6.2  Problemas de ecuaciones de primer grado

Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones

Leer y comprender el enunciado

Designar la incógnita

Plantear la ecuación

Resolver la ecuación

Discusión e interpretación de los resultados

Problema de edades

Problema de mezclas

Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 € el litro y la segunda de 7,2 € el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a 7 € el litro?

1. Planteamiento        Clase A Clase B MezclaPrecio por litro en €   6   7,2   7Número de litros   x   60 - x   60

2. Ecuación

        6x + 7,2 ( 60 - x ) = 7.60 =>    x = 10

3. Solución 

Clase A   =>   10 litros   Clase B   =>   60 - 10 = 50 litros

Problemas con soluciones

Ecuaciones de primer grado

1. Ecuaciones de primer gradoUna ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno.

Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión.

Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación:

(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)

a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión

x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4

x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4

b) Trasponemos los términos:

x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;

c) Reducimos términos semejantes:

6x = -4 ;

d) Dividimos por 6:

x = -4/6

e) Simplificamos por 2:

x = -2/3

1.1. Ecuaciones literales de primer grado

Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla.

Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)

Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y trasponemos términos:

a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a

b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b

c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b

d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):

(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)

Por lo tanto:

1.2. Planteo de ecuaciones de primer grado

Le pregunté a José su edad y me contestó que tiene el sucesor del doble de la edad de Andrés. Si Andrés tenía 34 años cuando se casó y esto fue hace 5 años, ¿Qué edad tenía José entonces?

¿Cómo resolvemos este y otros problemas?

Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado en una expresión algebraica. Para ello a continuación te entregamos una lista de transformaciones:

El doble de a.........................................................2a El triple de b..........................................................3b El cuádruplo de c..................................................4c El cuadrado de d...................................................d2 El cubo de e..........................................................e3 El antecesor del N° entero f..................................f – 1 El sucesor del N° entero g ...................................g + 1 El cuadrado del doble de h...................................(2h)2 El doble del cuadrado de m.....................................2• m2

Si n es un número natural:

Un número par......................................................2n Un número impar .................................................2n – 1 o 2n + 1 Dos números consecutivos....................................n y n +1 Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n + 2 Dos números impares consecutivos......................2n – 1 y 2n + 1

Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te sugerimos visitar la página. Guía de ecuaciones

Ejemplos de planteo de ecuaciones:

Ejemplo 1:

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9.

Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:

(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:

x2 + 2x + 1 – x2 = 9

2x + 1 = 9

x = 4;

Por lo tanto los números son 4 y 5.

Ejemplo 2:

Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?

Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:

x + 2x + 1 = 97

3x = 96

x = 32

Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65.

Respuesta: la edad del menor es 32.

Sitios sugeridos

Visualización productos notables

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/visualizaciones/productos_notables_visualizaciones.htm

Desarrollo productos notables

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/productos_notables_desarrollo.htm

http://www.rmm.cl/usuarios/joliv/doc/200511112241000.ALGEBRA.ppt?PHPSESSID=4a43be62adc6648d54387e6bcab17159

http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Latex/node4.html Guía de ecuaciones