Problema 1.

Sean X e Y variables aleatorias N(0,1) independientes . Se define la variable

aleatoria Y

XZ . Demuestre que Z tiene funcin densidad

)(1

11)(

2zI

zzf

Solucin.

Clculo de la funcin densidad conjunta de X e Y .

),(

2),(

)(2

1 22

yxIe

yxf x

yx

Determinacin del vector aleatorio y su funcin densidad conjunta .

W = Y Z = X / Y luego YW ZWX Jacobiano:

wwz

ZW

YX

01det

);(

),(

Funcin densidad conjunta del vector (Z,W)

),(2

),(

)(2

1 222

wzIwe

wzf x

wzw

Determinacin de la funcin densidad de Z.

)(1

11),()(

2zI

zdwwzfzf

Problema 2.

X tiene distribucin F. Demostrar que si Y = FoX entonces:

a) 10 Y

b) Demuestre que ]1,0[UY ( Y se distribuye uniforme en [ 0, 1] )

( Recuerde que F es creciente y por tanto invertible y xxFF )(1 )

Solucin.

a) F tiene por recorrido [0,1] , luego FoX =Y tiene ese recorrido.

b) yyFFyFXPyXFPyYPyFY ))(())(())(()()( 11

por tanto.

)()( ]1,0[ yIyf

Luego Y se distribuye uniforme en [0,1]

Problema 3.

Un banco ha destinado una ventanilla para operaciones desde el automvil y otra

para personas a pie. En un da seleccionado al azar, sea X = proporcin del tiempo que

la ventanilla para automovilistas da servicio ( por lo menos atiende a un cliente o est en

espera) e Y = proporcin del tiempo que la ventanilla para clientes a pie est

funcionando. Si suponemos que la funcin densidad conjunta es

),()(5

6),( ]1,0[]1,0[

2 yxIyxyxf x

a) Cul es el porcentaje que la ventanilla de atencin a clientes peatones est ocupada a lo sumo 50% del tiempo, dado que la ventanilla de clientes en auto

ocup un 80% del tiempo?

b) Determinar la probabilidad que ninguna de las ventanillas est ms del 25% del tiempo ocupado.

Solucin.

Determinacin de la marginal de X

5

2

5

6),()(

1

0

x

dxyxfxf X

Determinacin de la funcin condicional.

)(302434

1

)8.0(

),8.0()8.0/( ]1,0[

2 yIyf

yfXYf

X

a) Determinacin de probabilidad condicional

39.0)8.0/()8.0/5.0(

5.0

0

dyXYfXYP

b) Determinacin de la probabilidad.

640/7)25.00;25.00( YXP

Problema 4.

Durante aos en un test de conocimiento se efectan dos evaluaciones con 3 preguntas cada una. Los rendimientos en las seis preguntas se pueden

asociar a un vector normal ,~ 6

NX donde

654321 x,x,x,x,x,xX

en que xi se asocia al resultado de la pregunta i

con i=1,2,...,6. La evaluacin 1 corresponde a la suma de las preguntas impares y la

evaluacin 2 corresponde a la suma de las preguntas pares.

Datos: 11,13,14,9,12,10

6

25

006

2404

10215

032014

Determinar la probabilidad que la evaluacin 2 sea mayor que 32.

Solucin.

a) Se sabe que la evaluacin 2 est compuesta por la suma de las respuestas pares, por lo tanto, si definimos W y S como:

W = la evaluacin 1 y S = la evaluacin 2

Pregunta2 2222 ,~2 Nxfx Pregunta4 2444 ,~4 Nxf x Pregunta6 2666 ,~6 Nxf x

Por lo que E[X2+X4+X6]= 2+4+6 =12+14+11 = 37 V[X2+X4+X6]= V(X2)+V(X4)+V(X6)+2 [cov(X2,X4)+cov(X2,X6)+ cov(X4,X6)] =5+6+6+2*2+2*1+2*0 =23

23,37~ NS entonces para el clculo de la probabilidad tenemos lo siguiente:

043.1123

3732

23

3732

ZP

SPSP

= 1-(-1.0426) = 0.8515

Problema 5.

Sea X una v.a con funcin generadora de momentos :

2

1

2

1)( tX et

Sean nXXX ,.....,, 21 v.a independientes y distribuidas de igual forma que X.

Encontrar )(XE y )(XV

Solucin.

n

i

iXEn

XE1

)(1

)( y

n

i

iXVn

XV1

2)(

1)(

Luego precisamos la media y varianza de X la cual se calcula con la funcin generadora

de momentos, derivndola.

2

1)(

XE

2

1)( 2 XE

4

1)( XV

Luego los valores pedidos : 2

1)(

XE

nXV

4

1)(