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Cap tulo 1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA1.1.1.1.1.

CONCEPTOSPRODUCTOS NOTABLES2

Estos son los productos mas empleados para la solucin de expresiones algebricas: o a 1. (a + b) = a2 + 2ab + b2 2. (a b) = a2 2ab + b2 3. (a b) = a3 3a2 b + 3ab2 b3 4. (a b) = a3 3a2 b + 3ab2 b33 3 2

5. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 6. (x + a) (x b) = x2 + (a b) x ab 7. (x a) (x + b) = x2 + (b a) x ab 8. (x a) (x b) = x2 (a + b) x ab

EJEMPLO 1: Hallar el producto notable de la siguiente expresin: (x + 1)(x 2). o SOLUCION: Vemos que esta expresion cumple las condiciones para el producto notable de la tabla, en este caso el inciso 6. Donde a = 1 y b = 2; lo aplicamos y nos da como resultado: (x + 1)(x 2) = x2 + (1 2)x (1)(2) (x + 1)(x 2) = x2 x 2

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CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

EJEMPLO 2: Hallar el producto notable de la siguiente expresin: (9y 2 2x3 )2 o SOLUCION: Este se pararece al producto de un binomio cuadrado perfecto que se encuentra en la tabla, en el inciso 2, donde a = 9y 2 y b = 2x3 , lo aplicamos y tenemos como resultado: (9y 2 2x3 )2 = (9y 2 )2 2(9y 2 )(2x3 ) + (2x3 )2 9y 2 2x32

= 81y 4 36x3 y 2 + 4x6

1.1.2.

FACTORIZACION DE POLINOMIOS

1. x2 y 2 = (x + y) (x y) 2. x3 + y 3 = (x + y) x2 xy + y 2 3. x3 y 3 = (x y) x2 + xy + y 2 EJEMPLO 1: Factorizar el siguiente binomio 27 + 125a3 . SOLUCION: Aplicamos la diferencia de cubos que esta en la tabla del inciso 2 ya que este es paracido a la expresin dada y adems 27 y 125a tienes ra o a ces cbicas exactas. apliu cando y efectuando: 27 + 125a3 = 33 + (5a)3 = (3 + 5a) 32 (3)(5a) + (5a)2 Por lo tanto, 27 + 125a3 = (3 + 5a) 9 15a + 25a2 EJEMPLO 2: Factorizar el siguiente binomio (a b) c2 . SOLUCION: Aplicamos la diferencia de cuadrado que esta en la tabla del inciso 1 ya que este es paracido a la expresin dada y adems (a b)2 y c2 tienes ra o a ces cuadradas exactas. aplicando y efectuando: (a b) c2 = [(a b) + c] [(a b) c] Por lo tanto, (a b) c2 = (a b + c) (a b c).2 2 2

1.1. CONCEPTOS

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1.1.3.

FRACCIONES ALGEBRAICA

1. a (b + c) = ab + ac 2.a+b c

3. 4.2x1 3

a ba b c d

+ =

c d a b

=

ad+bc bd c d

=

a c

+

b c

=

ac bd 5(x+1) 8

EJEMPLO 1: Resolver la ecuacin o SOLUCION:

x+13 24

= 3x +

El m.c.m de 3,24 y 8 es 24. Dividiendo 24 entre 3,24,1 y 8 y multiplicando lo cocientes por el numerador respectivo, tendremos: 8 (2x 1) (x + 13) = 24 (3x) + 15 (x + 1) 16x 8 x 13 = 72x + 15x + 15 16x x 72x 15x = 15 + 8 + 13 72x = 36 x = 36 = 1 72 2 Por lo tanto, x = 1 . 2 3 EJEMPLO 2: Resolver la ecuacin 2x+1 o SOLUCION: El m.c.m de los denominadores es 4x2 1 por que 4x2 1 = (2x1)(2x+1) y aqu ve mos que contiene a los otros dos denominadores. Dividiendo por (2x 1)(2x + 1) entre cada denominador y multiplicando por el numerador respectivo, tendremos: 3 (2x 1) 2 (2x + 1) (x + 3) = 0 6x 3 4x 2 x 3 = 0 6x 4x x = 3 + 2 + 3 x=8 Por lo tanto, x = 8

2 2x1

x+3 4x2 1

=0

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CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

1.1.4.

POTENCIACION Y RADICACION Si m = n 1, xmn , Si m > n = 1 , Si m < n xnm1 xn

1. xm xn = xm+n

7.

xm xn

2. (xm )n = xmn 3. (xy)n = xn y n 4. x n = 5. 6. nm 1

8. xn = 9.x ym

n

=

xn yn

n

x

10. x n = 11. x=mn n

n

m xm = ( n x)

xy = n

n xnyn

x y

=

nx ny

12. x0 = 1 EJEMPLO: 1 Simplicar la expresin 2 2ab2 + 18a3 (a + 2b) 2a o x= x SOLUCION: Simplicando en primera instancia, los radicales 2 2ab2 = 2b 2a 18a3 = 2 32 a2 a = 3a 2a Entonces, operando 2b 2a + 3a 2a a 2a 2b 2a = 2a 2a Por lo tanto, 2 2ab2 + 18a3 (a + 2b) 2a = 2a 2a EJEMPLO:2 Racionalizar el denomiandor de 1 3 3 SOLUCION: Recurdese que x3 + y 3 = (x + y) (x2 xy + y 2 ); entonces, e3+ 4

m

1.1. CONCEPTOS 1( 3 9 3 12+ 3 16) 3+ 3 4)( 3 9 3 12+ 3 16) 3 9 3 12+ 3 16 7

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1 3 3+ 3 4

=

(

3

=

Por lo tanto, 1 = 3 33+ 4

3

9 3 12+ 3 16 7

1.1.5.

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Para la solucin de ecuaciones de primer y segundo grado slo basta o o con los conocimientos previos sobre la factorizacin de polinomios,los o productos notables; esto incluye la aritmtica bsica, exponenciacin y e a o radicacin de trminos. o e En algunos casos se hace uso de la FORMULA CUADRATICA que se expresa de la siguiente manera: Si ax2 + bx + c = 0, entonces x= b b2 4ac . 2a

Donde x tiene dos ra ces o sea dos soluciones. Veamos algunos ejemplos: EJEMPLO 1: Hallar el valor de x para la siguiente ecuacin lineal: x + 5 = 2x o7 2

SOLUCION: Lo primero se deben colocar la variables x es un solo lado de la igualdad y las constantes en el otro lado. x + 5 = 2x 7 2 7 2

2x x = 5

Ahora se suman los trminos semejantes; se aplica la operacin respectie o va con las constantes, en este caso suma de fraccionarios. 3x = 17 6 Por ultimo multiplicamos en ambos lados de la igualdad por el inver so multiplicativo de 3, osea, 1 ; con el n de obtener el valor de x. 3

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CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

1 ( 1 ) (3x) = ( 17 ) ( 3 ) 3 2

x=

17 6 17 . 6

Rta: el valor que satisface la ecuacin es x = o EJEMPLO 2:

Hallar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuacin de seguno 2 do grado: (x 6)(x 7) = 2x + 1 SOLUCION: Comenzamos con efectuar la multiplicacin de los dos binomios y luego o colocamos todos los trminos de un solo lado de la igualdad. e (x 6)(x 7) = 2x2 + 1 x2 13x + 42 = 2x2 + 1 x2 13x + 42 + 2x2 1 = 0 3x2 13x + 41 = 0 Ahora aplicamos la frmula cuadrtica para hallar sus ra o a ces: (13) (13)2 4(3)(41) x = 2(3) = = = 13 169492 6 13 323 6 13i 323 6

Por tanto las soliciones son complejas y no reales x =

13 6 13 6

+ 1 i 323 6 1 i 323 6

1.1. CONCEPTOS

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1.1.6.

DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

1. Si a < b y b < c, a < c 2. Si a < b a + c < b + c 3. Si a < b y c > 0, ca < cb 4. Si a < b y c < 0, ca > cb |x| = a signica que x = a o x = a |x| < a signica que a < x < a 5. Si a > 0, entonces |x| > a signica que x > a o x < a EJEMPLO 1: Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la u desigualdad 3x + 8 > 3x + 2. SOLUCION: Como lo hemos comentado antes, debemos de colocar todos los terminos que contengan a x en un solo lado de la desigualdad y lo mismo con las constantes. 3x 3x > 2 8 0>6 Esta expresin se cumple, por consiguiente es una desigualdad absoluta o y se verica para cualquier nmero real. Entonces: u {0 > 6} = (, ). La grca de este intervalo, como ya lo ha podido establecer el lector, a correspondiente a toda la recta real. EJEMPLO 2: Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la u desigualdad |x 3| = 5.

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CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

aplicando el teorema 5 y de acuerdo con el simbolo de la desigualdad en este caso =, aplicamos |x| = a signica que x = a o x = a, donde a = 5. Aplicamos y resolvemos: SOLUCION: Como 5 > 0, entonces: |x 3| = 5 x 3 = 5 x 3 = 5. Por lo tanto, x = 8 x = 2. Entonces: {X |x 3| = 5} = {X x = 2 x = 8} = {2, 8}.

1.1. CONCEPTOS

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Factorizacin de Polinomios oEn los ejercicios del 1 al 9, seleccionar la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. En la expresin x2n + bxn + c, el exponente del cuadrado perfecto o es: a) b) c) d) Siempre un nmero par. u Siempre un nmero impar. u Puede ser par o impar. Nada se puede armar.

2. Si multiplicamos la suma de las ra cuadradas de dos expresiones ces algebraicas por la diferencia de las mismas, obtenemos: a) b) c) d) Un trinomio cuadrado perfecto. Una diferencia de cuadrados. Una suma al cuadrado. Una diferencia de cuadrados.

3. Los trminos de una diferencia de cuadrados: e a) b) c) d) Debe ser monomios. Puede ser dos polinomios cualquiera. Deben ser un monomio y un binomio. Deben ser dos binomios.

4. Para factorizar a b como una diferencia de cubos: a) b) c) d) Puede hacerse en el conjunto de las racionales, siempre. Slo puede hacerse en los reales. o Puede hacerse en los enteros, siempre. No pueden hacerse en ningn conjunto. u

5. Acerca de la expresin a6 b6 podemos armar: o a) b) c) d) Slo es factorizable como diferencia de cuadrados. o Slo es factorizable como diferencia de cubos. o Es factorizable como diferencia de cuadrados y cubos. No es factorizable.

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CAP ITULO 1. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE ALGEBRA

En los ejercicios del 10 al 55 factorizar completamente la expresin o en el conjunto de los nmeros enteros: u10. 4a2 x2 25x2 11. m7 8m5 + 10m3 12. x4 y 4 13. a2 + 12abx + 36b2 x2 14. (a b)2 (x y)2 15. (x + y 8)2 (x 8)2 16. 1 x2 2xy y 2 17. a6 + 729t3 18. a3 + b3 + a + b 19. a2 9b2 + a + 3 20. 84y 3 105y 2 + 21y 21. (x + 3)2 7 (x + 3) + 12 22. x5m x3m b4m 23. 9a3 12a2 b + 4ab2 24. x3 + x2 4x 4 25. 25x2 80xy + 64y 2 26. 9a2 6a + 1 27. 27a3 + 8b3 28. x2 + 2xy + y 2 xy + yz 29. a2 + 2ab + b2 a3 b3 30. x2 + 2yx + y 2 xz yz 31. a2 + 2ab + b2 a3 b3 32. 81a8 64b12 33. n2 + n 42 34. x6 4x3 480 35. 32n 3n + 20 36. 4 4 3n + 32n 37. 3p2 3p 18 38. a10 a8 + a6 a4 39. 3a2 b2 12a2 bc + 18ab2 c 40. 32n + 2 3n + 1 41. a9 a6 42. 8x6 + 7x3 1 43. a3 9b2 27b3 + a2 44. 2x2 xy n y 2n 45. x4 + 3x2 4 46. a4 b4 + 4a2 b2 96 47. x3 y 3 + x y 48. x2m+2 x2 y 2n 49. x xy + 1 y