ejercicios detallados del obj 3 mat ii (178 179)
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Capitulo II
Matemática II
Objetivo 3. Efectuar ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que
se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.
Ejercicio 1
Sea :g →ℝ ℝ la función definida por:
2 2, 0
( ) 2, 0 1
2, 1
1
x si x
g x si x
si xx
+ <
= ≤ ≤ <
−
Estudiar la continuidad de la función ( )g x en 0 y 1x x= = .
Solución
Justificación: Para que una función ( )f x sea continua en un punto 0x ,
se debe verificar:
a) 0( )f x exista.
b) 0
lim ( )x x
f x→
exista.
c) 0
0( ) lim ( )x x
f x f x→
=
En el objetivo 9 de matemática 1, se explicó suficientemente en detalle
como estudiar la continuidad de una función, te invito a revisar esos ejercicios,
sin embargo, en esta guía, desarrollaré este primer ejercicio con detalle y
luego, los posteriores, con menos detalles, claro está, explicando los pasos a lo
largo de la justificación del ejercicio.
Del comentario inmediato anterior se desprende que tienes experiencia
en el estudio de la continuidad de una función, por lo tanto, en vez de utilizar
las 3 condiciones anteriores, utilizare una condición que engloba a las 3, a
saber:
0 00( ) lim ( ) lim ( )
x x x xf x f x f x
− +→ →= =
(OJO: TODAS LAS TRES EXPRESIONES DEBEN SER IGUALES ,
PARA QUE LA FUNCIÓN SEA CONTINUA, APENAS UNA DE
ELLAS NO SEA IGUAL, SE CONCLUYE QUE LA FUNCIÓN NO
ES CONTINUA EN EL PUNTO 0x )
Observa la siguiente explicación de esta condición:
Ahora observarás como aplicar esta condición a nuestro ejercicio.
Para 0 0x = :
Se debe verificar:
Calculo de la expresión 1
(0) 2f = , porque allí se presenta la igualdad destacada en rojo:
Calculo de la expresión 2
( )2 2
0 0lim ( ) lim 2 0 2 0 2 2x x
f x x− −→ →
= + = + = + =
Se tomo la función 2 2x + porque allí está el signo < , destacado en azul:
Calculo de la expresión 3
( )0 0
lim ( ) lim 2 2x x
f x+ +→ →
= =
Se tomo la función 2 porque allí está el signo > , destacado en magenta:
Observa que se cumple:
Por lo tanto la función ( )g x es continua en 0x = .
Para 0 1x = :
Se debe verificar:
Calculo de la expresión 1
(1) 2f = , porque allí se presenta la igualdad destacada en rojo:
Calculo de la expresión 2
( )1 1
lim ( ) lim 2 2x x
f x− −→ →
= =
Se tomo la función 2 porque allí está el signo < , destacado en azul:
Calculo de la expresión 3
1 1
2 2 2lim ( ) lim
1 1 1 0x xf x
x+ +→ →
= = = = ∞ − −
Se tomo la función 2
1x − porque allí está el signo > , destacado en
magenta:
Observa que no se cumple:
Por lo tanto la función ( )g x no es continua en 1x = .
Respuesta:
• la función ( )g x es continua en 0x = .
• La función ( )g x no es continua en 1x = .
Ejercicio 2
Estudiar la continuidad de la función:
2
2
4 4 si 2
2( ) 3 si 2
2 si 2
3 6
x xx
xf x x
x xx
x
− + < −= = − − > −
Solución
Justificación: La continuidad de esta función la estudiaremos en el punto 0 2x = ,
que es el punto donde la función a trozos pudiera ser discontinua porque sufre
cambios geométricos, dada las distintas funciones en los diferentes intervalos,
así pues:
Se debe verificar:
22lim ((2) l )im ( )
x xf x ff x
+− →→= =
Calculo de la expresión 1
(2) 3f = , porque allí se presenta la igualdad de la función ( 2x = )
Calculo de la expresión 2
( )22
2 2
2 4 2 44 4 4 8 4 0lim ( ) lim
2 2 2 0 0x x
x xf x
x− −→ →
− +− + − += = = =− −
En este caso tenemos la forma indeterminada 0
0, y como estamos en
presencia de dos polinomios, factorizaremos para eliminar la forma
indeterminada presente.
Para factorizar el polinomio 2 4 4x x− + , debemos buscar las raíces, así:
222 ( 4) ( 4) 4.1.44 4 16 16 4
4 4 22 2.1 2 2
b b acx x x
a
− − ± − −− ± − ± −− + → = = = = =
Como la raíz es doble, la factorización queda: ( )22 4 4 2x x x− + = −
Sustituyendo en nuestro límite dicha factorización, se tiene:
( ) ( )2 22
2 2 2
2 24 4lim lim lim
2 2x x x
x xx x
x x− − −→ → →
− −− + = =− − 2x − 2
lim( 2) 2 2 0x
x−→
= − = − =
NOTA: Se tomo la función 2 4 4
2
x x
x
− +−
porque allí está: 2x < .
Calculo de la expresión 3
( )2 2
2 2
2 2 2 2 4 4 0lim ( ) lim
3 6 3 2 6 6 6 0x x
x xf x
x+ +→ →
− − − − −= = = =− − −
En este caso tenemos la forma indeterminada 0
0, y como estamos en
presencia de dos polinomios, factorizaremos para eliminar la forma
indeterminada presente.
Para factorizar el polinomio 2 2x x− − , debemos buscar las raíces, así:
222 ( 1) ( 1) 4.1.( 2)4 1 1 8
22 2.1 21 3 4
21 9 1 3 2 2
1 3 22 21
2 2
b b acx x x
a
xx
x
− − ± − − −− ± − ± +− − → = = =
+ = = =± ± = = − − = = = −
En este caso, la factorización queda: ( ) ( )2 2 2 1x x x x− − = − +
En el denominador se extrae el factor común, así:
3 6 3 3 2 2 ( 2) 3( 23 )3 3x x x x x− = − × = − × = − = −
Sustituyendo en nuestro límite dichas factorizaciones, se tiene:
2
22 2 2
( 2)2 ( 2)( 1)lim ( ) lim lim lim
3 6 3( 2) xx x x
xx x x xf x
x x+ + + → +→ → →
−− − − += = =− −
( 1)
3 ( 2)
x
x
+− 2
( 1) 2 1 3lim 1
3 3 3x
x→ +
+ += = = =
NOTA: Se tomo la función 2 2
3 6
x x
x
− −−
porque allí está: 2x > .
Observa que:
2
2
3
0 3
(
l
0 1lim (
1
2)
im (
)
)x
xf x
f
f x
−
+→
→
== → ≠ ≠
=
Por lo tanto la función ( )f x no es continua en 2x = .
Respuesta: la función ( )f x no es continua.
Ejercicio 3
Estudiar la continuidad de la función ( ) :f x D → ℝ , definida por:
, si 0
( ) 0, si 0
1, si 0
1
senxx
xf x x
xx
x
<
= = − > −
Solución
Justificación: La continuidad de esta función la estudiaremos en el punto
0 0x = , que es donde la función se divide en tramos y en el punto 0 1x = , porque
la función 1
1
x
x
−−
no esta definida en dicho punto, porque el denominador se
anula 1 1
1 0
1
1 1
x x x
x
− − −= = − − .
Para 0 0x = , se debe verificar:
00lim ((0) l )im ( )
x xf x ff x
+− →→= =
Calculo de la expresión 1
(0) 0f = , porque allí se presenta la igualdad de la función ( 0x = )
Calculo de la expresión 2
0 0
lim ( ) lim 1x x
senxf x
x− −→ →= =
NOTA: Se tomo la función senx
x porque allí está: 0x < .
Calculo de la expresión 3
0 0
1 1 0 1lim ( ) lim 1
1 1 0 1x x
xf x
x+ +→ →
− −= = = =− −
NOTA: Se tomo la función 1
1
x
x
−−
porque allí está: 0x > .
Observa que:
0
0
0
1 0
(
l
1 1lim (
1
0)
im (
)
)x
xf x
f
f x
−
+→
→
== → ≠ =
=
Por lo tanto la función ( )f x no es continua en 0x = , porque 0 1≠ .
Por otro lado, para:
Para 0 1x = , se debe verificar:
11lim ((1) l )im ( )
x xf x ff x
+− →→= =
Calculo de la expresión 1
1 1 0
(1)1 1 0
f−= =−
, se verifica que la función no existe en 0 1x = , por lo
tanto la función no es continua.
Respuesta: la función ( )f x no es continua en 0x = y tampoco es
continua en 0 1x = .
Ejercicio 4
Dada la función ( )f x definida por:
si 0( )
2 si 0
axe xf x
x a x
≤= + >
Determine el valor del parámetro " "a para que ( )f x sea continua en
0x = .
Solución
Justificación: En este caso, estudiaremos la continuidad de la función
para 0 0x = , tomando en consideración que el parámetro " "a es cualquier
número real, así:
Para 0 0x = , se debe verificar:
00lim ((0) l )im ( )
x xf x ff x
+− →→= =
Calculo de la expresión 1
( )0 0(0) 1af e e×= = = , porque allí se presenta la igualdad de la función.
Observa que este valor no depende del parámetro " "a , porque cualquier
número real multiplicado por cero, es cero.
Calculo de la expresión 2
( 0) 0
0 0lim ( ) lim 1ax a
x xf x e e e
− −
×
→ →= = = =
NOTA: Se tomo la función axe porque allí está: 0x < .
Calculo de la expresión 3
0 0
lim ( ) lim 2 0 2 2x x
f x x a a a+ +→ →
= + = + =
NOTA: Se tomo la función 2x a+ porque allí está: 0x > .
Observa que:
0
0
1
1 1lim ( ) 1 2
2
(0)
lim ( )x
x
af
f
af x
x
+
−
→
→
== → = =
=
Por lo tanto la función, para que la función ( )f x sea continua en 0x = ,
se deben cumplir, todas las igualdades, y esto ocurre cuando:
11 2
2a a= ∴ =
Por lo tanto par que se cumplan las 3 igualdades, el valor de 1
2a = .
Verificando este valor en las 3 igualdades:
1 1 2
11 1 2.
2
1 1 2
a= =
= =
= = 1.
2
1 1 1
= =
Respuesta: El valor del parámetro " "a para que la función ( )f x sea
continua es: 1
2a = .
Ejercicio 5
Consideremos la función 5
( ) : ,3 3
f xπ π →
ℝ , definida por:
( )2
xf x senx= −
Demuestre que existe un elemento c en el intervalo 5
,3 3
π π
tal que
( ) 0f c = .
Solución
Justificación: En este caso, aplicamos el teorema de Bolzano, a saber:
Si ( )f x es continua y definida en el intervalo [ ],a b y ( ). ( ) 0f a f b < ,
entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( ) 0f c = .
Entonces, apoyándonos en este teorema, podemos demostrar que
( )2
xf x senx= − posee un elemento
5,
3 3c
π π ∈
tal que ( ) 0f c = , si se
comprueba que:
• ( )2
xf x senx= − este definida y sea continua en
5,
3 3
π π
• Que se cumpla ( ). ( ) 0f a f b < , en nuestro caso: 5
. 03 3
f fπ π <
Procedamos pues, a demostrar cada uno de éstos puntos.
Punto 1
La función ( )2
xf x senx= − esta definida en el intervalo
5,
3 3
π π
, porque
es la diferencia o resta de 2 funciones definidas para todo número real, el
polinomio 2
x y la función trigonométrica senx .
Además, se sabe que toda función polinómica es continua para todo
real, y la función seno de equis ( senx ), también es continua para todo número
real, por lo tanto la diferencia 2
xsenx− también es continua en todo real.
Punto 2
Como se comprobó el punto 1, pasamos a verificar que el punto 2, es
decir, comprobar:
5. 0
3 3f f
π π <
Esto se cumple, si al evaluar la función en los extremos del intervalo,
obtenemos como resultado valores de diferente signo.
3 0,3423 2 3 6 3
55 5 5 53 3,4833 2 3 6 3
f sen sen
f sen sen
ππ π π π
ππ π π π
= − = − ≈
= − = − ≈
+
−
Por lo tanto, existe un elemento c en el intervalo 5
,3 3
π π
tal que
( ) 0f c = .
Respuesta: Existe un elemento c en el intervalo 5
,3 3
π π
tal que
( ) 0f c = .
Ejercicio 6
Dada la función 3 2( ) 1f x x x x= − + + definida en [ ]1, 2− . Aplicar el
teorema de Bolzano.
Solución
Justificación: En teorema de Bolzano, es:
Si ( )f x es continua y definida en el intervalo [ ],a b y ( ). ( ) 0f a f b < ,
entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( ) 0f c = .
Verifiquemos que 3 2( ) 1f x x x x= − + + cumple con:
• 3 2( ) 1f x x x x= − + + este definida y sea continua en [ ]1, 2−
• Que se cumpla ( ). ( ) 0f a f b < , en nuestro caso: ( )( 1). 2 0f f− <
Procedamos pues, a demostrar cada uno de éstos puntos.
Punto 1
La función 3 2( ) 1f x x x x= − + + esta definida en el intervalo [ ]1, 2− ,
porque es una función polinómica, y éstas están definidas para todo número
real.
Además, se sabe que toda función polinómica es continua para todo
real, por lo tanto la función dada es continua en su intervalo de definición.
Punto 2
Como se comprobó el punto 1, pasamos a verificar el punto 2, es decir,
comprobar:
( )( 1). 2 0f f− <
Esto se cumple, si al evaluar la función en los extremos del intervalo,
obtenemos como resultado valores de diferente signo.
3 2
3 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 2
(2) 2 2 2 1 8 4 3 7
f
f
− = − − − + − + = − − − −+ == − + + − + = +=
Por lo tanto, existe un elemento c en el intervalo [ ]1, 2− tal que ( ) 0f c = .
Respuesta: Al aplicar el teorema de Bolzano, se verifica que existe un
elemento c en el intervalo [ ]1, 2− tal que ( ) 0f c = .
Ejercicio 7
Dada la función definida por: 2( ) 4 3 , 2 5f x x x x= + − ≤ ≤
Verificar el teorema del valor intermedio, si 1K = ; es decir, determinar un
número " "c contenido en [ ]2,5 tal que ( ) 1f c = .
Solución
Justificación: El teorema del valor intermedio, es:
Si ( )f x es continua en el intervalo [ ],a b . Entonces para cada K tal que
( ) ( )f a K f b< < , entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( )f c K= .
Verifiquemos que 2( ) 4 3 , 2 5f x x x x= + − ≤ ≤ cumple con:
• Se sabe que 2( ) 4 3 , 2 5f x x x x= + − ≤ ≤ es una función polinómica, y
toda función polinómica es continua para todo real, por lo tanto la
función dada 2( ) 4 3f x x x= + − es continua en el intervalo [ ]2,5
• Ahora verifiquemos que ( ) ( )f a K f b< < , en este caso:
( ) ( )( ) ( )
2
2
( )
(
(2) 4 3 2 2 4 6 4 6
(5) 4 3 5 5 4 15 25) 6
f
f
f a
f b
= = + − = + − =
= = + − = + − = −
Como ( ) ( ) 6 1 6f a K f b< < → < < − , entonces existe al menos un valor
( )2,5c ∈ tal que ( ) 1f c = .
Ahora ubicaremos este valor " "c , con la igualdad:
222 2
1
2
( 3) ( 3) 4.1.( 3)44 3 1 3 3 0
2 2.1
3 213,79
3 9 12 3 21 22 2
( ) 1
3 210,79
2
b b acc c c c c
a
cc
f c
c
− − ± − − −− ± −+ − = → − − = → = =
+= ≈± + ± = = −
= →
= ≈ Se observa que de los 2 valores de " "c obtenido, uno no pertenece al
intervalo ( )2,5c ∈ y el otro si, observa:
( )
( )
1
2
3 213,79 2,5
2
3 210,79 2,5
2
c
c
+= ≈ ∈
− = ≈ ∉
Por lo tanto el valor de " "c para que se cumpla el teorema del valor
intermedio en este caso es: 3 21
2c
+= .
Respuesta: El valor buscado es: 3 21
2c
+=
Ejercicio 8
Sea [ ]: 0,1g →ℝ una función continua. A continuación se hacen varias
afirmaciones que involucran a la función g . Indica con una V o una F en el
espacio correspondiente, según que la afirmación sea verdadera o falsa,
respectivamente.
a. g alcanza al menos un máximo en el intervalo [ ]0,1
b. Si (1) 5g = , entonces 1
lim ( ) 5x
g x−→
=
c. La función [ ]: 0,1h → ℝ , definida por 2( ) 2 ( )h x g x x= + no es
necesariamente continua en el intervalo [ ]0,1
Solución
Justificación:
a. Verdadero, porque toda función continua en un intervalo cerrado,
siempre alcanza al menos un máximo o un mínimo.
b. Como la función es continua, se cumple la igualdad:
1(1) 5 lim ( )
xg g x
−→= =
Por lo tanto esta afirmación es verdadera.
c. Esta afirmación es falsa, porque la suma de funciones continuas, es
continua, y ya se sabe que g y la función 2x por ser polinómica, también es
continua, por lo tanto la función dada 2( ) 2 ( )h x g x x= + es continua siempre.
Respuesta:
a. V
b. V
c. F
Ejercicio 9
Sea [ ]: 2, 4f − →ℝ la función definida por ( )3( ) 2 1 10xf x x x= − + . Usar el
Teorema del Valor Intermedio para verificar que los puntos 0,2a = y 47789b =
están en la imagen de f .
Solución
Justificación: El teorema del valor intermedio, es:
Si ( )f x es continua en el intervalo [ ],a b . Entonces para cada K tal que
( ) ( )f a K f b< < , entonces existe al menos un valor ( ),c a b∈ tal que ( )f c K= .
Podemos observar que la función planteada ( )3( ) 2 1 10xf x x x= − + es
continua en todo su dominio, por ser producto de dos funciones continuas, una
polinómica: ( )3 2 1x x− + y una exponencial 10x , por lo tanto cumple con el
requisito que exige el teorema del valor intermedio, por lo tanto podemos
determinar el intervalo de todas las imágenes que existen para el intervalo:
[ ]2, 4− , es decir:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 22
3 4 4
8 4 1 3( 2) ( 2) 2( 2) 1 10 0,03
10 100
(4) (4) 2(4) 1 10 64 8 1 10 57 10000 570000
f
f
− − + + −− = − − − + = = = −
= − + = − + = =
Como ya tenemos el intervalo de todas las imágenes de
( )3( ) 2 1 10xf x x x= − + en [ ]2, 4− , es decir, [ ]0,03;570000− , podemos corroborar o
verificar por simple inspección que:
[ ]0, 2 0,03;570000a = ∈ −
y
[ ]47789 0,03;570000b = ∈ −
Respuesta: Se verifica que los puntos 0,2a = y 47789b = están en la
imagen de f .
Ejercicio 10
Sea :f →ℝ ℝ la función definida por: 2
. si 0
( ) si 0< 1
1 ln si 1
xx e x
f x x x
x x x
≤
= < + ≥
Estudiar la continuidad de la función ( )f x en 0 y 1x x= = .
Solución
Justificación: Analizaremos la continuidad:
Para 0 0x = :
00lim ((0) l )im ( )
x xf x ff x
+− →→= =
Calculo de la expresión 1
20 0(0) 0. 0. 0.1 0f e e= = = = , se tomo la función
2
. xx e porque allí se
presenta la igualdad de la función ( 0x = )
Calculo de la expresión 2
2 20 0
0 0lim ( ) lim . 0. 0. 0.1 0x
x xf x x e e e
− −→ →= = = = =
NOTA: Se tomo la función 2
. xx e porque allí está: 0x < .
Calculo de la expresión 3
0 0
lim ( ) lim 0x x
f x x+ +→ →
= =
NOTA: Se tomo la función x porque allí está: 0x > .
Observa que:
0
0
0
0 0
(
l
0 0lim (
0
0)
im (
)
)x
xf x
f
f x
−
+→
→
== → = =
=
Por lo tanto la función ( )f x es continua en 0x = .
Para 0 1x = :
11lim ((1) l )im ( )
x xf x ff x
+− →→= =
Calculo de la expresión 1
(1) 1 1ln1 1 0 1f = + = + = , se tomo la función 1 lnx x+ porque allí se
presenta la igualdad de la función ( 1x = )
Calculo de la expresión 2
1 1
lim ( ) lim 1x x
f x x− −→ →
= =
NOTA: Se tomo la función x porque allí está: 1x < .
Calculo de la expresión 3
1 1
lim ( ) lim1 ln 1 1ln1 1 0 1x x
f x x x+ +→ →
= + = + = + =
NOTA: Se tomo la función 1 lnx x+ porque allí está: 1x > .
Observa que:
1
1
1
1 1
(
l
1 1lim (
1
1)
im (
)
)x
xf x
f
f x
−
+→
→
== → = =
=
Por lo tanto la función ( )f x es continua en 1x = .
Respuesta: la función ( )f x es continua en 0 y 1x x= = .
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta .
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Sea f: IR→ IR, la función definida por:
2 8 15, 5
5( )
2 , 5
x xx
xf x
x
− + ≠ −= − =
A continuación se presentan tres afirmaciones en relación a la función f. Indica
con una V (verdadero) o una F (falso) sobre el espacio correspondiente de
acuerdo a si la afirmación que se hace es verdadera o falsa.
a. La función f es discontinua en el punto 0 10x = ______
b. El punto 0 5x = es una discontinuidad evitable de la función f ______
c. La función f es continua en IR _____
Ejercicio 2
Sea [ ]: 0,10f →ℝ dada por 3( ) 2f x x x= + . Verifica que f es inyectiva
( )( ) ( )f x f y x y= ⇒ = y utiliza resultados sobre funciones continuas para
comprobar que [ ]( ) [ ]0,10 0,1020f = .
Ejercicio 3
Sean , :f g →ℝ ℝ funciones tales que el producto ( ) 1. ( )
8f g x
x=
+, para
todo x∈IR−{−8}. Si f es continua en 8x = − , ¿qué puede decirse acerca de la
continuidad de g en 8x = − ?
Ejercicio 4
Definir una función f continua en ℝ excepto en el punto 2x = que
cumple lo siguiente:
a. (2) 0f =
b. 2
lim ( )x
f x+→
= ∞
c. 2
lim ( )x
f x−→
= −∞
Ejercicio 5
Considere la función { }: 8f − →ℝ ℝ definida por 3
8( )
2
xf x
x
−=−
. Verifique
que en 8x = hay una discontinuidad evitable de ( )f x y construya una
redefinición continua de dicha función en 8x = .
Ejercicio 6
Definir el conjunto de todos los puntos de discontinuidad de la función:
( )cos
xf x
x=
usando notación matemática adecuada.
Ejercicio 7
Sea :k →ℝ ℝ , definida a través de la relación:
( )2
1 si 1
t+4 si 1< 0
( ) 3cos si 0 3
2 6 si 3 4
3 si 4
t
t
k t t t
t t t
t
π
≤ − − <= ≤ < − − ≤ <
≤
Entonces podemos asegurar que k es continua en:
a. 0t = b. 3t = c. 1t = − d. 4t =
Ejercicio 8
Sea { }( ) : 0h x − →ℝ ℝ , la función definida por:
2
2
1 cos, si 0
( )4 , si 0
xx
h x xa ax a x
− ≠= + − =
Determine el valor de " "a para que la función ( )h x sea continua en
0x = .
Ejercicio 9
Considera la función :h →ℝ ℝ definida por:
3
2
3 8( )
1
s sh s
s
+ −=+
Verifica, usando el teorema del Valor Medio, que existe s ∈ℝ tal que ( ) 50h s = . Ejercicio 10
A continuación se hacen diversas afirmaciones con respecto a la función
3: ,2
2f
π π → ℝ definida por ( ) 2 cos(2 )f x senx x= + .
Señala con una V o una F en el espacio en blanco según que las
afirmaciones hechas sean verdaderas o falsas, respectivamente.
a. La función f es discontinua en el intervalo 3
,22
π π
_____
b. f no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano _____
c. Existe c∈ 3, 2
2
π π
tal que f(c) = 0 _____