aspectos de logica
TRANSCRIPT
Una proposición es verdadera o falsa, no existe una tercera alternativa; una cosa es o no es, no existe una tercera alternativa.
Aristóteles / Principio de Tercio Excluido
Fuen
te: I
mag
en e
xtra
ída
de i
nter
net
¿ESTO ES LÓGICO O NO LÓGICO ?
¿ESTO ES LÓGICO O NO LÓGICO ?
LÓGICA
► Lógica es el conjunto de los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.
LÓGICA MATEMÁTICA
► La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
ENUNCIADO
► El ENUNCIADO es una entidad pragmática mínima sujeta a factores contextuales. Es toda expresión lingüística, que constituye una frase u oración.
PROPOSICIÓN
► Una proposición es una sentencia (oración) declarativa correctamente formada que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Representa un hecho de la realidad, son proposiciones lógicas las formulas científicas ya demostradas, leyes o hipótesis científicas aceptadas.
► No son proposiciones las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, las creencias, mitos o leyendas, las metáforas o refranes.
ALGO MÁS SOBRE PROPOSICIONES► Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las
oraciones son proposiciones: Las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones.
1. El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
2. ¿Qué es la lógica?
3. Debemos honrar a nuestros héroes.
4. Sea en hora buena.
5. Casi me saco la lotería!
6. Quizá llueva mañana.
7. Valentín es bueno.
Son proposiciones lógicas:► Las fórmulas científicas ya demostradas. Así como:
► ; a, b R
► Las leyes o hipótesis científicas aceptadas. Así como:
► “Todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre otro”
► Los enunciados cerrados o definidos. Así como:
► + + = 180°; si , y = s internos de un mismo triángulo.
► x + y = 50; si x = 10, y = 30
No son proposiciones lógicas:► Las creencias, mitos o leyendas. Así como:
► “Dios es un ser misericordioso”
► “Manco Cápac y Mama Ocllo fueron enviados por el sol”
► Las metáforas o refranes. Así como:
► “El Perú es un mendigo sentado en un banco de oro”
► “Has el bien, sin mirar a quién”
► Las supersticiones. Así como:
► “Hoy día me irá muy mal por ser Martes 13”
► “Pase por debajo de una escalera”
CLASES DE PROPOSICIONES► Proposiciones Simples, Atómicas o no
Estructurales: Carecen de conector lógico, no se componen de otras proposiciones. Las proposiciones atómicas a su vez pueden ser:
• Predicativas: Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos).
Ejemplos:
• Chiclayo es llamada ciudad de la amistad.
• Federico Villarreal fue un matemático lambayecano.
• Relacionales: Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc.
► Ejemplos:
• La selección peruana de vóley jugó un partido intenso con su similar de Cuba. (Relación de acción)
• Vallejo con Mariátegui fueron literatos contemporáneos. (Relación de tiempo.)
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
1. El diagnostico del Doctor es positivo
2. La enfermería tiene un gran campo de acción
3. Gustavo trabaja como odontólogo
4. Teresa esta en la escuela de Arquitectura
• Proposiciones Compuestas, Moleculares o Coligativas: Son aquellas que están constituidas por proposiciones atómicas y se caracterizan porque poseen enlaces llamados conectores lógicos.
Ejemplo:► La proposición: ► Voy estudiar estomatología o ingeniería industrial.► Es una proposición molecular porque se compone
de dos proposiciones atómicas:► - Voy estudiar estomatología .► - Voy estudiar ingeniería industrial.► Estas dos proposiciones atómicas están unidas por
el conector “o” .
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS1. Humberto Acuña es el presidente de la región y Carlos
Uriarte es director regional de salud
2. Luis ayudo en sala de operaciones y fue de gran ayuda
3. Teresa es Ingeniera o Arquitecta
4. Los sistemas electrónicos son reparados o cambiados todos.
5. Hoy entregan el premio nobel de medicina y premian a Sandra
6. Hoy hacen el trasplante y salvan al paciente
7. Si Yolanda dona sus corneas entonces Vanesa podrá ver
8. Si le realizan la diálisis entonces vivirá.
9. Terminaré mis estudios si y sólo si me dedico a ellos.
10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio mucho.
¿QUÉ CREES QUE SON?
1. ‘La realidad es duración’ (Bergson).
2. ‘La materia se mueve en un ciclo eterno’ (Engels).
3. ‘Las condiciones de posibilidad de la experiencia en general son al mismo tiempo las de la posibilidad de los objetos de la experiencia’ (Kant).
4. ‘Considera bien quién eres. Ante todo, un hombre, es decir, un ser para el que nada existe más importante que su propia capacidad de opción’ (Epicteto).
5. ‘Filosofar (...) es el extraordinario preguntar por lo extra-or-dinario’ (Heidegger).
6. ‘Nunca filósofo alguno ha demostrado algo. Toda pretensión es espuria. Lo que tengo que decir es simplemente esto: los argumentos filosóficos no son deductivos, por lo tanto no son rigurosos, por lo que nada prueban; sin embargo, tienen fuerza’ (F.Waismann).
7. La ciencia y la religión son, ambas, vías respetables para adquirir creencias respetables, no obstante tratarse de creencias que son buenas para propósitos muy diferentes (R. Rorty).
FILOSOFEMAS
CONCLUSIÓN
PROPOSICIÓN
ORACIÓN ASEVERATIVA
VERDADERA
FALSA
Es una
Puede ser
CONECTIVOS LÓGICOS
► Los conectivos lógicos son, la negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional.
► A continuación se da una tabla en la que se da la expresión gramatical y el nombre del conectivo que representa:
Conectivo Nombre
No Negación
O Disyunción inclusiva
Disyunción exclusiva
y Conjunción
si…entonces Condicional
Si y sólo si Bicondicional
SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONESPara simbolizar cualquier proposición es necesario saber como se simbolizarán las proposiciones simples y los conectivos. A las proposiciones simples las simbolizaremos con letras del abecedario:
a, b, c, … , p, q, r
El nombre y símbolo de los conectivos se da en la tabla siguiente: Conectivo Símbolo Nombre
No ⌐ o Negación
O V Disyunción inclusiva
O ∆ Disyunción exclusiva
y ^ Conjunción
si…entonces Condicional
Si y sólo si Bicondicional
EJEMPLOS
1. La gripe A(H1N1) es una pandemia
En este ejemplo la proposición simple es: La gripe AH1N1 es una pandemia, luego podemos proceder de la forma siguiente:
p=La gripe AH1N1 es una pandemia
Y la simbolización para la proposición, al utilizar el símbolo correspondiente para el conectivo no, es:
⌐p
Es importante tener presente que la negación siempre antecede a la proposición simple al hacer simbolización.
2. El médico no construye un diagnóstico a partir de una serie de observaciones q= El médico construye un diagnóstico a partir de una serie de observaciones
Luego la simbolización es: ⌐q
3. Teresa es enfermera o Médico
r= Teresa es enfermera s= Teresa es médico
Luego la simbolización es:
r ν s
4. Hoy hacen el transplante y salvan al paciente
j= Hoy hacen el transplante k=hoy salvan al paciente
La simbolización es: j ^ k
5. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el examen
L=Yolanda es estudiosa
M=Yolanda pasará el examen
La simbolización es: L→M
6. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa
p=terminaré rápido q=me doy prisa
La simbolización es: p q
7. Si 3 es mayor que 2 y 2 es mayor que cero entonces 3 es mayor que cero
a=3 es mayor que 2 b=2 es mayor que cero
c=3 es mayor que cero
La simbolización es: (a ^ b) c
8. NO OCURRE QUE ALEJANDRA SEA ENFERMERA Y ARQUITECTA D=ALEJANDRA ES ENFERMERA E=ALEJANDRA ES ARQUITECTA LA SIMBOLIZACIÓN ES: ⌐ (D ^ E)
Observación. Siempre que aparezca la expresión “no ocurre que” indica que en la simbolización la negación antecede a los paréntesis y dentro de ellos se debe incluir la simbolización de la proposición restante.
Observación. Siempre que aparezca la expresión “no ocurre que” indica que en la simbolización la negación antecede a los paréntesis y dentro de ellos se debe incluir la simbolización de la proposición restante.
9. Si estudio mucho y asisto a clases entonces no reprobaré el examen y pasaré la materia
F=estudio mucho G=asisto a clases H=reprobaré el examen I=pasaré la materia La simbolización es: (F^G) (⌐H ^ I)
Con el fin de ahorrar paréntesis es importante considerar la fuerza o jerarquía de de los conectivos. A continuación se dan los conectivos de menor a mayor fuerza:
a) ⌐ν b) ν c) ^ d) e) Como se observa el más débil de todos es el conectivo “no” y el más fuerte de ellos es el conectivo “si y sólo si”.
Con el fin de ahorrar paréntesis es importante considerar la fuerza o jerarquía de de los conectivos. A continuación se dan los conectivos de menor a mayor fuerza:
a) ⌐ν b) ν c) ^ d) e) Como se observa el más débil de todos es el conectivo “no” y el más fuerte de ellos es el conectivo “si y sólo si”.
A partir de la fuerza o predominancia de los conectivos, las proposiciones se clasifican de la siguiente forma:►Se les llama negativas a las proposiciones en donde predomina el conectivo “⌐” “ b ”►Se les llama disyuntivas a las proposiciones en donde predomina el conectivo “ν”► Se les llama conjuntivas a las proposiciones en donde predomina el conectivo “^”.► Se les llama condicionales a las proposiciones en donde predomina el conectivo “”.► Se les llama bicondicionales a las proposiciones en donde predomina el conectivo “”.
I. Indica cuáles de las siguientes expresiones, son proposiciones o no proposiciones:
1.La guerra y la paz. 2.17x = 2x + 75 3.Chimbote está entre Trujillo y Casma.4.El hombre es un ser racional. 5.Ella estudia en la Universidad Señor de Sipán.6.Francisco Bolognesi murió en Arica.7.Toda enfermera tiene vocación.8.¿Cuántos años durará mi carrera?9.¡Hace calor!10.“Trujillo tierra de la eterna primavera”.
II. Indica si las siguientes expresiones son proposiciones atómicas o compuestas. Explica ¿Por qué?1. La tierra es el planeta azul, sin embargo el sol es un astro que tiene
luz propia.2. Los dragones tenían respiración branquial.3. Si en el planeta Marte hay atmósfera, entonces la lluvia es oscura.4. La crisis mundial es un fenómeno económico, sin embargo es
controlable si todos los países desarrollados apoyan a los de economías débiles.
5. No hay libros en el cajón del estante.6. El número 11 no es divisible por 2.7. La cantuta es la flor nacional del Perú, lo mismo que el gallito de las
rocas es el ave representativa del Perú.8. Dos pares ordenados son iguales sí y solo sí sus elementos
correspondientes son iguales.9. La luna es una estrella, es una estrella que tiene luz propia.10.No es verdad que la región Lambayeque está ubicada en el norte
del Perú.
III. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones1. Sipán fue una cultura en la región Lambayeque.2. SUNARP y SUNAT son instituciones privadas en el Perú.3. Existe al menos un habitante en la luna.4. 300 +250 = 7505. No es cierto que el Amazonas es un río.6. GPS es un instrumento para la ubicación geográfica.7. Los administradores llevan los libros contables de una
empresa.8. Entre dos números racionales, existen infinitos números
racionales.9. El homicidio es un delito culposo y es penado con cadena
perpetua.10.El tensiómetro sirve para medir la temperatura corporal.
TABLAS DE VERDAD, TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES
A toda proposición “A” se le asocia un valor de verdad, siendo este verdadera o falsa, lo cual se representa como:
Valor de verdad de A = V(A) = V = verdadero
Valor de verdad de A = V(A) = F = falso
también se acostumbre representarlo por:
V(A) = 1 = verdadero o V(A) = 0 = falsoEs importante considerar que en la proposición condicional A B , la A es el antecedente y B es el consecuente.
Es importante considerar que en la proposición condicional A B , la A es el antecedente y B es el consecuente.
TABLA DE VERDAD DE LA PROPOSICIÓN NEGATIVA ⌐A.
o
La negación, puede traducirse como:
No es cierto que ... Nadie que sea ... Jamás...
Es falso que... No es el caso que ... Es inconcebible que...
Nunca ... No es verdad que Es imposible que...
No ocurre que... Es absurdo que Es erróneo que ...
Es mentira que ... No acaece que... De ningún modo ...
No es el caso que... Es inadmisible que... Es incierto que...
Es refutable que... Es falaz que... En modo alguno...
Tabla de verdad de la proposición disyuntiva inclusiva A ν B .
o
A menos que 0 en todo caso
Excepto que 0 también
Salvo que 0 incluso
A no ser que 0 bien
Y bien o también Al menos uno de los dos .... o ....
0 sino Alternativamente
Otras formas de conexión que nos indi can una disyunción inclusiva son:
A B A ∆ B
V V F
V F V
F V V
F F F
Tabla de verdad de la proposición disyuntiva exclusiva A Δ B .
A B A ∆ B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
o
O...O... ... no equivale a ...
0 bien ... o bien ... No es cierto que...equivale a...
No es equivalente ... con ... 0 solo .... o solo ....
....a menos que solamente... ...salvo que únicamente...
....excepto que sólo.... ....o bien necesariamente....
....o exclusivamente.... ....no es idéntico a....
....no es lo mismo que... Salvo que .... o ....
Alguna formas de conecti vos a emplear son:
Tabla de verdad de la proposición conjuntiva A ^ B .
o
En nuestro lenguaje podemos emplear:
Pero Aún cuando No obstante Sin embargo Al igual que Aunque Además Tanto …. como …. Más aún A la vez Siempre ambos…. con….. También Incluso No sólo….sino también…. Es compatible con Así como A pesar de Así mismo Del mismo modo ….con …. los dos a la vez De la misma forma que
Tabla de verdad de la proposición condicional A B .
o
La manera de expresar la condicional en el orden antecedente-consecuente ("p → q" Implicación directa), son las siguientes:
Si p, entonces q p por tanto qSiempre que p entonces q
p por consiguiente q
p es suficiente para q p por ende qp implica q p por conclusión q i
Ya que p bien se ve que q Dado que p por eso q
En cuanto p por tanto q Porque p por eso q
Puede también expresarse en el orden consecuente-antecedente o Implica ción Inversa ("q ← p"): q si p q es implicada
para pq de modo que p
q siempre que p q cada vez que p q puesto que pq es necesario para p q en vista que p q porque pSólo si p, q Sólo cuando p, q Solamente porque p,
qq dado que p q ya que p q cada vez que pq a condición de que p
q dado que p q se concluye de p
q supone que p q sigue de p Únicamente si p, q
32
o
Tabla de verdad de la proposición bicondicional AB .
Observemos que el número de renglones de una tabla de verdad es 2n en donde n es el número de proposiciones simples que aparecen en la proposición compuesta.
Observemos que el número de renglones de una tabla de verdad es 2n en donde n es el número de proposiciones simples que aparecen en la proposición compuesta.
...siempre y cuando... Es suficiente para que suficiente sea
...es equivalente a... Es condición necesaria y suficiente para
...es lo mismo que... ...por lo cual y según lo cual...
...cuando y sólo cuando... ...cada vez que y sólo si...
Si y sólo si p, q ...si de la forma...
...siempre que y sólo cuando... .. .implica y está implicado por...
...es idéntico a... Siempre que ... y siempre que ...
También se suele emplear expresiones como:
Los signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad en las formulas.
Por ejemplo: p ν q ^ r es ambigua, pero asociando sus términos (p ν q) ^ r deja de ser ambigua y tiene sentido.
La otra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor jerarquía a los conectivos.
USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Definición 1. Una proposición compuesta es una Tautología si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es verdadero independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.Definición 2. Una proposición compuesta es una Contradicción si al construir su tabla de verdad el resultado en cada renglón es falso independientemente de los valores de verdad que tomen las proposiciones simples que intervienen.Definición 3. Una proposición compuesta es una Contingencia si al construir su tabla de verdad no resulta tautología ni contradicción.
ESQUEMAS MOLECULARES
Es la combinación de variables y conectivos lógicos asociados con signos de agrupación. Los cuales se verifican con las tablas de verdad.
En cada esquema molecular sólo uno de los conectivos es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho esquema.
EJEMPLOSCONSTRUIR LA TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS QUE SE DAN E INDICAR SI SE TRATA DE UNA TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA.
1. ⌐A ν B
A B ⌐A B ⌐AνB
1 1 0 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 0 1
Es una proposición disyuntiva en la que intervienen 2 proposicionessimples, luego la tabla está formada por cuatro renglones.
Por lo tanto es una contingenciaPor lo tanto es una contingencia
[( A B) ^ ⌐B ] ⌐A
Por lo tanto es una TautologíaPor lo tanto es una Tautología
A B [(AB) ^ ⌐B] ⌐A
1 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1
Es una proposición condicional y su tabla es la siguiente
pqpqp p q
V V V V F F F F F F V V
V F V V V F F F F V V V
F V F F F F V F F F V F
F F F V V V V F V V F F
1 3 2 5 4 R 9 6 8 7
Por lo tanto es una ContradicciónPor lo tanto es una Contradicción
Es una proposición disyuntiva exclusiva en la que intervienen 2 proposiciones simples, luego la tabla está formada así
EJERCICIOS
Verificar el valor de los siguientes esquemas moleculares usando tablas:
a) ((( p q) ^ r) ν (r ^ p))
b) ((p (q ν r)) ^ ((p r) ^ p) q));
c) ((⌐(p ^ q) r) ν p)
d) (⌐((⌐(p) q) ν r));
e) (⌐(p ν q) (⌐(p) ^ ⌐(q)))Formalizar el siguiente argumento y encuentre el valor de verdad: Me gusta el helado de fresa, pero también el de limón. Si hay sólo helado de chocolate lo comeré, a pesar de que no me guste. Por tanto, no comeré helado de fresa. Para formalizar el razonamiento dado, definimos las proposiciones atómicas p = me gusta el helado de fresa, q = me gusta el helado de limón, r = hay sólo helado de chocolate, s = comeré helado de chocolate, t = me gusta el helado de chocolate, u = comeré helado de fresa. La formalización se escribe, como: [ p ^ q ^ (r s) ^ ⌐ t ] ⌐ u
SI LA PROPOSICIÓN:[P ( Q R)] (S Q) , ES FALSA. DETERMINE LOS VALORES DE VERDAD DE “P”, “Q”, “R” Y “S”
[p (q r)] (s q)
F
V
F
V
[ V V
V
( V F )
EJEMPLO:
Por lo tanto los valores de las proposiciones son:p = V q = F r = V s = V
V ]
[ ]
F