Soluciones Ejercicios 1: Logica Proposicional

TAII(I)-Logica

24 de febrero de 2006

1. Ejercicio 1.1

De los siguientes enunciados, determina cuales son proposiciones, y de que tipo.Indica tambien cuales son proposiciones atomicas.

1. Es primavera.

ATOMICA, ACCION.

2. Los gatos y los perros son mascotas.

NO ATOMICA, COMPUESTA DE DOS DE ATRIBUCION DE PROPIEDAD.

3. ¿Juan es amigo de Pedro?

NO ES PROPOSICION.

4. Dos es mayor que tres.

ATOMICA, RELACION (ENTRE ”DOS”Y ”TRES”)

5. Algunos estudiantes estudian y aprueban.

ATOMICA. VEREMOS EN CALCULO DE PREDICADOS COMO DE-SCOMPONERLA.

6. Si llueve y hace sol sale el arco iris.

NO ATOMICA, COMPUESTA DE TRES DE ACCION.

7. Cierra la puerta

NO ES PROPOSICION (SI ES UNA FRASE IMPERATIVA).

8. O vienes o te quedas.

NO ATOMICA, DOS PROPOSICIONES ATRIBUCION DE PROPIEDAD(A ”TU”).

9. El cielo es azul y los campos son verdes.

NO ATOMICA, DOS PROPOSICIONES DE ATRIBUCION DE PROPIEDAD.

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2. Ejercicio 1.2

Escribe con las conectivas y sımbolos de la logica proposicional las siguientesproposiciones.

1. A pesar de que el coche no acelero, hubo un accidente.

p: el coche acelero

q: hubo un accidente

∼ p ∧ q

2. Tiene coche y, sin embargo, no sabe conducir.

p: tiene coche

q: sabe conducir

p∧ ∼ q

3. Si no vienes ya, nos vamos a desayunar.

p: vienes ya

q: nos vamos a desayunar

∼ p→ q

4. Solo nos vamos a desayunar si no vienes ya.

q→ ∼ p

5. Si no vienes, jugaremos al baloncesto, solo si viene Jose y el arbitro sepresenta o manda un sustituto.

p: vienes

q: jugaremos al baloncesto

r: viene Jose

s: el arbitro se presenta

t: manda un sustituto

∼ p→ (q→ r ∧ (s ∨ t))

6. Juan canta solo si esta contento.

p: Juan canta

q: Juan esta contento

p→ q

7. Si Juan esta contento, entonces canta.

q→ p

8. Juan canta si esta contento y esta contento si canta.

(p→ q) ∧ (q→ p)

p↔ q

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3. Ejercicio 1.3

Escribe con las conectivas y sımbolos de la logica proposicional las siguientesproposiciones (utiliza las mismas letras de proposicion cuando las proposicionessean identicas).

Damos sımbolos a las proposiciones atomicas:

p: Hara una fiesta

q: Aprueba logica

r: Aprueba programacion

s: Se ira de viaje

t: Marıa estudiara todo el verano

1. Marıa estudiara durante todo el verano si no aprueba logica ni progra-macion.

(∼ q∧ ∼ r)→ t

2. Si Marıa aprueba logica hara una fiesta y sino estudiara durante el verano.

(q→ p) ∧ (∼ q→ t)

3. Marıa no hara una fiesta ni se ira de viaje si no aprueba logica ni progra-macion.

(∼ q∧ ∼ r)→ (∼ p∧ ∼ s)

4. Si Marıa aprueba logica hara una fiesta, pero si aprueba programacion seira de viaje.

(q→ p) ∧ (r→ s)

4. Ejercicio 1.4

Determina cuales de las siguientes frases no se corresponderıa con la estruc-tura: p→ ∼ q

Damos sımbolos a las proposiciones atomicas:

p: Bebes/Beber

q: Conduces/Conducir

1. Si bebes entonces no conduces. SI

2. Bebe solo si no conduces.SI

3. No conduces si bebes.SI

4. No conducir es necesario para beber.SI

5. No bebas a menos que no conduzcas.SI

6. A pesar de que no bebes no conduces. NO: ∼ p∧ ∼ q

7. Beber es suficiente para no conducir. SI

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5. Ejercicio 1.5

Proporciona frases que correspondan a la siguiente formalizacion:

1. p→ (q ∨ r)

2. (∼ q∧ ∼ r)→ ∼ p

3. ∼ p→ (q↔ r)

4. (p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)

1. Si fumas cigarrillos, fumas negro o rubio.

2. Si no fumas negro ni rubio, no fumas cigarrillos.

3. Si Juan no consigue un billete de tren, la condicion necesaria y suficientepara que llegue a tiempo es que viaje en coche.

4. O fumas negro, o fumas rubio, pero no ambos.

6. Ejercicio 1.6

Reescribe las formulas siguientes utilizando parentesis, de modo que se man-tenga el sentido de la expresion:

1. ∼ p ∧ r→ s ∧ t

((∼ p) ∧ r)→ (s ∧ t)

2. p→ q∨ ∼ r→ p∧ ∼ q

p→ ((q ∨ (∼ r))→ (p ∧ (∼ q)))

3. p ∧ q ∨ r→ s∨ ∼ t ∨ u

((p ∧ q) ∨ r)→ (s ∨ (∼ t) ∨ u)

4. s→ p→ q∨ ∼ r↔ w

s→ (p→ ((q ∨ (∼ r))↔ w))

7. Ejercicio 1.7

Supongamos que cuatro personas, Pepe, Quimo, Raquel y Sonia van al cine yoptan entre dos pelıculas. Formaliza los siguientes enunciados usando las letrasde proposicion que indicamos:

p: Pepe ve la pelıcula de vaqueros

q: Quique ve la pelıcula de vaqueros

r: Raquel ve la pelıcula de vaqueros

s: Sonia ve la pelıcula de vaqueros

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1. Si Pepe o Raquel ven la pelıcula de vaqueros, entonces Sonia no es la unicaque ve la misma pelıcula que Pepe.

(p ∨ r)→ ((p ∧ s ∧ (r ∨ q)) ∨ (∼ p∧ ∼ s ∧ (∼ r∨ ∼ q)))

2. Solo si Raquel no ve la misma pelıcula que Sonia, Pepe y Quique ven lapelıcula de vaqueros.

(p ∧ q)→ ((r∧ ∼ s) ∨ (∼ r ∧ s))

3. Quique y Sonia no ven la pelıcula de vaqueros a menos que Sonia, Raquely Pepe vean la misma pelıcula.

∼ (∼ q∧ ∼ s)→ ((p ∧ r ∧ s) ∨ (∼ p∧ ∼ r∧ ∼ q))

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