ejercicios resueltos de intervalos y desigualdades

8/10/2019 Ejercicios Resueltos de Intervalos y Desigualdades

1/24

1

(4, 4]

(, - 4]

( ]

- 4 4

[4, )

Tarea

1


2/24

2

[ ]

- 4 2

( ]

1 4

[

2.5

]

3

)

2

(

3.

) (

1 2

) (

1 4

[ ]

2 3

[ )

4 5

Matemticas IV

Unidad 2El Conjunto de los Nmeros Reales

(Tarea 1)

2.1 Representa en la recta numrica y escribe en notacin de conjuntos los intervalos de losincisos siguientes:

a)

[-4, 1] ={X / -4 X 1}

b) [-2, 3] ={X/ -2 X 3}

c)

(1, 5)= {X/ 1 < X < 5}

d) (1, 4]= {X/ 1 < X 4}

e)

[2.5, )= {X/ 2.5 X}

f) (-, 3]= {X/ X 3}

g)

(-,2)= {X/ X < 2)

h)

(,)= {X/ < X}

i)

(-, 2] U (3, )= {X/ X 2 o X > 3}

j) (-, 3) U (3, ) ={X/ X R - {3}}

k) (-, 1) U (4, ) ={X/ X < 1 o X > 4}

l)

(-, 1) U (2, ) ={X/ X < 1 o X > 2}

m)[2, 3] (1, 5) ={X/ 2 x 3}

n)

(-5, 5) [4, 7] ={X/ 4 x < 5}

o) (-, 1) (2, ) ={X/ X < 1 y X > 2} No existe su representacin grfica

[ ]

- 2 3

( )

1 5

] (

2 3


3/24

3

)

4

[

4

[ )

- 2 1

[ )

0 3

] (

2 3

( )

3 4

( )

- 5 1

( ]

- 1 3

( )

- 1 1

[ ]

1 4

[ )

0 3

2.2. - Representa en la recta numrica los siguientes intervalos:

a)

x < 4 =

b)

x

4 =

c)

- 2 x < 1 =

d) x

0 y x < 3 =

e) x > - 4 y x 4 =

f)

x 2 o x > 3 =

g) x > 3 y x < 4 =

h)

x > -5 o x < 1 =

i) x 3 y x > -1 =

j)

x > -1 y x > 1 =

k) x 4 y x 1 =

l)

x < -1 y x > 2 = No hay representacin grfica

m)x 0 o x < 3=

( ]

- 4 4


4/24

4

2.3. - Dados los intervalos E = [ -3 , 5), F = ( 1 , ), G = ( -1 , 5 ], H = ( - , 1 ]efecta las operaciones siguientes:

a) E U H = ( - , 5) / - < x < 5

b)

F G = (1, 5] / 1 < x 5

c)

E - F = [ -3, 1] / -3 x 1

d) EF

= (- , -3) / - < x < -3

e)

H - E = [5, ) / x 5

f) E U G

= (- , -1] U [5, ) / x -1 o x 5

g)

E U F U G = [-3, ) / x -3

h) E F G = (1, 5) / 1 < x < 5


5/24

5

3x2< 10

72x x + 5 o 2x x + 1

- 4 - 1

- 4 < x < -1

Tarea2


6/24

6

a) 2y - 16 > 02y > 16

y > 16/2

y > 8

b) 3x2< 103x < 12

x < 12/3

x < 4

c) 4z + 20 0

4z -20

z 20/4

z -5

1

2

d) y + 1 < 7y2-6y < -3

y < -3/-6

y >

e) 2z3 6z + 5

-4z 8z 8/-4

z -2

f) 4x8 x + 1

3x 9

x 9/3

x 3

4

3Z + 3 >

5

6

13

8z > -

h)

8z + 18 > 58z > -13

2

3

11

6

4

3X + >

4

11

i)

11x + 4 > 8

11x > 4

x >

Matemticas IV


(Tarea 2)

2.13 Resuelve las desigualdades siguientes:

11

4

32

52y7

-


7/24

7

j) 3 < 93z 6

3 < 93z y 93z 6

3z < 6 -3z -3

z < 6/3 z -3/-3

z < 2 z 1

1 z < 2

k) 2 < 2y + 6 < 4

2 < 2y y 2y + 6 < 4

-2y < 4 2y < -2y < 4/-2 y < -2/2

y > -2 y < -1

l) 2 3x1 < 8

2 3x1 y 3x1 < 8-3x -3 3x < 9

x 1 x < 3

1 x < 3

m) 2y4 24y > y13

2y4 24y y 24y > y13

6y 6 -5y > -15

y 1 y < 3

1 y < 3

n) 14x 9 o 3x4 5

-4x 8 3x 9

x 8/-4 x 9/3

x -2 o x 3

o) 5x + 3 2x6 o 3x + 2 5x2

3x -9 -2x -4

x

-9/3 x

-4/-2x -3 o x 2

p) 72x x + 5 o 2x x + 1

-3x = -2 -2x = -1

x = -2/-3 x = -1/-2

x o x 2

3

1

2


8/24

8

- 4 - 1

Resultado:

- 4 < x < -1 (-4, -1)

- 2 2

Resultado:

- 2 < y < 2 (-2, 2)

Resultado:

1 < r < 3 (1, 3)

1 3

2.17 Resuelve las desigualdades cuadrticas

a) x2+ 5x + 4 < 0 =

(x + 4) (x + 1)

x + 4 = 0, x + 1 = 0x = - 4 x = - 1

x < - 4 x = -5

- 4 < x < - 1 x = -2 x > -1 x = 0

b)

y2+ 8 < 12 =

y2

- 4 < 0(y + 2) (y - 2)

y + 2 = 0 y - 2 = 0

y = -2 y = 2

y < - 2 y = -3

- 2 < y < - 2 y = 0 y > 2 y = 3

c)

r2< 4r -3=

r2- 4r + 3 < 0

(r - 3) (r - 1)

r = 3 r = 1

r < 1 r = 0

1 < r < 3 r = 2 r > 3 r = 5


9/24

9

1 2

Resultado:

1 < z < 2 (1, 2)

Resultado:

x < - 3 o x > (- , -3) U (1/4, )

Resultado:

-2 < z < (-2, )

-2

d) 3z2 > z2

=

- z2+ 3z -2 > 0

(- z + 2) (z - 1)z = 2 z = 1

z < 1 z = 0

1 < z < 2 z = 1.5 z > 2 z = 3

e) 5x2+ 8x3 > x

2-3x =

5x2+ 8x -3 -x

2+ 3x > 0

4x2+ 11x -3 > 0

(4x -1) (x + 3)4x -1 = 0 x + 3 = 0

x = x = - 3

x < -3 x = - 4 -3 < x < /4 x = 0

x > /4 x = 4

f)

2z2+ 5z -1 < 2z +1 =2z

2+ 5 z -1 -2z -1 < 0

2z2+ 3z -2 < 0

(2z - 1) (z +2)

z = z = -2

z < -2 z = -5

-2 < z < z = 0 z > z = 5

-3


10/24

10

4

Resultado:

< x < 4 (, 4)

Resultado:

y -1/3o y

5/2 (- , -

1/3] U [

5/2, )

-1/3

Resultado:

< x < 4 (, 4)

- /5

g) 2x2+1 < 9x3 =

2X2+ 1 -9x + 3 < 0

2x2- 9x + 4 < 0

(2x -1) (x - 4)

x = x = 4

x < x = 0

< x < 4 x = 2 x > 4 x = 5

h) 6y2

13y +5 =

6y2 - 13y5 0

(3y + 1) (2y - 5)3y + 1= 0 2y -5 = 0

y = -1/3 y =

5/2

i)

8y2+ 5y -7 < -2y2+ 4y5 =8y

2+ 5y - 7 + 2y

2- 4y + 5 < 0

10y2+ y - 2 < 0

(5y - 2) (2y + 1)

5y - 2 = 0 2y + 1 = 0y =

2/5 y = -

y < - y = - 4

- < y < /5 y = 0

y > /5 y = 5

y - /3 y = - 4

- /3y /2 y = 0

y /2 y = 5

/2


11/24

11

Resultado:

r < 5 o r > 7 (- , 5) U (7, )

5 7

Resultado:

x > 1 (1, )

Resultado:

y 3 o y 12 (- , 3] U [12, )

1

3 12

j) 12r + r2-30 > 2r

2+5 =

0 > 2r2- r2 + 30 + 5 -12r

0 > r2- 12r + 35

(r - 7) ( r - 5)

r = 7 r = 5

r < 5 r = 4 5 < r < 7 r = 6

r > 7 r = 8

k) x3> 2x

2- x =

x3

-2x2

+x > 0x ( x

2-2x + 1)

x [(x - 1)2]

x = 1

x < 1 x = - 2 x

x > 1 x = 2

l)

y3

+ 36y 15y2

=y

3- 15y

2+ 36y 0

y (y2- 15y + 36) 0

y [(y - 12) (y - 3)]

y = 12 y = 3

y 3 y = 2 3 y 12 y = 5

y 12 y = 13


12/24

12

2

0

0

Resultado:

2 x 4 [2, 4]

2 4

< 1

< 0

Resultado:

x < -1 o x > 2 (- , -1) U (2, )

- 1 2

2.21 Resuelve las siguientes desigualdades

a) 4

x2

4 - 2 x +4

x2

- 2x + 8

x2

x = 4 x = 2

b) 3

x + 1

3 < x + 1

x + 1

x - 2x + 1

x = 2 x = - 1

x < - 1 x = - 2 - 1 < x < 2 x = 0

x > 2 x = 3

x 2 x = 0

2 x 4 x = 3 x 2 x = 5


13/24

13

3

0

0

Resultado:

y 3 o y 6 (- , 3] U [6, )

3 6

> 2

> 0

- 2 1

Resultado:- 2 < x < 1 (- 2, 1)

0

0

2

Resultado:

y 0 (0, )

c) 9

y3

9 - 3y + 9

y3

- 3y + 18y3

y = 6 y = 3

d) 6

x + 2

6 > 2 x + 4

x + 2

2x - 2x + 2

x = - 2 x = 1

e) 2y +3

y

2y + 32yy

3y

y = 0

y 0 x = - 1

y 0 x = 1 x

y 3 y = 2 3 y 6 y = 5

y 6 y = 7

x < - 2 x = - 3

- 2 < x < 1 x = 0 x > 1 x = 2

0


14/24

14

5

0

0

-1 0

Resultado:

-1 y 0 [-1, 0]

< 2

< 0

- 5 - 2

Resultado:

x < -5 o x > - 2 (- , -5) U (- 2, )

f) 4y -1

y

4y - 1 - 5y

y

- y - 1y

y = -1 y = 0

g) x - 1

x + 2

x - 1 < 2x + 4x + 2

x + 5x + 2

x = - 5 x = - 2

x < - 5 x = - 6 - 5 < x < - 2 x = - 3

x > - 2 x = 0

y -1 y = - 2

-1 y 0 y = - 0.5

y 0 y = 1


15/24

15

0

1 3

2

Resultado:

y 1 o y 3 (- , 1] U [3, )

3

0

Resultado:

x - 2 o x 1 (- , -2] U [1, )

- 2 1

h) 2y + 6

62y

2y + 6 12 - 4y6 - 2y

6y - 6

6 - 2y

y = 1 y = 3

i) 4x + 5

x + 2

4x + 5 3x + 6x + 2

x - 1

x + 2

x = 1 x = - 2

y 1 y = 0

1 y 3 y = 2

y 3 y = 4

x - 2 x = - 3 - 2 x 1 x = 0

y 1 x = 2


16/24

16

3y1

22

-2 -

1

Tarea3 (- b < a < b)

(a

b o a - b)


17/24

17

Matemticas IV


(Tarea 3)

2.24 Resuelve las siguientes desigualdades

a) 2x - 1 < 7 (- b < a < b)

- 7 < 2x - 1 < 7

+1 +1 +1

-6/2

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