ejercicios del tema 2
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153
Ejercicios del Tema 2
1) Determine el dominio de la función f y trace una gráfica donde muestre como una
región de R2 el conjunto de puntos que están en el dominio:
a) f(x, y) = 229
4
yx −−.
b) f(x, y) = 22 44 yx −− .
c) f(x, y) = 2216
1
yx −−.
d) f(x, y) = sen (x + y). 1−
e) f(x, y) = ln (4 – x.y).
f) f(x, y) = xyx 2522 −+
.
g) f(x, y) = xyyx 1++ .
h) f(x, y) = 22
33
yx
yx
−
+ .
2) Determine el dominio de la función f y describa la región en R3 correspondiente al
conjunto de puntos en el dominio:
a) f(x, y, z) = zyxzyx
−−+− .
b) f(x, y, z) = 222 39 zyx −−− .
c) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 – 4) – z .
d) f(x, y, z) = exp ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++ 2221
zyx.
3) Trace algunas curvas de nivel de f:
a) f(x, y) = x2 – y2.
b) f(x, y) = y – x.
154
c) f(x, y) = x2 + y2 – 4x + 6y + 13.
d) f(x, y) = 2225 yx −− .
e) f(x, y) = x2 + 4y2.
4) Sea f(x, y) = x y. Encuentre una ecuación para la curva de nivel de f que pasa por
(–1, –1).
5) Sea f(x, y, z) = 4x2 + y2 – z2. Encuentre una ecuación para la superficie de nivel de f
que pasa por el punto (–1, 2, 3).
6) Describa las superficies de nivel de f.
a) f(x, y, z) = z + x2 + 4y2.
b) f(x, y, z) = x2 + 9y2.
c) f(x, y, z) = y.
d) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + z2.
7) Determine h(x, y) si h = f og y obtenga además el dominio de h.
a) f(t) = ln t ; g(x, y) = x – y.
b) f(t) = t1 ; g(x, y) = 221 yx −− .
c) f(t) = sen t ; g(x, y) = 1− 224 yx −− .
8) Usando la definición de límite, demostrar que:
a) (5x – 4y) = 3. )2,1(),(
lim−−→yx
b) (2x + 3y) = –7. )3,1(),(
lim−→yx
c) (x)1,1(),(
lim→yx
2 + y2) = 2.
d) (x)1,3(),(
lim−→yx
2 + y2 – 4x + 2y) = – 4.
155
e) 0)2(
)2(3lim 22
2
)0,2(),(=
−+−
→ xyxy
yx.
f) 0)1(
)1(5lim22
2
)1,0(),(=
−+
−→ yx
yxyx
.
9) Utilice el teorema 3.1, para calcular los siguientes limites:
a) tan)3,3(),(
lim→yx
-1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛xy
.
b) yxyx 23
3lim)2,4(),( −−→
.
c) )3,1(),(
lim→yx ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2
212 yx .
d) ln(2 – xy). )1,1(),(
lim→yx
10) Evalúe el límite dado, mediante el uso de los teoremas de límites
a) )0,0(),(
lim→yx 22
44
yx
yx
−
− .
b) 22)0,0(),(
limyx
senxxyx +
−→
.
c) 22
44
)0,0(),( 2lim
yxyx
yx +
+→
.
d) yxyx
yx −−
→
33
)1,1(),(lim .
e) xxy
yx
1)cos(lim)0,0(),(
−→
.
f) xxysen
yx
)(lim)0,0(),( →
.
g) yx
yx
yx eeee
22
2
)0,0(),(
)(lim++
→.
156
h) xyxysene xy
yx
)(lim2
)0,0(),( →.
11) Determine si los siguientes límites existen. En los casos que existan, calcule su
valor.
a) 24
2
)0,0(),(
2limyxyx
yx +→.
b) 342
44
)0,0(),( )(lim
yxyx
yx +→.
c) 542
22lim 22)2,1(),( +−−++−−
→ yxyxyxxy
yx.
d) 22
2
)0,3(),( )3()3(3limyxyx
yx +−−
→.
e) 44
4
)0,0(),( 523lim
yxx
yx +→.
f) 22
2
)1,0(),( )1()1(2lim
−+−
→ yxyx
yx.
g) 44)0,0(),( 253limyx
xyyx +
−→
.
h) 22
22
)0,0(),( 3432limyxyxyx
yx ++−
→.
12) Si y 6)y,x(flim)b,a()y,x(
=→
2)y,x(glim)b,a()y,x(
=→
, hallar:
a) [ ])y,x(g)y,x(flim)b,a()y,x(
−→
b) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→ )y,x(g
)y,x(f4lim)b,a()y,x(
157
13) En cada caso, determine si la función dada es continua en el punto P indicado.
En caso contrario, señale el tipo de discontinuidad que se presenta.
a) f(x, y) =
d) f(x, y) = ; P(0, 0)
c) f(x, y) =
; P(0, 0) 342
44
)( yxyx
+ )0,0()y,x(si ≠
0 )0,0()y,x(si =
b) f(x, y) = (x + y) sen (yx ) ; P(0,0)
22
22
yxxy
+− )0,0()y,x(si ≠
g) H(x, y) =
h) G(x, y) =
f) f(x, y) =
; P(0, 0) 1 )0,0()y,x(si =
; P(0, 0)
; P(0, 0)
; P(3, 0)
22
4224 22yx
yyxx+
+++ )0,0()y,x(si ≠
2 )0,0(),( =yxsi
e) f(x, y) =22
2 32yxxyy
+
− ; )0,0(P
22
23yxyx
+ )0,0()y,x(si ≠
0 )0,0(),( =yxsi
yx
xy+
)0,0()y,x(si ≠
0 )0,0(),( =yxsi
( )( ) 22
2
333yxyx
+−− )0,3()y,x(si ≠
1 )0,3(),( =yxsi
158
i) f(x, y) = ; P(0, 0)
22
33
yxyx+
)0,0()y,x(si ≠
0 )0,0()y,x(si =
g) h(x, y) =
j) G(x, y) = yxyx+−2
2
22 ; )0,0(P
14) Analice la continuidad de las siguientes funciones:
a) f(x, y) = ln(x + y –1).
b) f(x, y) = ln(x2 + y2 –25).
c) g(x, y) = sec (xy). 1−
d) h(x, y) = yxyyx
−+
325 22
.
e) f(x, y) = 2225 yx −− .
f) g(x, y) = 21 yex − .
22 yxxy+
)0,0()y,x(si ≠
0 )0,0()y,x(si =
15) Obtenga las primeras derivadas parciales de f.
a) f(x, y) = xy
yx 22 42
+ .
b) f(r, s) = 22
22
srsr
+− .
c) f(x, y) = xe yx
.
d) f(x, y) = ey sen(xy).
e) f(t, v) = lnvtvt
−+ .
f) f(x, y) = 4y3+ 22 yx + .
159
g) f(x, y) = x cos(yx ).
h) f(x, y) = xyx sec4 22 − .
i) f(x, y) = e xy
ln(yx 2
).
j) f(x, y) = x2 cosh(yx ).
k) f(u, v, w) = uev + vew + weu.
l) g(r, s, t) = r2e2scost.
m) h(x, y, z) = sen (x + 2y + 3z).
n) f(r, s, v) = (2r + 3s)cosv.
o) f(x, y, z) = x2eylnz.
p) f(q, v, w) = sen-1 qv + sen(vw).
16) Verifique que wxy = wyx, para:
a) w = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y.
b) w = x2 2ye−
c) w = ln (x + y).
d) w = x2cosh )(yz .
e) w = yx
x+
2
.
f) w = sen (x y) + tan–1(x y).
g) w = 222 zyx ++ .
17) Muestre que la función dada es armónica.
a) f(x, y) = tan-1(xy ).
b) f(x, y) = cosx senh y + senx cosh y.
c) f(x, y) = e– xcos y + e– y cos x.
d) f(x, y) = ln (3x2 + 3y2).
160
18) Sea w = cos (x – y) + ln (x + y). Demuestre que 0yw
xw
2
2
2
2
=∂∂
−∂∂ .
19) Demuestre que v satisface la ecuación de onda
2
22
2
2
xva
tv
∂∂
=∂∂ , donde a es un parámetro.
a) v = sen (x + at).
b) v = cosh (3[x – at]).
c) v = (x – at )4 + cos (x + at).
20) Demuestre que las funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann
ux = vy y uy = - vx.
a) u(x, y) = 2222 ),(v,yxxyx
yxy
+=
+ .
b) u(x, y) = ex cos y , v(x, y) = ex sen y.
c) u(x, y) = cos x cosh y + sen x senh y, v(x, y) = cos x cosh y – sen x senh y.
21) Verifique que cada función satisface la ecuación del calor 2
22
xzc
tz
∂∂
=∂∂ , donde c
es un parámetro.
a) z = e-tcos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛cx .
b) z = e-4 t2c sen(2x)
22) Demuestre que la función w = (sen ax )(cos by ) zba 22
e +− satisface la ecuación de
Laplace en tres dimensiones:
0zw
yw
xw
2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂ .
23) Sea w = f(x, y, z, r, t). Defina wr como un límite.
24) Sea w = y ln(x2 + z4). Obtenga wzzy.
25) Sea w = tan uv + 2 ln(u + v ). Verifique que wuvv = wvuv = wvvu.
161
26) Obtener expresiones para 21 y∈∈ que satisfagan la conclusión del teorema 3.8,
para cada una de las siguientes funciones:
a) f(x, y) = 4y2 – 3xy + 2x.
b) f(x, y) = (2x – y)2.
c) f(x, y) = x3 + y3.
d) f(x, y) = 2x2 – xy2 + 3y.
27) Determine dw, para cada una de las siguientes expresiones:
a) w = x3 – x2y + 3y2.
b) w = x2 sen y + 2y3/2.
c) w = ye-2x – 3x4.
d) w = zyx
xyz++
.
e) w = x2eyz + y lnz.
f) w = x2 ln(y2 + z2).
g) w = x tan– 1z – zy 2
.
28) Use diferenciales para calcular aproximadamente la variación en
f(x, y) = x2 – 3x3y2 + 4x – 2y3 + 6 cuando (x, y) varía de (–2, 3) a (–2.02, 3.01).
29) Use diferenciales para calcular aproximadamente la variación en f(x, y) = x seny
cuando (x, y) varía de (1, 2) a (1.05, 2.1).
30) Use diferenciales para calcular aproximadamente el cambio en
f(x, y, z) = x2z3 – 3yz2 + x-3 + 2y1/2z cuando el valor de (x, y, z) varía de (1, 4, 2) a
(1.02, 3.97, 1.96).
31) Los lados de un paralelepípedo rectangular miden 3, 4 y 5 pies, con un error
posible de 1/192 pies. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor
calculado de:
162
a) El área de la superficie del paralelepípedo.
b) El volumen de este cuerpo.
32) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm, con un error posible de 0.1
cm en cada medición. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor
calculado de:
a) La hipotenusa.
b) El área del triángulo.
33) El radio y la altura de un cilindro circular recto miden 3 y 8 pulgadas,
respectivamente, con un error posible en la medición de 0.05 pulgadas. Use
diferenciales para estimar el error que se comete al calcular el volumen del cilindro.
34) Si para calcular sen(x + y) se usa la fórmula sen(x + y) = senx cosy + seny cosx.
¿Cuál sería un valor aproximado del error que resultaría si se tiene un error de 0.1º
en la medida de x y de y. Suponga además que senx = 53 y seny =
135 .
35) Se miden el radio r y la altura h de un cilindro circular recto con un posible
aumento en el radio del 4% y una disminución factible en la altura del 2%. Dé una
aproximación del porcentaje de error máximo posible al medir el volumen.
36) El área de un triángulo viene dada por la fórmula A = 21 bc senα. Si b = 10 cm,
c = 20 cm y α = 60º.
a) Hallar el área.
b) Hallar la rapidez de variación del área con respecto al ángulo α si c y
b permanecen constantes.
37) La resistencia eléctrica R de un alambre es directamente proporcional a su
longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. El error posible en
163
la medida de la longitud es de 1% y en la medida del diámetro es de 3%. ¿Cuál es el
máximo error porcentual en el valor calculado de R?
38) Demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio:
a) f(x, y) = 2x4 – 4x2y2 + x-2y-2.
b) f(x, y) = 22
22
yxyx
+− .
c) f(x, y, z) = 222 zyxzyx
++++ .
f(x, y) = 39) Dada 342
44
)( yxyx
+ )0,0(),( ≠yxsi
0 )0,0(),( =yxsi
Demuestre que:
a) fx y fy existen en (0, 0).
b) f no es diferenciable en (0, 0).
f(x, y, z) =
f(x, y) =
40) Sea 333 zyxxyz
++ )0,0,0(),,( ≠zyxsi
0 )0,0,0(),,( =zyxsi
Demuestre que fx , fy y fz existen en (0, 0, 0), pero que f no es diferenciable en (0, 0, 0).
41) Sea 22
2
yxxy+
)0,0(),( ≠yxsi
0 )0,0(),( =yxsi
a) Pruebe que existen xf∂∂ (0, 0) y
yf∂∂ (0, 0).
164
b) ¿Existe )0,0(x
f2
2
∂∂ ?
c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?
42) Demuestre que f(x, y) = x ex y es diferenciable en (1,0).
43) Use la regla de la cadena para encontrar dtdw
a) w = x2 + y2, x = et, y = e–t
b) w = x3 – y3, x = 1
1+t
, y = 1+tt
c) w = sen (x.y.z), x = t, y = t2, z = t3
d) w = 222 zyx ++ , x = tan t , y = cos t, z = sen t ; 0 < t < 2π
44) Utilice la regla de la cadena para hallar rw∂∂
y sw∂∂
a) w = u2 + 2uv , u = r ln s, v = 2r + s
b) w = cosh xy , x = 3r2 s, y = 6ser
45) Encuentre y’ suponiendo que y = f(x) satisface la ecuación dada:
a) 2x3 + x2y + y3 = 1
b) x4 + 2x2y2 – 3xy3 + 2x = 0
c) x2/3 + y2/3 = 4
46) Encuentre xz∂∂ y
yz∂∂ suponiendo que z = f(x, y) satisface la ecuación dada:
a) 2xz3 – 3yz2 + x2y2 + 4z = 0.
b) x exy + y exz + z exy = 3.
c) yexyz cos (3xz) = 5.
d) tan (x + y) + tan (y + z) = 1.
165
47) Pruebe que si r = 222 zyx ++ entonces 23
222 )zyx(
xr1
x++
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∂∂
48) Dada la función u = x + zyyx
−− , pruebe que 1
zu
yu
xu
=∂∂
+∂∂
+∂∂
49) Pruebe que la función z = y2f(x2y) satisface la ecuación yz4
xz
yx
yz2 =
∂∂
−∂∂
50) Compruebe que la función definida por z = x f (y2 – x2) satisface la ecuación
2xz
yz
y1
xz
x1
=∂∂
+∂∂
51) Pruebe que la función z = x2 f (y3 – x3) satisface la ecuación z2yz
yx
xz.x 2
3
=∂∂
+∂∂
52) Pruebe que la función z = ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛2y2
2x
y yege satisface la ecuación
z.y.xyz.xy
xz)yx( 22 =
∂∂
+∂∂
−
53) Pruebe que la función z = f (x + g(y)) satisface la ecuación 2
22
xz.
yz
yxz
xz
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂∂
54) Pruebe que si z = xy + xe xy
, entonces zxyyz.y
xz.x +=
∂∂
+∂∂
55) Sea v = , donde f y g tienen segundas derivadas parciales.
Demuestre que v satisface la ecuación de onda
)atx(g)atx(f ++−
2
22
2
2
xva
tv
∂∂
=∂∂
56) Sean w = f(x, y) , x = r cosθ, y = r senθ. Demuestre que
2
2
222 1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
θw
rrw
yw
xw
57) Sean w = f(x, y), x = r cosθ, y = r senθ. Pruebe que
rw
r1w
r1
rw
yw
xw
2
2
22
2
2
2
2
2
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
θ
166
58) Sea w = f(x2 + y2). Demuestre que y =∂∂
−∂∂
ywx
xw 0.
59) Sea f(x, y) = F(x2 – y2, 2xy). Encuentre 2
2
xf
∂∂ .
60) Si w = f(x, y) con x = e cosθ, y = e sen (2θ). Halle r2− r3−
θ∂∂∂r
w2
61) Sea w = f(x, y) con x = r cosθ, y = r senθ. Halle 2 2
θ∂∂∂r
w.r1 2
62) Sean u = f(x, y) y v = g(x, y) funciones que satisfacen las ecuaciones de Cauchy –
Riemann ux = vy y uy = – vx. Demuestre que si x = rcosθ e y = rsenθ, entonces
θ∂∂
=∂∂ v
r1
ru y
θ∂∂
−=∂∂ u
r1
rv .
63) Si w = f(x, y) con x = e cosθ, y = e senθ. Halle r− r−2
2wθ∂
∂ .
64) Si F(x, y) = , encuentre ∫2y2x
0
3t dte 2
2
xF
∂∂ .
65) Si F(x, y) = , Use la regla de la cadena en forma adecuada para hallar ∫2y2x
0
t3 dte
2
2
xF
∂∂ (1, 2).
66) Sea (u, v) F(u, v) una función de Ra 2 en R y f : R2 R la función definida por
f(x, y) = F(x
→
2 – y2, 2xy). Pruebe que si (x, y) ≠(0, 0) se tiene que 2
2
uF
∂∂ + 2
2
vF
∂∂ = 0 implica
que 2
2
xf
∂∂ + 2
2
yf
∂∂ = 0.
67) Determine el gradiente de f en el punto indicado.
a) f(x, y) = x2 – 3xy + y2; P(4, 2).
b) f(x, y) = e ; P(0, 0). 22 yx −−
c) f(x, y) = e ; P(1, yx tan3−
4π ).
167
d) f(x, y) = x ln (x – y); P(5, 4).
e) f(x, y, z) = 222 zyx ++ ; P = (–1, 4, 2).
f) f(x, y, z) = x y2 eyz ; P(2, – 1, –2).
g) f(x, y, z) = e3z (sen 2x – cos 3y); P(4π ,–
6π , 1).
68) Encuentre la derivada direccional de la función dada en el punto P, en la dirección
indicada.
a) f(x, y) = x3 – 3x2y – y3; P(1, –2), a = 21 (– i + j3 ).
b) f(x, y) = yxyx
+− ; P(2, –1), a = 3i + 4j.
c) f(x, y) = 22 yx + ; P(3, 4), a = 3i – 4j.
d) f(x, y) = ex sen y; P(1, 2π ), a = – i.
e) f(x, y) = tan-1(xy ); P(4, – 4), a = 2i – 3j.
f) f(x, y) = sen x cos y; P(3π ,
32π− ), a = 4i – 3j.
g) f(x, y, z) = ; P(1, 2, –1), 222 zyx ++ a = i – 2j + 3k.
h) f(x, y, z) = xy + yz + xz; P(1, 1, 1), a = 2i + j – k.
i) f(x, y, z) = x tan-1(yz); P(4, 1, 1), a = i + 2j – k.
j) g(x, y, z) = xy senz ; P(4, 9, 4π ), a = 2i + 3j – 2k.
69) Sean u = f(x, y), v = g(x, y), donde f y g son diferenciales. Demuestre
a) (cu) = c∇u, para cualquier constante c. ∇
b) (uv) = u v + v∇u. ∇ ∇
c) (∇vu ) = 2v
vuuv ∇−∇ ; v ≠ 0.
d) u∇ n = nun-1∇u, para todo número real n.
168
e) Si w = h(u), entonces ∇w = dudw ∇u.
Para los ejercicios del 70 – 74:
a) Calcule la derivada direccional de f en P en la dirección de P a Q.
b) Encuentre un vector unitario en la dirección de máximo crecimiento de f en
P y calcule la tasa de crecimiento de f en esa dirección.
c) Encuentre un vector unitario en la dirección en la que f disminuye más
rápidamente en P y calcule la razón de cambio de f en esa dirección.
70) f(x, y) = ex tan-1y; P(0, 1), Q(3, 5).
71) f(x, y) = sen (2x – y); P(3π− ,
6π ), Q(0, 0)
72) f(x, y, z) = x – 2y + z2; P(3, 1, -2), Q(10, 7, 4)
73) f(x, y, z) = 222 zyx ++ ; P = (-2, 3, 1), Q(0, –5, 4)
74) f(x, y, z) = zy
yx− ; P(0, –1, 2), Q(3, 1, – 4)
75) La superficie de un lago está representada por una región D en el plano xy de
manera que la profundidad (en metros) bajo el punto correspondiente a (x, y) es
f(x, y) = 300 – 2x2 – 3y2. Una niña está en el agua en el punto (4, 9).
a) ¿En qué dirección debe nadar para que la profundidad del agua bajo ella
disminuya más rápidamente?.
b) ¿En qué dirección permanecerá constante la profundidad?
76) La función h(x, y) = 4000 – 0.001x2 – 0.004y2 describe la superficie de una
montaña. Suponga que un alpinista está en el punto (500, 300, 3390). ¿En qué
dirección debe moverse para ascender lo más rápido posible?
77) La temperatura T en un punto (x, y, z) de un sistema de coordenadas
rectangulares en el espacio está dada por la fórmula T(x, y, z) = 222 zyx100
++.
169
a) Calcular la razón de cambio de T en el punto P(1, 3, –2) en la dirección del
vector a = i – j + k.
b) ¿En que dirección a partir de P aumenta más rápidamente T? ¿Cuál es la
tasa máxima de variación de T en P ?
78) Suponga que en cierta región del espacio, la expresión V(x, y, z) = 5x2 – 3xy + xyz
proporciona el potencial eléctrico V.
a) Determine la razón de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en dirección del
vector v= i + j – k.
b) ¿En qué dirección cambia con mayor velocidad V en P?
c) ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P?
79) Sean u un vector unitario y θ el ángulo que forma con la parte positiva del eje x,
medido en sentido contrario al de las agujas del reloj.
a) Demuestre que
Du f(x, y) = fx(x, y) cosθ + fy(x, y) senθ.
b) Sean f(x, y) = 3 – 2y
3x− y θ =
34π . Calcule Du f(3, 2).
c) Sean f(x, y) = x2 + y2 – 2 y θ =4π . Calcule Du f(–2, 1).
d) Sean f(x, y) = 3x2 – y2 + 4x y θ =6π . Calcule Du f(1, 0).
80) Obtenga ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la gráfica de la
ecuación dada en el punto P indicado.
a) z = 4x2 – y2 ; P(5, –8, 36).
b) xyz = 10 ; P(1, 2, 5).
c) y = ex cos z; P(1, e, 0).
d) z = tan-1(xy ); P(1, 1,
4π ).
170
81) Demuestre que el plano tangente a la superficie cuadrática dada en el punto
P0 (x0, y0, z0) tiene la ecuación indicada.
a) 1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2=+− ; 1
czz
byy
axx
20
20
20 =+− .
b) czby
ax
2
2
2
2=− ; )zz(c
byy2
axx2
020
20 +=− .
82) Hallar los puntos de la superficie x2 –2y2 + 4z2 = 16 en los que el plano tangente es
paralelo al plano 4x + 4y + 8 z27 = 10.
83) Encuentre los puntos de la superficie 4x2 + 2y2 + z2 = 1, en los que la recta normal
es paralela a la recta que pasa por los puntos P(–2, 4, –6) y Q(5, –1, 2).
84) Demuestre que cualquier recta normal a una esfera pasa por el centro de ésta.
85) Demuestre que las superficies x2 + 4y + z2 = 0 y x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 son
tangentes entre sí en (0, –1, 2), es decir; demuestre que tienen el mismo plano tangente
en ese punto.
86) Las superficies x2 + y2 – z2 = 1 y x + y + z = 5 se cortan en una curva C. Determine
la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2, 2).
87) Determine una ecuación del plano tangente al paraboloide z = 2x2 + 3y2 , si dicho
plano es paralelo al plano 4x – 3y – z = 10.
88) Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de
intersección de las superficies f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – 6 y g(x, y, z) = x – y – z en el
punto (2, 1, 1).
89) Demuestre que la suma de los cuadrados de las coordenadas x, y, z de las
intersecciones con los ejes x, y, z de cualquier plano tangente a la gráfica de la
ecuación 32
32
32
32
azyx =++ es igual a la constante a2.
90) Encuentre el punto de la superficie z = 3 – x2 – y2 + 6y donde el plano tangente es
horizontal.
171
91) Se dice que dos superficies son ortogonales en uno de sus puntos de intersección
P(x, y, z) si sus rectas normales en P son perpendiculares. Demuestre que
x2 – 2yz + y3 = 4 es ortogonal a x2 + 2y2 – z2 + 1= 0 en el punto (1, –1, 2).
92) Pruebe que la función f(x, y) = xye⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
8
2x2y4
tiene un punto silla, dos mínimos
locales y dos máximos locales.
93) Determine los extremos relativos de f, si existen
a) f(x, y) = x2 – 3xy – y2 + 2y – 6x.
b) f(x, y) = x2 + 6xy + 10y2 – 4y + 4.
c) f(x, y) = x3 + y2 – 6x2 + y – 1.
d) f(x, y) = 5 + 4x – 2x2 + 3y – y2.
e) f(x, y) = x sen y.
f) f(x, y) = sen (x + y) + sen x + sen y; 0 ≤ x ≤ 2π; 0 ≤ y ≤ 2π
g) f(x, y) = yx
x+
h) f(x, y) = x1 –
y64 + xy
94) Utilice el paquete matemático Maple6 para graficar
f(x, y) = (x2 + 3y2) 2y2xe −−
¿Cuántos puntos críticos visualiza?
Demuestre que hay cinco puntos críticos y determine los extremos relativos de f.
95) Halle los extremos absolutos de la función en la región R indicada.
a) f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2; R = { (x, y) : –2 ≤ x ≤ 4, –1 ≤ y ≤ 3 }
b) f(x, y) = x2 + xy ; R = { (x, y) : x ≤ 2, y ≤ 1 }
c) f(x, y) = x2 + y2 –2x; R es la región triangular con vértices (0, 0), (2, 0)
y (0, 2).
d) f(x, y) = 1 + xy – x – y ; R es la región que está acotada por las gráficas de
y = x2 y la recta y = 4 .
e) f(x, y) = 2xy ; R es la región acotada por x2 + y2 = 1.
172
f) f(x, y) = x2 + 4y2 – x + 2y ; R es la región acotada por la elipse x2 + 4y2 = 1.
96) Establezca la distancia más corta del punto (1, 2, 3) al plano 2x + 3y – z = 12
97) Calcule la distancia más corta entre los planos 2x + 3y – z = 2 y 2x + 3y – z = 4
98) Encuentre la distancia mínima entre el origen y la superficie z2 = x2y + 4
99) Encuentre tres números reales positivos cuya suma sea 30 y su producto sea
máximo.
100) Si una caja abierta con forma de paralelepípedo rectangular debe tener
superficie con área A ¿qué dimensiones harán que el volumen sea máximo?
101) Determine el volumen máximo del paralelepípedo rectangular con caras paralelas a los planos coordenados que puede inscribirse en el elipsoide 9x2 + 36y2 + 4z2 = 36. 102) Se desea construir un recipiente con tapa en forma de un cilindro circular recto. ¿ Cuáles son las dimensiones relativas para las cuales el volumen es máximo, si el área de la superficie tiene un valor fijo S ?. 103) Use el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos locales de la función f, sujeta a las restricciones dadas:
a) f(x, y) = xy ; x + y = 10 b) f(x, y) = 2x2 + xy – y2 + y ; 2x + 3y = 1 c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ; 3x – 2y + z = 4 d) f(x, y, z) = xyz ; x + y + z = 6 e) f(x, y, z) = x + 2y –3z ; z = 4x2 + y2 f) f(x, y, z) = xy + yz ; x + 2y = 6 ; x – 3z = 0 g) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ; x + 2y + 3z = 6 ; x – y – z = – 1 h) f(x, y, z) = xyz ; x + y + z = 4 ; x – y – z = 3
104) Use multiplicadores de Lagrange, para encontrar el volumen máximo del paralelepípedo rectangular tal que sus tres aristas están en las partes positivas de los ejes x, y, z, respectivamente, y uno de sus vértices está en el plano 2x +3y +4z = 12. 105) Use multiplicadores de Lagrange, para demostrar que el producto de tres números positivos cuya suma es S, es máximo si los tres números son iguales.
173
106) Sea C la recta de intersección de los planos 3x +2y + z = 6, x – 4y + 2z = 8. Encuentre el punto de C más cercano al origen, utilizando multiplicadores de Lagrange. 107) Se desea construir una caja sin tapa con la forma de un paralelepípedo rectangular que tenga un volumen de 12 pie3. El costo por pie cuadrado del material que se usará para el fondo es de $4, el que se usará para dos de los lados opuestos es $3 y el que se usará para los otros dos lados opuestos es de $2. Use el método de multiplicadores de Lagrange para calcular las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo. 108) Con los multiplicadores de Lagrange, demuestre que el rectángulo con área máxima que tiene un perímetro dado p es un cuadrado. 109) Determine los puntos sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estén más cercanos y más alejados del punto (3, 1, –1). Use multiplicadores de Lagrange. 110) Use multiplicadores de Lagrange, para determinar el volumen máximo de una
caja rectangular inscrita en el elipsoide 1cz
by
ax
2
2
2
2
2
2=++ , con sus caras paralelas a los
ejes coordenados. 111) Sea f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 5z2. Encontrar el punto del plano 2x + 3y + 4z = 12 en el que f(x, y, z) alcanza su valor mínimo. Utilice el método de multiplicadores de Lagrange. 112) Halle el máximo y mínimo de la función f(x, y), con la restricción g(x, y) ≤ c.
a) f(x, y) = 4 x y sujeta a x2 + y2 ≤ 8. b) f(x, y) = 4 x y sujeta a 4x2 + y2 ≤ 8. c) f(x, y) = 4 x2 y sujeta a x2 + y2 ≤ 3. d) f(x, y) = 2 x3 y sujeta a x2 + y2 ≤ 4.
113) Para un negocio que fabrica tres productos, suponga que al fabricar x, y, z miles de unidades de los productos, la utilidad de la compañía (en miles de dólares) se puede modelar mediante P(x, y, z) = 4x + 8y + 6z. Las restricciones de manufactura exigen x2 + 4y2 +2z2 ≤ 800. Halle la utilidad máxima de la compañía. 114) Suponga que en el ejercicio anterior el negocio tiene como función utilidad P(x, y, z) = 3x + 6y + 6z con restricción de manufactura de 2x2 + y2 + 4z2 8,800. Maximice las utilidades.
≤
115) Suponga que en el ejercicio 113 el negocio tiene como función utilidad P(x, y, z) = 3xz + 6y con restricción de manufactura de x2 + 2y2 + z2 ≤ 6. Maximice las utilidades.