarse mientras que las tensiones tangenciales provocan el deslizamientode las partculas del material, en el plano de la seccin en cuestin.


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Los materiales no tienen una determinada resistencia a las fuerzas y momentos, ya que elladepende de las dimensiones, pero s tienen determinadas resistencias a las tensionesnormales y cortantes

En las caras de un elemento diferencial cbico actuarn en el caso general las tensiones dela figura

Fig. 1.15 Estado tensional

f) Densidad de Tensiones

Fig. 1.16 Densidad de Tensin

Cuando una barra de seccin variable se somete a cargas de traccin F, en cualquierseccin transversal aparece una fuerza interna F que equilibra a la externa que se distribuyeen tensiones normales. Sin embargo la magnitud de estos tensiones es variable debido a lavariacin del rea. Estos tensiones son mayores donde las secciones normales son lasmenores y viceversa. Dibujando lneas equidistantes de la periferia se puede apreciar queellas tienen mayor concentracin o densidad donde el rea es menor. La magnitud de lastensiones es proporcional a la concentracin de lneas equidistantes. Este fenmeno essimilar a la velocidad que adquiere un fluido en una tubera por lo que tambin es conocidopor flujo de tensiones.

g) Concentradores de tensin

Fig. 1.17 Concentracin de Tensiones

Los cambios o variaciones de las secciones transversales de una pieza y especialmente lasvariaciones bruscas, resultan en la magnificacin de las tensiones efecto conocido comoConcentracin de Tensiones.


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Las hendiduras, agujeros y cambios de seccin bruscos son Concentradores de Tensiones.Se ha podido verificar que por ejemplo un agujero circular en una placa plana incrementa lastensiones hasta tres veces.

1.10 Deformacin

Consideremos dos puntos P y Q en un slido elstico en estado neutro, sin carga, es decir,no sometido a solicitacin alguna

Fig. 1.18 Deformacin

Aplicadas las cargas externas hay deformacin y los dos puntos pasan a las posiciones P' yQ'. Se definen como deformacin total y unitaria a la variacin de distancia entre estos dospuntos y a la variacin sobre la distancia original, respectivamente

rdrdQPQP

''''' (1.5

rd

rdrd

PQ

PQQP

''' (1.6

Los slidos, bajo la accin de cargas externas se deforman y cambian sus dimensiones oforma, Al cambio de dimensin se le denomina deformacin lineal y al cambio de formadeformacin angular.

a) Deformacin provocada por Cargas de Axiales

Fig. 1.19 Deformacin por Cargas Axiales

Una barra sometida a cargas axiales adems de experimentar una deformacin en ladireccin de axial tambin presenta otra deformacin en la direccin transversal. Las cargasde traccin provocan alargamiento en la direccin axial y adelgazamiento en la direccintransversal, mientras que las cargas de compresin provocan acortamiento en la direccin

axial y ensanchamiento en la direccin transversal.

Las deformaciones se cuantifican con:

= lf - lo Deformacin longitudinal (1.7


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= (lflo)/lo Deformacin longitudinal unitaria (1.8

q= df - do Deformacin transversal (1.9

q= (dfdo)/do Deformacin transversal unitaria (1.10

Donde lf, lo, df y do son las longitudes y dimetros final e inicial

b) Deformacin provocada por Cargas de Corte

Las cuerpos sometidos a cargas de corte no presentan deformaciones significativas (no severifica cambio de dimensiones) pero si presentan distorsin (se verifica cambio de forma).

Fig. 1.20 Distorsin por Cargas de Corte

La deformacin se cuantifica con:

Angulo de inclinacin de las caras

c) Deformacin provocada por Cargas de Torsin

Las barras sometidas a cargas de torsin no presentan deformaciones longitudinales sino

rotaciones o deformaciones angulares entre secciones. Las secciones transversales giranuna respecto a otra.

Fig. 1.21 Deformacin por Cargas de Torsin

La deformacin se cuantifica con:

Angulo de rotacin entre secciones de los extremos de la barra

d) Deformacin provocada por Cargas de Flexin

Los cuerpos generalmente rectos sometidos a cargas de Flexin se vuelven curvos por loque presentan deformaciones lineales y angulares.


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Fig. 1.22 Deformacin por Cargas de Flexin

Las deformaciones se cuantifican con:

Deformacin lineal

Deformacin angular

1.11 Diagrama Tensin y Deformacin

La deformacin depende de las cargas externas y consecuentemente de las tensiones y defuerzas de atraccin molecular, es decir, de la estructura interna del material. Para obtenerla relacin entre tensiones y deformaciones se procede por va experimental medianteensayos realizados en el laboratorio, en donde se comprueba, en efecto, que para dospiezas de distintos materiales, de iguales dimensiones y sometidas al mismo estado decargas, las deformaciones son distintas.

El ensayo ms simple que se hace es el de traccin. En este ensayo sometiendo una piezade dimensiones normalizadas llamada probeta a una carga de traccin que se aumentagradualmente hasta la rotura.

En la probeta se realizan previamente dos marcas, que determinan una longituddenominada distancia entre puntos, sobre las que se efecta, por medio de unextensmetro, la medida de los alargamientos.

Si A es la seccin de la probeta y P la fuerza aplicada en sus extremos en direccin axial, lafuerza origina en el interior del material un estado de tensiones que se supone constante.

A

P

(1.11

La probeta, debido al tensin, se alarga. La deformada unitaria longitudinal es:

o

of

l

ll

(1.12

Aumentando progresivamente el valor de P, midiendo y llevando los valores a un grfico,

se obtiene para el acero dulce el diagrama tensin-deformacin similar al de la figura


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Fig. 1.23 Diagrama -

En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas caractersticas:

a) Perodo elstico.- Este perodo queda delimitado por la tensin Se (lmite de elasticidad).El lmite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comportaelsticamente, es decir que producida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. Enla prctica, este lmite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformacinespecifica remanente igual al 0.001 %.

Este perodo comprende dos zonas: la primera, hasta el Sp (lmite de proporcionalidad),dnde el material verifica la ley de Hooke. La segunda zona entre Sp y Se, si bien eselstica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.

En la primera zona:

Ed

d

(1.13

En la segunda zona

)(

f

d

d

(1.14

En general, los lmites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre s.

b) Perodo elasto-plstico.- Para tensiones superiores al lmite elstico, la pieza no recobrasu dimensin original y la deformacin es permanente acorde con la carga aplicada. Amedida que aumenta la solicitacin, la grfica disminuye el valor de su tangente, tendiendo aanularse en el tramo final del perodo, al cual se llega con un valor de tensin que se indicacomo Sy (tensin de fluencia).

c) Perodo plstico (fluencia).-Una vez arribado al valor de tensin Sy (lmite de fluencia),el material fluye, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensin. Elfenmeno no es tan simple, ya que la tensin oscila entre dos valores cercanos entre s,

denominados lmites de fluencia superior e inferior, respectivamente. La tensin deproporcionalidad es aproximadamente 80% la de fluencia


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Fig. 1.24 Lneas de Chernov - Lders

Los experimentos demuestran que durante la fluencia se producen deslizamientos relativosentre los cristales y en la superficie de la probeta aparecen las llamadas lneas de Chernov -Lders, que forman con el eje de la misma un ngulo de 45.

d) Perodo de endurecimiento y de estriccin.- Luego de la fluencia hay unreacomodamiento cristalogrfico y el material se endurece e incrementa su resistencia, esdecir, admite un incremento de carga. En este perodo las deformaciones son muypronunciadas. La tensin aumenta hasta alcanzar un valor mximo, denominado tensin de

rotura, a partir del cual la tensin disminuye hasta que alcanza una determinada

deformacin de rotura, producindose la rotura fsica. La tensin Sut no es en realidad la

mxima tensin que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valorde la deformacin especfica correspondiente a Sut, comienza a manifestarse en la probetaun fenmeno denominado estriccin.

Fig. 1.25 Fenmeno de estriccin

La estriccin es la reduccin de una seccin central de la pieza, misma que hace que lastensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar suconcavidad hacia abajo muestra un punto de inflexin en las vecindades de Sut y cambia sucurvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformacin de rotura.Entonces el diagrama que anterior suele denominarse diagrama convencional, ya que los

clculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la seccintransversal constante, con rea igual a la inicial.

La estriccin se mide por el coeficiente de estriccin lateralcon la siguiente expresin:

f

fi

A

AA

(1.15

Dnde:

Ai y Af rea inicial y final respectivamente

En los aceros comunes 50 %


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Fig. 1.26 Diagrama - efectivo y convencional

Para tensiones mayores a la fluencia como M en la grfica la pieza presenta deformacionespermanentes. Cuando se quita la carga las tensiones y deformaciones desaparecen a travsde una recta paralela a la del perodo elstico. Si la probeta vuelve a cargarse la curva llega

al punto N, pero con un nuevo recorrido donde ya no existe el perodo de fluencia y la zonarecta se prolonga hasta un valor 'p> p.

Fig. 1.27 Endurecimiento mecnico del acero dulce

Este fenmeno se denomina endurecimiento mecnico o por trabajo en fro, y tambinpuede lograrse por laminado en fro, trefilado o torsin. El trefilado se utiliza para endureceralambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en

general, con conformaciones superficiales), para hormign armado.

Para aceros endurecidos mecnicamente o los de dureza natural, logrado por un mayorcontenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama - es distinto delque se vio. Las caractersticas ms importantes son las siguientes:

- Sus lmites de proporcionalidad y elasticidad son ms elevados que los aceros comunes.

- No poseen un lmite de fluencia definido ni tampoco zonas de escurrimiento plstico.

- La deformacin de rotura se reduce considerablemente.

Al no existir un lmite de fluencia definido, este se determina en forma convencional como latensin para la cual la deformacin especifica remanente alcanzan al 0.2 %.


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Fig. 1.28 Lmite Convencional de Fluencia 0,%

Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran capacidad de deformacinantes de alcanzar la rotura, se denominan dctiles. Se puede decir que estos materiales

avisan la rotura fsica, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tangrandes, que la estructura llega a la falla por este motivo.

Los materiales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce bruscamente, singrandes deformaciones previas, se denominan frgiles.

e) Elasticidad y Plasticidad.- La propiedad que posee un material de volver parcial ocompletamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llamaelasticidad. Si la pieza recupera completamente su longitud inicial, se dice que el materiales perfectamente elstico sino parcialmente elstico. Un material es perfectamenteplstico cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuracin

deformada.

En la realidad ningn material es perfectamente elstico o plstico, pero el acero, aluminio,goma, la madera y el hormign se consideran perfectamente elsticos dentro de ciertoslmites. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse comoperfectamente plsticos.

1.12 Constantes Elsticas

El comportamiento lineal elstico de los slidos, permite definir las constantes elsticas,

a) Mdulo de Elasticidad Longitudinal (E).- Considrese una barra recta sometida a

traccin.

Fig. 1.33 Barra de seccin constante sometida a traccin

La deformacin unitaria es :


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L

L

(1.16

En la zona elstica, las tensiones son proporcionales a las deformaciones

Fig. 1.34 Proporcionalidad entre en la zona elstica

ETg

(1.17

E (1.18

Ecuacin conocida como de Hooke. La constante E, se conoce como mdulo de elasticidadlongitudinal o mdulo de Young. Es la ms importante de las cuatro constantes elsticas.

b) Mdulo de Elasticidad Transversal (G).- Sea un paraleleppedo fijo en su parte inferiory con una fuerza P en su cara superior.

Fig. 1.35 Distorsin provocada por tensiones cortantes

La deformacin se cuantificada por el ngulo y la tensin tangencial o cortante es:

A

P

(1.19

La grafica entre - es similar a la vista anteriormente para las tensiones normales.


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-

Dentro de la zona elstica, la constante que vincula la tensin tangencial con la deformacinangular, es llamada mdulo de elasticidad transversal o mdulo de rigidez (G).

GTg

(1.20

Esta es la ecuacin de Hooke para tensiones cortantes. Para el acero comn Sy= 0,57 Sy

c) Coeficiente de Poisson

Al someter a una barra a un tensin axial, adems de experimentar deformacin segn ladireccin de la fuerza, el cuerpo tambin deforma en la direccin normal a ella.

Fig. 1.37 Deformaciones Longitudinal y Transversal

Las deformaciones unitarias son:

L

L

(1.21

a

aq

(1.22

Experimentalmente se ha visto que ambas deformaciones son proporcionales

q= (1.23


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se define como el coeficiente o mdulo de Poisson y su valor depende del material, Engeneral para materiales istropos, vara entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso < 0,50

Valores de Constantes Elsticas segn el material

Material E (Ton/cm) Acero 2.000 a 2.100 0.22 a 0.33Cobre 1.160 a 1.300 0.31 a 0.34

Bronce 1.100 0.32 a 0.35Hierro fundido 750 a 1600 0.23 a 0.27Aluminio 760 0.32 a 0.36Madera (paralela a la fibra 80 a 120 -Hormign 150 a 350 0.10 a 0.20Mampostera de ladrillo < 120 -Caucho 0.01 0.47Corcho - 0.00

Los mdulos de elasticidad longitudinal y transversal estn relacionados por:

E = 2 G ( 1 + ) (1.24

Donde es el coeficiente de Poisson

1.13 Diagrama TensinDeformacin para otros materiales

En la figura 1.29 se presentan los diagramas tensin deformacin para diferentesmateriales. Ahora bien como se observa en la figura 1.30, hay algunos materiales para loscuales se observa que el diagrama - es una curva continua sin tramos rectos, es decir,

que prcticamente en ningn momento se verifica la ley Hooke. Un ejemplo clsico es elhormign, donde interesa la curva - en compresin.

Mat. Dctil

Mat. Frgil

Acero de Alta Calidad

Acero Media Calidad

Acero Corriente

Fig. 1.29 Diagramas Tensin Deformacin


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En estos casos no puede hablarse de un mdulo de elasticidad nico. Cabe distinguir tresvalores del mdulo de elasticidad:

Fig. 1.30 Mdulos Tangentes y Secantes

a) Mdulo al origen.- Es el valor al origen

E = tg (1.25

b) Mdulo Instantneo.- Su valor lo da la pendiente a la curva - en cada punto:

)( otgd

dE

(1.26

c) Mdulo Secante.- Su valorviene dado por la tangente trigonomtrica del ngulo 1. Paraestos materiales, Bach, propuso como relacin entre - una ley de tipo exponencial quelleva su nombre:

k= E e (1.27

el coeficiente k depende del material (valor medio, ya que depende de muchas variables):

Material Coeficiente k

Hormign k = 1,15

Cobre k = 1,10

Latn k = 1,085

Cuero k = 0,70

Fig. 1.31 Diagramas no lineales -

En el caso que k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales presentan uncomportamiento diferente en compresin que a traccin, tal es el caso del hormign.


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1.14 Diagramas Ideales

Los diagramas que se vieron a veces son reemplazados por diagramas idealizados porPrandtl, resumiendo las caractersticas fundamentales de los tres tipos de materiales. Eldiagrama ideal correspondiente a un material dctil se compone de dos tramos rectos: unoinclinado, correspondiente al perodo elstico; el otro horizontal, materializando el perodo defluencia. El perodo de endurecimiento no interesa porque la deformacin al final de lafluencia es tan significativa que el material est en falla antes de llegar a la rotura.

Fig. 1.32 Diagramas ideales a) material dctil b) material frgil c) material plstico

En los materiales frgiles el lmite de proporcionalidad es prximo a la tensin de rotura,prescindindose del tramo curvo y en materiales plsticos el diagrama es una rectahorizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sinincremento de tensin.

1.15 Coeficiente de Seguridad, Tensin Admisible y Carga Admisible

No hay la seguridad absoluta y las piezas estn amenazadas por incertidumbres.

Existen numerosas causas de incertidumbres: Las hiptesis de cargas, las hiptesis declculo, los errores de clculos, los defectos del material, los errores de las dimensiones, loserrores de ejecucin, etc.

La falla de una pieza puede provocar prdidas econmicas y humanas por lo que se debebuscar la mxima seguridad. Para evitar la falla, la tensin mxima en una pieza no debesuperar un valor lmite. Para materiales dctiles el valor lmite es el lmite de fluencia y parade materiales frgiles es el lmite de resistencia o tensin de rotura

Sadm= Sy/ Para materiales dctiles (1.28

Sadm= Sut/ Para materiales frgiles (1.29

Donde es el coeficiente de seguridad. La eleccin del coeficiente de seguridad escompleja pero disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero;indican valores que varan entre 1.25 y 1.60, para estructuras de hormign armado, loscoeficientes de seguridad varan entre 1,75 y 2,10 y en la construccin de mquinas el valorvara, entre 1.5 a 2.5.


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1.16 Resistencia para Cargas Estticas y Variables

a) Cargas Estticas.- Son aquellas cuya magnitud no vara con el tiempo,

P

t

Pmin

Pmax

Fig. 1.38 Carga Esttica

Como se mencion anteriormente, la falla frente a cargas estticas se previene con :

= E < Sadm (1.30

= G < Sadm (1.31

b) Cargas Variables.- Son aquellas cuya magnitud vara con el tiempo. Cuando la variacines de carcter peridico y los valores mximos de la carga se repiten cada determinadointervalo de tiempo las cargas se denominan de rgimen estable o de repeticin peridica.En el presente libro se analiza la resistencia solo para cargas estables

P

t

Pmin

Pmax

2minmax PPPmed

Fig. 1.39 Carga variable de rgimen estable

Los dos casos ms comunes de cargas variables de rgimen estable son:

- Cargas Intermitentes.- Son aquellas que aparecen y desaparecen. Es decir que varanperidicamente de un valor mximo a cero. ( Pmin = 0 )

P

tPmin

Pmax

2

maxP

Pmed

Fig. 1.40 Carga Intermitente

- Cargas Alternantes.- Son aquellas cuya magnitud cambia de un valor positivo al mismovalor negativo. ( Pmax = - Pmin)


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P

t

Pmin

Pmax

0

2

minmax

PPPmed

Fig. 1.41 Carga Alternante

Existen varias teoras para verificar la falla frente a cargas variables. En el presente libro sedesarrollar slo la teora de Goodman Modificado.

Esfuerzos Mximos

Esfuerzos Medios

Esfuerzos Mnimos

45

Sy

Sut

Se

-Se

med

Fig. 1.42 Diagrama de Goodman Modificado

Segn esta teora la pieza no falla mientras las tensiones se encuentran dentro de la reginsombreada.

Para construir el diagrama se necesitan: El Limite de Rotura Sut, El Limite de Fluencia Sy yel Limite de Resistencia a la fatiga Se(cuyo valor aproximado es la mitad de la resistencia ala rotura. Se = Sut/2). Por cada una de estas tensiones se traza una lnea horizontal queintersecte a una lnea a 45 grados que constituye la lnea de Tensiones Medias.


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PROBLEMAS RESUELTOS

1.1. Se tiene dos cables metlicos, el primero de Aluminio con un dimetro de 1 mm y elsegundo de Acero con un dimetro de 0.5 mm. Tomar Syal= 283 Mpa (2884.8 Kg/cm) y Sy

ac= 428 Mpa (4362.8 Kg/cm). Se pide hallar la carga mxima que pueden soportar amboscables y cul es el de mayor resistencia

Cable Al

0.1 [cm]Cable Ac

0.05 [cm]

(a) (b)

Solucin:

Para evitar la falla

= P/A < Sy

Despejando P = d2 Sy /4

Reemplazando valores

Pal= 22.65 Kg

Pac= 8.56 Kg

El cable de aluminio es ms resistente.

1.2. Dos piezas a y b con una longitud inicial de 10 cm y 100 cm, se deforman hastaalcanzar longitudes finales de 11 cm y 105 cm respectivamente. Se pide calcular ladeformada total y unitaria

Solucin: = lfl

= / l = (lf - l)/ l

a= 1 cm

a= 0.1 (10%)

b= 5 cm

b= 0.05 (5%)

Ntese que: a< bpero a> b

1.3. Si en el problema anterior los dimetros de ambas piezas es de 1 cm. Se pide calcular

la deformada total y unitaria transversal. Tomar = 0.3

Solucin: q= -

df= qd + d


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qa= - 0.03 (3%)

dfa= 0.97 cm

qb= - 0.015 (1.5%)

dfb= 0.985 cm

1.4. Para el problema 1.2 se pide hallar las tensiones a los que estn sometidas las piezas sison de acero. Tomar E = 2.1 x 10 6 Kg/cm

Solucin: = E

a= 0.1 (10%)

b= 0.05 (5%)

Entonces a= 210000 Kg/cm

b= 105000 Kg/cm

Ningn material soporta estos tensiones. Estas deformadas (10 y 5 %) son imposibles.

1.5. Cul es la deformada mxima que puede tener un acero antes de fallar.

Tomar Sy= 428 Mpa (4362.8 Kg/cm) y E = 2.1 x 10 6 Kg/cm

Solucin: < Sy

= E

< = Sy/ E = 0.00207 (0.2%)

1.6. Una carga de 100 Kg se aplica a dos piezas de aluminio y acero con el mismo dimetrode 1 cm. Tomando Eacero= 2.1 x 10 6 Kg/cm, Ealuminio= 0.9 x 10 6 Kg/cm, Syacero= 428 Mpa(4362.8 Kg/cm) y Sy aluminio = 283 Mpa (2884.8 Kg/cm). Se pide hallar : La relacin dedeformadas y la relacin de factores de seguridad.

Solucin: = / E

= Sy/

acero= P/A = aluminio

acero/aluminio= Ealuminio/ Eacero= 0.428 (42.8 %)

acero/ aluminio= Syacero/ Syaluminio= 1,512 (151,2 %)

Estos resultados muestran primero que el acero se deforma menos que el aluminio ysegundo que el acero resiste ms que el aluminio

1.7. Hallar los mdulos de elasticidad al corte para los materiales del 1.anterior. Tomar =0.3 Eac= 2.1 x 10 6 Kg/cm, Eal= 0.9 x 10 6 Kg/cm

Solucin:


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G = E/[2 ( 1 + )]

Gacero= 8,07 x 105 Kg/cm

Galumino= 3,46 x 105 Kg/cm

1.8. Construir el diagrama de Goodman Modificado para un material con S y= 4000 Kg/cmSut= 6000 Kg/cm y Se= Sut/2 = 3000 Kg/cm

Solucin:

45

6000

med

S

4000

3000

-3000

A

B

C

D

E

A(0,3000)

B(6000,6000)C(4000,4000)E(0,-3000)

1.9. En el anterior 1.hallar las ecuaciones de las tensiones mximas, tensiones medios ytensiones mnimas.

Solucin: A (0,3000)

B (6000,6000)

C (4000,4000)

E (0,-3000)

La ecuacin de la recta conocidos dos puntos es

(yy1)/(xx1) = (y2y1)/(x2x1)

Para (A,B)

(y3000)/(x - 0) = (60003000)/(60000)

Smax= x/2+3000 para Smax< 4000

Las curvas de tensiones mnimas van de B a E y de C a D

(y6000)/(x - 6000) = (-30006000)/(0 - 6000)

Smin= 1,5 x3000 para min< 0

Cuando Smin= 0 se halla que x = 2000 y D = ( 2000,0)

(y4000)/(x - 4000) = (04000)/(2000 - 4000)

y = 2 x4000


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Smin= 2x4000 para min> 0

1.10. Hallar las tensiones admisibles para carga esttica, carga intermitente y cargaalternante del material de los problemas 6 y 7

Solucin:

a) Carga esttica

S = Sy= 4000 Kg/cm

b) Carga intermitente

S = . Smax= x/2+3000 y x = 2000

S = 4000 Kg/cm

c) Carga alternante

S = Se= 3000 Kg/cm

1.11. Para las cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material de losproblemas 6 y 7

max= 3500 Kg/cm y min=3500 Kg/cm.

max= 3500 Kg/cm y min=500 Kg/cm.

max= 4500 Kg/cm y min= 0 Kg/cm.

max= 4500 Kg/cm y min= 1500 Kg/cm.

Solucin: med= (max+ min)/2

a med= 0

b med= 1500 Kg/cm

c med= 2250 Kg/cm

d med= 3000 Kg/cm

45

6000

med

S

4000

3000

-3000

A

B

C

E

D(20000,0)

a) a med= 0

S max = 3000 < a max= 3500 Hay falla


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b) b max= 1500 Kg/cm < 4000 Kg/cm y = x/2+3000

Smax= 3750 > b max= 3500 Kg/cm No hay falla

b min= - 500 Kg/cm < 0 y = 1,5 x3000

Smin= - 750 < b min= -500 Kg/cm No hay falla

c) c max= 2250 Kg/cm < 4000 Kg/cm y = x/2+3000

Smax= 4125 < b max= 4500 Kg/cm Hay falla

d) d max= 3000 Kg/cm < 4000 Kg/cm y = x/2+3000

Smax= 4500 < b max= 4500 Kg/cm No hay falla

d min= 3000 Kg/cm > 0 y = 2x4000

Smin= 2000 > b min= 1500 Kg/cm Si hay falla

1.12. Hallar las ecuaciones genricas de las tensiones mximas, medios y mnimos.

45

med

S

A

B

C

D

E

A(0,0.5*Sut)

B(Sut,S

ut)

C(Sy,S

y)

D(Descon,0)E(0,0.5*Sut)

Sy

Sut

Se

-Se

La ecuacin de la recta conocidos dos puntos es

(yy1)/(xx1) = (y2y1)/(x2x1)

La curva de tensiones mximas va de A a B

(y0.5 Sut)/(x - 0) = (Sut0.5 Sut)/(Sut0)

Smax= (x + Sut)/2 para Smax< Sy

Las curvas de tensiones mnimas van de B a E y de C a D

BE) (ySut)/(xSut) = (-0.5 SutSut)/(0Sut)

Smin= 1,5 x0,5 Sut para min< 0

CD) Cuando Smin= 0 se halla que x = Sut/3 y la coordenada de D ( Sut/3, 0)

(ySy)/(xSy) = (0Sy)/(Sut/3Sy)

y = (xSy)(Sy)/(Sut/3Sy) + Sy

Smin= (xSy)(Sy)/(Sut/3Sy) + Sy para min > 0


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PROBLEMAS PROPUESTOS

1.13. Se pide hallar la carga que pueden levantar (resistencia) dos cables metlicos, elprimero de Aluminio con un dimetro de 2 mm y el segundo de Acero con un dimetro de 1mm. Tomar S y al = 2884.8 Kg/cm y S y ac = 4362.8 Kg/cm

1.14. Se pide hallar resistencia de los cables del 1.anterior, para cargas Alternante eIntermitente.

1.15. Una carga de 100 Kg se aplica a una pieza de Acero con un dimetro de 1 cm y unalongitud de 100 cm. Se pide calcular las deformadas longitudinal y transversal.

1.16. En el anterior 1.se pide calcular la variacin del volumen debido a la deformacin.

1.17. Que carga aplicada a una pieza cilndrica de Acero con un dimetro de 1 cm y unalongitud de 100 cm produce una deformacin de 0,1 mm.

1.18. Cul es la deformada mxima que puede tener un Aluminio antes de alcanzar lafluencia. Tomar Sy = 2884.8 Kg/cm y E = 0.7 x 10 6 Kg/cm

1.19. Construir el diagrama de Goodman Modificado para un material con

Sy = 3000 Kg/cm Sut = 5000 Kg/cm y Se = Sut/2 = 2500 Kg/cm

1.20. En el anterior 1.hallar las ecuaciones de las tensiones mximas, tensiones medios ytensiones mnimas.

1.21. Hallar las tensiones admisibles para carga esttica, carga intermitente y cargaalternante del material de los problemas 4 y 5

1.22. Para las cargas dadas determinar en cada caso si hay o no falla con el material de losproblemas 4, 5 y 6

max = 3000 Kg/cm y min =3000 Kg/cm.

max = 3000 Kg/cm y min =500 Kg/cm.

max = 4000 Kg/cm y min = 0 Kg/cm.

max = 4000 Kg/cm y min = 1500 Kg/cm.

1.23. Hallar las ecuaciones genricas de las tensiones mximas, tensiones medios ytensiones mnimas.


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PROPIEDADES MECANICAS

MaterialSy Sut E G

Ksi MPa Ksi MPa Ksi GPa Ksi GPa

Aluminun allys 2014-T4 41 283 62 428 10,6 73 4 27.6 0.33Aluminun allys 2014-T6 60 410 70 480 10,6 73 3,8 26.2 0.33Aluminun allys 2024-T4 48 331 68 470 10,6 73 3,9 27 0.33

Aluminun allys 6061-T6 40 276 45 310 10,4 72 3,9 27 0.33Aluminun allys 7075-T6 70 483 80 552 10 69 3,75 26 0.33Brass (Red, cold rolled) 60 414 75 518 15 104 5,5 38 0.34Brass (Red, annealed) 15 104 40 276 15 104 5,5 38 0.34Bronze (cold rolled) 75 772 100 515 15 104 6,5 44.9 0.34Bronze (annealed) 20 138 50 345 15 104 6,5 44.9 0.34Cast iron (tension) 29.5 205 40 274.5 25 173 12,5 86.3 0.28Cast iron (compression) - - 125 870 25 173 12,5 86.3 0.28Concrete (compression) 2 13.8 5 35 4,5 31 - - 0.15Copper (cold-drawn) 40 280 45 310 17 117 6,3 43.5 .35Plate glass - - 10 70 10 69 4 27.6 0.2Magnesium alloy 22 150 40 280 24 166 20 138 0.35

Monel (wrough, hot rolled) 50 345 90 621 26 179 9,5 65.6 .32Nickel alloy 60 414 80 552 30 207 11,4 78.7 0.31Nylon - - 9 60 400 2.76 - - 0.4Polyethylene - - 2.5 17.5 150 1 - - 0.4Rubber (average) 0.6 4 2 13.5 .4 .00276 .0007 41.5 0.48Steel .2% C hardened 62 428 90 620 30 207 11,6 80 .32Steel .2% C cold-rolled 60 414 85 587 30 207 11,6 80 .32Steel .2% C hot-rolled 53 366 62 428 30 207 11,6 80 .32Steel .4% C hot-rolled 53 366 84 580 30 207 11,6 80 .32Steel .8% C hot-rolled 76 524 122 842 30 207 11,6 80 .32Steel Stainless (cold-rolled) 165 1140 190 1310 29 200 12,5 86.3 .27Steel Stainless (heat-treated) 132 911 150 1040 29 200 12,5 86.3 .27Steel, structural - - - - -Steel ASTM-A36 36 250 60 400 29 200 11 75.9 .32Steel ASTM-A572 50 340 70 500 29 200 11 75.9 .32Steel ASTM-A514 100 700 120 830 29 200 11 75.9 .32Douglas Fir 6 41 7.4 51 1,3 9 - - .29Southern Pine 6.5 45 8.4 58 1,9 13.1 - - .3Red Oak 4.6 32 6.9 48 1,8 12.4 - - .3


35/293

2 Traccin y Compresin

2.1 Introduccin

Un elemento est sometido a traccin o compresin cuando al realizar un corte por cualquierseccin recta no aparecen momentos internos, tampoco fuerzas de corte y solo se verificauna fuerza normal N en el centro de gravedad de la seccin, es decir, en todas lassecciones rectas del elemento se anulan el tensin cortante y los momentos torsor y flector.

Dependiendo si la carga tiende a estirar o a comprimir la pieza, la carga ser de traccin ocompresin.

Fig. 2.1 Traccin

Ejemplos de elementos sometidos a traccin compresin son: Los cables metlicos, losarriostres, los elementos de las vigas armadas y elementos de las estructuras metlicas.

Para la validez de las ecuaciones y resultados de este captulo se asume la veracidad de lassiguientes condiciones:

1.- Se cumple la hiptesis de Bernoulli (Conservacin de las secciones planas)

2.- Los elementos tienen secciones transversales uniformes

3.- Los materiales son homogneos

4.- Las cargas estn aplicadas en los centros de gravedad de la seccin

5.- Los miembros sometidos a compresin no son tan esbeltos y no hay pandeo.

2.2 Diagramas de Fuerzas Normales:

Se denominan diagramas de fuerzas normales a los diagramas que dan las fuerzasnormales N en cada seccin de una barra prismtica.


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Fig. 2.4 Diagrama de Fuerzas Normales

2.3 Traccin Compresin Monoaxial

a) Tensiones

Considrese una barra prismtica sometida a Traccin-Compresin.

Fig. 2.1 Tensiones en Traccin Compresin

Realizando un corte en la barra por la seccin recta transversal A, se observa que:

n= P/A (2.1

n= 0 (2.2

La hiptesis de Bernoulli se comprueba experimentalmente observando que en una barrasin carga en la que se trazaron lneas rectas paralelas y perpendiculares a su ejelongitudinal, con carga las lneas paralelas al eje longitudinal se alargan por igual (La

deformacin longitudinal es constante),

Fig. 2.1 Hiptesis de Bernoulli

Entonces si X = cte, de la ley de Hooke se concluye que como el rea es tambinconstante, las tensiones resultan constantes. Para una pieza de seccin variable lastensiones varan inversamente proporcionalmente a la magnitud del rea


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Si en lugar de cortar la barra por la seccin recta transversal A, se la corta por una seccininclinada en un ngulo

Fig. 2.3 Tensiones en una seccin inclinada

Por equilibrio, la fuerza externa P genera una fuerza interna de igual magnitud, sin embargoesta ya no es perpendicular a la seccin y se la puede descomponer en una componente Nperpendicular a la seccin que producir tensiones normales y en otra componente Qtangencial a la seccin que producir tensiones cortantes. Se tiene:

N = P Cos (2.3

Q = P Sin (2.4

= N/A (2.5

= Q/A (2.6

AN= ACos (2.7

De 2.2, 2.3 y 2.6

= N/A= P Cos /(AN/Cos ) = P Cos2 / AN (2.8

= (P/2AN) (1 + Cos 2 ) (2.9

De 2.4, 2.5 y 2.6

= Q/A= P Sin /(AN/Cos ) = P Sin Cos / AN (2.10

= (P/2AN) Sin 2 (2.11

Reemplazando = 0 en 2.7 y 2.8, se verifican los resultados obtenidos en 2.1

La ecuacin de una circunferencia es :

(xxo)2+ (yyo)2= R2 (2.12

Y se verifica que

(- P/2AN)2+

2= (P/2 AN)2 (2.13


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P/2AN

max

max

Fig. 2.4 Tensiones en una seccin normal

Entonces, la relacin entre las tensiones y puede se representa por una circunferenciacon un radio de P/2AN y con centro desplazado horizontalmente con el mismo valor delradio.

b) Tensiones Principales

Se llaman tensiones principales a las tensiones mximas. De 2.7, 2.8 y del grfico

Para = 0 max= N= P/AN min= 0 (2.14

Para = 45 45= P/2AN max= P/2AN (2.15

Para cargas de traccin y compresin en una dimensin las tensiones normales mximosocurren en una seccin transversal = 0 y las tensiones cortantes mximos en una seccina = 45. Para prevenir la falla, ambos tensiones mximas no deben exceder las fluencias.

max= P/AN< Sy (2.16

max= P/2AN < Sy (2.17

c) Deformaciones

Una pieza recta de seccin constante y longitud l cargada en sus extremos por una fuerza

de traccin (compresin) sufre una deformacin L

Fig. 2.5 Deformacin en una pieza de seccin constante

En la zona elstica, la deformada es proporcional a la carga y es vlida la ecuacin deHooke

x= P/AN= E x (2.18

y= z= 0 (2.19

x= /L (2.20

y= z= - x= - x/E (2.21


39/293

Entonces x= PL/EA (2.22

Resultado vlido para piezas con seccin constante. Para piezas con seccin variable seaplica la anterior ecuacin a un elemento diferencial dx donde el rea se puede considerarconstante.

dx

PP

llf

Fig. 2.6 Deformacin en una pieza de seccin variable

d= Pdx/EA (2.23

l

EA

Pdx

0

(2.24

Para una seccin transversal constante se obtienen los mismos resultados de 2.17

d) Cargas, Tensiones y Deformadas debido al Peso Propio

En objetos de gran altura como por ejemplo edificios, torres y otros, el peso propio es unacarga que tiene mucha importancia y debe ser tomada en cuenta. El peso es una carga

variable ya que a analizando una seccin horizontal a una altura y, esta soporta el peso dela porcin del objeto que se encuentra encima de ella. Para entender mejor esto se presentala analoga de una torre humana de 3 personas cada una con un peso de 75 Kg. En statorre la persona de arriba no soporta sobre sus hombros ninguna carga, la del medio soporta75 Kg. y la de abajo soporta 150 Kg. sobre sus hombros.

y

h

dy A

W(y)

Peso

sobre "y "

Fig. 2.7 Peso Propio

Para un elemento diferencial dy el rea de la seccin se considera constante y su peso es

dW = A(y) dy (2.25

El peso de la porcin de la pieza que se encuentra sobre una seccin a una altura y es

h

y

dyyAyW )()(

(2.26


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Un error comn es tomar el lmite inferior como cero, ya que en este caso el peso calculadoes el de toda la pieza. Entonces se enfatiza en que el lmite inferior de la integral es y.

La tensin en una seccin a una altura y es:

)(

)(

)(

)()(

yA

dyyA

yA

yWy

h

y

(2.27

La deformacin longitudinal debido al peso propio se halla con la ecuacin 2.19reemplazando en ella el peso como carga

h

h

yh

EA

dydyyA

EA

Pdy

00

)(

(2.28

e) Deformaciones debido a la temperatura

Adems de las deformadas debido a las cargas externas se presentan deformadasoriginados por cambios de temperatura, conocidas como dilataciones y contracciones. Loscambios de temperatura originan una deformacin lineal uniforme en todas las direcciones,que se calcula por :

lf= l +l T (2.29

Entonces t= l T (2.30

t= T (2.31

es el coeficiente de dilatacin que es un valor especfico de cada material.

Material

Aluminio 23.2

Fundicin 10.4

Cobre 16.7

Acero 11.7

Hormign 10.8

Las deformada total es por consiguiente la suma de las deformadas debido a cargasexternas y la deformada debido a los cambios de temperatura.

tot = mec+ t= /E + T (2.32

Si la deformacin por cambios de temperatura se restringe, provocan tensiones. Paraencontrar estas tensiones, se usa la anterior ecuacin escrita en otra forma que se conocecomo la ley de Hooke extendida o la ley de Duhamel Neumann

= E (tot- T) (2.33

Cuando la expansin trmica de un sistema se restringe por ejemplo anclando una piezaentre dos paredes rgidas, aun pequeos cambios de temperatura producen grandestensiones trmicos. Esto se debe al mdulo de Young que para la mayora de los materialesusados en Ingeniera es grande


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2.4 Traccin Compresin Biaxial

a) Tensiones

Considrese un elemento diferencial sometido simultneamente a cargas de traccincompresin en dos direcciones

Fig. 2.8 Tensiones en Traccin Compresin Biaxial

En la seccin inclinada aparecen simultneamente tensiones normales y cortantes .

Por trigonometra

LCos = dy (2.34

LSin = dx (2.35

De la esttica

F1 = 0 Ldz - ydx dz Sin - xdy dz Cos = 0 (2.36

- ySin2 - xCos2 = 0 (2.37

= y(1-Cos 2)/2+ x(1+ Cos 2)/2 (2.38

= (y+ x)/2+(x- y)(Cos 2)/2 (2.39

F2 = 0 Ldz + ydx dz Cos -xdy dz Sin = 0 (2.40

+ ySin Cos - xSin Sin = 0 (2.41

= (x-y)(Sin2)/2 (2.42

Las ecuaciones 2.26 y 2.29 dan las tensiones normales y cortantes para una seccininclinada.

Ya que (Sin 2 )2+( Cos 2 )2= 1 (2.43

Entonces [-(x+ y)/2]2+

2= [(x - y )/2]2 (2.44

Similar a una dimensin, las ecuaciones representan una circunferencia con desplazamientoen de (x+y)/2, sin desplazamiento en y radio igual al (x- y)/2. Esta ecuacin nonecesariamente pasa por el origen


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(x-

y)/2

max

max

(x y)/2

Fig. 2.9 Circulo de Mohr en Traccin Compresin Biaxial

b) Tensiones Principales

Las tensiones mximas o principales son:

Para = 0 max= x min= 0 (2.45

Para = 90 max= y min= 0 (2.46

Para = 45 min= 0 max= (x-y)/2 (2.47

Una pieza sometida a traccin compresin en dos dimensiones tiene tensiones normales

mximas en los ejes x y y, y tensiones cortantes mximos en secciones inclinadas a =45.

Para que la pieza no falle, las tensiones mximas no deben exceder los lmites de fluencia

max< S y (2.48

max< Sy (2.49

c) Deformaciones

En la figura se muestra un elemento sometido a traccin compresin en dos dimensiones obiaxial

Fig. 2.10 Deformaciones en Traccin Compresin Biaxial

Debido a que las ecuaciones son lineales, se aplica el principio de superposicin, donde sehallan primero las deformaciones originadas slo por las cargas horizontales y luego las


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deformaciones originadas slo por las cargas verticales. Las deformadas totales se hallanpor la superposicin o combinacin de ambos resultados parciales.

Considerando inicialmente slo las tensiones horizontales

x= x/E (2.50

y= - q= - x/E (2.51

Considerando ahora slo las tensiones verticales

y= y/E (2.52

x= - q= - y/E (2.53

Superponiendo

xt= x/E - y/E = x- y (2.54

yt = y/E - x/E = y- x (2.55

2.5 Tensiones en Recipientes de Pequeo Espesor

a) Tensiones en Recipientes Cilndricos de Pequeo Espesor

Considerando recipiente cilndrico de radio interior r y espesor de pared t, que contiene unfluido a presin. Se van a determinar las tensiones ejercidos sobre un pequeo elemento depared con lados respectivamente paralelos y perpendiculares al eje del cilindro. Debido a lasimetra axial del recipiente y de su contenido, no se ejercen tensiones cortantes sobre elelemento.

Figura 2.11 Recipiente cilndrico

Las tensiones 1y 2mostrados en la figura 2.11 son por tanto tensiones principales. Eltensin 1 se conoce como tensin de costilla y se presenta en los aros de los barriles demadera. El tensin 2 es el tensin longitudinal. Para determinar las tensiones de costilla seretira una porcin del recipiente y su contenido limitado por el plano xy y por dos planosparalelos al plano yz con una distancia x de separacin entre ellos. Se aclara que pes lapresin manomtrica del fluido.


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Figura 2.12 Trozo del cilindro

Con la ecuacin de equilibrio de fuerzas en z se halla el tensin de costilla:

p (2r) x= 2 1x t (2.56

1= p r / t (2.57

Para hallar el tensin longitudinal 2 como se muestra en la figura 2.13 se hace un corteperpendicular al eje x y se considera, el cuerpo libre, consta de la parte del recipiente y desu contenido a la izquierda de la seccin

Figura 2.13 Corte del cilindro

De la sumatoria de fuerzas en z, finalmente se concluira que:

p ( r2

) = 22 r (2.58

2= p r / (2 t) (2.59

El tensin en la costilla es el doble del tensin longitudinal

b) Tensiones en Recipientes Esfricos de Pequeo Espesor

Debido a la presin interior p, un elemento diferencial y por la simetra de la esfera estarsometido a las tensiones 2uniformes


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Fig. 2.14 Tensiones en un Recipiente de Pared Delgada Esfrico

La tensin 2se halla de una manera similar a la tensin longitudinal en cilindros

De la sumatoria de fuerzas en x, finalmente se concluira que:

p ( r2) = 22 r (2.60

2= p r / (2 t) (2.61

2.6 Problemas Estticamente Indeterminados (Hiperestticos)

Cuando en una barra o en una estructura el nmero de ecuaciones de equilibrio es inferior alnmero de incgnitas, se dice que es un caso Hiperesttico. Estos casos suelen darsecuando la barra o la estructura tiene apoyos (ligaduras) de ms. Para resolver pues un casohiperesttico no sern suficientes las Ecuaciones de equilibrio y se buscarn paracomplementarlas Ecuaciones de Deformacin,


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PROBLEMAS RESUELTOS

2.1. Una pieza con una seccin de 1 cm est sometida a una fuerza de traccin en unadimensin de 100 Kg. Hallar las tensiones en secciones con ngulos de 0 hasta 360 conun intervalo de 10.

Solucin:

2.2. Hallar las tensiones mximas del 2.1.

Solucin: max = P/AN = 100/1 = 100 Kg/cm

max = P/2AN = 100/2 = 50 Kg/cm

2.3. Una pieza est sometida a cargas de traccin compresin en dos dimensiones con x=

90 Kg/cm y y= -120 Kg/cm. Hallar las tensiones para ngulos desde 0 hasta 360 con unintervalo de 10. Graficar los resultados.

(Gr) (Rad)

=(P/2An)(1+Cos 2) =(P/2An)(Sin 2)0 0.0 100.0 0.0

10 0.2 97.0 17.1

20 0.3 88.3 32.1

30 0.5 75.0 43.3

40 0.7 58.7 49.2

50 0.9 41.3 49.2

60 1.0 25.0 43.3

70 1.2 11.7 32.1

80 1.4 3.0 17.1

90 1.6 0.0 0.0

100 1.7 3.0 -17.1

110 1.9 11.7 -32.1

120 2.1 25.0 -43.3

130 2.3 41.3 -49.2

140 2.4 58.7 -49.2150 2.6 75.0 -43.3

160 2.8 88.3 -32.1

170 3.0 97.0 -17.1

180 3.1 100.0 0.0

190 3.3 97.0 17.1

200 3.5 88.3 32.1

210 3.7 75.0 43.3

220 3.8 58.7 49.2

230 4.0 41.3 49.2

240 4.2 25.0 43.3

250 4.4 11.7 32.1

260 4.5 3.0 17.1

270 4.7 0.0 0.0

280 4.9 3.0 -17.1

290 5.1 11.7 -32.1

300 5.2 25.0 -43.3

310 5.4 41.3 -49.2

320 5.6 58.7 -49.2

330 5.8 75.0 -43.3

340 5.9 88.3 -32.1

350 6.1 97.0 -17.1

360 6.3 100.0 0.0

-60.0

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

-50.0 0.0 50.0 100.0

Esf Normal

EsfCorte


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Solucin:

2.4. Hallar las tensiones mximas del problema 2.3.

Solucin: = 0 max= x= 90 Kg/cm

= 90 max= y= -120 Kg/cm

= 45 max= (x- y)/2 = 105 Kg/cm

2.5. Una pieza cilndrica de Acero tiene = 3 cm y largo L = 100 cm est sometida a una

carga de 1000 Kg. Tomando Sy= 1800 Kg/cm y Sy = 960 Kg/cms

se pide hallar:

Las tensiones mximas

Las tensiones a 30o

Las deformadas total, unitaria longitudinal y transversal

Los coeficientes de seguridad

Solucin:

a) A = 2/4 = 7,07 Kg/cm

max= N= P/AN= = 141,47 Kg/cm para = 0o

(Gr) (Rad)

= (x+y)/2 +

(x-y)(Cos 2)/2 =(x-y)(Sin 2)/2

0 0.0 90.0 0.0

10 0.2 83.7 35.9

20 0.3 65.4 67.5

30 0.5 37.5 90.9

40 0.7 3.2 103.4

50 0.9 -33.2 103.4

60 1.0 -67.5 90.970 1.2 -95.4 67.5

80 1.4 -113.7 35.9

90 1.6 -120.0 0.0

100 1.7 -113.7 -35.9

110 1.9 -95.4 -67.5

120 2.1 -67.5 -90.9

130 2.3 -33.2 -103.4

140 2.4 3.2 -103.4

150 2.6 37.5 -90.9

160 2.8 65.4 -67.5

170 3.0 83.7 -35.9

180 3.1 90.0 0.0

190 3.3 83.7 35.9

200 3.5 65.4 67.5

210 3.7 37.5 90.9

220 3.8 3.2 103.4230 4.0 -33.2 103.4

240 4.2 -67.5 90.9

250 4.4 -95.4 67.5

260 4.5 -113.7 35.9

270 4.7 -120.0 0.0

280 4.9 -113.7 -35.9

290 5.1 -95.4 -67.5

300 5.2 -67.5 -90.9

310 5.4 -33.2 -103.4

320 5.6 3.2 -103.4

330 5.8 37.5 -90.9

340 5.9 65.4 -67.5

350 6.1 83.7 -35.9

360 6.3 90.0 0.0

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

-150.0 -50.0 50.0

Esf Norm al

EsfCorte


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max= P/2AN= 70,73 Kg/cm para = 45o

b) = (P/2AN)(1 + Cos 2)

30= 106,10 Kg/cm

= (P/2AN) Sin 2

30= 61,25 Kg/cm

c) = Pl/EA = 6,73 x 10-3 cm

= /l = 67 x 10-6 ( 67 x 10 4%)

q= -= -20,20 x 106 (-20,20 x 104%)

q= qd = -60,6 x 106cm

d) = Sy/max= 1800/141,47 = 12,72

= Sy/max= 960/70,73 = 13,57

2.6. Una pieza de a = 2 cm de ancho por b = 3 cm de alto y c = 1 cm de profundidad estsometida a una fuerza horizontal de 100 Kg. y una vertical de 200 Kg. Se pide hallar lasdimensiones finales. Tomar = 0.3

200[kg]

100[kg]

c

b

a

Solucin:

x= Fx/(b c) = 33,33 Kg/cm

y= Fy/(a c) = 100,00 Kg/cm

xt= x/E - y/E = 1,58 x 10-6

yt= y/E - x/E = 4,28 x 10-5

af= a + a xt= 2,000003 cm

bf= b + b yt= 3,00012 cm

2.7. En la pirmide truncada de rea transversal cuadrada de la figura. Se pide calcular:

a) El peso parcial sobre cualquier altura y

b) El tensin normal mximo


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c) La deformada total

y

1000[cm]

dy

60[cm]

90[cm]

AA

SEC. A-A

Solucin: b(y) = (- 30/1000) y + 90

a) El peso sobre y es

dyydyyAyW

h

y

h

y

2

901000/30)()(

30)3(

1000901000/3060)(

33 yyW

b) El tensin normal es mximo en la base ( y = 0)

3

33

max90

)9060(1000

max= 703.83

c) La deformada

l

EA

Wdy

0

ydl

yE

dyy

0 2

901000

30

390

1000

3036090

1000

)30(2

10009060

90

1

60

1

30

100060

90

1000 223

E

2.8. En la pieza cnica truncada de la figura, se pide hallar la deformacin debida a la accinde la fuerza P y del peso propio.


50/293

y

h

dyD/2

D

BB

SEC. B-B

P

Solucin:

h

EA

dyyWP

0

)(

12 h

yDd

22

1244

h

yDdA

dyy

h

yDdy

yyAyW

0

124

0

)()(

2

)33(48

)( 22

2

2

hyhyh

yDyW

hh

h

yDE

dyhyhyh

yD

h

yDE

Pdy

0

2

22

2

2

0

2

124

)33(48

124

2

2

3

)Dh(24P

DE

h

2.9. En el sistema de la figura se piden las tensiones en los cables.

l/2

P

(b) (c)

l l

(a) (b) (c)

l l

a

b

c

Solucin:

Fy = 0 Ta+ Tb+ Tc= P (i

Ma = 0 P l/2TblTc2l = P/2 - TbTc2 = 0 (ii

El sistema es hiperesttico ya que son tres incgnitas (Ta , Tb ,Tc) y slo 2 ecuaciones. Latercera ecuacin se halla analizando las deformaciones


51/293

(a-c)/2l = (b-c)/l

c

c

b

b

c

c

a

a

EA

T

EA

lT

EA

lT

EA

lT2

TaTc= 2 (TbTc)

Ta2 Tb+ Tc= 0 (iii

De i, ii y iii Ta= P - Tb- Tc= 2 Tb- Tc

Tb= P/3

Tc= P/12

Ta= 7P/12

2.10. En el sistema de la figura se piden las tensiones en los cables

O

O'

P

ab c

Solucin:

lb= laSin = 0.5 la

lb= lcSin = 0.866 lc

Fy = 0 TaSin + Tb+TcSin = P

Ta0.5 + Tb+ Tc0,866 = P (I

Fx = 0 TaCos = TcCos

Ta0,866 = Tc/2 (ii

Ma = 0 No existe ya que las fuerzas son concurrentes

El sistema es hiperesttico ya que son tres incgnitas (Ta, Tb,Tc) y slo 2 ecuaciones. De laecuacin de deformadas

O

O'

O

O'


52/293

Del grfico a= OOSin (-) = Tala/ EA (iii

b= OOSin (90-) = Tblb/EA (iv

c= OOSin (+) = Tclc/EA (v

De iii y iv Tala/ Sin (-) = Tblb/ Sin (90-) (vi

De iv y v Tblb/ Sin (90-) = Tclc/ Sin (+) (vii

la0.5 = lb

lc0,866 = lb

De vi Tala/(Sin Cos- Sin Cos ) = Tblb/ Cos

Ta(lb/0.5)/(Cos0.5- Sin 0,866) = Tblb/ Cos

Ta= 0.5Tb( 0.5- 0.866 Tan )

0.5 - (Ta/ 0.5Tb) = 0.866 Tan

Tan = [( 0.52Tb- Ta) / (0.5Tb)]/0.866 (viii

De vii Tblb/ Cos= Tclc/ SinCos+SinCos)

Tblb/ Cos= Tc(lb/0.866)/ (0.866Cos+Sin0.5)

0.5 Tan = (Tc/0.866 Tb)0.866

Tan = [(Tc0.8662Tb) / (0.866 Tb)]/0.5 (ix

De viii y ix [( 0.52Tb - Ta) / (0.5Tb)] 0.5 = [(Tc0.8662Tb) / (0.866 Tb)] 0.866

( 0.52Tb- Ta) = (Tc0.8662Tb)

( 0.52Tb- Ta) = (Tc0.8662Tb)

Tb= Ta+ Tc (x

Esta ltima es la ecuacin de deformaciones buscada.

De x y i Ta0.5 + (Ta+Tc)+ Tc0,866 = P

1.5 Ta+ 1.866 Tc= P

1.5 Ta+ 1.866 (2Ta0.866) = P

Ta= 0.211 P 0.29 P

Tc= 0.366 P 0.42 P

Tb= 0.577 P 0.5 P

2.11. En el sistema de la figura se piden hallar las tensiones en los cables a y b. La barrahorizontal se supone rgida y articulada en la pared


53/293

l/2

(a) (b)

Pl/2

l/2

l/2

Ta

Tb

Pl/2

Ry

Rx

Solucin:

Tan = (l/2)/(l/2) = 1

= 45

Tan = (l/2)/l = 0.5

= 26,56

Fx = 0 Rx- TaCos -TbCos = 0 (i

Fy = 0 Ry+ TaSin +TbSin -P = 0 (ii

Mo = 0 - TaSin l/2 -TbSin l + P l = 0

Ta0.3535 + Tb0.4472 = P (iii

Son tres ecuaciones con cuatro incgnitas Rx , Ry , Ta y Tb

l/2

A

a

b

A'

B'

Del grafico laCos = l/2

lbCos = l

a= AASin

b= BBSin

AA = BB/2

Entonces AA = a / Sin = BB/2 = b /2 Sin

Tala/(EA Sin ) = Tblb/ (2EA Sin )

Ta/(2 Cos Sin ) = Tb/ (2 Cos Sin )

Ta/ Sin (2 ) = Tb/ Sin (2 )

Ta/ 1 = Tb/ 0.8 (iv


54/293

Que es la cuarta ecuacin buscada, De donde

Ta= 1.405 P

Tb= 1.124 P

2.12. Hallar las tensiones en los cables a y b

P

Ry

Rx

Ta Tb

P

(a) (b)

l/2

l/2

Solucin:

Fx= 0 Rx+ TaSin 30 = 0 (i

Fy= 0 Ry+ TaCos 30 + Tb-P = 0 (ii

Mo= 0 -Tal/2 -TbSin 60 l + P Sin 60 l/2 = 0

-Ta0,5 -Tb0,866 + P 0,433 = 0 (iii

El 2.es hiperesttico con tres ecuaciones y cuatro incgnitas Rx , Ry , Ta y Tb

(a)

b

A

A'

B

B'

lbCos 30 = la

a= AASin 90

b= BBSin 60

AA = BB/2

Entonces AA = a/ Sin 90 = BB/2 = b/(2 Sin 60)

Tala/(EA) = Tblb/ (2EA Sin 60)

TalbCos 30 = Tblb/ (2 Sin 60)

Ta1,5 = Tb (iv

Resolviendo


55/293

Ta= 0,2406 P

Tb= 0,361 P

2.13. Se pide hallar el dimetro de la barra AC. Tomar Sy = 1800 Kg/cm

P

20

30

B

B

A

C

60

P

TAC

2TBC

Cos

Vista Lateral

Solucin:

Tan = 20/60 = 18.43

Tan = 15/60 = 14.03

Fy = 0 TACSin = P

TAC= 3163.09 Kg Traccin

Fx = 0 TACCos + 2TBCCos = 0

TBC= - 1546.56 Kg Compresin - Pandeo

Analizando solo la barra AC

AC= TAC/(dAC2/4) < Sy

dAC= 1.49 cm

2.14. En el sistema de la figura se piden las reacciones en A y B

Solucin:

Fy= 0 Rb= Ra+ P (i

El sistema es hiperesttico con una ecuacin y dos incgnitas Ra y Rb. Las ecuaciones de

los crculos respecto del sistema x - y son

x2+y2= 302

x2+ (y-40)2= 152

60[cm]

40[cm]

30[cm]

A

B

T

A

B

yx

Ra

2

1P P

Rb


56/293

los dimetros 1= 2 (302-y2)1/2

2= 2 [152-(y-40)2]1/2

stos se igualan a un altura de

2(302-y2)1/2= 2[152-(y-40)2]1/2

302

-y2

= 152

- y2

+ 80y1600

y = 28,43

ec deformaciones

t= 1+2= 0

dy

yyE

R

yE

dyR aa

43.28

0

43.28

0

22/1221 )30(

1

)30(

1

60)30(2

4

)6167.3(60

1

E

Ra

dy

yyE

PR

yE

dyPR aa

40

43,28

40

43,28

22/1222

)40(15

1

)40(15

1

30

)(

))40(15(2

4)(

)0472.2(30

)(2

E

PRa

0)0472.2(30

)()6167.3(

6021

E

PR

E

R aa

Ra= - 0.259 P

Rb= 0.741 P

2.15. Se pide hallar las reacciones en las paredes

60

45 1030

30P

A B

P

A B

RA

RB

x

1 2 3

RA

Solucin:

Fx= 0 Rb+ P = Ra (i

Los dimetros y deformadas

d1= -30 x/45 + 60

d2= 30

d3= 3 x - 195


57/293

3045

)6045/30(

4

6045/30

445

0

21

xE

Rdy

xE

dyRaa

7

1 09,9)60

1

30

1(

30

)45(4 eRE

Ra

a

8

22 02,2

30

)4(30 eR

E

Ra

a

)3)(1953()(4

1953

4)(85

75

23

xE

PRdy

xE

dyPR aa

9

3 36,3)()30

1

60

1(

)3(

)(4

ePRE

PRa

a

La ec de deformadas

t= 1+2+3=

Ra9,09 E-7+Ra2,03 E

-8+(Ra-P)3,36 E-9= 0,001

Ra= 0.75 P

Rb= 0.25 P

2.16. Hallar las tensiones en las barras del sistema de la figura

30

a b a100 cm

P

Ta

Tb

P

Ta

Solucin

Fx= 0 TaCos 30 = TaCos 30 No aporta

Fy= 0 2 TaSin 30 + Tb= P (i

M = 0 Las fuerzas son concurrentes

Se tiene una ecuacin y dos incgnitas. De las deformaciones

30

ab

a

a

b

O

O'

b= OO


58/293

a= OOSin 30

b= a/Sin 30

Tblb/EA = Tala/(EA Sin 30)

laSin 30 = lb

TblaSin 30 = Tala/Sin 30

Tb= Ta/ Sin2 30

4 Tb= Ta (ii

De i y ii 2 (4 Tb) Sin 30 + Tb= P

Ta= 0.2 P

Tb= 0.8 P

2.17. Tres barras se encuentran articuladas en A para soportar juntas, un peso W como seindica en la figura. El desplazamiento horizontal del punto A esta impedido por una varillacorta horizontal AO que se supone infinitamente rgida, a) Determinar las expresiones paracalcular las tensiones en cada una de las barras y la fuerza total sobre la barra AO. b)Utilizando las anteriores relaciones determinar las tensiones s: A1= A2= A3= 2 cm = 30;

= 45; W = 2500 [ Kg].

L

L1,A

1,E

0

L2,A

2,E

0

L3,A

3,E

0

a

W

Solucin.

Mo = 0

0)cos()cos( 321 WaaTaTaT

0coscos 321 WTTT (i

Adems 21/cos

23/cos (ii


59/293

l1Cos = l2= l3Cos (iv

2

2

12

1 cos TA

AT

2

2

32

3 cos TA

AT

(v

1

3

3

3

2

1

2

1coscos

cos

AAA

WAT

(vi

1

3

3

3

2

22

coscos AAA

WAT

(vii

1

3

3

3

2

32

3coscos

cos

AAA

WAT

(viii

Adems

R

T1

T2

T3

x

y

W

013 RsenTsenT

1

3

3

3

2

12

32

coscos

)cos(cos

AAA

AsenAsenWR

(ix

Con los datos se halla que:

T1= 936.062 Kg

T2= 1248 Kg

T3= 624.041 Kg

R = - 26.768 Kg

2.18. Hallar la deformacin total de la barra de la figura, considerando el material Acero conD = 10 cm, l = 50 cm, E = 2.1x106 Kg/cm y P = 2000 Kg

P 2PDD/3

l/2 l/2 l/2

D/2


60/293

2/3

3

3

2/ 2

2

2/

0 1

1

l

l

l

l

l

TEA

dxP

EA

dxP

EA

dxP

P1= -P (compresin) P2= -P (compresin) P3= P (traccin)

21

DD

31

Dd

144

5)(

22

1

2

11

DdDA

)4

2(

422

l

lxD

D

l

DxD

32

Dd

9

1

4

2

4)(

222

2

2

22l

lxDdDA

)4

2(

423

l

lxD

D

l

DxD

03d

22

2

3

2

334

2

4)(

l

lxDdDA

222

2/3

3

3

2/ 2

2

2/

0 1

1

3

8

13

25ln

12

5

72

ED

Pl

ED

Pl

ED

Pl

EA

dxP

EA

dxP

EA

dxP l

l

l

l

l

T

Reemplazando T = - 0,00296 cm

2.19. En el sistema mostrado en la figura, se pide determinar las reacciones que soportanlas paredes rgidas por efecto de las cargas que se indican. Considerar una seccinrectangular de espesor constante b y los siguientes datos:

L = 30cm; H = 10 cm; h = H/3; E = 2.1x106 Kg/cm ; P = 5000 Kg; b = 5 cm

Solucin:

l

l

l

l

l

l

l

TEA

dxP

EA

dxP

EA

dxP

EA

dxP 3

2/5 3

4

2/5

2 3

3

ejercicios resueltos torsion.pdf

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