ejercicios matemÁticas
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U4 Potencias y Raíces Página 1
EJERCICIOS MATEMÁTICAS
1º F.P.B.
U4 POTENCIASY RAÍCES
1. POTENCIAS
La potencia es una operación que permite escribir una multiplicación de
factores iguales de forma abreviada. Ejemplo: 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
• Toda potencia está formada por una base y un exponente.
• La base, es el factor que se está multiplicando.
• El exponente es el número de veces que se multiplica el factor.
Para calcular el valor de potencias de números enteros, hay que tener en cuenta el signo
de la base y si el exponente es un número par o impar. Observa los siguientes ejemplos:
Paréntesis en potencias de números negativos. Es importante saber que
no es lo mismo
• −52 = −(5 ⋅ 5) = −25
• (−5)2 = (−5) ⋅ (−5) = 25
Si -n es un número negativo, se define la potencia de exponente negativo
así:
𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 . Ejemplo: 3−4 =1
34
Igualmente 1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 Ejemplos: 1
10−2 = 102 ; 1
105 = 10−5
Y (𝑎
𝑏)
−𝑛= (
𝑏
𝑎)
𝑛 Ejemplos: (
3
5)
−2= (
5
3)
2
2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.
Potencia de exponente 1.
• 𝑎1 = 𝑎; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 51 = 5
Potencia de exponente 0.
• 𝑎0 = 1; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 50 = 1
Potencia de base 1.
• 1𝑛 = 1; 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 127 = 1
32 = 3 ⋅ 3 = 9 (−3)2 = (−3) ⋅ (−3) = 9 Exponente Par
53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 (−5)3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = −125 Exponente Impar
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1) Escribe en forma de potencia los siguientes productos.
a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = b) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ∙ 6 ∙ 6 = c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ∙ 4 ∙ 4 =
d) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = e) 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = f) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ∙ 6 =
g) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ∙ 5 ∙ 5 = h) 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ∙ 10 ∙ 10 = i) 11 ⋅ 11 ⋅ 11 =
j) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = k) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = l) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 =
2) Resuelve estas operaciones e indica cuáles se expresan en forma de producto y
cuáles en forma de potencia:
a) 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = b) 8 + 8 = c) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =
d) 3 + 3 + 3 = e) 9 ⋅ 9 = f) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ∙ 6 =
g) 5 ⋅ 5 ∙ 5 ∙ 5 = h) 9 + 9 = i) 9 + 9 =
j) 2 + 2 + 2 = k) 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = l) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 =
3) Calcula el valor de estas potencias y escríbelas en forma de producto:
a) 24 = b) 43 = c) 83 =
d) (−2)4 e) (−4)3 f) (−8)3
g) 36 = h) 54 = i) 74 =
j) (−3)6 k) (−5)4 = l) (−7)4
4) Desarrolla como producto y calcula.
a) 34 = b) (3)3 = c) 25 = d) 52 =
e) 43 = f) (4)2 = g) (1)26 = h) (6)3 =
i) -23 = j) (1)37 = k) 26 = l) (6)3 =
m) 25 = n) (1)45 = o) 73 = p) (4)3 =
q) 34 = r) 3-2 = s) 103 = t) 2-3 =
u) (4)-2 = v) 32 = w) 52 = x) (2)3 =
y) 4-2 = z) (4)2 = aa) (-5)3 = bb) 62 =
cc) 52 = dd) 6-2 = ee) 2-3 = ff) 54 =
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3. OPERACIONES CON POTENCIAS
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE. Se escribe la
misma base y se suman los exponentes.
• 𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
• 42 ⋅ 43 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 45
• 42 ⋅ 43 = 42+3 = 45
DIVISIÓN DE POTENCIAS CON LA MISMA BASE. Se escribe la misma base
y se restan los exponentes.
• 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
• 45: 43 =4⋅4⋅4⋅4⋅4
4⋅4⋅4= 42
• 45: 43 = 45−3 = 42
POTENCIA DE POTENCIA. Se escribe la misma base y se multiplican los
exponentes..
• (𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛⋅𝑚
• (42)3 = 42⋅3 = 46
• (42)3 = 42 ⋅ 42 ⋅ 42 = 42+2+2 = 46
POTENCIA DE UN PRODUCTO. Es igual al producto de los factores elevados
al exponente de la potencia.
• (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛
• (3 ⋅ 7)2 = 32 ⋅ 72→ 441= 441
o (3 ⋅ 7)2 = 212 = 441
o 32 ⋅ 72= 9 ⋅ 49 = 441
POTENCIA DE UNA DIVISIÓN. Es igual a la división de los factores elevados
al exponente de la potencia.
• (𝑎: 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛: 𝑏𝑛
• (12: 4)2 = 122: 42→ (3)2 = 144: 16→ 9= 9
o (12: 4)2 = (3)2 = 9
o 122: 42= 144: 16 = 9
Las potencias no cumplen la propiedad distributiva respecto a la suma y
a la resta:
• (𝑎 + 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 y (𝑎 − 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 Ejemplo:
(7 + 3)2 = 102 = 100
72 + 32 = 49 + 9 = 58 ; por lo tanto, no cumple
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5) Aplica las propiedades dejando el resultado en forma de potencia:
a) (5 . 4)3 = b)
32
5 c) (3 . 6)3 =
d)
22
3
e) (5 ⋅ 7)4 =
f)
35
8
g) (10 . 5)4 = h)
33
5
i) (8 . 4)2 =
j)
36
7
k) 5
3
m
m l) 34 . 33 =
m) 6
4
a a
n) 55 ⋅ 52 = o) 2
5 c
c
p) 43 ⋅ 45 = q) 5
7 b
b r) 52 ⋅ 54 =
s) 4
6
a
a t) 63 ⋅ 62 = u)
32
5
7b)
7
v) 4
23 w) 435b)
x)
432a)
y) 233b)
z)
325a)
aa) 234b)
bb) 242a)
cc)
4210b)
dd) 223a)
ee) 5310b)
ff)
4
23 )( a)
a
a
gg) 22
3
3·2
3)·(2 b)
hh) 5
43·a)
a
aa
ii) 22
3
5·4
5)·(4 b)
jj) 7
32 )( a)
a
a
kk) 5·2
5)·(2 b)
22
3
ll) 44
5
·
)( a)
ba
b·a
mm) 4)·(3
4·3 b)
3
33
6) Aplica las propiedades dejando el resultado en forma de potencia:
1) (35)0 = 2) 25x55 = 3) (-15)0 =
4) 64 : 24 = 5) (42)3 = 6) (-3) x (-3)2 :(-3)3 =
7) (-1)75 = 8) (-2)6 = 9) [(-8)4 ]2 =
10) (-5)3 = 11) 39 x 34 = 12) (23 x 33 )2 :(64 x 6) =
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13) 23 x 22 x 24 = 14) 27 : 24 = 15) (-7)2 =
16) (32)5 : 35 = 17) (23 x 33) : (64x 6) = 18) [(-3)2 ]3 =
19) (32)6 = 20) [(23)46 = 21) (+6)4 :(23 x 33 ) =
22) 52x54x56 = 23) (-2)4x(-2)2x(-2) = 24) [(-12)5 ]3 =
25) [(-3)24 = 26) (5x52x53)4 = 27) 50 =
28) (-3)2 :(-3)5 = 29) [(-5)-3]0 = 30) 63 x 62 x 6 =
31) (-2)3.(-2).(-2)4 = 32) (3.2)3 : 65 = 33) [(-5)4 ]2 =
34) (-3)-4 = 35) [(-6)2]0 = 36) 7-3 =
37) (-5)4.(-5)3.(-5) = 38) [(-3)0]4 = 39) (-5) x (-5)2 x (-5)3 =
40) [(-3)2 ]-3 = 41) (3)2.(-3).(-3)3 = 42) 20 =
43) (- ---) =
44) 3 43) [(-2)3]2 = 44) (32 x 33 )-1 = 45) (-5)-6 =
46) (-2)2.(-2).(-2)2 = 47) (-5)3 : (-5)5 = 48) 44 : 45 =
49) (50)2 = 50) 64 :(34 x 24 ) = 51) (39 x 34 )2 =
52) (-4)-2 = 53) (-6)5 :(-6)2 = 54) (-2)4 =
55) 52 x 5 x 54 = 56) (-5)8 :(-5)2 = 57) 52 x 54 x 53 =
58) (-2)3 x (-2)3 x (-2) = 59) [(-4)3 ]5 = 60) [(-5)4 ]0 =
61) (-6)-3 = 62) [(-7)0 ]-4 = 63) (-5)-3 =
64) (-1)13 = 65) (-6) x (-6)2 x (-6)3 = 66) (-2) x (-2) x (-2) =
67) (-2)6 = 68) [(-3)2 ]-2 = 69) (-7)4 =
70) (33 x 32 x3)3 = 71) (32 )5 : 35 = 72) (-3)2 =
73) [(-3)2 ]4 = 74) [(-2)2 ]0 = 75) (-4)6 =
76) 123 : 33 = 77) [(-6)2 ]-3 = 78) [(-5)3 ]0 =
79) 25 x 2 x 23 = 80) (-2)0 = 81) 2-3 =
82) ( --- ) =
83) -3 84) (23 x33 )4 = 85) (-5)6 : (-5)3 = 86) [(-4)5 ]0 =
87) (-2)4 x (-2)2 x (-2) = 88) (-7)5 : (-7)7 = 89) 5 -2 =
90) (25 x 35 ) = 91) (64 x 54 )3 :(23 x 53 x 33 ) =
92)
93) (53 x 43) : (22 x 102) =
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7) Escribe como una sola potencia:
a) 35 ∙ (−7)5 = _______________________
b) (−15)4: 54 = _______________________
c) (−8)5 ∙ (−4)5 ∙ 32 = _______________________
8) Completa las siguientes expresiones:
a) (−2)4 ∙ (−3)4 = (_______)4
b) (−18)6: (−9)6 = _________
c) (______)3 ∶ 53 = (−25)3
d) 72 ⋅ (______)2 ∙ 22 = (−42)2
9) Simplifica las siguientes potencias:
1) 4
52
2
22
2) 4
52
5
55
3) 6
432
66
666
4) 12
73
7
77
5)
cba
cba
3
22
6) 23103
21167
5325
3253
7) 23
52
82
24
8) 423
232
32815
493525
9)
257
24
3
29
48
35
10)
31625
72
43
325
29
48
35
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4. POTENCIAS BASE 10. NOTACIÓN CIENTÍFICA.
Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la
división, teniendo en cuenta las siguientes reglas:
Las potencias de base 10 tienen la propiedad de ser iguales a la unidad
seguida de tantos ceros como indica el exponente.
Esto nos permite expresar cualquier número en forma polinómica usando potencias de 10.
Ejemplo:
- 9.524 →9 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 + 4 = 9 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 2 ⋅ 10 + 4
Un número en notación científica se expresa como un número distinto de
cero, multiplicado por una potencia de base 10.
𝑎 ⋅ 10𝑛
1) Calcula el valor de estas potencias:
102 = _________________ 105 = _________________ 108 = _________________
1011 = ___________________________________ 1014 = ___________________________________ 1010 = ___________________________________
2) Expresa en forma polinómica utilizando potencias de 10:
- 151.346 →1 ⋅ 105 + 5 ⋅ 104 + 1 ⋅ 103 + 3 ⋅ 102 + 4 ⋅ 10 + 6
- 230.087 →_________________________________________________________.
- 1.104.897 →_______________________________________________________.
- 9.000.004.006→____________________________________________________.
- 3.000.000.000→____________________________________________________.
- 400.300.600.200→_________________________________________________.
3) Escribe en forma de notación científica los siguientes números:
1) 68.500.000.000 = 2) 15.000.000.000.000 =
3) 523.000.000.000 4) 945.000.000.000.000 =
Observa como se utiliza la notación científica en los siguientes
ejemplos:
• En la Torre Eiffel hay 2.500.000 remaches = 𝟐𝟓 ⋅ 𝟏𝟎𝟓
• La masa de la tierra es:
5.980.000.000.000.000.000.000.000.000 = 𝟓𝟗𝟖 ⋅ 𝟏𝟎𝟐𝟓
• La superficie de la tierra es de 500.000.000km2= 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟖 𝒌𝒎𝟐
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5. RAÍCES
La raíz n de número a es otro número b, tal que si se multiplica por sí mismo n
veces, se obtiene el número a. Ejemplo:
El valor de una raíz cuadrada exacta, es un número cuyo cuadrado es igual al
radicando de la raíz. Los números cuya raíz cuadrada es exacta se llaman cuadrados
perfectos.
El valor de una raíz cuadrada entera de un número, es el número natural cuyo
cuadrado es menor que ese número y más se aproxi
1) Calcula el valor de las siguientes raíces:
Ejemplos √𝟐𝟓 = 𝟓 → porque 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓; √𝟏𝟐𝟓𝟑
= √𝟓𝟑 𝟑
= 𝟓 → porque 𝟓𝟑 = 𝟏𝟐𝟓
√−𝟐𝟓 = √(−𝟓) ⋅ (+𝟓) → no se puede calcular la raíz cuadrada
; √−𝟏𝟐𝟓𝟑
= √(−𝟓) ∙ (−𝟓) ∙ (−𝟓)𝟑 = √(−𝟓)𝟑𝟑 = -5 → porque (−𝟓)𝟑 = 𝟏𝟐𝟓
√100 = _________________
√16 = ___________________
√49 = ___________________
√643
= ___________________
√10003
= _________________
√643
= ___________________
√2163
= ___________________
√83
= ___________________
2) Calcula el valor de las siguientes raíces:
√4 = _________________
√81 = ___________________
√−100 = ___________________
√17
= ___________________
√−121 = ___________________
√−3433
= ___________________
√−13
= _________________
√−16 = ___________________
√164
= ___________________
√0 = ___________________
√325
= ___________________
√−16 = ___________________
Indica en los siguientes ejemplos: la raíz, el índice y el radicando.
- √9 = 3 → 3 es la raíz, 2 es el índice y 9, el radicando. (se lee
raíz cuadrada de 9)
- √1253
= √53 3
= 5 → 5 es la raíz, 3 es el índice y 125, el
radicando. (Se lee raíz cúbica de 125)
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3) Calcula el valor de las siguientes raíces, de dos formas distintas:
Ejemplos √𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝟐𝟓 = √𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟔𝟎 ó 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 √𝟏𝟒𝟒 ∙ √𝟐𝟓 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟔𝟎
Como puedes ver, la segunda solución te permite realizar cálculos sin
necesidad de calculadora.
√25 ∙ 9 ∙ 100 = _________________ √25 ∙ 9 ∙ 100 = ___________________
√1000 ∶ 1253
= _________________ √1000 ∶ 1253
= ___________________
√50 + 50 = ___________________
4) Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales. Recuerda: “En
muchos de los ejemplos debes factorizar previamente para expresar en forma
de potencia y así facilitar el cálculo”:
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: √𝟏𝟖 = √𝟐 ∙ 𝟑𝟐 = 𝟑 ∙ √𝟐
√45 = _________________________ √363 = ___________________________________
√75 = _____________________________ √647 = ____________________________________
√163
= _________________________ √98 = __________________________________
√723
= _______________________________ √1083
= _______________________________
√646
= _______________________________ √6254
= _______________________________
√2245
= _______________________________ √32 5
= __________________________________
3 ∙ √48 = ____________________________
√𝟗 ∙ 𝒂𝟑 = √𝟑𝟐 ∙ 𝒂𝟐 ∙ 𝒂 = 𝟑 ∙ 𝒂 ∙ √𝒂
√50 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 = ____________________________________________________________
2 ∙ √75 ∙ 𝑥4 ∙ 𝑦5 = _______________________________________________________
3 ∙ √81 ∙ 𝑥3 ∙ 𝑦4 = ________________________________________________________
√98 ∙ 𝑎3 ∙ 𝑏5 ∙ 𝑐7 = ______________________________________________________
1
7∙ √49 ∙ 𝑥3 ∙ 𝑦7 = _______________________________________________________
1
3∙ √27 ∙ 𝑥5 ∙ 𝑦7 = _______________________________________________________
1
2∙ √128
3= ________________________________________________________________
3
5∙ √125 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦6 = ________________________________________________________
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5) Calcula el valor de las siguientes raíces.
Ejemplo: √𝟑𝟐 ∙ √𝟐 = √𝟑𝟐 ∙ 𝟐 = √𝟔𝟒 = √𝟖𝟐 = 𝟖
a) √1003
∙ √103
=
b) √18 ∶ √2 = √27
√3 =
c) √323
√23 =
d) √18 ∙ √2 =
e) √64 3
∶ √83
=
f) √25 3
∙ √53
=
g) √163
∙ √163
=
h) √35 ∙ √625
3=
i) √32 ∙ √2 =
6) Calcula las siguientes multiplicaciones de radicales. Debes desarrollar
matemáticamente tu respuesta. Ejemplo: √𝟗 ∙ √𝟒 = 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟔
a) √100 ∙ √16 =
b) √16 ∙ √4 =
c) √25 ∙ √4 =
d) √49 ∙ √81 =
e) √64 ∙ √25 =
f) √100 ∙ √81 =
g) √36 ∙ √16 =
h) √144 ∙ √4 =
i) √121 ∙ √9 =
j) √196 ∙ √4 =
k) √225 ∙ √4 =
l) √9 ∙ √25 ∙ √16 =
m) √16 ∙ √100 ∙ √9 =
n) √144 ∙ √25 ∙ √4 =
o) √400 ∙ √100 ∙ √4 =
p) √900 ∙ √9 =
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6. OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Y RAÍCES.
1. Se resuelven las operaciones que se encuentran entre paréntesis y
corchetes.
2. Se resuelven las potencias y raíces.
3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.
4. Se resuelven las sumas y restas.
Ejemplo:
7) Resuelve las siguientes operaciones:
a) (43 ∙ 3 + 20: 10): 2 + 1 =
b) 3 + 7 ∙ 4 − (−2)3 + (−6) =
c) (−10) + 27 ∶ 32 ∙ 5 − 2 =
d) 4 + (7 − 5)2 − (16 − 18 ∶ 3): 2 =
e) 6 + 2 + 3√18 − 32 − 12 =
f) √9 ∶ 3 + √81 =
g) 32 − [1 − (12 − 32)]2
∙ 6 ∶ 3 =
h) 2 ∙ (5 − 9)3 + √3 ∙ 40 + 53
=
i) 3 ∙ (2 − 6)3 − √−1253
=
j) √20 ∙ (3 + 5) − 60 + 30 =
k) (√100 + 2) ∙ √12: 6 + 34 =
l) √(−6) ∙ (−8) − 4 ∙ 3 + (−8 − 3)2 =
m) 5 ∙ √16 − √10 ∙ 6 + 4 =
n) √64 + √81: √9 =
o) (√25 − 2) ∙ (23 − 32) =
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8) Resuelve las siguientes operaciones:
a) 42 − √102 − 82 ∶ [5 ∙ (−2) ]2
∙ √1 − (−24) =
b) (√100 + √25) ∙ 3 + 92 + 31 =
c) [(−2)5: (−2)3]3 − (2 − 3 ∙ 4) =
d) √18 ∙ √12 + (−3 − 4 ∙ 2) ∙ (−1) =
e) 63: 62 + 4 ∙ (10 − √83
+ 20) =
f) √144 ∙ (20 − 3) + 710: 70 =
g) √3 ∙ √3 + √−2163
+ (−16)0 =
h) √(5 ∙ 4 + 5) ∙ 4 =