aproximaciÓn a la matemÁtica - eco.mdp.edu.ar · valor absoluto. ecuaciones con valor absoluto....

APROXIMACIÓN A LA MATEMÁTICA

1

INGRESO 2019

Aproximación a la

Matemática

FACULTAD de CIENCIAS

ECONÓMICAS y SOCIALES


2

INDICE Programa Eje 1 : El conjunto de los números reales Revisión teórica Ejercitación Respuestas Eje 2 : Funciones algebraicas 2.1 Funciones reales de una variable. Función lineal..Sistemas de ecuaciones lineales. Revisión teórica Ejercitación Respuestas 2.2 Función polinómica. Revisión teórica Ejercitación Respuestas 2.3 Función racional e irracional Revisión teórica Ejercitación Respuestas Eje 3: Funciones trascendentes 3.1 Función exponencial y logarítmica. Revisión teórica Ejercitación Respuestas 3.2 Funciones trigonométricas. Revisión teórica Ejercitación Respuestas

3 4 7 13 16 20 23 25 27 33 39 41 45 48 50 54 57 62 64


3

PROGRAMA de APROXIMACIÓN A LA MATEMÁTICA Eje 1 : El conjunto de los números reales Números reales. Operaciones. Propiedades de las operaciones. Porcentaje. Valor absoluto. Ecuaciones con valor absoluto. Desigualdades en IR. Inecuaciones. Intervalos. Inecuaciones con valor absoluto. Eje 2 : Funciones algebraicas. 2.1 Funciones reales de una variable. Función lineal.Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución analítica y gráfica. 2.2 Función polinómica. Funciones polinómicas y polinomios.

Operaciones con polinomios. Factorización de polinomios. Raíces de un polinomio. Raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros. Teorema de Gauss. Grado y raíces de un polinomio. Gráfico de funciones polinómicas. Dominio e imagen. Conjunto de ceros. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Función por tramos. 2.3 Función racional e irracional Función racional. Operaciones con expresiones algebraicas racionales. Función irracional .Gráfica de las funciones irracionales. Funciones racionales e irracionales. Dominio e imagen. Conjunto de ceros. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Función por tramos. Eje 3 : Funciones trascendentes . 3.1 Función exponencial y logarítmica Función exponencial. Gráfica y análisis de

distintos casos. Logaritmo: definición. Propiedades. Función logarítmica. Gráfica y análisis de distintos casos. Función exponencial y logarítmica: Dominio e imagen. Conjunto de ceros. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. 3.2 Funciones trigonométricas. Ángulos orientados en un sistema de coordenadas cartesianas. Sistemas de medición angular: sexagesimal y circular. Conversión de un sistema a otro. Definición de funciones trigonométricas en un sistema de coordenadas cartesianas Signo de las funciones en los cuatro cuadrantes. Relación entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo. Circunferencia trigonométrica. Funciones trigonométricas de un número real. Análisis de los gráficos de las funciones: seno, coseno, tangente. Dominio e imagen. Conjunto de ceros. Conjuntos de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Periodicidad. Identidades trigonométricas. Definición de inversas de funciones trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas sencillas.


4

El conjunto de los números Reales Revisión teórica

IIQIR

)IR(alesRe

)II(esIrracional

)Q(Racionales

iosFraccionar

)Z(Enteros

)Z(NegativosEnteros

)cero(0

)Z(o)IN(Naturales

Potenciación: definición y propiedades Potencia de exponente natural:

Si a IR y n IN, siendo n >1, se define a.............a.a.aan (n factores)

Por convención, se establece que: a 0 = 1 ( a 0 ) ; a 1 = a Propiedades:

Si a IR ; b IR ; m IN y n IN :

0bb

a

b

a

b.ab.aaa

0a,aa:aaa.a

n

nn

nnnm.nmn

mnmnmnmn

Potencia de exponente entero:

Si a IR - 0 y n Z , se define:

n

n

a

1a

Radicación: definición y propiedades Raíz enésima:

Si a IR y n IN , se define: abba nn

Para n par y a 0: ban b n = a y b 0

Para n impar: ban b n = a

Propiedades:

Si a IR + ; Si b IR + ; m IN ; n IN y p IN :

Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como cociente o razón de dos números enteros. Poseen infinitas cifras decimales no periódicas. a es la base y n es el exponente. Se verifican todas las propiedades mencionadas en potencia de exponente natural. El número a es el radicando y n es el índice.


5

imparnaaparnaa

aa

0b;b

a

b

ab.ab.a

n nn n

n.mm n

n

n

nnnn

Propiedad fundamental : p.n p.mn m aa ó

p:n p:mn m aa

Potencia de base real y exponente racional:

Si m Z y n Z , se define: n mn

m

aa

Ecuaciones lineales : a. x = b , siendo a, b IR

si a 0 entonces la ecuación es compatible determinada (única solución) si a = 0 y b = 0 , ecuación compatible indeterminada (infinitas soluciones)

si a = 0 y b 0 , ecuación incompatible (no existe solución) Valor absoluto y distancia

Si x IR , su valor absoluto es:

0xsix

0xsixx 2121 xxx,xd

Propiedades

Si x IR ; y IR y n Z , se verifica:

yxx-y

xxxxoxx

0y,y

x

y

xy.xy.x

nn222

Intervalos en la recta real

Desigualdades Intervalo Tipo de intervalo

bxa b;ax Abierto

bxa b;ax Cerrado

bxa b;ax Semiabierto o semicerrado

xa ;ax Infinito o no acot.

xa ;ax Infinito

ax x a; Infinito

ax a;x Infinito

Si p divide a “n” y a “m”

x 0

son subconjuntos de IR.


6

Desigualdades y módulo

Propiedades de las desigualdades ;IRc,b,a,c,b,a ba cb ca

;IRc,b,a,c,b,a ba cbca

0IRc;IR,b,a,b,a

ba 0c c.bc.a

0IRc;IR,b,a,b,a

ba 0c c.bc.a

Para resolver las inecuaciones con valor absoluto se utilizan las siguientes propiedades:

Si x , y IR y k IR + , se cumple:

triangularddesigualda"yxyx

kxokxkx

kxkkx


7

El Conjunto de los Números Reales Ejercitación

1. Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas ( V ) o Falsas( F ) :

a) - 32 Q b) 3

8 II c) 5 20 Q

d) 3

125

8 Q e) 3 27 II f)

49

64 Z

2. Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas ( V ) o Falsas( F ) :

a) La suma de dos números racionales es siempre otro número racional. b) El producto de dos números irracionales es siempre otro número irracional.

c) La suma de un número racional con un irracional es siempre un número

racional

d) La raíz cuadrada de un número racional es siempre un número irracional.

e) El producto de dos números reales es siempre otro número real. 3. Resuelve aplicando las propiedades de la potenciación:

a) 5 4

1

: 5 2

1

. 4

5

5

1

5:5

b) 10

7

5

23

)100:10(:10

1

4. Resuelve las siguientes operaciones y simplifica cuando sea posible:

0b;b:b3)g

b10.b5)fx4.x8)e

4572065)d232)c

0x;x.4x.5)b52

35)a

4 3

3 25 45 25 3

5. Escribe en el V o F según corresponda. En el caso de contestar Falso escribe sobre la línea punteada la respuesta correcta.

El número 10 es racional …………………………………. El único número entero mayor que – 15 y menor que – 13 es – 14 …….. El único número mayor que 3,6 y menor que 3,8 es 3,7 ………………


8

Z3.27 .........................................

Q11311 .........................................

3121222753 ...........................................

y2y32.y26 26 4 ….......................................

6. Resuelve :

bayIRb,aba2ba.ba2ba)b

325.325)a

7. Resuelve y expresa la respuesta sin radicales en el denominador:

2111

5)b

47

3)a

33

36)d

53

4)c

8. Indica con una cruz la respuesta correcta:

a) El valor de la expresión 1nn

2nn

22

2.42.3

es igual a :

2 n

2

1

1 - 1 - 2

b) El producto

qpyIRq,p,2

qp

2

qp.

2

qp

2

qp

es :

2

qp

p + q p - q

2

q

0

9. Expresa las siguientes potencias como radicales y, cuando sea posible, resuélvelas:

a) 5

1

243 b) 49 2

1

c) 5 3

1

d) 2

3

25

2


9

e) 2

3

64

5

f) 81 3

1

g) 32 5

1

10. Transforma los radicales en potencias, resuelve y luego expresa el resultado con radicales:

a) 4 3.3 b) 43 20:20 c) 10554:52

11. Indica Verdadero ( V ) o Falso ( F ) y justifica la respuesta.

3 33 bab.aentonces,IRb,aSi)a

236

4

32

3

aa)c

a

1aentonces,0aSi)b

d) 1nn

1nn

44

4.34.5

=

1n4

e) 32

2

2

24 =

30

23

f) 2

1

22

2

g) 3

31

3515

15

12. Despeja la variable indicada en cada caso :

a) b , en 152

3 bA

b) h , en hbA2

1

c) a , en c 2 = a 2 + b 2 d) P, en I = P r t e) C, en M = C + C r t

f) z , en zy

x1

g) a , en c = b + b a


10

13. ¿ Cuáles de las siguientes expresiones u operaciones con números racionales representan :

a) el 30% de 16 ?.

16100

30 16.

100

30

100

30:16

16.3,0

4,8

b) el 12% de 25 ?.

25:100

12

0,12 . 25 25.

100

12

3 25

100

12

14. Plantea utilizando ecuaciones y resuelve:

a) El precio de venta al público de un artículo se marca aumentando en un 40% el precio de costo. En una liquidación se rebajan los precios un 30 %.¿ cuál es el porcentaje de beneficio ó pérdida del comerciante sobre el precio de costo ?.

b) Lee atentamente el siguiente artículo:

Provincia detectó un 22% de infracciones en operativos El Ministerio de Trabajo de la provincia de Buenos Aires detectó un 22 por ciento de infracciones durante

los operativos de control desarrollados en el transporte de pasajeros durante el fin de semana del 19 al 22

de agosto. En Mar del Plata fueron 160 las inspecciones con 13 infracciones detectadas …………..

La Capital, 24 de Agosto de 2011

De acuerdo a los datos aportados por el periódico, ¿Cuál es el porcentaje de infracciones sobre el total de inspecciones realizadas en Mar del Plata?

c) Lee atentamente el siguiente artículo:

Crece el consumo con tarjetas del Banco Provincia

LA PLATA.- Según datos del área de Política Comercial del Banco Provincia, de octubre a diciembre de

2010 crecieron 153% las compras con tarjetas de débito emitidas por la entidad con relación al mismo

lapso del año anterior.

En el último trimestre del año los clientes de la entidad consumieron por 2477 millones de pesos, frente a

los 978 millones registrados el año anterior.

En el caso de las tarjetas de crédito el alza fue de 44%, al pasar de ( … ) a 1350 millones de pesos. ( …).

Fuente : Télam 09/02/11

De acuerdo a los datos aportados, ¿ cuántos millones de pesos se registraron en ventas con tarjetas de crédito en el último trimestre del año 2009 ?


11

d) El precio de una computadora fue rebajado en un 10%. Luego se realizó una rebaja adicional de u$s 55. El nuevo precio es u$s 315 ¿ cuál era el precio original?.

e) El número de ejemplares de un libro vendidos durante el mes de Julio , se

incrementó un 15% respecto del mes de Junio, y en el mes de Agosto, sufrió un descenso del 15% respecto del mes anterior. Si el número de ejemplares vendidos en el mes de Junio superó en 18 al del mes de Agosto, ¿cuántos ejemplares se vendieron en el mes de Junio?.

f) En la primera prueba de admisión para ingresar a la facultad, quedó eliminado el 48% del alumnado. En la segunda prueba, el 20% de los restantes. Si fueron eliminados en total 292 aspirantes, ¿cuántas personas se habían inscripto?.

15. Calcula cada una de las siguientes expresiones:

563)h)g

62)f62)e43)d

40)c90)b6)a

16. Resuelve las siguientes ecuaciones :

42x3)c09x)b1x43)a

2231x3)i93x)h36x2x6)g

x220xx3)f26x)e29x6)d

2222

j) ( – x + 2 ) . ( 3 – x 2 ) = 0 k) ( x + 4 ) 2 – 5 = 0 17. Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones en IR. Expresa el conjunto solución como intervalo o como unión entre intervalos y represéntalos en la recta numérica.

a) 2

1

4

4x

b) 7 x - 9 9 x + 3

c) 6 ( x – 3 ) – 4 ( x + 1 ) 3 d) - 3 2 x + 1 < 5

52

1x32)f4

3

x46)e

33x52.4x)h03x.1x2)g

443x2

x105)j0

x2

3x)i

k) x 2 – ( 4 – x ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) l) ( x – 2 ) ( x + 5 ) x 2 – 2


12

18. Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones en IR. Expresa el conjunto solución como intervalo o como unión entre intervalos y represéntalos en la recta numérica.

91)62)09)

23)623)112)

28

17)1)2)

222

xixhxg

xfxexd

xcxbxa

19. Escribe V o F. En caso de responder Falso , escribe sobre la línea punteada la expresión que sustituya la recuadrada, para que la proposición resulte verdadera.

a) 72

5 ........

b) 323 ........

c) 42753

64

8.8.8.8

8.8-nn

n

........

d) 3.3 aa .........

e) Si 25 x , entonces 3 < x < 7 . .........

f) El conjunto solución de 223

1

x

x es ….....

g) En el mes de Julio 2011 se registraron operaciones de compra-venta de

158.770 autos usados, contra 128.955 vehículos de julio de 2010. Entonces según los datos, el porcentaje de incremento en compra-venta durante ese año fue del 123,12 % ..…… h) Juan cargó nafta el jueves en la Estación de Servicio AKA y le hicieron un

descuento del 5 % por ser socio. Abonó con la tarjeta de crédito del Banco SUR que justo ese día de la semana ofrecía un 20 % de descuento en combustibles. Al finalizar la carga, en el visor del surtidor el monto era de $ 120 ( sin ninguno de los descuentos), por lo tanto abonó efectivamente por esa

compra luego del descuento del Banco $ 90 ……….

3

710

827

32 a

3182 n

1,

1,


13

RESPUESTAS El Conjunto de los Números Reales 1. Son V: a) d) Son F: b) c) e) f) 2. Son V: a) e) Son F: b) c) d) 3. 4. 5. 6. 7. 8.

10

19

4

1

10)b 5)a

b5a3)b 7-)a

)33(3)d )53(2)c

2

2111)b

3

47)a

b9)g

b.2.5b)f x2)e

510)d 23)c

x9)b 52

5)a

4 1

15 758

Vg)

Vf)

II112 - F e)

Vd)

3,65esejemploun Fc)

Vb)

Va)

2

q)b 2)a


14

9. 10. 11. a) V b) V c) V

d) F 3

7

e) F 4

15

f) F 22

g) F 10

3515

12. . 13. 14. a) Pierde un 2 % b) 8,125 % c) 937,5 millones d) u$s 411,1 e) 800 ejemplares f) 500 inscriptos 15. 16.

2

1)g

9

9)f5

512

5)e

2125

2)d5)c

7

1)b3)a

3

3

6310124 32.25.5)d 52

1)c 20)b 27)a

b

bca)g

xy

1z)f

tr1

MC)e

tr

IP)d

bca)cb

A2h)b 15A

3

2b)a 22

3 25.100

12 25.12,0)b

16.3,0 8,4 16.100

30)a

10x10x)f 4x4x)e

6

7x

6

7x)d

3

2x2x)c

9x)b 1x2

1x)a

8)h 0)g 4)f 4)e 7)d 4)c 9)b 6)a


15

j) 3x3x2x k) 54x54x

17.

k) 1],(S l)

3

8,(S

18.

19.

g) F 23,12 %

h) F $ 91,20

),2

1()

2

3,(S)j ),3[)2,(S)i

]5

2,4[S)h )3,

2

1(S)g

)1,3[S)f ]22,8(S)e

)2,2[S)d ]2

25,(S)c

]6,(S)b ),2[S)a

)2,4(S i)

),2[]2,(Sh) ),3[]3,(Sg)

),5[]1,(Sf) ),2

3[]

2

9,(S)e

)1,0(S)d ),7

17()

7

15,(S)c

),1()1,(S)b ]2,2[S)a

]1,3(S F)f

V)e

V)d

V)c

22945 F)b

3

7510 F)a

2x3

4x)i

6x0x)h3x3x)g


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Funciones reales de una variable Función lineal Sistemas de ecuaciones lineales Revisión teórica Funciones reales de una variable

Una función f : A B es una correspondencia que a cada x que

pertenece a A le asigna un único y que pertenece a B.

y)x(fconAx/ByfIm

Conjunto de ceros o raíces C0 = { x Dom f / f (x) = 0 } Conjunto de positividad C+ = { x Dom f / f (x) > 0 } Conjunto de negatividad C- = { x Dom f / f(x) < 0 } f es creciente en un intervalo del dominio de f, si para todo par de

números a y b de dicho intervalo , si bfafba .

f es decreciente en un intervalo del dominio de f, si para todo par

de números a y b de dicho intervalo , si bfafba .

A : Dominio B : Codominio x : variable independiente y : variable dependiente

Im ( f ) B Imagen de f se denota Im ( f )

Composición de funciones

Dadas las funciones DC:gyBA:f , se denomina f

compuesta con g y se la denota fg , a la función:

xfgxfg/DA:fg Esto se lee: g de f de x, es decir que se aplica g al resultado de f(x)

f : IR IR / f (x) = m x + b o y = m x + b es una función lineal

m: pendiente o coeficiente angular b: ordenada al origen y = m x + b es la ecuación explícita de la recta. Ecuación del haz de rectas que pasa por el punto p = ( x0 , y0 ) : y – y0 = m.(x – x 0) (Excepto la recta vertical x = x0 ) Pendiente de una recta que pasa por dos puntos Si la recta pasa por p = ( x0 , y0 ) y q = ( x1, y1 ) , entonces su pendiente es :

m x

y

=

01

01

xx

yy

; x1 x0

La representación gráfica de una función lineal es una recta.

m , b IR

m = tg

es el ángulo que

forma la recta con el

semieje positivo de las x.

b = f ( 0 )

y = Variación de y

x Variación de x


17

Si m 0 , la imagen de la función lineal es IR. Si m = 0 , entonces f (x) = b es la función constante.

Si m = 0 y b 0 , la función no presenta ceros, y la Im f = { b }

Si m = 0 y b = 0 y = 0 , la recta coincide con el eje de abscisas (es la ecuación del eje x).

Si m = 1 y b = 0 f (x) = x es la función identidad. Recta vertical

Si x 1= x o , es una recta vertical de la forma x = a , a IR. No es una función lineal. A x + B y + C = 0 es la ecuación general de la recta o ecuación implícita de la recta. Rectas paralelas y perpendiculares

A : y1= m1 x + b1 ; B : y2= m2 x + b2 son paralelas m1 = m2

A : y1= m1 x + b1 ; B : y2= m2 x + b2 son perpendiculares

2

1m

1m con m2 0

A // B m1 = m2

m1 = m2 y b1 b2 son paralelas no coincidentes m1 = m2 y b1 = b2 son paralelas coincidentes

A B m1 . m2 = - 1 Esta definición no es válida para rectas verticales ni horizontales.

Si y = b ( b IR) entonces es recta perpendicular a ella cualquier recta vertical.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se expresa de la forma:

222

111

cybxa

cybxa donde cada ecuación representa una recta en el plano.

Resolver el sistema significa encontrar todos los puntos ( x ; y ) que tienen en común ambas rectas en el plano, es decir su conjunto solución.

a x + by = c es una ecuación lineal con dos incógnitas siempre que a y b no sean simultáneamente cero. La solución del sistema es todo par de números reales que sea solución de ambas. El conjunto solución es el conjunto de todas sus soluciones. Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución


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Se deben representar ambas rectas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas y hallar la intersección de ambas. Interpretación gráfica de la solución Dos rectas en el plano pueden tener un único punto en común o ser paralelas (no tienen ningún punto en común o son coincidentes) Clasificación

Métodos analíticos para la resolución de sistemas Los métodos empleados más frecuentemente para la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son los siguientes:

r s = ( x ; y ) las rectas se cortan en un punto. La solución es única. El sistema es compatible determinado.

r s = r = s Las dos ecuaciones están asociadas a la misma recta. Tienen infinitos puntos en común. Poseen infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.

r s = Las rectas son paralelas. No tienen ningún punto en común. El sistema no tiene solución. El sistema es incompatible.

(x;y)


19

Método de sustitución Los pasos a seguir son: Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. Resolver la ecuación de primer grado que resulta. Sustituir la solución obtenida en la expresión de la otra incógnita. Método de igualación Los pasos a seguir son: Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones. Igualar las expresiones obtenidas. Resolver la ecuación lineal que resulta. Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las expresiones de la otra incógnita. Método de reducción Los pasos a seguir son: Encontrar ecuaciones equivalentes a las dadas, tales que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos. Restar las ecuaciones obtenidas. Resolver la ecuación con la incógnita que resulta. Sustituir la solución hallada en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para hallar el valor de la otra incógnita.


20

Función lineal Sistemas de ecuaciones lineales EJERCITACION

1. Indica si los siguientes gráficos corresponden a funciones de IR en IR. Justifica la respuesta: a)

b)

c)

d)

e)

2. Encuentra a) f o g ( x ) b) h o g ( x ) c) f o f ( x ) siendo:

2

1x3)x(f

1x5

2)x(g

2x3

1)x(h

3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas:

a) f ( x ) = 2

3 b)

2

1x3)x(f c) 1x

5

2)x(f d) 2x

3

1)x(f

x = 2

f ( x ) = 3 x - 1

3x2

5)x(f

f ( x ) = 3 x – 4

3.1) Indica en cada uno de los incisos cómo son las rectas. 3.2) En cada una de las rectas de b) y d) encuentra las raíces, los conjuntos de positividad y de negatividad y los intervalos de crecimiento y / o de decrecimiento.

4.Se predice la existencia de una relación lineal entre el precio de mercado de un producto y el número de unidades que los proveedores están dispuestos a introducir en el mercado. Dos observaciones muestran que si el precio es $12, la oferta mensual es 40000 unidades, y si el precio disminuye en $2, la oferta disminuye en un 25%.


21

a) Determina la función q = f ( p ) que represente la oferta mensual. b) ¿Se trata de una función creciente o decreciente? ¿Por qué? c) ¿Cuál es el menor precio que el mercado acepta? ¿Por qué?

5. Dadas las siguientes funciones de IR en IR :

2xsi3x

2xsi2x3)x(f

3xsi7x2

3x2si1

2xsi3x2

3

)x(g

Determina : a) f ( 2 ) ; f ( - 1 ) ; f ( 6 ) ; g ( - 2 ) ; g ( - 4 ) ; g ( 2 ) ; g ( 3 ) ; g ( 5 ) . b) La gráfica de cada una de las funciones. c) Indica si son continuas. d) C 0 ; C + ; C - e) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. f) Dominio e imagen de las funciones f y g.

6. Cuando una empresa de colocación y monitoreo de alarmas cobra $ 170 mensuales, tiene 5.000 abonados. Si aumenta la cuota en $ 15 mensuales, el número de abonados disminuye a 4.700. Suponiendo que la expresión que indica la cantidad C de abonados en función del precio p es lineal, determina la función C (p) que se ajusta a esos datos.

7. La demanda de un artículo es 3

p10x ( p: precio ; x: cantidad demandada)

a) Calcula el precio para una cantidad demandada de : 9 , 7 y 2 artículos. b) ¿ Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo ?. c) ¿ Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis ?. d) Grafica.

8. Roxana busca trabajo, consigue la propuesta de dos casas de venta de ropa de damas. En el negocio A , le ofrecen $ 2500 de sueldo mensual y una comisión del 2 % sobre el total de ventas mensuales (en pesos). En el local B le ofrecen $ 3000 mensuales y una comisión del 1 % sobre el total de ventas mensuales (en pesos).

a) Escribe las ecuaciones de las funciones lineales que representan el sueldo mensual en cada caso b) Determina, si es posible, el total de ventas mensuales que deberían producirse para que en ambos locales cobrara lo mismo. c) Si los encargados de ambos locales aseguran que mensualmente las ventas ascienden a $ 120000, ¿ le conviene aceptar la propuesta del local A o B ?.


22

9. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y represéntalos gráficamente :

y2xy

xyx2)f

y22x4

0yx2)e

0yx2

4y2x2)d

1x)yx2(3

1yx)c

61yx

92yx3)b

2x3y

x2

11y

2

1

)a


23

RESPUESTAS

Función lineal Sistemas de ecuaciones lineales

1.

a) Si. b) No, no cumple existencia ni unicidad. c) No, no cumple existencia. d) No, no cumple existencia ni unicidad.

e) No, no cumple existencia.

2. a) 2

5x

5

6)x(gf 0 b)

3

5x

15

2)x(gh 0 c) 2x9)x(ff 0

3. 3.1) a) perpendiculares b) paralelas c) perpendiculares d) perpendiculares 3.2)

C 0 C + C- Intervalo de crecimiento

Intervalo de decrecimiento

b)

3

1

;6

1

;3

1

;;6

1

3

1;

;6

1;

IR IR

d)

{ - 6 } ;

3

4

( - ; - 6 )

;

3

4

( - 6 ; + )

3

4;

IR

IR

4. a) q = f (p) = 5000 p – 20000 b) f es una función creciente, pues la pendiente es positiva c) p = 4, ya que para valores de p menores que 4 la oferta sería negativa y esto carece de sentido económico 5.

f(x) g(x)

a) f(2) = 8, f(-1) = -1, f(6) = - 3

g(-2) = -1, g(-4) = 3, g(2) = -1, g(3) = -1, g(5) = 3

c) Discontinua en x = 2 Discontinua en x = -2


24

d)

e)

f)

6. C(p) = - 20.p + 8400 7.

8. a) Negocio A y = 0.02 x + 2500 Negocio B y = 0.01 x + 3000

b) $50.000 c) Conviene la propuesta del local A

9. a) S={(0 ; -2)} b) S={(4 ; -1)} c) S={(2

1,

2

1)}

d) S={(-2 ; - 4)} e) S={ } f) Infinitas soluciones

,33

2,C

3,3

2C

3

2,3C0

)2

7,2[C

,2

72,C

2

7C0

,2 ntoDecrecimieI

2, oCrecimientI 2, ntoDecrecimieI

,3 oCrecimientI

]8,(fIm

IRDomf

),1[gIm

IRgDom

10x)c

30p)b

24py9p,3p)a


25

Función polinómica Revisión teórica

Toda función f : IR IR de la forma :

f (x) = 012

21n

1nn

n ax.ax.a................x.ax.a

se denomina función polinómica de variable real. La expresión :

P (x) = 012

21n

1nn

n ax.ax.a................x.ax.a

se denomina polinomio en una indeterminada de x

Si 0an entonces el grado del polinomio está dado por el

exponente “n ”. Si P(x) = 0 xn + 0 xn - 1 + …………. + 0 x + 0 , es decir P(x) = 0 el polinomio se llama nulo y no tiene grado. Se llama función polinómica de segundo grado a la función

f : IR IR de la forma : f ( x ) = a x 2 + b x + c La representación gráfica de la función cuadrática es una curva que se denomina parábola. Las coordenadas del vértice de la parábola V = (x v , y v ),

pueden calcularse : x v = - a2

b y v = f ( x v)

El eje de simetría es la recta vertical cuya ecuación es : x = x v Si a > 0 las ramas de la parábola van hacia arriba, entonces el vértice es el punto mínimo. Si a < 0 las ramas de la parábola van hacia abajo, entonces el vértice es el punto máximo. Una función cuadrática puede tener ninguna, una o dos raíces reales distintas. Estas pueden obtenerse analíticamente mediante la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado a x 2 + b x + c = 0 , cuya expresión es:

x 1 , x 2 = a.2

c.a.4bb 2 = b 2 – 4. a.c se denomina

discriminante.

> 0 = 0 < 0

Raíces reales y distintas

Raíces reales iguales (raíz doble)

Raíces no reales

La gráfica corta al eje x en dos puntos.

La gráfica corta al eje x en un punto.

La gráfica no corta al eje x.

a i IR

n Z + 0

a n es el coeficiente principal. a 0 es el témino independiente de P ( x ) Si el coeficiente principal es 1, el polinomio se dice mónico o normalizado.

a, b, c IR y a 0 a, b y c se denominan coeficientes. c= f ( 0 ) a x

2 : término

cuadrático b x : término lineal c : término independiente x = x v es una recta // al eje de las ordenadas Fórmula resolvente o de BHASKARA


26

Teorema del resto El resto de la división de un polinomio P( x ) por otro de la forma (x – a), siendo “a” un número real es igual a P(a) (es decir, la especialización del polinomio P(x) en x = a). Raíces de un polinomio Si P(a) = 0 entonces “a” IR , es raíz o cero del polinomio P(x) x=a es raíz de P(x) P(a) = 0

x = a es raíz de P(x) P(x) es divisible por ( x – a )

La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que esa raíz se repite como tal. Teorema de Gauss

Si una fracción irreducible q

p es raíz de un polinomio P ( x ) con

coeficientes enteros y término independiente no nulo, entonces “p” divide al coeficiente independiente y “q” divide al coeficiente principal de P ( x ). Todo polinomio P(x) de grado n, con n raíces reales se puede factorizar a partir de sus raíces como : P(x) = a (x – x1).(x – x2) ....... (x – xn) donde a es el coeficiente principal y x1, x2, ....., xn las raíces reales Gráfico aproximado de una función polinómica

Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica, es conveniente considerar :

El dominio de la función.

Su expresión factorizada.

La ordenada al origen a0 , que indica que la intersección con el eje y es el punto ( 0 , a 0 ).

Las raíces, éstas permiten identificar la o las intersecciones con el eje x.

El orden de multiplicidad de las raíces, que indica si la gráfica rebota o atraviesa el eje x.

orden de multiplicidad

par impar

Gráfica de la función

Toca al eje x pero no lo atraviesa

Atraviesa al eje x

Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales El Teorema de Gauss permite determinar cuáles son las posibles raíces racionales de un polinomio de coeficientes enteros, la factorización del polinomio y el análisis de la función polinómica asociada a él. Si el polinomio no tuviese todas sus raíces reales, aparecerán entre sus factores polinomios de grado par sin raíces reales


27

Función polinómica Ejercitación

1. a) Indica cuáles de las siguientes expresiones corresponden a funciones polinómicas. Justifica.

x

xx2)x(fxx3)x(f1x3)x(f

xx79x5,0)x(f1x:x)x(fx53

x)x(f

3

66

54

6463

22

21

b) En las funciones polinómicas señaladas en a), identifica el grado y el coeficiente principal. 2. Grafica las siguientes funciones determinando previamente : vértice, eje de simetría y raíces. 2.1) y = x 2 ; y = x 2 + 1 ; y = – x 2 + 1 ; y = x 2 + 4 x ; y = – x 2 + 4 x

2.2) y = x 2 – 2 x + 3 ; y = 2

1x 2 – x – 4 ; y = – 4 x 2 – 8 x + 5

Luego, para cada una de ellas, encuentra: a) dominio e imagen. b) Conjuntos de positividad y de negatividad. c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. d) Máximos ó mínimos.

3. Si 2x)x(f y 1x3)x(g , encuentra, si es posible )x(gf 0 y )x(fg 0 .

4. Completa el siguiente cuadro, luego de haber graficado cada una de las funciones indicadas.

Función Dom f Im f C0 C+ C– Intervalos de

crecimiento decrecimiento

f1 ( x ) = x 4

f2 ( x ) = 2 x 4 – 4

5. Grafica cada una de las funciones indicadas y completa el siguiente cuadro :

Función Dom f

Im f Intersección con el eje y

C0 C+ C–

f1 ( x ) = - x 3

f2 ( x ) = x 3 – 8

6. Dado el siguiente polinomio :

P (x ) = - 15 x 6 + 7 x - 3 - 9 x 7 + 2

7 x 6 + x 5, completa :

El grado del polinomio es ..........................................


28

El término independiente es ...................................... El coeficiente del término lineal es ............................ El término de sexto grado es ............................................ El coeficiente del término de quinto grado es............. El coeficiente principal es .........................

7. Dados los siguientes polinomios: A (x ) = x 6 - 2

1 x 4 - 2 x 2 + 1 ; B ( x ) = x 3 - x

C ( x ) = 2

3 x 6 - 6 x 5 - 5 x 4 + 5 x 2 + x – 6 ; P (x ) = 2 x 5 - 3 x 3 + 6 x

Q ( x ) = x 2 + 1 ; R ( x ) = -2

1x 5 - 6 x 4 + 3 x 3 + 5 x + 1

Calcula : a) A ( x ) + C ( x ) = b) B ( x ) - P ( x )

c) 3

1 P ( x ) = d) P ( x ) . Q ( x ) =

e) R ( x ) - P ( x ) . Q ( x ) = f) [ B ( x ) ] 2 = g) [ Q ( x ) ] 3 = h) [ 2 B ( x ) + 3 x . Q ( x ) ] 2 = i) P ( x ) : Q ( x ) = j) A ( x ) : B ( x ) = 8. Completa el cuadro :

x P ( x ) = x 3 – 2 x 2 + 2 – x Q ( x ) = x 4 + 2 x 3

0

2

- 1

- 2

9. Dados los polinomios : P ( x ) = 2 – 3 x 6 + x 4 + 4

9 x 3 + x + 6 x 5 ,

Q ( x ) = x + 2 , R ( x ) = - 5 x 2 – 6 + 2

5 x 5 – 6 x 4 +

2

3 x 6 – 17 x

y S ( x ) = x – 3. Calcula aplicando Regla de Ruffini : a) P ( x ) : Q ( x ) b) R ( x ) : S ( x ) c) R ( x ) : Q ( x ) Luego, verifica el resto mediante el Teorema del Resto. 10. Resuelve las siguientes divisiones:

2

1:12

4

1

2

1 23 xxxx

( x 2 – 4 x - 21 ) : ( x – 7 )


29

11. Considera los siguientes polinomios : P (x ) = - 2 x 5 - 3 x 3 + 6 x + 1

Q (x ) = - 2

1 x 4 + 2 x 2 + x – 2

Indica si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) P ( 0 ) = 2 b) Q ( 0 ) = - 1 c) Q ( - 2 ) = - 4 d) Q ( - 2 ) = - Q ( 2 ) e) Q ( x ) es divisible por ( x – 2 ) f) P ( - 1 ) = 0 g) P ( x ) es divisible por ( x – 1 )

h) El resto de dividir P ( x ) por ( x + 2

1) es

5

42

12. Encuentra las raíces racionales de los siguientes polinomios : a) P ( x ) = 3 x 3 + 6 x 2 – 3 x – 6 b) Q ( x ) = x 4 – 4 x 3 + 6 x 2 – 8 x + 8 c) R ( x ) = 2 x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 – 4 x d) S ( x ) = x 3 + 3 x 2 – 2 x – 6 13. Factoriza los polinomios del ejercicio anterior. 14. Factoriza los siguientes polinomios:

a) 75 x 2 + 15 x + 4

3 = b)

4

9 x 4 - 64 = c) 5 x 4 + 5 x 2 - 3 x 5 - 3 x 3 =

d) 54 x 3 - 6 x 2 + 18 x - 2 = e) 4

1 x 2 – 6 x + 36 = f) 5 x 5 –

32

5=

g) - 8 x 3 + 12 x 2 – 6 x + 1 = h) 5 x 4 + x 3 – 10 x 2 – 2 x = i) x 6 – 64 = 15. Escribe la forma factorizada de los siguientes polinomios : a) 3 x 3 + x 2 – 12 x – 4 =

b) 4

1x

2

1x

4

1 24

16. a) Factoriza el polinomio P ( x ) = 2 x 4 - 9 x 3 + 11 x 2 - 4 sabiendo que 2 es raíz de multiplicidad 2 y 1 es raíz simple. ¿ Cuál o cuáles son las otras raíces ?. b) Factoriza el polinomio P ( x ) = 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 3 x - 1 sabiendo que 1 es raíz de multiplicidad 2 y -1 es raíz simple. ¿ Cuál ó cuáles son las otras raíces ?. 17. a) ¿ Qué grado de multiplicidad tiene cada una de las raíces de : P( x ) = ( x - 2 ) 2 . ( x - 1 ) 3 . ( x + 4 ) ?. ¿ cuáles son dichas raíces ?. Realiza el gráfico aproximado. Determina C+ y C –


30

b) ¿ Qué grado de multiplicidad tiene cada una de las raíces de : P( x ) = ( x + 2 ) 3 . ( x + 1 ) . ( x + 3 ) 4 . ¿ cuáles son dichas raíces ?. Realiza el gráfico aproximado. Determina C+ y C – 18. Resuelve la siguientes ecuaciones en IR : a) 5 x ( x – 1 ) = 6 – 2 ( 4 x 3 – 1 )

b) 12 x 3 – 3 x = ( 5 – x ) 2 + 10 x ( 1 + 10

3x ) – 26

c) 3 ( x – 3 ) 3 – ( x – 1 ) ( x + 1 ) = - 2 ( 13 x 2 + 42 ) + 87 x 19. Indica si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en caso de ser Falsa. a) La única raíz de h (x ) = x ( x – 2 ) 2 es 2 y su multiplicidad es 2. b) Para g ( x ) = ( x + 1 ) 3 , C + es el conjunto vacío.

c) En f ( x ) = ( x – 1 ) 2 . x , C + = ( - , 1 ) ( 1 , + ). 20. Completa sobre la línea punteada para que las proposiciones resulten verdaderas: a) El grado de f ( x ) = ( 4 x 2 + 3 ) 5 . x + 0 x 20 , es ................................. b) Si f ( x ) = 32 – 2 x 4, entonces C+ = ................................. c) Dado el polinomio P ( x ) = x 4 – 2 x 3 – 4 x 2 + 3 , entonces P ( 0 ) = ............ , P ( 1 ) = ............. , P ( 3 ) = ............. , P ( - 2 ) = ............. 21. Grafica aproximadamente las siguientes funciones polinómicas determinando previamente: raíces, multiplicidad, C+ y C– e intersecciones con los ejes coordenados. a) f ( x ) = x 3 + 3 x 2 – 4 b) g ( x ) = ( x – 3 ) 2 ( x – 1 ) c) w ( x ) = ( x – 2 ) ( x 2 – 1 ) d) r ( x ) = x 4 + 3 x 3 – 4 x 22. Completa según se indica :

Polinomio P ( x ) Factorización de P ( x )

Raíces reales de P( x )

Multiplicidad de cada raíz

Grado de P (x )

P ( x ) = x ( x2 – 9 )

P ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x 2 + 2 )


31

P ( x ) = x 4 – 25 x 2

P ( x ) = 36 x 3 – 9 x

P ( x ) = ( x 2 – x – 2 ) 2

23. Grafica cada función definida en IR, indica Dominio e Imagen.

5xsi)6x(

5x1si2

9x

2

3

1xsi2)1x(2

1

)x(f)b

2xsi5x

2x0si3

0xsi4x

)x(f)a

3

2

2

24. Observa los gráficos de las funciones f ( x ) y g ( x ) de grados 4 y tres

respectivamente : f(x)

g(x)

Completa sobre la línea punteada cada una de las siguientes proposiciones: a) La intersección de f ( x ) con el eje y es el punto ( ... , .... ). b) En f ( x ) , la raíz x1 = ........ , es una raíz ................. ; x2 = ........ , es una raíz ………………………….. c) En f ( x ) , C+ = ............................................ y C– = ............................ d) Im f = ......................... e) La intersección de g ( x ) con el eje y es el punto ( ... , .... ). f) En g ( x ) , la raíz x1 = ........ , es una raíz ................. ; x2 = ........ , es una raíz ................. .y x3 = ........ , es una raíz ................... .


32

g) En g ( x ) , C+ = ............................................ y C– = .................................... h) Im g = ......................... 25. Observa el gráfico de la función f ( x ) y completa sobre la línea punteada cada una de las proposiciones:

La intersección de f ( x ) con el eje y es el punto ( ........., .......... ). C0 = .................................................... En f ( x ) , la multiplicidad de cada una de las raíces es impar para ……………………. y par para……………………………………………………………

En f ( x ) , C+ = .................................................... y C– = ......................................... Im f = .....................................................................................


33

RESPUESTAS Función polinómica 1.

Son funciones polinómicas

Grado Coeficiente principal

f1 2 -5

f3 6 0,5

2. 2.1)

y = x 2 y = x 2 + 1 y = – x 2 + 1 y = x 2 + 4 x y = – x 2 + 4 x

Vértice (0 ; 0)

(0 ; 1) (0 ; 1) (-2 ; -4) (2 ; 4)

Eje de Simetría

x = 0 x = 0 x = 0 x = -2 x = 2

Raíces x= 0

x1 = -1 x2 = 1

x1 = -4 x2 = 0

x1 = 0 x2 = 4

y = x 2 y = x 2 + 1 y = – x 2 + 1 y = x 2 + 4 x y = – x 2 + 4 x

Dom e Im

Dom = IR Im = [0 ; +∞)

Dom = IR Im = [1 ; +∞)

Dom = IR Im = (-∞ ; 1]

Dom = IR Im = [-4 ; +∞)

Dom = IR Im = (-∞ ; 4]

C + C -

C + = (-∞ ; 1)U(0 ; +∞)

C - =

C + = IR

C - =

C + =(-1 ; 1) C - = (-∞ ; -1) U (1 ; +∞)

C + =(-∞ ; 4) U (0 ; +∞) C - = (-4 ; 0)

C + =(0 ; 4) C - = (-∞ ; 0) U (4 ; +∞)

Crec. Decrec.

Crece en (0 ; ∞) Decrece en (-∞ ; 0)


Crece en (-∞ ; 0) Decrece en (0 ; ∞)

Crece en (-2 ; ∞) Decrece en (-∞ ; -2)

Crece en (-∞ ; 2) Decrece en (2 ; ∞)

Máx Rel Mín rel

No tiene (0 ; 0)

No tiene (0 ; 1)

(0 ; 1) No tiene

No tiene (-2 ; -4)

(2 ; 4) No tiene

2.2)

y = x 2 – 2 x + 3

y = 2

1x 2 – x – 4

y = – 4 x 2 – 8 x + 5

Vértice (1 ;2)

(1 ;-4,5)

(-1 ; 9)

Eje de Simetría x = 1

x = 1 x = -1

Raíces

x1 = -2 x2 = 4

x1 = -2,5 x2 = 0,5

y = x 2 – 2 x + 3

y = 2

1x 2 – x – 4

y = – 4 x 2 – 8 x + 5

Dom e Im Dom = IR Im = [2 ; +∞)

Dom = IR Im = [-4,5 ; ∞)

Dom = IR Im = (-∞ ; 9]


34

C + C -

C + = IR

C - =

C + = (-∞ ; -2) U (4 ; +∞) C - = (-2 ; 4)

C + = (-2,5 ; 0,5) C - = (-∞ ; -2,5) U (0,5 ; +∞)

Crec. Decrec.



Crece en (-∞ ; -1) Decrece en (-1 ; ∞)

Máx Rel Mín rel

No tiene (1 ; 2)

No tiene (1 ;-4,5)

(-1 ; 9) No tiene

3. f ( g ( x ) )= 9 x 2 – 6 x + 1 g ( f ( x ) )= 3 x 2 – 1

4.

Función Dom f Im f C0 C+ C– Intervalos de

crec Decrec

f1 ( x ) = x 4 IR

[0, +) {0} IR-{0} (0, +) (-, 0)

f2 ( x ) = 2 x 4 – 4 IR

[-4 ,+) 44 2;2

(-,- 4 2 ) ( 4 2 , +) (- 44 2;2 ) (0, +) (-, 0)

5.

Función Dom f

Im f

Intersección con el eje y

C0 C+ C–

f1 ( x ) = - x 3 IR

IR

(0,0) {0} (-, 0) (0, +)

f2 ( x ) = x 3 – 8 IR

IR

(0,-8) {2} (2, +) (-, 2)

6. El grado del polinomio es 7

El término independiente es - 3

El coeficiente del término lineal es 7 El término de sexto grado es - 11,5 El coeficiente del término de quinto grado es 1 El coeficiente principal es - 9 7.

a) A(x) + C(x) = 2

5x6 – 6x5 –

2

11x4 + 3x2 + x – 5

b) B(x) – P(x) = -2x5 + 4x3 – 7x

c) 3

1 P ( x ) =

3

2x5 – x3 + 2x

d) P(x) . Q(x) = 2x7 – x5 + 3x3 + 6x


35

e) R(x) – P(x) . Q(x) = -2x7 + 2

1x5 – 6x4 – x + 1

f) [ B(x) ]2 = x6 – 2x4 + x2 g) [ Q ( x ) ] 3 = x6 + 3x4 + 3x2 + 1 h) [ 2 B ( x ) + 3 x . Q ( x ) ] 2 = 25x6 + 10x4 + x2 i ) Cociente: 2x3 – 5x Resto: 11x

j) Cociente: x3 + 2

1x Resto: -

2

3x2 + 1

8.

x P ( x ) = x 3 – 2 x 2 + 2 – x Q ( x ) = x 4 + 2 x 3

0 2 0

2 0 32

- 1 0 -1

- 2 -12 0

9.

a) Cociente: -3 x 5 + 12 x 4 - 23 x3 + 4

193x 2 -

2

193x + 194 Resto: -386

b) Cociente: 2

3x 5 + 7 x 4 + 15 x3 + 45 x 2 + 130 x + 373 Resto: 1113

c) Cociente: 2

3x 5 -

2

1x 4 - 5 x3 + 10 x 2 - 25 x + 33 Resto: -72

10.

a) Cociente: - 2

1x 2 + 2 Resto: -2

b) Cociente: x + 3 Resto: 0

11. a) F, P ( 0 ) = 1 b) F, Q ( 0 ) = - 2 c) V d) F, - Q ( 2 ) = 0 e) V f) V

g) F, pues P(1) 0 h) V 12. a) x1 = 1; x2 = -1 y x3= -2 b) x = 2 (de multiplicidad 2) c) x1 = 0; x2 = 1; x3= -1 y x4= -2 d) x = -3


36

13. a) P(x) = 3 . (x – 1)(x + 1)(x +2) b) Q(x) = (x – 2)2(x2 + 2) c) R(x) = 2x(x – 1)(x + 1)(x +2)

d) S(x) = (x + 3)(x - 2 )( x + 2 )

14.

a) 75 (x + 0,1)2

b) 4

9 (x +

3

4) (x -

3

4) (x2 +

9

16)

c) – 3 x2 (x – 3

5) (x2 +1)

d) 54 (x2 + 3

1) ( x –

9

1)

e) 212x4

1

f) 5(x - 2

1) (

16

1x

8

1x

4

1x

2

1x 234 )

g) - 8 ( x - 2

1)3

h) 5 x (x + 5

1)(x - 2 )( x + 2 )

i) (x – 2) (x + 2) ( x4 + 4 x2 + 16 )

15.

a) 3 (x + 2)(x –2)(x + 3

1)

b) 4

1 (x + 1)2(x – 1)2

16.

P(x) = 2(x – 2)2(x - 1)(x + 2

1) La otra raíz es –1/2 y es raíz simple

P(x) = 2(x – 1)2(x + 1)(x - 2

1) La otra raíz es 1/2 y es raíz simple

17. a) x1 = 2 de multiplicidad 2 x2 = 1 de multiplicidad 3 x3 = -4 simple

C+ = (-, -4) (1 ,2) (2, + ) C- =(-4,1) b) x1 = -2 de multiplicidad 3


37

x2 = -1 simple x3 = -3 de multiplicidad 4

C+ = (-, -3) (-3 ,-2) (1, + ) C- =(-2,-1) 18. a) S = {1}

b) S = {3

1,

2

1,

2

1 }

c) S = { 2,2,3

2 }

19. a) F, x = 0 también es raíz de h(x)

b) F, C + = ( -1 , + )

c) F, C + = (0, 1) (1 , + ) 20. a) 11 b) (-2, 2) c) P ( 0 ) = 3, P ( 1 ) = -2, P ( 3 ) = -6 , P ( - 2 ) = 19 21.

función raíces multiplicidad C+ C– x-intersecc. y-intersecc.

f ( x ) x1 = 1 x2 = -2

simple 2

(1, + ) ( - ,-2 ) (-2,1)

(1,0) y (-2,0) (0,-4)

g ( x ) x1 = 3 x2 = 1

2 simple

(1,3) (3, + ) ( - ,1 ) (3,0) y (1,0) (0,-9)

w ( x ) x1 = 2 x2 = 1 x3 = -1

simple simple simple

(-1,1) (2, + ) ( - ,-1 ) (1,2) (-1,0), (1,0) y (2,0)

(0,2)

r ( x ) x1 = 0 x2 = 1 x3 = -2

simple simple 2

( - ,-2 )

(-2,0) (1, + )

(0,1) (0,0), (1, 0) y (-2,0)

(0,0)

22.

Polinomio P ( x ) Factorización De P ( x )

Raíces reales de P( x )

Multiplicidad de cada raíz

Grado de P (x )

P ( x ) = x ( x2 – 9 )

x(x + 3)(x - 3) x1 = 0 x2 = -3 x3 = 3

simples 3

P ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x 2 + 2 )

( x + 1 ) 2 ( x 2 + 2 ) x = -1 doble 4

P ( x ) = x 4 – 25 x 2

x2 (x + 5)(x - 5) x1 = 0 x2 = -5

Doble simple

4


38

x3 = 5 simple

P ( x ) = 36 x 3 – 9 x

36x (x +2

1)(x -

2

1)

x1 = 0 x2 = -1/2 x3 = 1/2

simples 3

P ( x ) = ( x 2 – x – 2 ) 2

( x + 1 ) 2 ( x - 2 )2 x1 = -1 x2 = 2

Dobles 4

23. a) b) Dom f = R

Im f = ( - , 4]

Dom f = R Im f = R

24. a) ( 0 ; 100 ) b) x1 = 1 , es una raíz doble ; x2 = 7 , es una raíz doble

c) C+ = ( - ; 1 ) ( 1 , 7 ) ( 7 , + ) C– =

d) Im f = [ 0 ; + ) e) (0 , 0) f) x1 = - 4 , es una raíz simple ; x2 = 0, es una raíz simple y x3 = 2 , es una raíz

simple

g) C+ = ( - 4 , 0 ) ( 2 , + ) y C– = ( - , - 4 ) ( 0 , 2 ) h) Im g = IR 25.

La intersección de f ( x ) con el eje y es el punto ( 0 , 1 ). C0 = { -1 ; 1 ; 2 } En f ( x ), la multiplicidad de cada una de las raíces es impar para - 1 y 2 y par para 1

En f ( x ) , C+ = (-1 , 1) (1 , 2) y C– = (- , -1) (2 , )

Im f = (- , 1]


39

Función racional e irracional Revisión teórica

Una expresión algebraica racional es de la forma )x(Q

)x(P, donde

P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) 0. Una expresión algebraica racional es irreducible si no existen en ella factores comunes al numerador y denominador.

Se denomina función racional a toda función f: A B tal que

f (x) = )x(Q

)x(P , donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) 0.

El dominio de una función racional es el conjunto de valores de la variable independiente que no anulan el denominador.

Para realizar el gráfico aproximado de una función racional, se debe:

• Determinar el dominio de f ( x ). • Hallar la intersección con el eje y, la cual existe si 0 (cero)

pertenece al dominio de la función y es el punto (0; f(0)). • Hallar las raíces o ceros de la función, que son los valores

que pertenecen al dominio de la misma y que anulan la función, o sea, las raíces del numerador.

• Calcular la asíntota vertical de f ( x ) = )x(Q

)x(P.

Para ello, se debe transformar f ( x ) en expresión racional

irreducible, luego se busca el valor a para el cual se anula el

el denominador pero no el numerador, entonces :

x = a es asíntota vertical (A.V.)

• Calcular la asíntota horizontal, que en una función racional existe si el grado del polinomio numerador es menor o igual al grado del polinomio denominador.

gr P(x) < gr Q(x) y = 0 es asíntota horizontal (A.H.)

gr P(x) = gr Q(x) y = Q(x) de principal ecoeficient

P(x) de principal ecoeficient es A.H.

Se denomina ecuación racional a toda expresión del tipo :

)x(Q

)x(P= 0 con Q(x) 0.

Resolverla significa hallar los valores de x que pertenezcan al dominio de la función racional asociada y que anulen el numerador

gr P(x) > gr Q(x) no tiene AH.


40

Una función irracional y = f (x) es aquella que puede obtenerse efectuando sobre la variable x de la operación de radicación.

y = n )x(f Para determinar el dominio de una función

irracional, se han de discriminar dos casos en relación al índice n. (*)

Para graficar es conveniente indicar, en primer término el dominio, para luego confeccionar la tabla con valores del dominio que faciliten los cálculos.

(*)

Si n es par, la función está definida cuando el radicando es positivo o nulo.

Si n es impar , la función está definida para todo valor de x.

En el caso en que f (x) sea fraccionaria, deberán tenerse en cuenta las restricciones del dominio para este tipo de expresiones.


41

Función racional e irracional Ejercitación

1. Escribe verdadero ( V ) o falso ( F ) según corresponda :

a) 1x2

xx 3

1

es una expresión algebraica racional. ( )

b) 1x

1x3

2

es una expresión algebraica racional cuyo dominio es IR – { 1 }. ( )

c) 1x

2x3

no es una expresión algebraica racional. ( )

d) La simplificación de 2xcon,2x

1es

4x

2x2

. ( )

2. Simplifica, si es posible, cada fracción algebraica e indica todos los valores reales de la variable para los cuales la simplificación es válida :

1x3x3x

xx)d

3xx3x

1x)c

9x6x

x3x)b

2x

16x)a

23

2

23

2

2

24

3. Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado cuando sea posible:

4x

4x2

10x3x

10x)b

4x3x

x

3x6x3

2)a

2222

x3

1

9x6x

1x

9x

2)d

1x

4

x1

x3

1x

x4)c

222:

10x4

9x.

6xx

2x

4x

2x)g

18x25x3

4x:

81x

7)f

x3

3x7x2.

9x

x6)e

2

22

222

2

2

2

4. Representa gráficamente las siguientes funciones, determinando previamente su dominio :

4x

4)x(f)f

4x

2x)x(f)e3

2x

1)x(f)d

1x

2xx)x(f)c

2x2

4x)x(f)b

3x

x2)x(f)a

22

2

Luego, para cada una de ellas, encuentra: 4.1) Im f ( x ).

4.2) Conjuntos de ceros, de positividad y de negatividad.

4.3) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.


42

5. Considera las funciones y completa el siguiente cuadro :

f ( x ) Dom f C0 Asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Im f

x

22)x(f

3x

3x3)x(f

3x

3x2x)x(f

2

x3

4)x(f

6. Resuelve las ecuaciones teniendo en cuenta el dominio de la función racional asociada a cada una :

1x3

x5,0x3

x2

1xx2)g

1x

3x1

3x

1x2)f

2xx

5x

x1

24)e

1x

5x

1x

2

1x

1)d

x

15

x

1

x2

1)c6

m

5m)b

3

5

a

2a)a

22

2

2

2

2

2

7. Encuentra analíticamente el dominio de cada una de las siguientes funciones y grafica.

4x)x(f)dx21)x(f)c

2x)x(f)b2x)x(f)a

2

3

Luego, para cada una de ellas, encuentra: 7.1) Im f. 7.2) Conjuntos de ceros, de positividad y de negatividad.


8. Indica el dominio de las siguientes funciones :

x4x26)x(f)e6xx)x(f)d

x33)x(f)cx)x(f)bx1)x(f)a

22

52


43

9. Une con una flecha cada fórmula con el gráfico de la función racional correspondiente :

a) 2x

1)x(f

b)

2x

1)x(f

c)

x

12)x(f d)

x

x21)x(f

10. Grafica las siguientes funciones en IR :

a)

3xsi2

3x1si1x

1xsi1x

2

)x(f

b)

3xsi9x6x

3xsix3)x(f

2

c)

4xsi1

4x0six

1

0xsi1x

)x(f

3


44

Luego, para cada una de ellas, encuentra:

10.1) Dominio e imagen.

10.2) Conjuntos de ceros, de positividad y de negatividad.


11. Marca con una cruz la respuesta correcta :

a) Si x2xx

4x)x(f

23

2

, entonces :

Dom f = IR – { - 2,1 }

y C 0 = { - 2 , 2 }

Dom f = IR – { 1, 2 }

y C 0 = { 2 }

Dom f = IR – { - 2 , 0 ,1 }

y C 0 = { - 2 }

Ninguna de las

anteriores

b) Si 3x4x

2xx)x(f

2

2

, entonces :

Dom f = IR – { - 3 ; - 1 } y

C 0 = { 2 }

Dom f = IR – { - 3 ; - 1 } y

C 0 = { - 2 ; 1 }

Dom f = IR – { - 1 ; 3 } y

C 0 = { - 2 }

Ninguna de las

anteriores


45

RESPUESTAS

Función racional e irracional

1. a) F b) V c) V d) F

2. a) 242 xx 2x b) 3x

x3x

c) 3

1

x1x1x d)

2)1( x

x1x

3. a) )4()1(3

832

2

xx

xx b)

)5)(2(

20

xx

x 2 IRx

c) )1()1(

433 2

xx

xx d)

)3()3(

12622

2

xx

xx

e) 3x

)5,0x(4

0;3IRx f) )9x)(4x(

)3

2x(21

9IRx

g)

)5x2()2x(

3x)5,0x(

2;3IRx

4.

f(x) Dominio Imagen

a)

IR - 3

IR - 2

b)

IR - 1 IR -

2

1

c) IR - 1

IR - 3

d)

IR - 2

IR - 3

e)

IR- 2,2 IR -

4

1,0

f)

IR- 2,2

),0()3,(


46

f(x) C0 C+ C- Crecimiento decrecimiento.

a)

0

)0,3(

),0()3,(

IR - 3

b)

4

),4()1,(

)4,1(

IR - 1

c)

2

),1()1,2(

)2,(

IR - 1

d)

3

7 ),2(

3

7,

2,

3

7

IR - 2

e)

),2(

)2,,2()2,(

IR- 2,2

f) ),2()2,(

)2,2( )0,,2()2,(

),2()2,0(

5.

f(x) Dom f C0 A. vert. A. horiz. Im f

x

22

IR-{0} {-1}

x=0 y=2 IR-{2}

3

33

x

x

IR-{.-3} {1} x=-3 y=-3 IR-{-3}

3

322

x

xx

IR-{.-3} {1}

-------

------ IR-{-4}

x3

4

IR-{3} x=3 y=0 IR-{0}

6. a) S={3} b) S={-5;-1} c) S={10} d) S={4}

e) S={3} f) S={- 9

7} g) S={-

4

1}

7.

f(x) Domf Imf C0 C+ C- Crec. Decrec. 3 2)( xxf IR IR {2} )2;( );2( -------- IR

2)( xxf );2 0;( {-2} );2(

-------- );2(


47

xxf 21)( 2

1;(

);0[

2

1 )

2

1;(

-------- )

2

1;(

4)( 2 xxf

,2

2,

);0[ {-2;2}

);2(

)2;(

);2(

)2;(

8. a) Domf: 1;1 b) Dom f: IR c) Domf: 1;(

d) Domf: );23;( e) Dom f: 1;3

9. a) gráfico 3 b) gráfico 2 c) gráfico 4 d) gráfico 1 10.

Domf Imf

C0 C+ C- Crec.. Decrec

a) R 0;( {1}

);1(

)1;(

-------

)3;1(

)1;(

b) R 0;( {3}

);3(

)3;(

)3;(

);3(

c) R

);4

1

1;(

(0;4

;4

0;(

)0;( (0;4)

11. a) ninguna de las anteriores

C0= 1;0;2IR:Domf2

b) Primera opción Dom f = IR – { - 3 ; - 1 } y C 0 = { 2 }


48

Función exponencial Revisión teórica

Es toda función f : IR IR / f (x) = k . a x , donde k IR - { 0 }, a IR + , a 1. Si k = 1 , la función resulta f ( x ) = a x y su gráfica puede distinguirse de acuerdo a los valores que toma “a” en : a > 1 0 < a < 1

Función logarítmica:

Es toda función f : IR + IR / f( x ) = log a x , donde a IR + - 1 a > 1 0 < a < 1

Logaritmo de un número: definición Dados dos números reales positivos “b” y “a” (tal que a 1), se llama logaritmo en base “a” del número “b” (y se simboliza log a b ) al exponente “n” al que hay que elevar al número “a” para obtener el número “b”.

En símbolos: b > 0 , a > 0 , a 1 log a b = n a n = b

Propiedades:

log a a = 1 ; pues a 1 = a para todo a IR + - {1}

log a 1 = 0 ; pues a 0 = 1 para todo a IR + - {1}

“k” y “a” son números reales con la restricción

k 0 , a > 0 y a 1 Dom f = IR Im f = IR

+

Asíntota horizontal : y = 0 ( eje x ) La función exponencial f (x) = a

x corta al eje y

en el punto (0, 1) ,

pues para todo a 0 , a

0 = 1

La función exponencial f (x) = a

x

no presenta ceros. C+ = IR y C - = { }. Si a > 1, la función es estrictamente creciente y si 0 < a < 1 , la función es estrictamente decreciente. La función exponencial f (x) = a

x , no tiene

asíntota vertical.

f es una función biyectiva , es decir que admite función inversa. (f :IR

+->IR)

La función inversa de

la función f , la denominamos función logarítmica de base ¨a¨. Dom f = IR

+ Im f = IR

Asíntota vertical : x = 0 ( eje y )

a : base del logaritmo b : argumento


49

log a (x . y) = log a x + log a y ; x IR + ; y IR +

log a (x : y) = log a x - log a y ; x IR + ; y IR +

log a x y = y . log a x ; x IR + ; y IR

log a y x =

y

xlog a =

y

1 . log a x ; y IN – {1}

y

aa xlogxlog y

xa

xloga

Cambio de base:

log c b = clog

blog

a

a =clog

blog=

cln

bln ; ( siendo c > 0 y c 1 )

Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales y, generalmente, no se indica la base en la notación: log 10 x = log x Los logaritmos de base “e” se denominan logaritmos naturales o neperianos . Notación: log e x = ln x


50

Función exponencial y logarítmica Ejercitación

1. Representa gráficamente las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas cartesianas :

x3

x

2x

2

x

1x

1

e)x(f)c

3

1)x(g;3)x(f)b

2

1)x(g;2)x(f)a

Completa las siguientes afirmaciones : Todas las funciones graficadas pasan por el punto (..... , ......). Las funciones ............. y ............... ; .............. y .............. son simétricas con respecto al eje de ordenadas. Las funciones ................ ; .................. y .................... son crecientes. Las funciones ................ y .................... son decrecientes. Según las observaciones anotadas anteriormente, completa las siguientes conclusiones :

Si 1IRa,a)x(f x

Todas las funciones de la forma f ( x ) pasan por el punto (..... , ......).

Si a > 1 , los valores de f ( x ) ..................... al aumentar x, entonces f ( x ) es ............................

Si 0 < a < 1 , los valores de f ( x ) ..................... al aumentar x, entonces f ( x ) es ............................

xa)x(f y g ( x ) = ..................... son simétricas con respecto al eje y.

Dom f = ............... ; Im f = .................

y = ................ es asíntota horizontal de f ( x ). 2. Representa gráficamente las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas cartesianas:

3

1.2)x(g;

3

1.2)x(f)b

2.3)x(g;2.3)x(f)a

x

2

x

2

x1

x1

Según los gráficos anteriores, completa las siguientes proposiciones :

Si 1ay0a;0k,a.k)x(f x

Las funciones de la forma f ( x ) pasan por el punto (..... , ......).

Si k > 0 , la gráfica de f ( x ) está incluída en el semiplano .........................respecto del eje de abscisas.

Si k < 0 , la gráfica de f ( x ) está incluída en el semiplano .........................respecto del eje de abscisas.

Dom f 1 = ................. ; Im f 1 = .................

Dom f 2 = ................. ; Im f 2 = .................

Dom g 1 = ................. ; Im g 1 = .................


51

Dom g 2 = ................. ; Im g 2 = ................. 3. Representa gráficamente las siguientes funciones :

22)x(f)c22

1)x(f)b13)x(f)a x

3

x

2x

1

Según los gráficos anteriores, completa las siguiente proposición :

Si }1{IRa;ca)x(f x , entonces : Dom f = ........... ; Im f= .................

4. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y escribe el conjunto solución:

xxxx2

x1x2x1x3x

x

x2x1x

5.31025)g42.32)f

15.5:25)e0108844)d

03

1.

27

1

9

1.3)c273.9)b82)a

5. Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definición :

10log)h5,0log)g25log)f4

9log)e

6log)d25

1log)c1log)b81log)a

1085

2

3

6543

6. Halla los siguientes logaritmos con la calculadora ( con redondeo a los centésimos ) : a) log 123,5 b) log 0,018 c) ln 34,5 d) ln 0,67 e) log 2 14 f) log 5 22 g) log 3 23,6 h) log 2 e

7. Representa gráficamente las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas cartesianas:

xln)x(f)c

xlog)x(f;xlog)x(f)b

xlog)x(f;xlog)x(f)a

5

3

14

33

2

12

21

Todas las funciones graficadas pasan por el punto (..... , ......). Las funciones ............. y ............... ; .............. y .............. son simétricas con respecto al eje de abscisas. Las funciones ................ ; .................. y .................... son crecientes. Las funciones ................ y .................... son decrecientes. Según las observaciones anotadas anteriormente, completa las siguientes conclusiones :


52

Si 1IRacon,xlog)x(f/IRIR:fa

Todas las funciones de la forma f ( x ) pasan por el punto (..... , ......).

Si a > 1 , los valores de f ( x ) ..................... al aumentar x, entonces f ( x ) es ............................

Si 0 < a < 1 , los valores de f ( x ) ..................... al aumentar x, entonces f ( x ) es ............................

xlog)x(fa

y g ( x ) = ..................... son simétricas con respecto al eje x.

Dom f = ............... ; Im f = .................

x = ................ es asíntota vertical de f ( x ). 8. Grafica las siguientes funciones, hallando previamente su dominio :

3xlog)x(f)d)x(log)x(f)c

1xlog)x(f)b)1x(log)x(f)a

2

12

22

Luego, para cada una de ellas, encuentra : Im f ( x ). Conjuntos de ceros, de positividad y de negatividad. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Asíntotas. 9. Determina el dominio de f ( x ) :

)x1(log)x(f)f)6x5x(log)x(f)e

)4x(log)x(f)d)16x(log)x(f)c

)3x2(ln)x(f)b)x3(log)x(f)a

1x

2

5

2

3

2

4x

10. Resuelve las siguientes ecuaciones y escribe el conjunto solución : a) 5 . 2 x + 2 x + 2 = 18 b) 3 . 2 x – 6 . 2 x + 3 = 0 c) e x – 2 e x + 3 = 0 d) 2 x + 3 + 2 x – 1 = 544 e) 3 . 9 x – 4 . 3 x = -1 f) 2 x - 1 + 4 x – 3 = 5

2)10x3(log)n6xlogxlog)m

xlog2xlog)l02xlog3xlog)k

13

3xlog2

)j27log)i

x3

2

3

5

2

544

2

x

09

13)h8

4

1)g x3x3x4

x2


53

11. Si x, y, z IR +, expresa como un solo logaritmo: a) log ( x + y ) – log y

b) 6 log x + 2

1log ( x 2 + y 2)

c) log x + z log ( 1 + y )

d) log x + 2

1( log y – log z)

e) 4 log x + 3

1 log y +

6

1 log z

12. Si 16mlog b y 9plog b entonces:

a) )p.m(log b b) )p:m(log b

c) )b.m(log b d)

3b mlog

13. Si a b, c 0, d 0 y d.c

)ba(m

2

entonces log m =

14. Si a > 0 , b > 0 , b 1 , a > c y xbca , entonces x es igual a :

15. Si a + b 0 y

ba

ba.bam

33

entonces log m =


54

RESPUESTAS

Función exponencial y logarítmica

1. Todas las funciones graficadas pasan por el punto ( 0 , 1 ).

Las funciones f1 y g1 ; f 2 y g 2 son simétricas con respecto al eje de ordenadas. Las funciones f1 ; f 2 y f 3 son crecientes.

Las funciones g1 y g2 son decrecientes.

Si 1IRa,a)x(f x

Todas las funciones de la forma f ( x ) pasan por el punto ( 0 , 1).

Si a > 1 , los valores de f ( x ) aumentan al aumentar x, entonces f ( x ) es creciente

Si 0 < a < 1 , los valores de f ( x ) disminuyen al aumentar x, entonces f ( x ) es decreciente

xa)x(f y g ( x ) =

a

1x

son simétricas con respecto al eje y.

Dom f = IR ; Im f = IR+

y = 0 es asíntota horizontal de f ( x ). 2.

Si 1ay0a;0k,a.k)x(f x

Las funciones de la forma f ( x ) pasan por el punto ( 0 , k ).

Si k > 0 , la gráfica de f ( x ) está incluída en el semiplano superior respecto del eje

de abscisas.

Si k < 0 , la gráfica de f ( x ) está incluída en el semiplano inferior respecto del eje

de abscisas.

Dom f 1 = IR ; Im f 1 = IR+

Dom f 2 = IR ; Im f 2 = IR+

Dom g 1 = IR ; Im g 1 = IR -

Dom g 2 = IR ; Im g 2 = IR - 3.

Si }1{IRa;ca)x(f x , entonces : Dom f = IR ; Im f= ( c , + )

4.

a) 2S b) 1S c) 1S d) 2S

e)

2

3S f) 2S g) 1S


55

5. a) 4 b) 0 c) –2 d) 1 e) 2 f) 4 g) –1/3 h) 1/2 6. a) 2,09 b) – 1,74 c) 3,54 d) -0,4 e) 3,8 f) 1,92 g) 2,88 h) 1,44 7. Todas las funciones graficadas pasan por el punto (1 , 0 ). Las funciones f1 y f2 ; f3 y f4 son simétricas con respecto al eje de abscisas. Las funciones f1 ; f3 y f5 son crecientes.

Las funciones f2 y f4 son decrecientes.

Si 1IRacon,xlog)x(f/IRIR:fa

Todas las funciones de la forma f ( x ) pasan por el punto (1 , 0 ).

Si a > 1 , los valores de f ( x ) aumentan al aumentar x, entonces f ( x ) es creciente

Si 0 < a < 1 , los valores de f ( x ) disminuyen al aumentar x, entonces f ( x ) es decreciente

xlog)x(fa

y g ( x ) = log1/a x son simétricas con respecto al eje x.

Dom f = IR+ ; Im f = IR

x = 0 es asíntota vertical de f ( x ). 8.

a) b)

Dom f ( x ) = ( -1 , + ) Dom f ( x ) = ( 0 , + ) Im f ( x ) = IR Im f ( x ) = IR

C0 = 0 C0 =

2

1

C+ = ,0 C+ =

,

2

1

C - = 0,1 C - =

2

1,0

Intervalos de crecimiento : ,1 Intervalos de crecimiento : ,0

Intervalos de decrecimiento : Intervalos de decrecimiento : Asíntotas verticales : x = -1 Asíntotas verticales : x = 0 c) d)

Dom f ( x ) = ( - , 0 ) Dom f ( x ) = ( 0 , + ) Im f ( x ) = IR Im f ( x ) = IR


56

C0 = 1 C0 =

8

1

C+ = 1 , C+ =

8

10,

C - = 01, C - =

,

8

1

Intervalos de crecimiento : Intervalos de crecimiento :

Intervalos de decrecimiento : 0, Intervalos de decrecimiento : ,0

Asíntotas verticales : x = 0 Asíntotas verticales : x = 0 9.

a) Dom f = 3, b) Dom f =

,

2

3 c) Dom f = ,, 554

d) Dom f = ,22, e) Dom f = ,, 23 f) Dom f= 1,00,1

10.

a) 1S b) 0S c) 3lnS d) 6S e) 1,0S

f) 3S g)

7

18S h) 21 ,S i) 1010 ,S j) 7S

k) 8S l)

5

1S m)

2

1S n) 1S o) 11S

p) 47S q) 22S r)

5

125,S s)

27

19,S t) 5S

11.

a) logy

yx b) log 226 yxx c) log zyx 1

d) log

21

21

zyx e) log 634 zyx

12. a) 25 b) 7 c) 17 d) 48 13. dlogclog)ba(log2mlog

14. blog

)ca(logx

15. )ba(log6

7mlog


57

Funciones trigonométricas Revisión teórica Ángulos orientados Si se considera en el plano un punto o y dos semirrectas con origen

en dicho punto (

or y

os ), se llama ángulo orientado

ros

( ) al ángulo generado por la rotación, en sentido contrario a las

agujas del reloj, de la semirrecta

or hacia la posición de la semirrecta

os .

Sistemas de medición de ángulos Para medir ángulos se pueden utilizar tres sistemas: sexagesimal, radial o circular y centesimal. Los más utilizados, son los dos primeros.

Sistema sexagesimal En este sistema, la unidad de medida es el grado sexagesimal, que se define como la noventa-ava parte de un ángulo recto.

1º = 1 R 1 R = 90 º 90 Sistema circular y En general , la medida de un ángulo se obtiene : n

s

IRmed

om

s

radiolong

arcolongmed

o m x

s

= arco mn

es un ángulo positivo

es un ángulo negativo, está generado en el sentido de las agujas del reloj


58

En el sistema circular, la unidad de medida es el radián, que se define como la medida del ángulo central α que abarca un arco que es igual al radio de la circunferencia .

Si som

med = 1 radián

Los ejes x e y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

I cuadrante: x>0 , y>0 II I II cuadrante: x<0 , y>0 III cuadrante: x<0 , y<0 III IV IV cuadrante: x>0 , y<0 Equivalencias entre los sistemas de medición de ángulos:

Sexagesimal

Circular

1 giro 360º 2 rad

1 llano 180º rad

1 recto 90º

2

rad

Razones trigonométricas Si se considera en el plano cartesiano el punto p = (x , y) (distinto del

origen) y el vector

op , queda determinado un ángulo con el

semieje positivo de las abscisas ( ox ).

y y p

o x

Por Teorema de Pitágoras: 22 yx > 0

Considerando las posibles razones entre x , y , se definen :

seno de = vectorradio

ordenada sen =

y

coseno de = vectorradio

abscisa cos =

x

Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Cada vez que se indique la amplitud de un ángulo con un número real, significará aquel cuya medida en radianes sea ese número. x : abscisa de p y : ordenada de p

: medida del radio vector

: ( rho) letra griega Los signos de las razones trigonométricas están asociados a los de las coordenadas de los puntos del lado final


59

tangente de = abscisa

ordenada tg =

x

y ; x

0

cotangente de = ordenada

abscisa cotg =

y

x ; y 0

secante de = abscisa

vectorradio sec =

x

; x 0

cosecante de = ordenada

vectorradio cosec =

y

; y 0

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un ángulo

Relación Pitagórica

sen 2 + cos 2 = 1

cos 2 = 1 - sen 2 sen 2 = 1 - cos 2

cos

sentg ; cos 0

sen

cosgcot ; sen 0

cos

1sec ; cos 0

sen

1eccos ; sen 0

tg

1gcot ; tg 0

1 + tg 2 = 2cos

1

1 + cotg 2 = 2sen

1

Circunferencia trigonométrica

Es aquella que tiene centro en el origen de coordenadas y como radio la unidad. Las razones trigonométricas dependen de la amplitud de cada ángulo,


60

es decir, se definen en función de ellos. Gráficas de funciones trigonométricas Gráfico de la función seno Sea f : IR → IR / f(x) = sen x ; su gráfica es :

Dom f = IR

Im f = 1;1

Continua en IR

Período: 2 Gráfico de la función coseno Sea f : IR → IR / f(x) = cos x ; su gráfica es :

Dom f = IR

Im f = 1;1

Continua en IR

Período: 2

Gráfico de la función tangente

Sea f : IR → IR / f(x) = tg x ; su gráfica es :

Dom f =

Zk/k2

IR

Im f = IR

Discontinua en x = 2

+ k ; k Z

,

sen 1

,

cos 1


61

Período: Vinculando las relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un ángulo y el análisis de los gráficos :

Si

cos

sentg Dom tg = / cos 0

C0 = / sen = 0

Si

sen

cosgcot Dom cotg = / sen 0

C0 = / cos = 0

Si

cos

1sec Dom sec = / cos 0

C0 =

Si

sen

1eccos Dom cosec = / sen 0

C0 = Recordar que:

x y )x2

(

son complementarios pues : )x2

(

+ x = 2

x y ( – x ) son suplementarios pues : ( – x ) + x =

x y ( + x ) difieren en pues : ( + x ) – x = x y ( - x ) son opuestos pues : x + ( - x ) = 0 Funciones trigonométricas inversas Si consideramos que la función f ( x ) = sen x, admite inversa en el

intervalo

2;

2 , entonces Dom f =

2;

2 e Im f = - 1 ; 1

Su función inversa f – 1 ( x ) = arc sen x

Su Dominio es Dom f = - 1 ; 1 y su Imagen Im f =

2;

2

Si consideramos que la función f ( x ) = cos x, admite inversa en el

intervalo 0 ; , entonces Dom f = 0 ; e Im f = - 1 ; 1 Su función inversa f – 1 ( x ) = arc cos x

Su Dominio es Dom f = - 1 ; 1 y su Imagen Im f = 0 ;

En cuanto a f ( x ) = tg x admite inversa en

2;

2, entonces

Dom f =

2;

2 e Im f = IR

Su función inversa f – 1 ( x ) = arc tg x

,

sec 1

,

cosec 1


62

Su Dominio es Dom f = IR y su Imagen Im f =

2;

2

Funciones trigonométricas Ejercitación 1. Convierte en radianes las siguientes medidas dadas en el sistema sexagesimal : a) 60 º b) 210 º c) – 135 º d) 23 º 15 ‟ e) 320 º 28 „ 12 „‟ f) – 140 º 25 „ 2. Convierte al sistema sexagesimal las siguientes medidas dadas en el sistema circular :

7,0)f8,2)e6

11)d

4

7)c

8)b

6)a

3. Analiza las siguientes expresiones y luego, indica verdadero ( V ) o falso ( F ) y justifica la respuesta :

a) 3

7 pertenece al cuarto cuadrante.

b) º1340ˆ equivale aproximadamente en el sistema circular a 4,7

radianes.

4. Completa el siguiente cuadro :

Punto perteneciente

al lado final de

Cuadrante sen cos tg cotg sec cosec

( 12 , 5 )

( 3, - 2 )

( - 6 , - 8 )

( -1 , 1 )

5. Observa los gráficos de f ( x ) = sen x ; f ( x ) = cos x y f ( x ) = tg x a) Determina Dominio e Imagen de las tres funciones. b) Completa los siguientes cuadros :

En [ 0 , 2 ) C 0

C+ C-

f ( x ) = sen x

f ( x ) = cos x

f ( x ) = tg x

En [ 0 , 2 ) Intervalos de crecimiento

Intervalos de decrecimiento

Valor máximo

Valor mínimo

f ( x ) = sen x

f ( x ) = cos x


63

f ( x ) = tg x

6. Verifica las siguientes identidades, previa determinación de su dominio de validez : a) cosec x – cos x . cotg x = sen x b) ( sen x – cos x ) ( sen x + cos x ) = 2 sen 2 x – 1 c) ( sen x + cos x ) ( cosec x – sec x ) = cotg x – tg x d) cos 2 x . ( sec 2 x – tg 2 x ) = cos 2 x e) tg x . ( cos x – cosec x ) = sen x – sec x f) sen 4 x – cos 4 x = sen 2 x – cos 2 x

7. Determina, si existen, los x

2,0 que verifican :

a) 2 sen x – 2 = 0

b) tg ( 2 x ) = 5 c) cos 2 x + cos x = 0 d) 2 . ( 1 + sen x ) = 7 + 3 sen x e) cotg 2 x – 1 = 0

f) 3 . tg ( x + 6

) = 1


64

RESPUESTAS

Funciones trigonométricas

1. 2. 3. 4.

Punto Cuadrante sen α cos α tg α cotg α sec α cosec α

(12 , 5)

primero

(3 , -2)

cuarto

(-6 , -8)

tercero

(-1 , 1)

segundo

5. a) Dom sen x = IR ; Im sen x = [ - 1 , 1 ] Dom cos x = IR ; Im cos x = [ - 1 , 1 ]

Dom tg x =

Zk,k2

x/IRx ; Im tgx = IR

b)

45,2)f 6,5)e 240

31)d

4

3)c

6

7)b

3)a

"25'6º40)f "41'25º160)e º330)d º315)c '30º22)b º30)a

F)b V)a

13

5

13

12

12

5

5

12

12

13

5

13

13

132

13

1333

2

2

3

3

13

2

13

5

4

5

3

3

4

4

3

3

5

4

5

2

2

2

2 1 1 2 2

2,2

3 ,

22

3,

2,0 ,0 tgx)x(f

2

3,

2 2,

2

3

2,0

2

3,

2 xcos)x(f

2, ,0 ,0 senx)x(f

CC C 0


65

7.

0S)f 4

S)e S)d S)c 6867,0S)b 4

S)a

--- --- )2,2

3(

2

3,

2

2,0 tgx)x(f

11 ,0 2, xcos)x(f

11 2

3,

2 2,

2

3

2',0 senx)x(f

mín. Valormáx. Valor decrec. de Intervalo crec. de Intervalo

aproximaciÓn a la matemÁtica - eco.mdp.edu.ar · valor absoluto. ecuaciones con valor absoluto....

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