PRIMERA PARTE. SELECCIN NICA (Valor 32 puntos)

1. Un factor de la factorizacin completa de ( ) ( )2 223 1 2x x x+ es A) 4 25 1x x+ +

B) 2 5 1x x+ +

C) 2 1x x+ + D) 4 1x +

2. Un factor de la factorizacin completa de 4 210 9x x + es

A) 2 9x

B) 3x C) 9x D) 3x

3. Al racionalizar el denominador de la expresin 2

xhx h x

y simplificar se obtiene

A) ( )2x x h x B) ( )2x x h x + C) ( )2x x h x + D) ( )2x x h x

4. Si 4, al simplificar la expresin ( )24 4

4x x

x

+

se obtiene

A) ( )24 1x + B) 2 8x C) 3x D) 4x

5. Si 1, el resultado de la operacin 3 2 11 1

x x

x x

++

es

A) 1 B) 0 C) 5 1x +

D) 11

x

x

+

6. Si , 0 y a 0, al simplificar 2 2

1 1x a

x a

se obtiene

A) ( )1

ax x a+

B) ( )1

ax x a

+

C) ( )ax x a + D) ( )ax x a+

7. Para un nmero real positivo k, la solucin de la ecuacin ( )2 3k x x+ = es

A) 3 21

kk

+

B) 3 21

kk

+

+

C) 1

kk+

D) 11 k+

8. Una solucin de la ecuacin 23 5 8x x = es

A) 83

B) 38

C) 83

D) -1

9. Una solucin de la ecuacin 23 5 7 0x x + = es

A) 5 1096

+

B) 5 1096

+

C) 5 1093

D) 5 1093

+

10. La cantidad de soluciones positivas de la ecuacin 4 3 22 8 4 0x x x x+ = es

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

11. La cantidad de soluciones racionales distintas de la ecuacin 4 3 2 2x x x x = es

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

12. Si el conjunto solucin de 2 03x a

x x

=

+ es vaco entonces el valor de a es

A) 3 B) 1 C) 0 D) -3

13. El conjunto solucin de 5 5xx x

=

es

A) { } B) { }0 C) { }5 D) { }10

14. El conjunto solucin de la ecuacin x x + =2 12 3 0 es

A) 13

1,

B) { }1 3, C) 1 1

3,

D) { } 1 3,

15. De las siguientes ecuaciones:

I. 2 1 3x + =

II. 1 3x =

Cules tienen solucin en ?

A) Ambas B) Ninguna C) Solamente I D) Solamente II

16. El conjunto solucin de la ecuacin 2 4 3x = es

A) { }13, 13 B) { }13, 13 C) { }13 D) { }5

17. El conjunto solucin de 3 31 x x = es

A) 12

B) 12

C) 3 42

D) 3 42

18. De las siguientes ecuaciones

I. 3 2 4 1x =

II. 3 2 1 4x + =

Cules tienen solucin en ?

A) Ambas B) Ninguna C) Solamente I D) Solamente II

19. Si la ecuacin 3 2 12x a +

= tiene una nica solucin real entonces el valor de a es

A) -2 B) -1 C) 1 D) 2

20. Una solucin de ( )23 5 3x = es

A) 65

B) 56

C) 65

D) 56

21. El conjunto solucin de ( ) + > +2 3 2 1x x es

A) ] [, 0 B) ] [, 4

C) +

4

5,

D)

,

45

22. Si a b< el conjunto solucin de ax bx a< + es

A) ,aa b

+

B) ,ab a

+

C) , aa b

D) , ab a

23. El conjunto solucin de 23 5 2 0x x + > es

A) 1 , 23

B) 12,3

C) ] [ 1, 2 ,3

+

D) ] [1, 2,3

+

24. Si la inecuacin 2 3 1 0ax x+ > no tiene soluciones reales entonces el valor de a puede ser cualquier nmero

A) negativo B) positivo

C) mayor que 94

D) menor que 94

25. El conjunto solucin de la inecuacin ( ) ( )x x x x2 2 22 2 2 3 0 es A) [ ]1 3, B) ] ] [ [, 1 3, +U C) ] [ ] [, 1 3, +U D) ] ] { } [ [, 1 1 3, +U U

26. Si 1x = es solucin de ( ) ( )3 22 2 1 0px x < entonces se puede asegurar con certeza que p es

A) menor que 2 B) mayor que 2 C) menor que -2 D) mayor que -2

27. El conjunto solucin de la inecuacin 53

41x x

entonces 4y >

II. Si 4y < entonces 4y >

Cules de ellas son verdaderas?

A) Ambas B) Ninguna C) Solamente I D) Solamente II

32. La desigualdad 3 4 2x < es equivalente a

A) 23

2< 2 x < 2

D) x < 23

x > 2

Fin de la primera parte

Universidad de Costa Rica

Instituto Tecnolgico de Costa Rica

I EXAMEN PARCIAL 2013

PRECLCULO DCIMO AO

NOMBRE COMPLETO: _________________________________________________

CDIGO: ____________________________

COLEGIO: _______________________________________________________

SEGUNDA PARTE. DESARROLLO (Valor 18 puntos. 6 puntos cada uno.)

Resuelva en forma clara y ordenada cada uno de los ejercicios que se le plantean a continuacin.

Deben aparecer todos los procedimientos realizados para llegar a la respuesta.

PREGUNTA Puntos obtenidos

1

2

3

TOTAL

1. Resuelva la siguiente operacin. Exprese el resultado en su forma ms simple.

3 2

2 2 36 2 1 2 2 2

6 4 4 1x x x x x

x x x x x

+ +

+ + +

2. Una piscina de forma rectangular est rodeada por una acera de ancho uniforme cuya rea

es 400 m2. Si las dimensiones de la alberca son 20 m por 55m, determine el ancho de la acera.

3. Determine el conjunto de todos los nmeros reales que son solucin de la siguiente

inecuacin:

2 33 2

x x

x x

++

--FIN DE LA PRUEBA--

SOLUCIN DE LA PRIMERA PARTE

1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 B 7 A 8 A 9 B 10 B 11 C 12 D 13 A 14 C 15 D 16 A

17 C 18 C 19 D 20 A 21 D 22 A 23 C 24 D

25 D 26 D 27 A 28 B 29 D 30 C 31 D 32 A

SOLUCIN DE LA SEGUNDA PARTE

1. Resuelva la siguiente operacin. Exprese el resultado en su forma ms simple.

3 2

2 2 36 2 1 2 2 2

6 4 4 1x x x x x

x x x x x

+ +

+ + +

( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

2

2 12 3 23 2 1 1 1

2 2 2 4 4 41 1 1

x x xx x

x x x x x x

x x x

x x x

+ +

+ + + + +

+ += + = =

+ + +

2. Una piscina de forma rectangular est rodeada por una acera de ancho uniforme cuya rea

es 400 m2. Si las dimensiones de la alberca son 20 m por 55m, determine el ancho de la acera.

Sea k el ancho de la acera. Las dimensiones, en metros, del rectngulo que se determina al

considerar la piscina y la acera son 2 20k + y 2 55k + , por lo tanto, el rea de la acera es:

( )( )2 20 2 55 20 55 400k k+ + = Al resolver esta ecuacin se obtiene:

( ) ( )

2

2

4 150 400 02 75 200 02 5 40 0

52

k kk kk k

k

+ =

+ =

+ =

=

Por lo tanto, el ancho de la acera es 2,5 m.

3. Determine el conjunto de todos los nmeros reales que son solucin de la siguiente

inecuacin:

2 33 2

x x

x x

++

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

2 2

2 3 03 22 3

02 3

2 3 2 30

2 35 2 1

02 32 1 02 3

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x

x x

x

x x

+

+

+

+

+ + + +

+

+

+ +

Al analizar los signos de los factores se obtiene que el conjunto solucin es: ] [ 1, 3 ,22