TEMA 2

NOTACIÓN CIENTÍFICA

1. HISTORIA.- El primer intento de representar números demasiados extensos fue emprendida por el

matemático y filósofo griego Arquímedes, descrita en su obra El contador de Areia en el siglo III a. C.

Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el

universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el

número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es

el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento

del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).

A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números

reales a través del coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914, Konrad

Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

2. POTENCIAS DE 10.- Las potencias de 10 se refieren a números que son exponentes de base 10.

Base 10 se refiere al sistema de números que usamos en nuestra vida diaria. El exponente (o

potencia) significa el número de veces que el dígito 1 se multiplica por 10.

• 100 = 1

• 101 = 1

• 102 = 100

• 103 = 1 000

• 104 = 10 000

• 105 = 100 000

• 106 = 1 000 000

• 109 = 1 000 000 000

• 1010 = 10 000 000 000

• 1020 = 100 000 000 000 000 000 000

• 1030= 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Adicionalmente, 10 elevado a una potencia entera negativa -n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0,

(n-1 ceros) 1:

• 10 - 1 = 1/10 = 0,1

• 10 –2 = 1 / 100 = 0,01

• 10 - 3 = 1/1000 = 0,001

• 10 - 4= 1 / 10 000 = 0,000 1

• 10 - 5 = 1/100 000 = 0,000 01

• 10 - 6 = 1/1 000 000 = 0,000 001

• 10 – 7 = 1/10 000 000 = 0,000 000 1

• 10 – 8 = 1/100 000 000 = 0,000 000 01

• 10 – 9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

• 10 – 10 =

• 10 – 20 =

• 10 – 30 =

3. NOTACION CIENTIFICA.- La notación científica (o notación índice estándar ) es un modo de

representar un conjunto de números mediante una técnica llamada coma flotante (o de punto flotante

en países de habla inglesa y en algunos hispanoparlantes) aplicada al sistema decimal, es decir,

potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado

pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que podamos

manejar con más facilidad.

Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o

también de 300 000 000 m/seg . Si hablamos de grandes cantidades de bytes, se puede decir que la

capacidad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una

cantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos

cósmicos, se podría decir que su medida es inferior a 0,000 000 000 000 01 metros.

Sin embargo, en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan

grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento matemático denominado “notación

científica”. Por tanto, las cifras del párrafo anterior seguramente aparecerían escritas en textos de

ciencia y técnica de la forma siguiente:

“La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg ...”.“La capacidad de almacenamiento de datos de

la gran computadora es de 5 x 1014 bytes ...” y “la longitud de onda de los rayos cósmicos es inferior a

1 x 10-14 metros...”

La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades

numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas.

Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el

intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10.

3.1 Representación de Números enteros y decimales en Notación Científica

Método para representar un número entero en notación científica

Cualquier número entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se

puede reducir empleando la notación científica.

Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:

139 000 000 000 cm.

Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta: 1,39 x10 11

¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión?

1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a

izquierda, hasta llegar al último número entero ( numero que se encuentre entre 1 y 9).

2. Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía

dos decimales más, (en éste caso 3 y 9).

3. Por último, multiplicamos la cantidad (1,39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la

potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).

Veamos otro ejemplo, tenemos 0,000 096 784 cm.

En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera:

1. Partiremos desplazando el punto de izquierda a derecha, hasta llegar al primer número

diferente de cero (en éste caso 9).

2. Separamos el número seguido por los decimales ( 9,6784 ) multiplicado por 10 como base

constante.

3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a

derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros.

Es decir, que tenemos como resultado: 9,6784 x 10 – 5 cm

O bien si redondeamos la cifra tendremos 9,68 x 10 – 5 cm Aproximado a dos decimales, en

donde la respuesta también sigue siendo válida.

Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros, debido a que en

términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan y no deben ser incluidos.

Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones.

Por lo tanto un número como 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito

como 1,56234x1029, y un número pequeño como 0,000 000 000 023 4 puede ser escrito como

2,34 x 10-11.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Son consideradas asi todos los digitos de aproximación obtenidos en una medición, de acuerdo al

instrumento de medida que esta utilizando, asi una regla escolar, solo tiene graduaciones hasta milímetros,

por ello se puede expresar las mediciones hasta milímetros y nada mas.. Debemos considerar los siguientes

criterios:

1ro. Todas las cifras diferentes de cero son cifras significativas.

Ejemplo: 2, 456 ; tiene cuatro cifras significativas

2do. En todo número menor que la unidad, los ceros a la derecha de la coma decimal, NO

SON CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Ejemplo: 0,047 2 ; tiene tres cifras significativas.

0, 005 ; tiene una cifra significativa.

3ro. En todo número mayor que la unidad, los ceros entre digitos son cifras significativas.

Ejemplo: 39 040 8 ; tiene seis cifras significativas.

4to. De los ceros al final de un número:

• Son cifras significativas si siguen a la derecha de la coma decimal.

Ejemplo: 0, 30 kg ; tiene dos cifras significativas.

• No son cifras significativas si provienen de redondear al número.

Ejemplo: 68 m = 6 800 cm ; tiene dos cifras significativas.

Para realizar operaciones con estas mediciones o números que resultan de una medición el resultado de las

operaciones deberán tener la cantidad de cifras significativas del más menor de las mediciones.

REDONDEACION DE NUMEROS

Redondear un número quiere decir reducir el número de cifras manteniendo un valor parecido. El resultado

es menos exacto, pero más fácil de usar. ¿Cómo redondear números?

1ro.- Si las cifras no significativas son menores a cinco, estas se eliminan

Ejemplo: Redondear las siguientes medidas a dos cifras significativas:

3,33 se redondea a 3,3

0,124

1040

3 740 000

2,643 24

0,00002142

2do.- Si las cifras no significativas son mayores a cinco, éstas se elimina y se añade la unidad a la anterior

(se aumenta en una unidad a la cifra penúltima a ésta, es decir, se redondea.

Ejemplo: Redondear los siguientes valores a tres cifras significativas:

3,006 se redondea a 3,01

4,672 89

0,000 675 68

567 800 000

3 489 600 000

0,000 000 278 3

3ro.- Si la cifra no significativa es igual a cinco, entonces de acuerdo a la penúltima cifra, tendremos:

a) Si la penúltima cifra es par, entonces no se redondea.

b) Si la penúltima cifra es impar, entonces si redondea.

Ejemplo; Redondear los siguientes valores a dos cifras significativas:

3,42455 se redondea a 3,4

2,474589

0,000 045 255

34 555 000

12 555 555

99 999 000

345,675 5

Veamos en la práctica algunos ejemplos: Expresar en notación científica los siguientes números y expresarlo

con dos cifras significativas:

a) 529 745 386 = b) 450 000 =

c) 590 587 348 584 = d) 0,3483 =

e) 0,000 987 4 = f) 0,000 000 415 =

g) 45 350 000 000 = h) 230 045 000 =

i) 0,000 34005 = j) 0,000 000 000 524 cm =

k) 345 050 000 000 000 m = l) 300 000 000 m/s =

m) 3 344,89 m = n) 0,000 000 000 000 013 mm =

3.2 USOS.- La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser

medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da

toda la información requerida sin malgastar espacio. kilogramos. La mayoría de las calculadoras y

muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación

científica; los números 10 generalmente se omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por

ejemplo: 1,56234 E29. Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también

denotado comúnmente con la letra e.

La notación científica también evita diferencias regionales de denominación, notablemente el

término inglés billion que puede dar lugar a equivocaciones.

Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un

dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después

del separador decimal multiplicado por el exponente de 10 respectivo. Ej 238 294 360 000 =

2,3829436E11 y 0,000 312 459 = 3,12459E-4.

3.3 DISCREPANCIA.- A pesar que la notación científica pretende establecer pautas inviolables

sobre la referencia numérica en materia científica, se presentan discrepancias de estilo.

Por ejemplo en EE.UU. 109 se denomina «billion». Para los países de habla hispana 109 es mil

millones o millardo (del francés millard) y el billón se representa 1012. Llegamos a un caso práctico

donde para los estadounidenses one billion dollars, para los hispanoparlantes será un millardo de

dólares (poco usado) o mil millones de dólares (más usado).

Otra particularidad del mundo hispano es que a 104 (10 000), se le denomina miríada. No

obstante para 10 000 se usa diez mil como uso frecuente y miríada cuando se quiere hacer notar el

diez mil como "muchísimo" respecto a una comparación con algo cuantificable que elevó su cuenta

significativamente, sin que este uso tenga fundamento científico sino de costumbres.

4. OPERACIONES MATEMATICAS CON NOTACION CIENTIFICA.- La Notación Científica

puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación

y División.

4.1 ADICION: Para poder sumar dos números en notación científica ambos deben tener el

mismo exponente en el 10. Por eso 3.5x108 y 7.2x108 pueden sumarse, ya que tienen el mismo

exponente:

3,5x108 + 7,2x108

La potencia de 10 es la misma en ambos números, así que es un factor común y, como tal,

ponerlo fuera de un paréntesis:

(3,5 + 7,2)x108 =

Y ahora podemos realizar la suma normalmente:

10,7x108

3,5x108 + 7,2x108 = 10,7x108

Es decir, para sumar números en notación científica con el mismo exponente, sencillamente

sumamos los números y dejamos el diez con el exponente sin cambiar:

2,1x10-5 + 6,8x10-5 =

1,9x104 + 9,9x104 =

6,5x10-3 + 3,1x10-3 =

4,31x10-9 + 2,8x10-9 =

Si los números que queremos sumar no tienen el mismo exponente, antes de poder realizar la

adición tenemos que hacer que ambos tengan el mismo exponente. Así, si queremos sumar 3,5x104 y

7,2x105, como no tienen el mismo exponente, tendremos que mover la coma del que tenga el

exponente menor, con lo que aumentará su exponente:

3,5x104 + 7,2x105

0,35x105 + 7,2x105

Como ahora los números tienen igual exponente, podemos sumarlos:

0,35x105 + 7,2x105

(0,5 + 7,2)x105

7,55x105

Con exponentes distintos, siempre moveremos la coma del número con menor exponente

antes de hacer la suma:

2,2 x 10 4 + 5,7 x 10 5 =

1,6x10-4 + 2,8x10-5 =

6,15x106 – 2,51x10 7 =

4,28x10-3 – 7,35x10-4 =

3,8x10-5 – 1,9x10-6 =

2 x 104 + 3 x 105 =

450000 + 1270 + 530000 =

0,0536 + 0,0456 + 0,0043 =

0,535 – 0,021 =

(2,21 x 101 + 2,35.x 10 – 1) – (1,16 x 10 1 + 1,8 x 10 -1) =

4.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Mientras que para sumar y restar números en notación

científica se precisa que tengan el mismo exponente, que además no se alterará por la adición o la

sustracción, en la multiplicación y la división los exponentes pueden ser distintos y, además, el

resultado tendrá un exponente afectado por la operación.

Si deseamos multiplicar dos números en notación científica, por ejemplo,

1,5x107 y 4,2x104

1,5x107 x 4,2x104 , podemos, en primer lugar, reagrupar los factores:

1,5 x 4,2 x 107 x 104

Multiplicando los números (1,5 x 4,2 = ) y recordando ahora que para multiplicar

potencias de igual base se suman los exponentes (7 + 4 = ), el resultado será:

Es decir, para multiplicar números en notación científica, se multiplica la parte real y se suman

los exponentes.

1,6x105 x 2,3x10-2 =

2,5x10-7 x 6x105 =

6,25x10-3 x 8x103 =

(4x105)·(2x107) =

(4x1012)/(2x105) =

10 000 x 100 =

0,000 0000 1 x 0,001 =

10 000 x 0,001 =

23 000 x 500 =

62 000 x 0,003 =

0.215 m x 250000 m =

10 000 x 0,001 x 100 =

0,000 350 x 5 000 000 x 0,000 4 =

3,875 x 0,000 032 x 3 000 000 =

7 000 x 0,015 x 1,78 x 10 3 =

Para dividir, números en notación científica, se dividen los números reales y se restan los

exponentes ( o lo que es lo mismo, las potencias se vuelven multiplicación, con la particularidad de

que la potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado):

6x107 / 4x104 =

4,9x10-3 / 1,4x10-6 =

8x10-7 ÷ 2x105 =

6x103 ÷ 8x10 -3 =

( 9,2 x 10 12) / ( 6,2 x 10 15) =

532 000 x 10 -5m / 237 000 m =

72 000

0,001 2

44 x 10 -4

11 x 10 -5

4 600 000

2,4 x 10 7

0,000 000 89

320 000

4.3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN COMBINADAS

Usando las reglas antes indicadas pueden combinarse la multiplicación y división que

comprenden potencias de 10. El método usual para resolver tales problemas consiste en multiplicar y

dividir alternadamente hasta completar el problema. Por ejemplo:

( 36 000 ) ( 1,1 x 10 -2 ) ( 0,06 )

0,012 x 2 200

(0,000 000 045)( 5,3 x 10 6)( 120 000 )

(36 000)( 0,000 004)

0,000 000 097)(450 000 000)(650)(0,000 004)

(2 000)(0,003 5)

4.4 POTENCIACION: Así como en la Notación Científica, la Exponenciación funciona de igual

forma y más sencilla, la única diferencia es que las potencias se multiplican. Se potencia la mantisa y

se multiplican los exponentes:

(3x106) 2 =

(121 000) 2 =

( 5,4 x 10 5) 3 =

( - 6 24 x 105 ) 3 =

( 3 x 10 -4)5 =

4.4 RADI CACION: Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de

la raíz:

261016x

640000

3 43 7 )1025,1)(107,2( xx =

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES:

22 )40000()30000(

22 )0000007,0()0000024,0(

)5,0)(00008,0)(00005,0)(2()00008,0()00005,0( 22

22

22

)000005,0()000012,0(

)44000()117000(

( 300 000 + 5 200 000)(0,000 05 – 3,5x10 – 6)( 200 000)

( 0,000 0004 – 4,1x10 – 6)( 200)(0,000 6)2

EJEMPLO: En un año reciente, el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la

impresión de las siguientes cantidades de dinero en las denominaciones especificadas: $3 500 000 000

en billetes de $1; $1 120 000 000 en billetes de $5; $640 000 000 en billetes de $10; $2 160 000 000

en billetes de $20; $250 000 000 en billetes de $50; $320 000 000 en billetes de $100.

Tendremos que escribir estos números en notación científica y determinar cuánto dinero fue

impreso (en miles de millones).

$ 3 500 000 000 en billetes de = 3,5 × 109 $1

$1 120 000 000 en billetes de = 1,12 × 109 $5

$640 000 000 en billetes de = 6,4 × 108 $10

$2 160 000 000 en billetes de = 2,16 × 109 $20

$250 000 000 en billetes de = 2,5 × 108 $50

$320 000 000 en billetes de = 3,2 × 108 $100

Puesto que tenemos que escribir todas las cantidades en miles de millones (un millar de

millón es 109) debemos anotar todos los números empleando 9 como exponente.

En primer lugar, consideremos 6.4 × 108. Para anotar este número con un exponente de 9,

escribimos

6,4 × 108 = (0,64 × 10) × 108 = 0,64 × 109

de manera similar

2,5 × 108 = (0,25 × 10) × 108 = 0,25 × 109 y

3,2 × 108 = (0,32 × 10) × 108 = 0,32 × 109

Al escribir los otros números, obtenemos

0,64 × 109

0,25 × 109

0,32 × 109

3,5 × 109

1,12 × 109

2,16 × 109

7,99 × 109

Entonces se imprimieron 7,99 mil millones de dólares.

PRACTICA

1. Expresa en notación científica y ordena de mayor a menor:

a) 300 000 000 b) 0,000 000 1 c) 0,000 000 62 d) -18 400 000 000

e) -7894,34 f) 456,987 g) 0, 000 000 000 93 h) -0,005 5

2. Realiza la operación: (0, 000 000 000 000 000 000 000 006 63 x 30 000 000 000) / (0,000 000 091 16) (Es incomodo trabajar con esas cantidades, pasa primero a notación científica).

3. Efectúa los productos y cocientes siguientes usando las propiedades de las potencias:

a)

8

-4-3

1,5.10

5.109.10 b)

6-

5-2

4.10

5.101,6.10 c)

1-6-

-6

3.101,2.10

7,2.10

4. Efectúa las siguientes operaciones con cantidades expresadas en notación científica. Expresa el

resultado también en notación científica:

a) (3,74x10-10 ): (1,8x1018) b) (5,4x108)*(6,8x1012) c) 1,2x102 +1,8x103 d) 2,5x10-3-7,3x10-5

e) 5,6x10-2(4,2x102 + 3,3x103) f) 9,8x10-3 + 3,2x102 g) 3x10-1 – 5x10-2 + 3x10-3

h) 9,12x104 + 1,5x107 i) 1,3x102 + 5,6x103 + 2,1x10 j) 5,3x10-3 + 7,2x10-5

k) 6,2x10-3 + 5,3x10-2 + 2,3x10-4 l) 3,24x10-3 – 2,23x102 m) (3,2 x 107) ( 0,7) n) 5x10-5 – 3x10-7

(2x1014)(6x10-5) 2x103 + 300

5. Expresa en notación científica e indica el orden de magnitud:

a) Distancia Tierra - Luna: 384 000 km.

b) Distancia Tierra - Sol: 150 000 000 km.

c) Distancia Tierra - Neptuno: 4 308 000 000 km.

d) Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m.

e) Radio del protón: 0,000 000 000 05 m.

f) Masa de un estafilococo: 0,000 000 000 1 g.

6. Chasqueamos los dedos y los volvemos a chasquear 1 minuto después. A continuación esperamos 2

minutos y chasqueamos los dedos, después 4 minutos, 8 minutos, 16 minutos, etc. Esto es, se duplica el

intervalo entre los chasquidos sucesivos. Si siguiéramos haciendo esto durante 1 año ¿cuántas veces

chasquearíamos los dedos?

7. El estadounidense promedio consume 80 libras de vegetales al año. Puesto que hay unos 250

millones de estadounidenses, las libras consumidas cada año son: (8 × 101) × (2,5 × 108). Escribe esta cifra

en notación científica y en su forma estándar. R: 2 × 1010; 20 000 000 000

8. En Estados Unidos se producen 148,5 millones de toneladas de basura cada año. Puesto que una

tonelada es igual a 2 000 libras, hay unas 360 días en un año y 250 millones de estadounidenses, las libras

de basura producidas cada día del año por cada día del año por cada hombre , mujer y niño de dicho país

son escribe este número en notación estándar. R: 3.3

9. La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía. ¿Sabes cuánta energía proporciona un gramo de

uranio 235? La respuesta es kilocalorías. Escríbela en notación científica. R: 2 × 107

10. Multiplicar usando potencias de 10. Para los propósitos de este ejercicio considere que todos los

números son exactos:

a) 23 000 x 500 00 b) 0,000 000 12 x 0,001 c) 10 000 x 0,001 d) 62 000 x 0,000 3

e) 100 000 x 0,00001 x 1 000 f) 0,000 000 350 x 5 000 000 x 0,000 4

g) 3 875 x 0,000 032 x 3 000 000 h)7 000 x 0,015 x 1,78 i) 72 000 x 0,0024

0,001 2

h) (80 000 x 2 x 105 ) 2

11. Escribe en notación científica los números:

a) 53 000 b) 45 000 000 c) 81 300 000 000 d) 0.000 086 e) 0,000 000 03 f) 0,00000000551

g) 1 230 000 h) 4 560 000 000 i) 7 890 000 000 000 j) 0,000 987 k) 0,000 000 065 4

l) 0,000 000 000 032 1

12. Dados los números A = 7,15x106 ; B = 1,92x106 y C = 5,9x106 realiza las operaciones:

A + B; A + C; B + C; C - B; C - A y A - B.

13. Dados los números A = 7,15x10-6; B = 1,92·106 y C = 5,9x107 realiza las operaciones:

A x B; A / C; B / C; C x B; C x A y A / B.

14. Cuenta los segundos que han pasado desde que comenzó el año y escribe el número resultante. Haz lo

mismo con los segundos que faltan hasta terminar el año.

15. Dados los números A = 1,23x104; B = 4,56x104 y C = 7,89x104 realiza las operaciones:

A + B; A + C; B + C; C - B; C – A y A - B.

16. Dados los números A = 1,23x10-4; B = 4,56x105 y C = 7,89x104 realiza las operaciones:

A x B; A / C; B / C; C x B; C x A y A / B.

2106.3

8105.2

31028

10485.1

235

9107.4