ejercicios de grandville

8/18/2019 ejercicios de grandville

1/13

u

a

TALLER DE CALCULO INTREGRAL.

1. ∫5

10

X 2dx

√ x2 − 6

2.

9 − u2 ¿3 /2¿¿u

2

¿

∫0

π /2

¿

3. ∫01

dx x√ 25 − x2

4. ∫ dy

y2 √ y2 − 7

5. ∫√ y2 − 9

y dy

6. ∫√ x2 − 9 dx

x6

DESARROLLO:

1. ∫5

10

X 2dx

√ x2 − 6

u= x

a = √ 6 Aplica √ u2 − a 2

a2 = 6

Entonce :


2/13

u= asec z

du = asec z. tg z dz

dx= du

Entonce :asecz

¿¿

¿2 .asecz.tgzdz¿¿¿

∫5

10

X 2dx

√ x2 − 6=∫ u

2du

√ u2 − a 2=∫ ¿

a2se c

3 z dz= ¿a 2∫ se c 3 z dz

∫ ¿

!"i#e"o e inte$"a se c3 z dz

se c3 z dz= sec 2 z . sec z dz

se c3 z dz= secz .tagz −∫ secz. t g 2 z dz

secz.tagz −∫ secz (se c2

−1)dz

secz . tagz −∫ (sec 3 z− secz )dzse c

3 z dz= secz .tagz −∫ se c 3 z dz+seczdz

sec(¿ z+ tangz )

2 se c3 z dz= secz . tagz + ln ¿

sec(¿ z+tangz )

1

2 secz . tagz +ln ¿+c

se c3 z dz= ¿

Entonce e tiene:


3/13

x

sec(¿ z+tangz )

1

2 secz . tagz +ln ¿+c

a2 ¿

!a"a %acilita" el &e a""ollo e epa"an

x2 − 6

x√ ¿(¿¿)− 3 ln √ 6 +c x√ x2 − 6

2 +3 ln ¿

√ 6 ¿2 secztanz

2

¿

√ 6 ¿2 x√ 6

√ x2 − 6√ 6

2

¿

√ 6 ¿2¿¿

x√ x2 − 6¿

√ 6 ¿2 ¿¿

√ 6 ¿2 ln | secz +taz|

2

¿

√ 6 ¿2ln x

√ 6+

√ x2 − 6√ 6

2

¿

√ 6 ¿2 x√ x2 − 6

√ 62

1

¿

x x2 − 6


4/13

3u

x2 − 6

x√ ¿(¿¿)+c

x√ x2 − 62

+3 ln ¿

x2 − 6

x√ ¿

(¿¿)∫5

10

❑

x2dx

√ x2− 6= ¿ x

√ x2 − 62 +3 ln ¿

∫5

10

¿

1 0 2 − 610 √ ¿5 2 − 65 √ ¿

¿¿

(¿¿)−5 √ 5 2 − 6

2 +3 ln ¿

¿10 √ 1 0 2− 6

2 +3 ln ¿

¿42.29

2.

9 − u2 ¿3 /2¿¿u

2

¿

∫0

π /2

¿


5/13

√ 3 2− u2 ¿3¿¿

u2du¿

¿∫

¿

√ 3 2 − u2 →u = 3 sen β

u3

= sen β ≫ β= sen−1 (u3

)

du3

= cos β dβ

3 senβ ¿2

.3 cosβ dβ¿3 senβ ¿2

¿¿3

3 2 − ¿√ ¿¿¿¿

∫ ¿

3 2 − 3 2 β= 3 2 (1 − sen 2 β)

¿9 (co s 2 β)

√ 9 co s 2 β ¿3¿¿

se n2 β . cosβdβ

¿27 ∫ ¿

27

27 ∫se n

2 β cosβ dβ

cos3 β dβ

∫ ta n 2 β dβ


6/13

5x

∫ sec 2 β dβ− ∫ 1 dβtangβ +c− β

u√ 9 − u2 − arcsen

u3 +c

π 2

¿¿2¿

0 ¿2¿

9 −(¿− arc sen0

3 ¿)

√ ¿9 − ¿√ ¿π 2

¿π 2 ¿2

¿9 − ¿2 √ ¿

π ¿

3. ∫0

1

dx

x√ 25 − x2

cosθ =√ 25 − x2

5

√ 25 − x2

= 5cos θ

senθ = x5

→ x= 5 senθ


7/13

∫ 5 cosθ dθ5 senθ 5 cosθ =∫ dθ5 senθ

=1

5 ∫ 1

senθ dθ =∫ cscθdθ

1

5 ln (cscz +ctgz )+c

1

5 ln (5 x+√ 25 − x

2

x )+c1

5 ln (5 +√ 25 − x2 x )+c

Entonce e tiene:

∫0

1

dx

x√ 25 − x2=

1

5ln (5 +√ 25 − x2 x )+c∫0

1

❑

[15 ln (5 +√ 25 − 1 21 )+c]−[ 15 ln (5 +√ 25 − 0 20 )+c]

4. ∫ dy y

2 √ y2 − 7


8/13

yx

√ 7 ¿2¿

y2 − ¿

y2 √ ¿dy

¿∫ ¿

√ 7 ¿2 → y= √ 7 sec z y

2 − ¿

y√ 7

= sec z

dy√ 7

= sec z tan z dz

√ 7 ¿2¿

√ 7 secz ¿2− ¿¿

√ 7 secz ¿2 √ ¿¿

√ 7 secz tan z dz¿

∫ ¿

√ 7 ¿2 (se c 2 z− 1 )√ 7 ¿2 = ¿

√ 7 ¿2 se c 2 z+¿¿

√ 7 ¿2 ta n 2 z¿¿


9/13

√ 7 ¿2 ta n 2 z¿¿¿√ ¿

z¿2

¿√ 7 sec ¿¿

sec z tan z dz¿

√ 7 ∫ ¿

√ 7 ¿3¿

√ 7 ¿2¿¿¿

√ 7¿

√ 7 ¿2¿¿1

¿

√ 7 ¿2¿¿1

¿

√ 7 ¿2¿¿ y¿

√ 7 ¿2

y2 − ¿√ ¿¿¿


10/13

y

P

3

¿ √ y2 − 7

7 y +c

5. ∫ √ y2 − 9 y

dy

∫ √ y2 − 3 2

y dy

3 sec z ¿2− 3 2¿¿

√ ¿¿

∫ ¿

3 2 se c2 − 3 2= 3 2 (se c2 z− 1 )

¿3 2 ta g 2 z

∫ √ 32ta g

2 z

3 sec z .3 sec z tan z dz

3 ∫ tan z . tan z dz= 3 ∫ tan 2 z dz∫ sec 2 z−∫ dz¿

3 ¿3 tanz − 3 z

y= 3 secz

d y= 3 sec z tan z dz

y= sec z


11/13

xP

3

3 sen zcos z

− 3 z

√ y2 − 3 2

y3 y

3

√ y2 − 3 2

y3

y

− 3 arcsec y3

√ y2

− 32

− 3 arcsec y3

6. ∫ √ x2− 9 dx x6

3 secβ ¿2 − 3 2¿

dx¿

3 secβ ¿6¿¿

√ ¿¿

∫ √ x2 − 3 2 dx x

6 =∫ ¿

x= 3 secβ

dx= 3 secβtanβ dβ

x= sec


12/13

2 se c2 β− ¿3 2 = 3 2 (sec 2 β− 1 )

3 ¿

¿3 2 (ta g 2 β)

3 secβ ¿6¿¿

√ 3 2 tan g2 β¿

∫ ¿

3 2

36

∫ tangβ

se c6

β. secβ tanβ dβ

1

3 4∫ ta n

2 β

se c2 β

dβ = 1

3 4∫

sen2 β

co s2 β

1

co s5 β

dβ

1

3 4∫ sen 2 β cos 3 β dβ

∫ sen2

β cos2

β cos β dβ

∫ sen 2 β(1 − sen 2 β)cos β dβ∫ (se n 2 β− se n 2 β)cos β dβu= senβ

du = cosβ dβ

1

3 4 ∫ (u2

− u4

)dβ

1

3 4 (se n3 β

3 − se n

5 β

5 )+c


13/13

√ x2 − 9 x

¿3

¿√ x2 − 9

x ¿5

¿(¿5 ¿)+c¿

(¿3 ¿)−¿¿

1

3 4 ¿

x2 − 9 ¿3 /2

¿¿ x3

¿ x

2 − 9 ¿5 /2¿

¿ x5

(¿¿5 ¿)+c¿¿¿

1

3 4 ¿

x2

− 9 ¿3

/2

¿¿¿

x2 − 9 ¿

3

2

¿¿¿

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