ejercicios detallados del obj 7 mat ii 178 179-

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Capitulo II Matemática II Objetivo 7. Aplicar el método de Gauss-Jordan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz. Ejercicio 1 Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 3 5 2 3 2 3 2 7 x y x y x y = - = = Solución Justificación: Este primer problema lo desarrollaré con mucho detalle, el resto de los ejercicios, los desarrollare con menos detalles, claro está, siempre explicando cada paso. Es importante mencionarte que el método de Gauss-Jordan consiste básicamente en transformar una matriz, en la matriz identidad, la pregunta lógica es ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?. Pues, para responder esta pregunta, primero recuerda que las matrices identidad tienen la forma: 2 1 0 0 1 I = 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I = 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I = Observa que todas estas matrices son CUADRADAS, sin embargo, independientemente de la forma de la matriz que nos den en el ejercicio, siempre se puede aplicar el método de Gauss-Jordan. Ahora bien, repitiendo la pregunta: ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?, ésta respuesta dependerá del ejercicio, que normalmente son de 2 tipos en este objetivo 7. Ejercicios tipo 1: Buscar la matriz inversa, de una matriz dada. En este caso te dan una matriz, por ejemplo: 5 0 2 3 1 4 8 2 1 A - = - -

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Capitulo II

Matemática II

Objetivo 7. Aplicar el método de Gauss-Jordan en la resolución de

sistemas de ecuaciones lineales o en el cálculo de la inversa de una matriz.

Ejercicio 1

Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de

ecuaciones:

3

5

2 3

2

3 2 7

x y

x y

x y

+ = − = + =

Solución

Justificación: Este primer problema lo desarrollaré con mucho detalle, el

resto de los ejercicios, los desarrollare con menos detalles, claro está, siempre

explicando cada paso.

Es importante mencionarte que el método de Gauss-Jordan consiste

básicamente en transformar una matriz, en la matriz identidad, la pregunta

lógica es ¿Cuál matriz se transformará en la matriz identidad?. Pues, para

responder esta pregunta, primero recuerda que las matrices identidad tienen la

forma:

2

1 0

0 1I

=

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

=

Observa que todas estas matrices son CUADRADAS, sin embargo,

independientemente de la forma de la matriz que nos den en el ejercicio,

siempre se puede aplicar el método de Gauss-Jordan.

Ahora bien, repitiendo la pregunta: ¿Cuál matriz se transformará en la

matriz identidad?, ésta respuesta dependerá del ejercicio, que normalmente

son de 2 tipos en este objetivo 7.

Ejercicios tipo 1:

Buscar la matriz inversa, de una matriz dada.

En este caso te dan una matriz, por ejemplo:

5 0 2

3 1 4

8 2 1

A

− = − −

Primero SE ESCRIBIRÁ LA MATRI AMPLIADA:

1 0 0

0 1 0

0 0

5 0 2

3 1 4

18 2 1

−−−

Luego la matriz, que transformaremos en la matriz identidad será:

Ejercicios tipo 2:

Resolver un sistema de ecuaciones.

En este caso te dan un sistema de ecuaciones, por ejemplo:

2 3 9

2 5 1

8 6 7 0

x y z

x y z

y z x

− + =− + + = − + =

Primero, DEBES TENER EL SISTEMA ORDENADO, Y EL QUE TE DI

EN ESTE EJEMPLO NO ESTA ORDENADO EN SU TERCERA FILA,

OBSERVA:

8

2 3 9

2 5

7 06

1

x y z

x y

z

z

y x

− + =− + + =

=+

Al ordenarla quedaría:

7

2 3 9

2 5

6 08

1

x y z

x y

y

z

x z

− + =− + + =

=−

+

Segundo, SE ESCRIBIRÁ LA MATRIZ AMPLIADA:

9

1

2 3 1

2 1 5

7 8 06

− −

Luego la matriz, que transformaremos en la matriz identidad será:

Retomando el ejercicio 1 planteado inicialmente, es decir, resolver el

sistema de ecuaciones dado; primero escribiremos la matriz ampliada del

sistema de ecuaciones; es IMPORTANTE recordar siempre, que el sistema

debe estar ordenado, es decir, las equis debajo de las equis, las yes debajo de

las yes, y así sucesivamente, para luego escribir la matriz ampliada y

posteriormente aplicar el método de Gauss-Jordan. En nuestro caso la matriz

ampliada será:

2 3

1 2

73 2

3

5

Observa amiga y amigo estudiante que la matriz que debemos

transformar en la matriz identidad es:

Ahora bien, te preguntaras ¿Cómo transformo esta matriz a la identidad

si no es cuadrada?, pues en estos casos lo que se desea obtener es la

siguiente transformación a matriz identidad:

1 0

0 1

0 0

Puede que te ayude pensar, que la matriz identidad a encontrar en este

caso, cuando la matriz dada en el ejercicio no es cuadrada, es realmente una

matriz cuadrada identidad pero faltante de la última columna, es decir,

Observa que esta estructura nos indica QUE PRIMERO

CONSEGUIMOS EL UNO EN LA PRIMERA COLUMNA Y LUEGO LOS

CEROS EN LA MISMA COLUMNA, LUEGO DE HABER CONSEGUIDO EL

UNO Y LOS CEROS, PASAMOS A LA SIGUIENTE COLUMNA A EJECUTAR

LO MISMO.

El método de Gauss-Jordan es mecánico y consiste en lo siguiente:

PASO 1: Primero se transforma en 1 (uno) el valor ubicado en la fila 1,

columna 1, es decir, el destacado en la siguiente matriz en azul y aumentado:

Esto se logra dividiendo entre 2, porque 2 entre 2 es igual a 1.

Pero no solamente se dividirá entre 2 únicamente el 2 destacado en azul

y grande, sino toda la fila donde se encuentra el 2 azul, SIEMPRE LAS

OPERACIONES A REALIZAR SE APLICAN A TODA LA FILA NUNCA A LA

COLUMNA, ES DECIR, SIEMPRE SE TRABAJA OPERANDO (SUMA, RESTA,

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN) POR FILA.

La forma de escribir la operación que pensamos realizar (dividir entre 2

para lograr el 1) es la siguiente:

11 2

FF →

Es importante que sepas interpretar esta notación matemática, por eso

la desglosaré:

11 2

FF→

El 1

2

F denota la operación que se efectuará, es decir, 1

2

F quiere decir

que toda la fila 1, se dividirá entre 2.

La parte 1F → indica que la operación de división por 2, anteriormente

planteada, quedará en una nueva fila 1 azul.

Efectuare la operación 1

2

F en nuestra matriz, observa:

Ahora observa que después de dividir nos queda la nueva fila, lo que te

mencione que corresponde a la parte 1F → , de manera que obtenemos:

IMPORTANTE: EL OBJETIVO DE ESTO, FUE EL PLANTEADO

INICIALMENTE EN ESTE PASO 1, QUE ES LOGRAR EL NÚMERO 1 EN LA

FILA 1, COLUMNA 1, DESTACADO EN AZUL Y GRANDE, observa la

siguiente matriz donde destaco este 1 al que me refiero:

PASO 2: Después de hacer el uno mencionado en el paso 1, se debe

hacer cero en todos los números debajo del uno azul grande generado en el

paso 1, destacaré los números, donde deben estar los ceros:

Para lograr estos ceros SIEMPRE NOS APOYAMOS EN EL UNO AZUL

QUE GENERAMOS EN EL PASO 1. (Por ésta razón siempre hay QUE HACER

PRIMERO EL UNO Y LUEGO LOS CEROS)

¿Cómo se hacen los ceros en el método de Gauss-Jordan?

Para hacer los ceros en la fila 2 y fila 3 de la columna 1, nos apoyamos

en el 1 azul de la siguiente manera:

• Se cambia el signo del número donde va el cero, en nuestro caso los

ceros van en el 1 y 3 rojos, por lo tanto se les cambia el signo a éstos

números, quedando 1− y 3− .

• Ahora se construye la siguiente operación con el primer número

cambiado de signo, el menos uno:

12 21FF F− +→

Observa como use en esta estructura la fila 2, porque es allí donde se

encuentra el 1 y donde quiero colocar el cero.

Explicaré a continuación el detalle de esta estructura, ya que es la que

siempre se usará para hacer los ceros:

Ahora fíjate como se construye la siguiente operación con el segundo

número cambiado de signo, el menos tres:

13 33FF F− +→

Observa que la estructura es muy semejante, lo único que varia es la fila

que ahora es tres, porque el número 3 se encuentra e la fila 3 de la matriz

dada.

Ahora aplicare cada una de estas operaciones por separado, para que

veas claramente como se aplica:

Aplicación de la estructura 12 21FF F− +→

Recuerda que ya se había hecho el 1 azul en el paso 1, y habíamos

llegado a la matriz:

1

3

3 3

2 22 5

2

1

7

Aplicare a ésta matriz la operación 12 21FF F− +→ , en detalle:

Observa como la fila 1 y 3 quedaron intactas, es decir, no cambiaron,

pues solo se ve afectada la fila 2.

Aplicación de la estructura 13 33FF F− +→

Ahora aplicaremos esta operación a la matriz:

0

3

3 3

2 27 7

2 22

1

7

En este caso se afectara solo la fila 3, aplicare esta operación en forma

un poco más directa:

1 1

1

3 3 3 3

3 3

3 3

3 33

3 3 3

10 3

3 3 3 3

2 2 2 27 7 7 7

2 2 2 22 7

3 3.

1 1

1

0

33 3 33 . 2 . 7

2 2

F FF

F F F FF F

FF F

F F F

− + − +− +

→ →→

− → → − − → + → + → +

+

− −

3 310 3

3 3 3 3

2 2 2 27 7 7 7

2 2 2 22 7 9 9

3 2 72

0

33

1 1

2

FF F

− → → − − − + +

− +

− +

3 1 30 3

3 3 3 3

2 2 2

0

3

1 12

7 7 7 7

2 2 2 22 7 9 4 9 14

2 20

FF F

− → → − − + − +

+

3 31

3 3 3 3

0 3 0

30

2 2 21 1

27 7 7 7

2 2 2 22 7 5 5

2 2

F FF

− → → − −

+

Hasta ahora tenemos la matriz:

3 31

2 27 7

02 25 5

02 2

− −

PASO 3: Ahora prácticamente repetiremos los pasos anteriores, pero

aplicados a la columna 2, RECUERDA QUE PRIMERO CONSEGUIMOS EL

UNO EN LA COLUMNA Y LUEGO LOS CEROS DE LA MISMA COLUMNA.

Si recuerdas que debemos llegar a la estructura:

1 0

0 1

0 0

Sabrás que en este tercer paso debemos hallar el UNO de la segunda

columna, y éste, se ubica en el número destacado en azul, observa:

3 31

2 27

02

5 50

2 2

7

2

Para lograr este uno multiplicamos toda la fila 2 por el reciproco de esta

fracción. Recuerda que reciproco significa invertir la fracción, en nuestro caso

tenemos la fracción 7

2− y su reciproco es: 2

7− . Observa que ciertamente al

multiplicarlas obtenemos el uno: 7 2 14. 1

2 7 14 − − = =

La operación que efectuaré se denota por 22

2

7F F→ −

Aplicando esta operación a la matriz, obtenemos:

2 22 22 222 277 7

2 2 2

2 2 7 2 7 2 2 7 2 7.(0) . . .(0) . .

7 7 2 7 2 7

3 313 32 2 12 2

5 55 50 0

2 22 2

31

2

7

2 7 2

140

14

FF FFF F

F F F

−→→ −→−

→ → → → − −

− − − − − − − −

33 3

122 2

5 55 050 2 222

140 1 1

14

→ − −

− −

PASO 4: Finalmente hacemos los ceros de esa columna, destacaré en

rojo, donde van los ceros en esta matriz:

31

3

2

5

1

50

2

20 1

2

Las operaciones para hacer los ceros, serán de la forma:

21 1

3

2F F F

− +→ y 23 3

5

2FF F+→

Aplicando éstas operaciones, tenemos:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2 2 2

2 22

1 1 1 1 1 1

3 3 3 33 3

3 3 32 2 2

1 1 11 1

5 553 3

2 22

33 3

2

2

3 3 3 3 3 313

2 2 2 2 2 22 5

52

5 55 5 520

0 1 1

10 1

31

20 1

2

1 0 1 1

0

2 2

5

222

F F FF F F F F F

F F FF FF FF F

F F FF F

F F

FF

F

F

F

→ → →

− − −+ +

++→

+

→+

→ → → → − → − → →→ →

− − −+ + +− +

+−− ++ +

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

3 3 3 3 3 3 3 3 31 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 5 5 55 5 5 5 50 0

2 2 2 22 2 2 2 2

3 3 61 0 1 0 1 02 2

0 0 0 0

0 1 1 0 1 1

3

0 1 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 0

0 1 1

10 1

0

− − − −+ + + + +

−− − + +

→ − → −

+ + +

→ − → − → −

+

Una vez que se obtiene la matriz identidad posible en el ejercicio, en el

caso de sistema de ecuaciones, se rescribe el sistema original, recordando que

la primera columna corresponde a la variable equis y la segunda columna a la

variable ye.

En este caso obtendríamos:

NOTA: Una manera de saber si vas por buen camino, es que no se

altere ningún valor ya encontrado, es decir, si aplicas una operación y el 1 o el

cero que ya habías conseguido, se transforma en otro valor diferente, es que

dicha operación aplicada no es la correcta.

Respuesta: 3, 1x y= = −

Ejercicio 2

Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 Bs y un total de

2000 Bs. Si el número de billetes de 10 Bs es el doble que el número de billetes

de 20 Bs.

a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos billetes

hay de cada tipo.

b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan.

Solución

Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que debemos

resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle nombre a

las variables, en este caso:

Sea x el número de billetes de Bs. 10

Sea y el número de billetes de Bs. 20

Sea z el número de billetes de Bs. 50

Observamos que hay 3 variables, es de esperar que necesitemos 3

ecuaciones para resolver el problema planteado, en este caso:

• En la frase: Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 Bs

nos lleva a escribir la ecuación: 95x y z+ + = .

• En la frase: un total de 2000 Bs nos permite escribir la ecuación:

10 20 50 2000x y z+ + = .

• La frase: el número de billetes de 10 Bs es el doble que el número de

billetes de 20 Bs, nos permite escribir: 2x y= .

Así le damos respuesta al apartado “a” escribiendo el sistema de

ecuaciones que permite resolver el problema planteado:

10 20 50 2000

2

95

x y

x y z

z

x y

+ + =

=

+ + =

Para dar respuesta al apartado “b” de la pregunta, debemos ordenar el

sistema, para poder aplicar el método de Gauss-Jordan, así:

95

10 20 50 2000

2 0 0

x y z

x y z

x y z

+ + = + + = − + =

Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:

1 1 1 95

10 20 50 2000

1 2 0 0

Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso ya en la primera columna esta el número 1,

obsérvalo destacado en azul:

1 1 95

10 20 50 2

1 2 0 0

1

000

De manera que pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del

uno azul, es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

1 1 95

20 50 2000

2 0 0

1

10

1

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 12 210F F F− +→ y ( ) 13 31 FF F− +→

Así se obtiene:

1 1 95

10 20 10 50 10(95) 2000

1 2 1 0

10 10

1 95

1

01

− + − + − + − − − + − + +

− +−

1 1 95 1 1 95

10 40 950 2000 10 40 1050

3 1 95 3 1 90

1

0 0

1

0 5

− + = − − − − − −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 1 1 95

0 40 1050

0 3 1 95

10

− − −

Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 2 entre 10, esto se denota

así:

22 10

FF →

Así nuestra matriz queda:

1 1 1 951 1 1 95

0 40 10500 4 105

10 10 100 3 1 95

0 3 1 95

101

10

= − − − − − −

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 1 95

0 4 105

0 1 95

1

3

1

− −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 21 11 FF F− +→ y 23 33.FF F+→

Así se obtiene:

1.0 1 1.4 1 1.105 95

0 4 105

3.0 0 3.4 1 3.1

1

1

1. 1

3. 3 5 51 0 9

− +

− + − + − + + − −

1 4 1 105 95 1 3 10

0 4 105 0 4 105

0 12 1 315 95 0 11 220

1 1 0

3 3 0

1 1

− + − + − −

− +

= − −

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 0 3 10

0 1 4 10

211

5

0 0 2 0

− −

Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 3 entre 11, esto se denota

así:

33 11

FF →

Así nuestra matriz queda:

1 0 3 10 1 0 3 10 1 0 3 10

0 1 4 105 0 1 4 105 0 1 4 105

0 0 220 220 0 0 200 0

11

11 11 1

11

− − − − − − → →

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 0 10

0 1 10

210 0

3

4 5

0

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

31 13FF F+→ y ( ) 32 2.4F F F− +→

Así se obtiene:

3. 3

4. 4

1

1

1

3.0 1 3.0 0 3.20 10

4.0 0 4.0 1 4.20 105

0 0 20

+ + − − + − + −

−− + +

1 0 50

0 1 25

10 0

0

0

20

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la

segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:

Respuesta: 50, 25 y 20x y z= = = .

Ejercicio 3

En la semana aniversario de un supermercado, un cliente ha pagado un

total de 156 Bs por 24 kg de azúcar, 6 kg de queso blanco y 12 kg de papa.

Además, se sabe que 1 kg de papa cuesta el triple que 1 kg de azúcar y que 1

kg de queso cuesta igual que 4 kg de papa más 4 Kg de azúcar.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar el precio en Bs.

de cada artículo.

b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan

Solución

Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que

debemos resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle

nombre a las variables, en este caso:

Sea x el precio del azúcar en bolívares

Sea y el precio del queso en bolívares

Sea z el precio de la papa en bolívares

Observamos que hay 3 variables, es de esperar que necesitemos 3

ecuaciones para resolver el problema planteado, en este caso:

• En la frase: un total de 156 Bs por 24 kg de azúcar, 6 kg de queso

blanco y 12 kg de papa nos lleva a escribir la ecuación:

24 6 12 156x y z+ + = .

• En la frase: 1 kg de papa cuesta el triple que 1 kg de azúcar nos permite

escribir la ecuación: 3z x= .

• La frase: 1 kg de queso cuesta igual que 4 kg de papa más 4 Kg de

azúcar, nos permite escribir: 4 4y x z= + .

Así le damos respuesta al apartado “a” escribiendo el sistema de

ecuaciones que permite resolver el problema planteado:

4 4

24 6 12 156

3

x y z

z

x z

x

y

=

= +

+ + =

Para dar respuesta al apartado “b” de la pregunta, debemos ordenar el

sistema, para poder aplicar el método de Gauss-Jordan, así:

24 6 12 156

3 0 0

4 4 0

x y z

x y z

x y z

+ + = − + + = − + − =

Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:

24 6 12 156

3 0 1 0

4 1 4 0

− − −

Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,

esto lo logramos dividiendo toda la fila 1 entre 24, así:

11 24

FF →

24 6 12 156

24 24 24 243 0 1 0

4 1 4 0

− − −

Efectuando las divisiones, obtenemos:

1 1 13

4 2 23 0 1 0

1

4 1 4 0

− − −

241

246 6 1

24 24 412 12 1

24 24 2156 156 13

24 2

6

612

1212

1 224

= = = = =

÷÷

÷÷÷÷

= =

Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,

es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

1 1 13

4 2 20 1 03

04 4

1

1

−−

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

12 23.FF F+→ y 13 34.FF F+→

Así se obtiene:

1 1 13

4 2 23 3 39

0 1 04 2 24 4 52

1 4 04 2 2

3

4

1

3

4

+ + + + − +

1 1 13 1 1 13

4 2 2 4 2 23 3 2 39 3 5 39

4 2 2 4 2 21 1 2 4 26 0 2 2

1

2

0 0

0

1

60

+ = + − + −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 1 131

4 2 25 39

02 2

0 2 2 26

3

4

Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción 3

4,

es decir, 4

3 toda la fila 2, esto se denota así:

2 2

4

3F F→

Así nuestra matriz queda:

1 11 1 13 114 24 2 2

4 5 4 39 40 . . . 0

3 2 3 2 3

3 3

40 2 2 26

= −

4

4.

3

13 1 11 13

2 4 22

5.4 39.4 100 26

2.3 2.3 326

2

1

6 0 2 20 2 2

= − −

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

11 13

22

100 26

326

220

1

1

4

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

21 1

1

4F F F

− +

→ y ( ) 23 3.2F F F− +→

Así se obtiene:

1 1 11

10 11 . 13

.4 4 263 22

100 2

44

2.

63

262 2 2.

1

2610

0 23

+ + + −

− + − −

−− + −

00 0

0 0

5 110 1 10 611 26 13 13 13 1

6 212 2 12 04 2 2 210 10 10

0 26 0 26 0 263 3 3

52 26 26 2620 20 6 26

0 2 0 03 3 3

41

1210

1 1 1

1 032

0

60

0

0

− − − + ++ − − + + = = = − + − −− − − − −

11

30 010

26 0 263

26 2626

0

0

3 3

1

0

− = − −−

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

11 0

3 010

0 1 263

260

2

30

6

− −

Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción

26

3

−, es decir,

3

26− toda la fila 3, esto se denota así:

3 3

3

26F F

−→

Así nuestra matriz queda:

1 11 0 1 0

3 30 010 10

0 1 26 0 1 263 3

30 02

3 126 3. 26

3 26

0 06

.

− − =

− − −

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1

310

1 00

0 1 26

30 10

3

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

31 1

1

3FF F+→ y 32 2

10.

3FF F

− +

Así se obtiene:

11 0 .3 0

310

0 1 .3 26

1 1

3 310 1

30 0 1

0

33

3

+

− +

+

1 0 1 0 1 0 1

0 1 10 26 0 1 16

0 0

0 0 3 0 0 3

0

1 1

0

+ − + =

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la

segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:

Respuesta: 1, 16 y 3x y z= = = .

Ejercicio 4

Usar el método de Gauss-Jordan, para calcular si existe, la inversa de la

matriz:

2 1 2

1 1 2

1 0 1

A

− = − −

Solución

Justificación: En este ejercicio, explicare algunas variantes en las

operaciones del método de Gauss-Jordan, sin embargo, puedes seguir

trabajando éste método tal como lo veníamos haciendo y llegarás al mismo

resultado. En este caso, donde se nos pide conseguir la matriz inversa

escribiremos la matriz ampliada así:

2 1 2 1 0 0

1 1 2 0 1 0

1 0 1 0 0 1

− − −

Fíjate bien en lo siguiente:

y se procede, tal como explique detalladamente en el ejercicio 1 de este

objetivo 7, a reducir la matriz de la izquierda a la matriz identidad, aplicando

claro está, el método de Gauss-Jordan, observa:

PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,

aplicare una variante válida, de cómo hacer el uno, y se puede aplicar esta

variante porque existe al menos un número 1 en la segunda fila de la primera

columna, denotaremos esta operación así:

1 2F F↔

Esto significa, que la fila 1 y la fila 2 se intercambian, aplicando esta

operación a nuestra matriz ampliada, obtenemos:

1 1 2 0 1 0

2 1 2 1 0 0

1 0 1 0 0 1

− − −

Claro está, que si procedes hacer el uno como lo veníamos haciendo,

llegaras al mismo resultado final, compruébalo.

Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,

es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

1 1 2 0 1 0

1 2 1 0 0

0 1 0 0 1

2

1

− − −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 12 2.2F F F− +→ y 13 31.FF F+→

Así se obtiene:

( )1 1 2 0 1 0

2 1 2 2 2 2.02 2 1 2.1 0 2.0 0

1 1 0 1 10

− − + − − − − + − + − +

− +−

1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0

1 4 2 1 2 0 1 2 1 2 0

1 1 0 1 1 1 1 0

0

0 10 1

0

− − − − − = − − − −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 1 2 0 1 0

0 2 1 2 0

0 1 1 0 1

1

1

− − −

Para hacer este uno, multiplicaremos por 1− , toda la fila 2, esto se

denota así:

2 21.F F→ −

Así nuestra matriz queda:

1 1 2 0 1 0

0 2 1 2 0

0 1 1 0 1 1

1

− − − −

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 2 0 1 0

0 2 1 2 0

0 1 0 11 1

1

1

− − − −

Una vez que hayas tomado destreza en el método de Gauss-Jordan, podrás

hacer los ceros de la siguiente manera:

• Para el cero de la fila 1, SE RESTA LA FILA 1 MENOS LA FILA 2, ya

que en este caso el uno rojo de la primera fila es IGUAL al uno azul de

la segunda fila, esto se denota: 21 1F FF→ −

• Para el cero de la fila 3, SE RESTA LA FILA 3 MENOS LA FILA 2, ya

que en este caso el uno rojo de la tercera fila es IGUAL al uno azul de la

segunda fila, esto se denota: 23 3F FF→ −

Esto es equivalente a lo que veníamos haciendo, es decir:

( ) 21 11 FF F− +→ y ( ) 23 3.1F F F− +→

Observa como:

( ) 21 11 FF F− +→ es equivalente a: 21 21 1F F FF F+ =− −→

y

( ) 23 31 FF F− +→ es equivalente a: 23 23 3F F FF F+ =− −→

Aplicando las operaciones anteriores, se obtiene:

( )

( )

( )

( )

1 2 0 10 1 2 1 2 0

0 1 2 1 2 0

0 1 2 1 2

1 0

0 11 1 00 1

− − − − − −−

− − − − −

− −−

−− −

0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0

1 2 2 0 1 1 0 1 0 1 1 0

0 1 2 0 1 1 1 0 1

0 0

0 0 1 1 1

− + + −

− − −

= − + + −

−−

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 0 0 1 1 0

0 1 2 1 2 0

0 0 1 1 11

− − − −

Puedes observar claramente que afortunadamente, ya en la columna 3

se encuentra el uno azul que destaque y que necesitamos, pues siendo así las

cosas, no haremos ninguna operación para conseguir el uno azul.

PASO 5: Como ya existe el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 0 1 1 0

0 1 1 2 0

0 0 1 1 11

0

2

− − −

Observa que ya existe uno de los ceros, por lo tanto la fila 1, NO LA

MODIFICAREMOS, es decir, no se ejecutará ninguna operación.

Procederemos a construir el cero correspondiente a la tercera

columna en la segunda fila, así:

32 22.FF F+→

Así se obtiene:

( )1 0 1 1 0

0 1 2.1

0

1

1 2. 1 22 2.1 0

0 0 1 1 1

2

− − − + + −

1 0 1 1 0 1 0 1 1 0

0 1 2 1 2 2 2 0 0 1 1 0 2

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

0 0

0

1 1

0

− − − − + + = − −

En este tipo de ejercicio, donde se nos pide conseguir la matriz inversa,

después de haber transformado con el método de Gauss-Jordan la matriz de la

izquierda, hasta transformarla a la matriz identidad:

Resulta siempre , que la matriz que queda a la derecha, es precisamente

la matriz inversa, es decir:

Por lo tanto, la matriz inversa de la matriz A dada, es:

Respuesta:

1

1 1 0

1 0 2

1 1 1

A−

− = −

NOTA: En las evaluaciones, si tienes tiempo, puedes comprobar s tu respuesta

es correcta, porque SIEMPRE el producto de una matriz por su inversa, genera

como resultado la matriz identidad, es decir:

1.A A I− =

Observa que ciertamente esto SIEMPRE SE CUMPLE:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1. .

. . . . . . . . .

1 1 0

1 0 2

1 1 1

1 1 1 1 0 1 0 2 1

2 1 2

1 1 2

1 0 1

2 1 2 2 1 2 2 1 2

1 1 2 1 1 2 1 1 2

1 0 1 1

1 1 1 1 0 1 0 2 1

1 1 1 1 0 1 0 2 1

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .0 1 1 0 1

2 1 2

A A−

− − −

− − −−

− −

= =

+ + + + + + + + + + + + = + + + +

+ +

−− −− −

− − −

+

3

2 0 2 0 2 2 1 2 2 2 2

1 1 2 1 0 2 0 2 2 2 2 1 2 2 2

1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

− + + + − − + − + − − + + + − = − − + − = − + + + − + + − + − +

=

Ejercicio 5

Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de

ecuaciones:

1 13

2 34

2 456

2 17

x y z

x y z

x y z

− − = − + = − − + =

Solución

Justificación: Antes de aplicar el método de Gauss-Jordan, eliminare las

fracciones existentes, para obtener números enteros como coeficientes de las

variables, esto se logra multiplicando por el mínimo común múltiplo de los

denominadores de la ecuación; si hay una sola fracción en la ecuación,

simplemente se multiplica toda la fracción por el denominador de la misma,

observa:

En la primera ecuación, se encuentran las fracciones: 1 1

y 2 3

− , por lo

tanto, el m.c.m (2,3)=6, por lo tanto se multiplica la primera ecuación por 6.

En la segunda y tercera ecuación del sistema, solo existe una sola

fracción, por lo tanto se multiplica toda por el denominador

correspondientemente, es decir, la ecuación 2 se multiplica por 5, por ser el

denominador de la fracción 4

5 y la tercera ecuación por 7, por ser el

denominador de la fracción 6

7, aplicando lo mencionado, se obtiene:

( )

( )

( )

1 1 6 63 6 18 3 2 6 182 3 2 34 5.4 5

2 4 5.2 5 20 5 5

7.66 7.2 7 72 1

6

77

6

5 5

7 7

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y zx y z

− − = − − = − − = − + = − → − + = − →

− + =− + =

.4

510 5 20

7

x y z− + = −

.6

714 7 7

3 2 6 18

4 10 5 20

6 14 7 7

x y z

x y z

x y z

x y z

− + =

− − = − + = − − + =

Ahora en este último sistema, procederemos a escribir la matriz

ampliada, así:

3 2 6 18

4 10 5 20

6 14 7 7

− − − − −

Luego procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,

esto lo logramos dividiendo toda la fila 1 entre 3, así:

11 3

FF →

3 2 6 18

3 3 3 34 10 5 20

6 14 7 7

− −

− − −

Efectuando las divisiones, obtenemos:

21 2

634 10 5 20

6 14 7 7

− −

− − −

Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,

es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

22

6310 5 2

1

4

76

0

14 7

− −

− − −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 12 2.4F F F− +→ y ( ) 13 3.6F F F− +→

Así se obtiene:

( )

( )

( )( )

22

3 62

4 10 4 2 5 4 6 203

6 6 72

6 14 6

4 4

6 6 73

1

2

− −

− − − − − + − −

− + − − − − − +

− +

− +

2 2 2 22 2 2 2

3 3 3 36 6 6 68 8 30 22 22

10 8 5 24 20 13 44 13 44 13 443 3 3 3

36 7 29 29 2912 12 42 30 10 191

0 0 0 0

4 12 7 19 193 3

0

1 1 1 1

0 03

0

− − − − − − − −

− − + − − = − = − − = − − − + − − −− − − + −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

21 2

3 6

0 13 44

29

2

03

10 19

2

− − − −−

Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción

22

3− , es decir,

3

22− toda la fila 2, esto se denota así:

2 2

3

22F F→ −

Así nuestra matriz queda:

3 22

2

3 3 3

22 3 2

1 263

0. 13. 44.

0 10 19 29

2 22 22 − − − − −

− − −

− −

21 2

3 6

0

290 10

391 6

2219

− − −−

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

2

3

10

1 26

390 6

22290 19

1

− − −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

21 1

2

3F FF

+

→ y 23 3.10F F F+→

Así se obtiene:

2 39 131 . 2 2 1 23 22 .6 6 11 4 63

39 390 6 0 6

22 2210.6 2

2 20

3 3

010 109 6

1 1

0 2919539 0 190 10 191122

− − − − + + − = − − − − +− +

13 13 22 351 2 1 1

11 11 114 6 10 1039 39 39

0 6 0 6 0 622 22 22

60 29 31 31195 195 209 140 19 0 0

11 11

0 0 0

011

1

0

1

0

1

− − − − − +

− = − = − − − + − +

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

351 0

11 1039

0 1 622

310 0

14

11

− −

Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción 14

11,

es decir, 11

14 toda la fila 3, esto se denota así:

3 3

11

14F F→

Así nuestra matriz queda:

35 351 0 1 0

11 1110 1039 39

0 1 6 0 1 622 22

11 3410 0314 11 1.

11 11

4.0 0 14 14

− − − = −

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 010

0 1 6

3410 014

35

113

1

9

22

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

31 1

35

11FF F+→ y 32 2

39

22.FF F

+

Así se obtiene:

35 3411 0 . 10

11 1439 341

0 1 . 622

35 35

11 11

140 0 341

1

39 39

12

4

2 22

+ +

1085 1085 140 122510

14 14 141 0 1 0 1 01209 1209 168 1377

0 1 6 0 1 0 128 28 28

0 0 0 0 0 0341 341 341

14 14 14

175

21 013

0 1

0 0 0

0 0 0

0

1 1 1

0

0 10

+ +

+ + = =

77

28341

14

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la

segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:

Respuesta: 175 1377 341

, y 2 28 14

x y z= = = .

Ejercicio 6

Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de

ecuaciones:

3 2 6

5 2 2

7 2 1

x y z

x y z

x y z

− − = − + = − − − =

Solución

Justificación: Procederemos a escribir la matriz ampliada:

1 3 2 6

5 2 1 2

7 2 1 1

− − − − − −

Luego procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso ya existe el uno, correspondiente a la primera

columna, por lo que, pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del

uno azul, es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

3 2 6

2 1 2

2 1

5

7 1

1 − − − − − −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 12 2.5F F F− +→ y ( ) 13 3.7F F F− +→

Así se obtiene:

5 5

7 7

3 2 6

5( 3) 2 5( 2) 1 5(6) 2

7( 3) 2 7( 2) 1 7( )

1

6 1

− − − − − − − + − − − − − −

− +− + − − − +

3 2 6 3 2 6

15 2 10 1 30 2 13 11 32

21 2 14 1 42

1 1

1 19

0 0

0 130 41

− − − − − + − − = − − − − + −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 3 2 6

0 11 32

0 19 13 4

13

1

− − − −

Para hacer este uno, dividiremos entre 13 , toda la fila 2, esto se denota

así:

22 13

FF →

Así nuestra matriz queda:

1 3 2 6 1 3 2 6

11 32 11 320 0

13 13 13 130 19 13 41 0 19 13 4

13

11

13

− − − − − − = − −

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 2 6

11 320

13 130 13 41

3

19

1

−−

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

21 13FF F+→ y 23 3.19F F F− +→

Así se obtiene:

11 321 3 2 3 6

13 13

11 320

13 1311 32

0 19 13 19 4113

3 3

19 11

1

39

− − +

− − − + − −

+

0 0 0

0 0 0

33 96 33 26 96 78 7 181 2 6 1 1

13 13 13 13 13 1311 32 11 32 11 32

0 0 013 13 13 13 13 13

209 608 209 169 608 533 40 750 1

1 1 1

3 41 0 013 13 13 13 13 13

− − − + − − +

− − − = = − − + − − + −

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

7 181 0

13 1311 32

0 113 13

750 0

13

40

13

Para hacer este uno, multiplicaremos por el reciproco de la fracción

40

13− , es decir,

13

40− toda la fila 3, esto se denota así:

3 3

13

40F F→ −

Así nuestra matriz queda:

7 18 7 181 0 1 0

13 13 13 1311 32 11 32

0 1 0 113 13 13 13

0 0 75750 0 .

4013

140 13 13.

13 40 40

− − − − =

− − −

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

181 0

1332

0 113

7

1311

11

8

30 0 1 5

− −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

31 1

7

13FF F

− +

→ y 32 2

11

22.FF F

− +

Así se obtiene:

7 15 18 105 18.1 0 13 8 13 8.13 131 011 15 32 165 32

0 1 . 0 113 8 13 8.13 13

0 00

7 7

13 13 011 11

013 13

0 11

511 588

− − − − − − − = −

− +

−−

+

105 18 105 144 39 3

8.13 13 8.13 8.13 81 0 1 0 1 0 1 0165 32 165 256 91 7

0 1 0 1 0 1 0 18.13 13 8.13 8.13 8

0 0 0 0 0 0 0 015 15 15 15

0

8 8

1 1

0 0 0

0 0

1

8

1

0

8

0

− − − −

− − − − = = = − − − −

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la

segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:

Respuesta: 3 7 15

, y 8 8 8

x y z= − = − = − .

Ejercicio 7

Usar el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema d ecuaciones:

3 2 2 3 1

3 2 3

3 3 3 3 5

x y z w

x y z w

x y z w

+ − + = + − + = + + − =

Solución

Justificación: Procederemos a escribir la matriz ampliada:

3 2 2 3 1

3 1 1 2 3

3 3 3 3 5

− − −

Luego procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso, como hay varios 3 en la fila 3, dividiré toda la fila

3, entre 3, para generar el uno en la primera columna, luego intercambiaré las

filas para que nuestro uno quede donde corresponde, es decir, en la posición

fila 1 con columna 1, todo esto se denota así:

31 3

FF ↔

Aplicando esta operación se tiene:

3 3 3 3 5 53 2 2 3 1 1 1 1 13 3 3 3 3 33 1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 2 3

3 3 3 3 5 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1

− − − − = − = − − − −

Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,

es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

51 1 1 31 1 2 33

2 1

1

2 33

− −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 12 2.3F F F− +→ y ( ) 13 3.3F F F− +→

Así se obtiene:

5

31 1 15

3 1 3 1 3( 1) 2 3 33

3 2 3 2 3( 1) 35

3

1

3 3

3 31

3

− − + − − − − + − +

− + − − − − + − +

+− +

5 51 1 1 1 1 13 32 4 3 2 5 3 2 4 5 2

1 5 3 3 5 1

1

0 0

0 0 4

1

1 5 6

− −

− − + − + = − − − − − + − + − − −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

51 1 1 1 30 4 5 2

0 1 6

2

5 4

− − − − −

Para hacer este uno, dividiremos entre 2− , toda la fila 2, esto se denota

así:

22 2

FF → −

Así nuestra matriz queda:

55

1 1 1 1 1 1 1 133

4 5 2 50 0 2 1

2 2 2 240 1 5 6 4 0 1 5

21

26

− − − − = − − − − − − − − − −

−−

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

51 1 1

35

0 2 112

40

1

1 5 6

− −−

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

21 21 11F F FF F+ =− −→ y 3 3 2321.F FF FF+ = +→

Así se obtiene:

51 1 2 1 5

2 13

50 2 1

24 15

0 5 2

11

1 62

1

1

− − − − −

− − + − + −

− +

5 2 5 35 3 2 21 1 1 1 1 1 1

2 2 23 3 3

5 5 50 2 1 0 2 1 0 2 1

2 2 23 3 312 5 7 7

0 3 0 3

1 1

0 32 2

0 0 0

0

1

0 02

− + −− − + − − − = − = − − − −− − − −

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

321 0 1

23

50 1 2 1

237

0 02

3

− − −

Para hacer este uno, dividiré entre 3− , toda la fila 3, esto se denota así:

33 3

FF → −

Así nuestra matriz queda:

3 32 21 0 1 1 0 1

2 23 3

5 50 1 2 1

133

0 1 2 12 2

3 17 70 0

2 60 03 3

− − − = − − −

−−− −

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

321 0

23

50 1 1

217

1

2

10 06

− −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

1 1 3131.F FF FF+ = +→ y ( ) 32 2.2F F F− +→

Así se obtiene:

3 71 0 2

12 63

7 50 1 2 2 1

6 21

70 0

1

1

2

6

1

2

− + − − − − +

− +

+

1 1 1 1

1 118 14 42 3 5 1 0 5 1 0 51 0 1 0

3 312 123 3 3 3

14 5 7 5 14 15 10 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

6 2 3 2

0 00 0

06 6

1 1 1 17 7 7 7

0 0 0 0 0 0 0 06 6

0 0 0

6 6

− +

− − − = − − = − = − − − − − −

Observa como nos queda la matriz, ya reducimos la matriz izquierda

todo lo que podíamos a la matriz identidad, sin embargo, no podemos seguir

reduciendo, cuando esto sucede, se debe rescribir el sistema original,

recordando que la primera columna corresponde a las equis, la segunda

columna a las yes, la tercera columna a las zetas y la cuarta columna a las w,

así:

Observa que las variables , y x y z , quedan dependiendo de w al

despejarlas:

1 5

3 31

167

16

x w

y w

z w

= − +

= −

= +

Cuando esto sucede, se dice que el sistema tiene INFINITAS

SOLUCIONES, ya que se puede escribir:

1 5

3 31

1 67

16

x w

y w w

z w

= − +

= − ∈

= +

es decir para cada valor real de w , obtenemos valores de , y x y z que

satisfacen el sistema planteado.

Respuesta:

1 5

3 31

1 67

16

x w

y w w

z w

= − +

= − ∈

= +

Ejercicio 8

Usar el método de Gauss-Jordan, para calcular si existe, la inversa de la

matriz:

2 4 6

4 5 6

3 1 2

A

= −

Solución

Justificación: En este caso, donde se nos pide conseguir la matriz

inversa escribiremos la matriz ampliada así:

2 4 6 1 0 0

4 5 6 0 1 0

3 1 2 0 0 1

PASO 1: En este caso debemos hacer el uno en la primera columna,

esto se logra dividiendo toda la fila 1 entre 2, esto se denota así:

11 2

FF →

2 4 6 1 10 0 0 01 2 32 2 2 2 2

4 5 6 0 1 0 4 5 6 0 1 0

3 1 2 0 0 1 3 1 2 0 0 1

= − −

Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,

es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

10 02 3 2

5 6 0 1 0

1 2 0 0 1

4

1

3

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 12 2.4F F F− +→ y ( ) 13 3.3F F F− +→

Así se obtiene:

10 0

22 31

4.2 5 4.3 6 4. 0 4.0 1 4.0 02

3.2 1 3.3 2 13. 0 3.0 0 3.0 1

1

4 4

3 3

2

− +

− + − + − + − + − +

− + − − − + − + − +

− +

1 10 0 0 02 3 2 32 2

8 5 12 6 2 0 1 0 3 6 2 1 0

6 1 9 2 3 5 11 3

0 0

0 0

1 1

0 0 1 0 12 2

− + − + − + = − − − − + − − − − − −+

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

10 01 2 3 2

0 6 2 1 0

0 5 11 30 1

3

2

− − − − −

Para hacer este uno, dividiremos entre 3− , toda la fila 2, esto se denota

así:

22 3

FF → −

Así nuestra matriz queda:

1 10 0 0 01 2 3 2 21 2 3

6 2 1 0 2 10 0 2 0

3 3 3 3 3 30 5 11

0 5 11 3 30 1 0 1

2 2

31

3

− − − − = − − −

− − − − − −

−−

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

10 0

21 32 1

0 2 03 3

0

1

113

0 12

2

5

− −

Ahora haremos los ceros:

( ) 21 12 FF F− +→ y 23 35.FF F+→

Aplicando las operaciones anteriores, se obtiene:

2 1 12. 2. 0 2.0 0

3 2 31 2.2 2

5 5

2 32 1

0 2 03 3

0 5.2 112 3 1

5. 5. 0 5.0 13 2 3

1

− + − − + − + − +

− +

− − + +

4 1 2 8 3 2 5 20 0 0

3 2 3 6 3 6 31 4 3 1 1 1 12 1 2 1 2 1

0 2 0 0 2 0 0 2 03 3 3 3 3 3

0 10 11 0 1 0 110 3 5 20 9 5 11 5

1 1 13 2 3 6

0 0 0

0 0 0

3 6 3

1 1 1

− − + − + − + − −

− = − = −

− − − − − − − −

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

5 20

6 31 0 12 1

0 1 2 03 3

0 011 5

6

11

3

− − −

Puedes observar claramente que este uno se logra multiplicando la fila 3

por menos uno, así:

( ) 33 1F F→ −

5 20

6 31 0 12 1

0 1 2 03 3

0 011 5

16 3

1

− − − −

PASO 5: Como ya existe el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

5 20

6 31 02 1

0 1 03 3

0 011 5

11

2

3

1

6

− − − − −

Ahora haremos éstos ceros:

31 11.FF F+→ y ( ) 32 2.2F F F− +→

Así se obtiene:

11 5 5 21 0

6 6 3 31 011 2 5 1

0 1 2 2 2( 1) 06 3 3 3

0 011 5

1

1

1

1

2 2

6 3

− − + − +

− − + − − − − + − −

−+

11 5 5 2 16 7 16 71 1 1

6 3 6 3 6 31 0 1 0 1 011 2 10 1 11 2 11 13 11

0 1 2 0 1 2 0 1 23 3 3 3 3 3 3 3

0 0 0 0 0 011 5 11 5 11 5

1 1 16 3 6 3

1 1

0 0 0

0 0 0

1

6 3

− − + − − − − −

− + − − + − = = − − − − − −

8 71

3 31 013 11

0 1 23 3

0 01

0

1 51

0

6 3

1

− −

− − −

Respuesta:

1

8 71

3 313 11

23 311 5

16 3

A−

− −

− = − −

Ejercicio 9

Cierto estudiante obtuvo, en un examen de Matemática que constaba de

3 preguntas, una calificación de 8 puntos. En la segunda pregunta sacó dos

puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida

en cada una de las preguntas.

b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan .

Solución

Justificación: Cuando se nos presenta un enunciado, que debemos

resolver a través de ecuaciones, el primer paso fundamental es darle nombre a

las variables, en este caso:

Sea x el puntaje obtenido en la pregunta número 1

Sea y el puntaje obtenido en la pregunta número 2

Sea z el puntaje obtenido en la pregunta número 3

Observamos que hay 3 variables, es de esperar que necesitemos 3

ecuaciones para resolver el problema planteado, en este caso:

• En la frase: en un examen de Matemática que constaba de 3 preguntas,

una calificación de 8 puntos nos lleva a escribir la ecuación:

8x y z+ + = .

• En la frase: En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la

primera nos permite escribir la ecuación: 2y x= + .

• La frase: En la segunda pregunta sacó un punto menos que en la

tercera, nos permite escribir: 1y z= − .

Así le damos respuesta al apartado “a” escribiendo el sistema de

ecuaciones que permite resolver el problema planteado:

2

8

1

x

y

y

z

y

z

x

=

+ + ==

−+

Para dar respuesta al apartado “b” de la pregunta, debemos ordenar el

sistema, para poder aplicar el método de Gauss-Jordan, así:

0 2

0

8

1

x y

x

x

z

y

y z

z

+ − = −− + + +

==

+

Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:

1 1 1 8

1 1 0 2

0 1 1 1

− − −

Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso ya en la primera columna esta el número 1,

obsérvalo destacado en azul:

1 1 8

1 1 0 2

1

0 1 1 1

− − −

De manera que pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del

uno azul, es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

1 1 8

1 0 2

1

0 1

1

1 1

− −

Como ya hay un cero, y solo falta el cero de la fila 2, aplicaremos:

12 21.FF F+→

Así se obtiene:

1 1 8 1 1 8

1 1 1 0 8

1 1

1 2 2 1 10

1 1 1 1 1

0

1

1

0 0

+ + + = − − − −

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 1 1 8

0 1 10

0 1 1 1

2

− −

Para hacer este uno, intercambiaré la fila 2 por la fila 3, así:

2 3F F↔

Así nuestra matriz queda:

1 1 1 8

0 1 1

0 2 1 10

1

− −

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 1 8

0 1 1

0 12 1

1

0

1 − −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 21 11 FF F− +→ y ( ) 23 3.2F F F− +→

Así se obtiene:

( ) ( )1 1 1 8 1

0 1 1

0 2( 1) 1 2( 1)

1

12 0

1

1

2

− − − −

− − − − + − −

− + +

1 1 1 8 1 1 2 9

0 1 1 0 1 1

0 2 1 2

0 0

0 01

1 1

0 0 3 12

+ + − − = − − + +

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 0 2 9

0 1 1 1

130 0 2

− −

Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 3 entre 3, esto se denota

así:

33 3

FF →

Así nuestra matriz queda:

1 0 2 9 1 0 2 9

0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 12 0 0 4

3 3 3

3 1

3

− − = − −

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 0 9

0 1 1

0 0 4

2

1

1

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

( ) 31 12 FF F− +→ y 32 21.FF F+→

Así se obtiene:

1 0 2(4) 9 1 0 8 9 1 0 1

0 1 4 1 0 1 3 0 1 3

0 0 4 0

2 2 0 0

0 4 0 0 41 1

11 0

1

0

− + − + − = =

− +−

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la

segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:

Respuesta: 1, 3 y 4x y z= = =

Ejercicio 10

Determine usando el método de Gauss-Jordan la solución del siguiente sistema

de ecuaciones:

3 2 1

3 2 8 5

3 1 2

y x z

x z y

z x y

+ = + + = − − = −

Solución

Justificación: Para dar respuesta, ordenamos el sistema, para poder

aplicar el método de Gauss-Jordan, así:

2 3 1

3 5 2 8

2 3 1

x y z

x y z

x y z

+ − = + + =− + + =

Para resolver el sistema planteamos la matriz ampliada:

2 3 1 1

3 5 2 8

1 2 3 1

− −

Ahora procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan.

PASO 1: En este caso intercambiare la fila 1 con la 3, pero multiplicando

por menos uno la fila 3, es decir:

1 3F F↔ −

1 2 3 1

3 5 2 8

2 3 1 1

− − − −

Ahora pasaremos a hacer los ceros en los números debajo del uno azul,

es decir, los ceros van en los números marcados en rojo:

2 3 1

5 2 8

1

3

2 3 1 1

− − − −

Para ejecutar estos ceros, aplicaremos:

( ) 12 2.3F F F− +→ y ( ) 13 3.2F F F− +→

Así se obtiene:

2 3 1

3( 2) 5 3( 3) 2 3( 1) 8

2( 2) 3 2( 3) 1 2

3 3

12 (2 )

1

1

− + − − − − − + − − + − − + − − + − − − − − + − +

2 3 1 2 3 1

6 5 9 2 3 8 11 11 11

4 3 6 1 2 1 7 5 3

1

0 0

0 0

1 − − − − − − + + + = + − +

PASO 2: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la segunda

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 2 3 1

0 11 111

0 7 5

1

3

− − −

Para hacer este uno, dividiré toda la fila 2 entre 11, así:

22 11

FF →

Así nuestra matriz queda:

1 2 3 11 2 3 1

11 110 0 1 1

11 110 7 5 30 7 5

11

13

11

− − − − − − =

PASO 3: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 2, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 3 1

0 1 1

0 5 37

1

2 − −

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

21 12.FF F+→ y ( ) 23 3.7F F F− +→

Así se obtiene:

1 2.1 3 2.1 1

0 1 1

0 7.1 5 7.1

2

37

1

2

7

− +

− − − + − +

1 2 3 2 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 7 5 7 3 0 2 4

0 0

0

1 1

0

− − − = − + − + − −

PASO 4: Ahora procederé a hacer el uno correspondiente en la tercera

columna, destacare en azul donde ira este uno:

1 0 1 1

0 1 1 1

0 420

− − −

Para hacer este uno, dividiremos toda la fila 3 entre 2− , esto se denota

así:

33 2

FF → −

Así nuestra matriz queda:

1 0 1 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1

4 02 10 20

220

− − = − −

−−

PASO 5: Como ya hicimos el uno, procederemos a hacer los ceros en la

columna 3, destacaré en rojo, donde Irán estos ceros:

1 0 1

0 1 1

0 0 21

1

1

Para hacer éstos ceros, aplicaremos las siguientes operaciones:

1 13F FF→ + y 32 2F FF→ −

Así se obtiene:

1 0 1 2 1 0 3

0 1 1 2 0 1 1

0 0 2

1

1

0 0 2

1 0

1 0

1 1

+ − = −

− +−

Recordando que la primera columna corresponde a las equis, la

segunda a la ye y la tercera a la “z”, así:

Respuesta: 3, 1 y 2x y z= = − =

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: [email protected]. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Usa el método de Gauss-Jordan para resolver el siguiente sistema de

ecuaciones:

=++=++

=++−

3 6z 7y x2

2 3z 4y x7

1 z y x2

Ejercicio 2

Usa el método de Gauss−Jordan para determinar el valor del número x∈IR, tal que la matriz:

1 0 1

0 0 x

1 1 0

M

= −

sea invertible y halla la matriz inversa. Ejercicio 3

Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado con el método de

Gauss-Jordan:

3 2 4 4

5 9 0

2 2 2

5 4 3 5

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

− + + = − + − − = − + + = + − − = −

Ejercicio 4

Determina, en caso de ser posible, la inversa de la matriz:

1 2 3

1 4 9

1 1 0

M

= −

utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan.

Ejercicio 5

A continuación se dan dos columnas clasificadas de la siguiente manera:

en la primera se presentan tres matrices matriz obtenidas al aplicar el método

de Gauss-Jordan , en forma incompleta, para hallar la matriz inversa de una

matriz y en la segunda se indica las posibles matrices inversas. Indica con una

flecha, la correspondencia entre los elementos de la primera y segunda

columna.

a.

−0210

1111

−23

11

b.

−−−

0210

1101

−−02

11

c.

−0512

1101

−02

11

−−01

11

Ejercicio 6

Usa el método de Gauss-Jordan para determinar la inversa de la

siguiente matriz:

0,8 0,5

0,6 0,7A

− = −

Ejercicio 7

Mediante el método de Gauss-Jordan determina la inversa de la matriz: 1/ 2 1/ 4

1/ 4 2A

=

Ejercicio 8

A continuación hacemos una serie de afirmaciones en relación al

método de Gauss-Jordan. Indica con una V o una F, en el espacio

correspondiente, según que la afirmación hecha sea verdadera o falsa,

respectivamente .

a. El método de Gauss−Jordan sirve para determinar la inversa, en caso de

existir, de una matriz cuadrada_________

b. Al aplicar el método Gauss-Jordan para determinar la inversa de una matriz

M, se obtuvo la matriz

−0200

1101, entonces la matriz M tiene inversa

________

c. En el proceso de aplicación del método Gauss-Jordan para determinar la

inversa de una matriz M, se obtuvo la matriz

−−8220

1401, entonces

1 4 3

1 4M − −

=

________

Ejercicio 9

Usa el método de Gauss−Jordan para determinar los valores de x,y∈IR,

tales que la matriz:

1 y y

x 1 1

2 1 0

M

= −

sea invertible y halla la matriz inversa.

Ejercicio 10

En una fábrica de camas se producen dos modelos de camas de

madera: m1 y m2. Para la fabricación de una cama del modelo m1 se utilizan

125 tornillos y 100 clavos, mientras que para la elaboración de una cama del

modelo m2 se necesitan 300 tornillos y 200 clavos. Si se disponen de 35000

tornillos y 75000 clavos.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que te permita determinar, el

número de camas de los modelos m1 y m2, que se pueden fabricar de manera

que se utilicen todos los tornillos y todos los clavos.

b) Resolver el sistema anterior utilizando el Método de Gauss-Jordan .