ejercicios algebra-lineal

71

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ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES

1.- encuentre las condiciones para a y b de forma que el sistema tenga una única solución

1 2

1 2

ax bx c

ax bx c

1 2

1 2

1

1

si solo si

ax bx c

ax bx c

ax c

cx a o

a

2.- encuentre las condiciones para a, b y c de forma que el sistema tenga un número de infinitas soluciones

1 2

1 2

ax bx c

bx ax c

1 2

1 2

ax bx c b

bx ax c a

2

1 2

2

1 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

si solo si 0

abx b x c

abx a x c

b x a x c

b a x c

cx b a

b a

3.- encuentre las condiciones para a, b y c de forma que el sistema tenga un número de infinitas soluciones

1 2

1 2

ax bx c

bx ax c

1 2

1 2

ax bx c b

bx ax d a

2

1 2

2

1 2

2 2

2 2

abx b x bc

abx a x ad

a x b x ad bc

2 2

2

2 2 2

2 2

si solo si 0

x a b ad bc

ad bcx

a b

a b

ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES

4.- un zoológico tiene aves (bípedos) y bestias (cuadrúpedos). Si el zoológico tiene 60 cabezas y 200 patas. ¿Cuántas

aves y cuantas bestias viven allí?

2 4 200

60

2 4 200

60( 2)

x y

x y

x y

x y

2 4 200

2 2 120

2 80

40

x y

x y

y

y bestias

2 4 200

2 4(40) 200

2 200 160

2 40

20

sustituir

x y

x

x

x

x aves

5.- una heladería vende solo helado con soda y leches malteadas. En el primero se usa una onza de jarabe y cuatro

onzas de helado. En la segunda, se utiliza una onza de jarabe y 3 onzas de helado. Si el expendio usa 4 galones de

helado y 5/4 de jarabe en un día. ¿Cuántos helados con soda y malteadas vende diariamente?

Equivalencias: 1 cuarto = 32 onzas; 1 galón = 128 onzas

3 4 512

160

x jarabe

y helado

y y

x x

3 4 512

160 3

x y

x y

3 4 512

3 3 480

y 32

x y

x y

3 3 512

3 3(32) 512

3 96 512

sustituir

x y

x

x

3 512 96

3 416

416138

3

x

x

x

32 helados y 138 leches malteadas

6.- en un laboratorio se cuenta con 10ml una solución con una concentración de ácido al 30% ¿Cuántos mililitros de

ácido puro deben ser adicionados para incrementar la concentración al 50%

8 sea

1

3

2

a

,

2

4

1

b

y

0

1

4

c

encuentre un vector v tal que 2 3 4a b v c

En los problemas 9 – 12 efectué las operaciones indicadas con

1 1 2

3 4 5

0 1 1

A

0 2 1

3 0 5

7 6 0

B

Y

0 0 2

3 1 0

0 2 4

C

9.- 2A B 10.- A B C 11.- C A B

1 1 2 0 2 1 1 5 0

2 3 4 5 2 3 0 5 3 4 5

0 1 1 7 6 0 14 13 1

A B

ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES

1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 5

3 4 5 3 0 5 3 1 0 9 5 10

0 1 1 7 6 0 0 2 4 7 7 3

A B C

0 0 2 1 1 2 0 2 1 1 1 1

3 1 0 3 4 5 3 0 5 3 3 10

0 2 4 0 1 1 7 6 0 7 3 5

C A B

12.- Halle una matriz D de manera que A B C D sea la matriz cero de 3 3

1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 5

3 4 5 3 0 5 3 1 0 9 5 10

0 1 1 7 6 0 0 2 4 7 7 3

A B C

1 1 5

9 5 10

7 7 3

1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 5 0 0 0

3 4 5 3 0 5 3 1 0 9 5 10 0 0 0

0 1 1 7 6 0 0 2 4 7 7 3 0 0 0

D

A B C D

En los ejercicios del 13 – 23 efectúe las operaciones indicadas

13.- 2 3 4 1 8 20

1 2 0 6 4 11

14.-

3 2 5 6 17 12

1 4 1 3 1 18

15.- 1 1 1 0 3 3

1 1 2 3 1 3

16.-

3 1 14 5 1 13 35 18

5 6 40 4 2 20 4 2

0 1 2

17.-

1 67 1 4 1 58

0 42 3 5 8 15

2 3

18.-

19 17 341 67 1 4

8 12 200 42 3 5

8 11 72 3

19.-

2 3 5 1 4 6 13 1 17

1 0 6 2 3 5 7 4 30

2 3 1 1 0 4 3 17 31

20.-

1 4 6 2 3 5 18 12 35

2 3 5 1 0 6 9 21 13

1 0 4 2 3 1 10 9 9

ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES

21.-

1 4 6 1 0 0 1 4 6

2 3 5 0 1 0 2 3 5

1 0 4 0 0 1 1 0 4

22.-

1 0 0 2 3 5 2 3 5

0 1 0 1 0 6 1 0 6

0 0 1 2 3 1 2 3 1

23.-

3 6

2 41 4 0 2 7 16

1 0

2 3

Sea A una matriz cuadrada entonces 2A se define como AA

24.- Calcule 2A para A =

1 4 6

2 3 5

1 0 4

1 4 6 1 4 6 1 16 50

2 3 5 2 3 5 3 1 23

1 0 4 1 0 4 5 4 22

A A

25.- Determine 3A para 1 2

3 4A

2

1 2 1 2 7 6

3 4 3 4 9 22

7 6

9 22

A A

A

2

3

7 6 1 2 11 3

9 22 3 4 57 106

11 3

57 106

A A

A

26.- Evalué 2 3 4 5, ,A A A A en donde

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

A

ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES

2

2

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

A

A

3

3

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

A

A

4

4

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

A

A

5

5

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

A

A

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

1.- El precio de admisión a un partido de baloncesto fue de 300 pesos para estudiantes y 450 pesos para el público en general. Si se vendieron 450 boletos para un total de 155; 550 pesos, ¿cuántos de cada tipo se vendieron?

300 450 155,550

450

(2)

450

x y

x y

Ec

x y

sustitur en ec(1)

300 450 450 155,550

135,000 300 450 155,550

150 20550

20550

150

137 boletos "publico en general

y y

y y

y

y

y

sustituir en ec(2)

450

137 450

450 137

313 boletos

"estudiantes"

x y

x

x

x

2. Cunado una pelota rueda hacia abajo por un plano inclinado, su velocidad

( )v t (en cm seg ) en el tiempo t (en segundos) está dada por, 0 ( )v t v at

Para una velocidad inicial 0v y aceleración a (en 2cm seg ). Si 2 16v y

5 25v , encuentre 0v y a .

0 0

0 0

(2)

(5)

2 16

5 25

v v at v a

v v at v a

0

(2)

25 5

sustituimos en (1)

25 5 2 16

3 9

3

ec

v a

ec

a a

a

a

0

0

0

sustituimos en (2)

5(3) 25

25 15

10

ec

v

v

v

En los ejercicios 3 - 12, calcule el DETERMINANTE y encuentre todas las Soluciones de cada sistema de ecuaciones.

3.-

311

2

72

xy

yx

determinan

4

e

3

t

xyxy

(2)

72

(1)

3 72

112

ec

yx

ec

y

y

42 311

4

42 3 411

4

44 42

2

yy

y y

y

y

(2)

27

2

6

ec

x

x

2

6

soluciones

y

x

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

4.- 5.-

1 2

1 2

1 22

2 3

3 4 12

x x

x x

1 2 1 2

determinante

2 2x x x x

315

4

159

2

yx

xy

determinant

4

e

5

8

xyxy

21

2 2

2 2

(2)

12 4

3

(1)

12 4 22

6 3

36 12 122

18

2 2

ec

xx

ec

x x

x x

Tiene una única solución

(2)

315 15

49

2

45225

4 93

900 45 129

12

900 45 12 108

33 792

24

ec

y

y

y

y

y y

y y

y

y

(1)

3 2415

4

7215

4

15 18

3

24

3

ec

x

x

x

x

soluciones

y

x

6.- 7.-

1 2

1 2

3 21

2 3

9 4 6

x x

x x

1 2 1 2

determinante

6 6x x x x

3 12

5 4

52 0

2

x y

x y

determinante

3 1

2 2xy xy

21

22

22

2 2

(2)

6 4

9

(1)

6 43 21

2 9 3

18 12 21

18 3

18 12 121

18

1 1

ec

xx

ec

xx

xx

x x

(2)

5

4

(1)

3 5 12

5 4 4

15 52

20

10 40

4

ec

x y

ec

y y

y y

y

y

5

2 4

4

2

0

5

0

2

4

5

soluciones

y

x

x

x

x

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

8.-

1 2 1

1

1

2

2

2

4 3

5 2

3 5 7

determina

3

nt

4

x x

x x

e

x x x x

9.-

12

11

1 1

1

2

2

2

(2)

7 3

5

(1)

7 34 3

5 5 2

154 7 3

2

1

2

(2)

35 7

2

35 7

2

11

5

ec

xx

ec

xx

x x

x

ec

x

x

x

3 40

3 4

4 23

2 5

determ

2 3 6 4 4

inante

(1)

3 4

3 4

3 123

4

16

15

3 12 12

4

3

4

8

xy x y xy x y

x y

x y

ec

x y

yx

yx

yx

(2)

34

24 32 5

3 16 23

8 5

15 80 8 163

40

23 184

8

ec

yy

y y

y y

y

y

c

(1)

3 (8) 40

3 4

31

3

3 3

0

ec

x

x

x

x

10.- 11.-

1 2

1 2

4 3

5 2

8 10 15

x x

x x

1 2 1 2

determinante

8 8x x x x

6 12

23

3

x y x y

xy

06 12

23 0

3

x y x y

xy

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

12

1 1

1 1

(2)

15 8

10

(1)

4 15 8 3

5 10 2

8 15 8 15

15 15

ec

xx

ec

x x

x x

tiene una única solución

2 2

determinante

(2)

3 9

2

(1)

3 9 3 9

2 2 06

3 3 2 2

6

2

36

1

ec

yx

ec

y yy y

y xy x y x xy

Continúa el ejercicio 11.-

3 9 2 3 9 20

6 12

6 18 4 3 9 20

12

6 18 4 3 9 2 0

9 9

1

y y y y

y y y y

y y y y

y

y

(2)

21 3

3

3

1

3

ec

x

x

soluciones

y

x

1 2

2

1

22

2 3

3 4 11

x x

x x

1 2 1 2

determinante

2 2x x x x

21

(2)

11 4

3

ec

xx

2 2

2 2

(1)

11 4 22

6 3

11 4 4 12

11 12

ec

x x

x x

no existe ninguna solución

En los ejercicios 13 - 21, determine si la matriz dada esta en forma escalonada (pero no en forma escalonada

reducida), en forma escalonada reducida o en ninguna de las dos.

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

En los ejercicios 22 - 33 lleve el sistema a la forma Ax = b, luego use la eliminación Gaussiana o la eliminación de

Gauss-Jordan para encontrar todas las soluciones, si existen, de los sistemas dados.

22

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 11

4 4

2 3 10

x x x

x x x

x x x

1 2 3 11

4 1 1 4

2 1 3 10

3 12

1 2 3 11

4 1 1 4

0 3 3 12

R R

2 1 24

1 2 3 11

0 9 13 40

0 3 3 12

R R R

3 2 33

1 2 3 11

0 9 13 40

0 0 4 4

R R R

3

1 3 1

/ 4

3

1 2 0 8

0 9 13 40

0 0 1 1

R

R R R

2 3 213

1 2 0 8

0 9 0 27

0 0 1 1

R R R

1 2 19 2

9 0 0 72

0 9 0 27

0 0 1 1

R R R

1

2

3

/ 9 1 0 0 8

/ 9 0 1 0 3

( 1) 0 0 1 1

R

R

R

1 2 38, 3, 1

solucion

x x x

23

1 2 3

1 3

1 2 3

2 6 18

5 8 16

3 2 10 3

x x x

x x

x x x

2 1 6 18

5 0 8 16

3 2 10 3

3 1 32 3

2 1 6 18

5 0 8 16

0 7 2 48

R R R

2 1 22 5

2 1 6 18

0 5 46 58

0 7 2 48

R R R

3 2 35 7

2 1 6 18

0 5 46 58

0 0 322 166

R R R

1 3 13

6 3 0 53

0 5 46 58

0 0 2 1

R R R

2 3 223

6 3 0 53

0 5 0 35

0 0 2 1

R R R

1 2 15 3

30 0 0 60

0 5 0 35

0 0 2 1

R R R

1 1

2 2

3

/ 30 1 0 0 2

/ 5 0 1 0 7

/ 2 0 0 1 1/ 2

R R

R R

R

1

2

3

2

7

1

2

solucion

x

x

x

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

24

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 6 6 9

2 5 4 6

16 14 3

x x x

x x x

x x x

3 6 6 9

2 5 4 6

1 16 14 3

3 1 33

3 6 6 9

2 5 4 6

0 54 48 0

R R R

2 1 23 2

3 6 6 9

0 27 24 0

0 54 48 0

R R R

3

2

3 2 3

/ 6

/ 3

3 6 6 9

0 9 8 0

0 0 1 0

R

R

R R R

1 3 16

18 36 0 54

0 9 8 0

0 0 1 0

R R R

2 3 28

18 36 0 54

0 9 0 0

0 0 1 0

R R R

1

1 2 1

/ 6

9 6

27 0 0 81

0 9 0 0

0 0 1 0

R

R R R

25

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7

4 5 4

2 2 3 0

x x x

x x x

x x x

1 1 1 7

4 1 5 4

2 2 3 0

3 1 32

1 1 1 7

4 1 5 4

0 0 1 14

R R R

2 1 24

1 1 1 7

0 5 9 24

0 0 1 14

R R R

1 3 19

9 9 0 77

0 5 9 24

0 0 1 14

R R R

2 3 29

9 9 0 77

0 5 0 150

0 0 1 14

R R R

1 2 15 9

45 0 0 259

0 5 0 150

0 0 1 14

R R R

1 1

2 2

3

/ 45

/ 5( 1)

( 1)

259

1 0 0 45

0 1 0 30

0 0 1 14

R R

R R

R

1 2 3

259,30 ,14

45

solucion

x x x

26.-

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7

4 5 4

6 3 20

x x x

x x x

x x x

1 1 1 7

4 1 5 4

6 1 3 20

3 1 36

1 1 1 7

4 1 5 4

0 5 9 22

R R R

2 1 24

1 1 1 7

0 5 9 24

0 5 9 22

R R R

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

3 2 3

1 1 1 7

0 5 9 24

0 0 0 2

R R R

1 2 19

1 1 0 39

0 5 9 24

0 0 0 2

R R R

No tiene soluciones

27.-

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

4 5 0

6 3 0

x x x

x x x

x x x

1 1 1 0

4 1 5 0

6 1 3 0

3 1 36

1 1 1 0

4 1 5 0

0 5 9 0

R R R

2 1 24

1 1 1 0

0 5 9 0

0 5 9 0

R R R

3 2 3

1 1 1 0

0 5 9 0

0 0 0 0

R R R

2 21/ 5

1 1 10

90 1 0

50

0 0 0

R R

1 2 1

141 0

5 09

0 1 05

00 0 0

R R R

1 3 2 3 3

14 9, ,

5 5

solucion

x x x x x

tiene un número infinito de soluciones

28.- 1 2 3

1 2 3

2 4

3 4 2 7

x x x

x x x

1 2 1 4

3 4 2 7

2 1 23

1 2 1 4

0 10 5 19

R R R

2 1 12

41 0 0

1910 1

102

R R R

1 2 3 3

19 14 , ,

10 2

Solucion

x x x x

29.- 1 2 3

1 2 3

2 4 4

2 4 8 9

x x x

x x x

1 2 4 4

2 4 8 9

1 2 22

1 2 4 4

0 0 0 1

R R R

NO tiene soluciones

32.-

1 2

1 2

1 2

4

2 3 7

3 2 8

x x

x x

x x

1 1 4

2 3 7

3 2 8

3 1 33

1 1 4

2 3 7

0 119

R R R

2 1 22

1 1 4

0 5 1

0 1 19

R R R

2 2

1 3 1

1

5

41 0

10 1

50 1

19

R R

R R R

1 24 ,1/ 5

Solucion

x x

1 2

1 2

1 2

4

2 3 7

3 2 11

x x

x x

x x

1 1 4

2 3 7

3 2 11

2 2/ 3

1 41

2 7 1

3 32

3 11

R R

1 2 1

1/ 3 0 5 / 3

2 / 3 1 7 / 3

3 2 11

R R R

2 1 / 1/ 2

1/ 3 0 5 / 3

0 1 17 / 3

3 2 11

R R

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

1 / 1/ 3

1 0 5

0 1 17 / 3

3 2 11

R

3 1 33

1 0 5

0 1 17 / 3

0 2 4

R R R

1 2, 3

175 , 2

3

solucion

x x x

31

1 2 3 4

1 3 4

2 3 4

1 3 4

2 2

3 2 2 8

4 1

5 3

x x x x

x x x

x x x

x x x

1 2 1 1 2

3 0 2 2 8

0 4 1 1 1

1 0 3 1 3

4 1 4

1 2 1 1 2

3 0 2 2 8

0 4 1 1 1

0 2 2 2 5

R R R

2 1 23

1 2 1 1 2

0 6 1 5 14

0 4 1 1 1

0 2 2 2 5

R R R

4 2 43

1 2 1 1 2

0 6 1 5 14

0 4 1 1 1

0 0 7 1 1

R R R

3 2 36 4

1 2 1 1 2

0 6 1 5 14

0 0 2 14 62

0 0 7 1 1

R R R

1 4 148

48 96 48 0 122

0 6 1 5 14

0 0 1 7 31

0 0 0 48 218

R R R

2 4 124 5

1 2 1 0 48

0 6 1 0 118

0 0 1 7 31

0 0 0 24 109

R R R

3 4 324 7

1 2 1 0 48

0 6 1 0 118

0 0 1 0 1507

0 0 0 24 109

R R R

1 3 1

1 2 0 0 48

0 6 1 0 118

0 0 1 0 1507

0 0 0 24 109

R R R

2 3 2

1 2 0 0 48

0 6 0 0 118

0 0 1 0 1507

0 0 0 24 109

R R R

3 3

4 3 4

/ 2

7

1 2 1 1 2

0 6 1 5 14

0 0 1 7 31

0 0 0 48 218

R R

R R R

ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES

1 2 13

3 0 0 0 26

0 6 0 0 118

0 0 1 0 1507

0 0 0 24 109

R R R

1 1

2 2 2

4

/ 3

/ 6, / 2

/ 24

1 0 0 0 26 / 3

0 1 0 0 59 / 3

0 0 1 0 1507

0 0 0 1 109 / 24

R R

R R R

R

1 2 3 4

26 59 109, ,1507 ,

3 3 24x x x x

32.- Determine el polinomio de grado dos 2

0 1 2( )p x a a x a x cuya grafica pasa por los puntos

(1,4),(2,0) (3,12)y

0 1 2

0 1 2

0 1 2

(1) 4

(2) 2 4 0

(3) 3 9 12

p a a a

p a a a

p a a a

2 1 2 1 2 1

3 1 3 3 2 3

0

1 3 1

3 1

2 3 2

2

1 1 1 4 1 1 1 4 1 0 2 8

1 2 4 0 0 1 3 4 0 1 3 42

1 3 9 12 0 2 8 8 0 0 2 16

1 0 2 8 1 0 0 24 2421

0 1 3 4 0 1 0 28 28 32

0 0 1 8 0 0 1 8 8

R R R R R R

R R R R R R

aR R R

R aR R R

a

2

( ) 8 28 24p x x x

33.- Encuentre (de ser posible)

condiciones sobre a; b y c de modo que el sistema de ecuaciones lineales (a) no tenga solución (b) tenga exactamente

una solución y (c) tenga infinidad de soluciones.

2

2

3

x y z a

x y z b

y z c

1 2 1 2 1 2

2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 2

1 1 2 1 1 2 0 3 3 2 0 1 13 3

0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 3 3

a ba a b a b

b ab R R R b R R b a R

c c cc

1 2 1 3 2

3 31 0 3 1 0 32 2

2 0 1 1 3 0 1 13 3

0 3 3 0 0 02

a b a b

b a b aR R R R R

c c b a

ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES

En los problemas 1 – 8 encuentre todas las soluciones a los sistemas homogéneos

1.- 1 2

1 2

2 0

3 4 0

x x

x x

2 1 0

3 4 0

1

1 1/ 2 01/ 2

3 4 0R

2 1 2

1 1/ 2 03

0 5 / 2 0R R R

2

1 1/ 2 02 / 5

0 1 0R

1 2 1

1 0 01/ 2

0 1 0R R R

1 20 ,0

Solucion

x x

2.- 1 2

1 2

5 0

5 0

x x

x x

2 1 2

2 2

1 5 0 1 5 0

1 5 0 0 0 0

5 , ,

R R R

Solucion

x x x R

3.-

1 2 3

1 2 3

1 2 2

0

2 4 3 0

3 7 0

x x x

x x x

x x x

3 1 3

2

2 1 2

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 03 1

2 4 3 0 0 6 5 0 0 1 5 / 6 02 6

3 7 1 0 0 4 2 0 0 4 2 0

R R RR

R R R

1 2 1 1 3 1

3

3 1 3 2 3 2

1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 01/ 61

0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 04 5 / 66

0 0 6 0 0 0 1 0 0 0 1 0

R R R R R RR

R R R R R R

4.-

1 2 3

1 2 3

1 2 2

0

2 4 3 0

5 13 10 0

x x x

x x x

x x x

3 1 3

2

2 1 2

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 05 1

2 4 3 0 0 6 5 0 0 1 5 / 6 02 6

5 13 10 0 0 18 15 0 0 18 15 0

R R RR

R R R

1 2 1 1 3 1

3

3 1 3 2 3 2

1 2 3

1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 01/ 61

0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 018 5 / 612

0 0 12 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 ,0 ,0 ,

R R R R R RR

R R R R R R

Solucion

x x x x R

5.-

1 2 3

1 2 3

2 3 0

6 5 7 0

x x x

x x x

1 2 1 2 1 2

2 3 1 2 0 1 2 0 1 5R +3R R 2R 6

6 5 7 6 5 7 0 10 8R R

1

2 1 1

2

/ 22 0 0 1 0 08

/ 100 10 8 0 1 8 /10

RR R R

R

1 3 3, 8 /10 ,

Solucion

x x x

ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES

6.-

1 2

1 2

1 2

4 0

7 3 0

8 6 0

x x

x x

x x

2 1 2

1 2

3 1 3

4 1 0 1 1/ 4 0 1 1/ 4 0 1 1/ 4 07

7 3 0 1/ 4 7 3 0 0 19 / 4 0 4 /19 0 1 08

8 6 0 8 6 0 0 4 0 0 4 0

R R RR R

R R R

1 2 1

3 2 3

1 3

1 0 01/ 4

0 1 04

0 0 0

0 ,0

R R R

R R R

Solucion

x x

7.-

1 2 3 4

1 2 3 4

2 7 0

2 3 8 0

x x x x

x x x x

2 1 2 2

1 2 7 11 2 7 1 1 2 7 1 1

2 22 32 3 8 1 0 7 22 3 7 0 1

7 7

R R R R

1 2 1

1 0 5 / 7 1/ 72

0 1 22 / 7 3 / 7R R R

1 3 4

2 3 4

5 1

7 7

223

7

x x x

x x x

3 4 3 4

5 1 22, 3

7 7 7x x x x

8.-

1 2

1 2

1 2

1 2

2 0

3 5 0

7 3 0

2 3 0

x x

x x

x x

x x

2 1 2

1 4 1 4

3 1 3

2 1 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 0

33 5 0 3 5 0 0 13 / 2 0 0 13 / 2 01 2

77 3 0 7 3 0 0 1/ 2 0 0 1/ 2 02

2 3 0 2 3 0 2 3 0 0 2 0

R R RR R R R

R R R

4 2 4

2 1 2 1

3 2 3

1 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1 0 0

20 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 02 1

1/ 20 1/ 2 0 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0 013 2

0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0

R R RR R R R

R R R

1

2

0

0

Solucion

x

x

9.- Explique porque las formulas 2 2B A BA B A y 2 22A B A B A AB B no son válidas para

matrices

si tenemos:

una matriz

B una matriz

A mxn

mxn

mxn

mxn

entonce

A B

A B

s

A B A B mx xnn m

No tiene las mismas dimensiones y por lo tanto las formulas no son válidas para matrices.

ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES

10.- Considere el sistema

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 5 0

7 0

4 11 0

x x x

x x x

x x kx

¿Para qué valores de k tiene solución única?

2 1 2 21 2 1

3 1 3

2 3 5 0 1 4 4 0 1 4 4 0 1 4 4 0

1 7 1 0 1 7 1 0 0 11 3 0 0 1 3 /11 04 11

4 11 0 4 11 0 0 27 16 0 0 27 16 0

R R R RR R R

R R Rk k k k

1 2 1

3 2 3

1 0 32 /11 04

0 1 3 /11 027

0 0 95 /11 0

R R R

R R Rk

Para que tenga una única solución la matriz el renglón 3 columna 3 debe ser diferente de “cero”

Entonces tenemos

950

11

95

11

k

k

K debe ser diferente de 95/11. Si no tendrá infinitas soluciones el sistema

En los problemas 11 – 22 determine si la matriz dada es invertible, si lo es calcule su inversa

11.- 2 1

3 2

2 1 2 1 2 1 1

2 1 1 0 2 1 1 0 2 0 4 2 1 0 2 112 3

3 2 0 1 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 22R R R R R R R

12.- 1 6

2 12

2 1 2

1 6 1 0 1 6 1 02

2 12 0 1 0 0 2 1R R R

NO tiene inversa

13.- 0 1

1 0A

1

2 1

0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0 1 0R R A

14.- 1 1

3 3

2 1 2

1 1 1 0 1 1 1 03

3 3 0 1 0 0 3 1R R R

NO tiene inversa

15.- a a

b b

1

2 1 2

2

1/1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

1/0 1 1 1 0 1 0 0 1 1

aRa aR R R

bRb b

No tiene inversa

ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES

16.-

1 1 1

0 2 3

5 5 1

B

3 1 3 1 2 1

1 3 1

3

2 3 2

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0

0 2 3 0 1 0 5 0 2 3 0 1 0 2 0 2 3 0 1 0

5 5 1 0 0 1 0 0 4 5 0 1 0 0 4 5 0 1

1 0 1 2 1 0 1 0 0 3 / 4 1 1/ 41

0 2 3 0 1 0 0 2 0 15 / 4 1 3 / 434

0 0 1 5 / 4 0 1/ 4 0 0 1 5 / 4 0 1/ 4

R R R R R R

R R RR

R R R

2

1

1 0 0 3 / 4 1 1/ 41

0 1 0 2 /15 1/ 2 2 / 32

0 0 1 5 / 4 0 1/ 4

3 / 4 1 1/ 4

2 /15 1/ 2 2 / 3

5 / 4 0 1/ 4

R

B

17.-

3 2 1

0 2 2

0 0 1

C

11 3 1

1 2 1

2 3 22

1

13 2 1 1 0 0 3 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 33

0 2 2 0 1 0 0 2 0 0 1 2 0 2 0 0 1 2 0 1 0 0 1/ 2 12 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 12

1/ 3 1/ 3 1/ 3

0 1/ 2 1

0 0 1

RR R R

R R RR R R

R

C

18.-

1 1 1

0 1 1

0 0 1

D

1 2 1 2 3 2

1

1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 1 0

0 1 1

0 0 1

R R R R R R

D

ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES

19.-

1 6 2

2 3 5

7 12 4

E

2 1 2

2

3 1 3

1 6 2 1 0 0 1 6 2 1 0 0 1 6 2 1 0 02 1

2 3 5 0 1 0 0 15 9 2 1 0 0 1 3 / 5 2 /15 1/15 07 5

7 12 4 0 0 1 0 30 10 7 0 1 0 30 10 7 0 1

R R RR

R R R

1 2 1 1 2 1

3

3 2 3 2 3 2

1 0 8 / 5 1/ 5 2 / 5 0 1 0 8 / 5 1/ 5 2 / 5 06 8 / 51

0 1 3 / 5 2 /15 1/15 0 0 1 3 / 5 2 /15 1/15 030 3 / 58

0 0 8 3 5 1 0 0 1 3 / 8 5 / 8 1/ 8

R R R R R RR

R R R R R R

1

1 0 0 2 / 5 7 / 5 1/ 5 2 / 5 7 / 5 1/ 5

0 1 0 43 /120 53 /120 3 / 40 43 /120 53 /120 3 / 40

0 0 1 3 / 8 5 / 8 1/ 8 3 / 8 5 / 8 1/ 8

E

2 1 2

1 2 3 2

3 1 3

1

2

1 1/ 3 0 1 0 0 1 1/ 3 0 1/ 3 0 0 1 1/ 3 0 1/ 3 0 01

1 1 2 0 1 0 0 4 / 3 2 1/ 3 1 0 2 0 8 / 3 0 1/ 3 1 23

1 1 1 0 0 1 0 2 / 3 1 1/ 3 0 1 0 2 / 3 1 1/ 3 0 1

1 1/ 3 0 1/ 3 0 03

0 1 0 3 / 24 3 / 8 3 / 48

0 2 / 3 1 1/ 3 0 1

R R RR R R R

R R R

RR

2 1

3 2 3

1

1 0 0 3 / 8 1/ 8 1/ 41/ 3

0 1 0 3 / 24 3 / 8 3 / 42 / 3

0 0 1 35 / 3 1/ 4 1/ 2

3 / 8 1/ 8 1/ 4

3 / 24 3 / 8 3 / 4

35 / 3 1/ 4 1/ 2

R R

R R R

F

21.-

2 1 4

1 0 5

19 7 3

G

2 3 3 2 1 2

1 2 1 1

3 2 3 2

2 1 4 1 0 0 2 1 4 1 0 0 2 1 4 1 0 0

1 0 5 0 1 0 19 1 0 5 0 1 0 2 0 1 14 1 2 0

19 7 3 0 0 1 0 7 98 0 19 1 0 7 98 0 19 1

2 0 10 0 2 0 1 0 5 0 1 01/ 2

0 1 14 1 2 0 0 1 14 1 2 07

0 0 0 7 5 1 0 0 0 7

R R R R R R

R R R R

R R R R

 

1

5

  No tiene inversa

3 1 0

1 1 2

1 1 1

F

ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES

-

1 2 3

22. 1 1 2

0 1 2

H

1 2 1

2 1 2

3 2 3

1 3 1

2

2 3 2

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 02

1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0

0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1

0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 1

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

R R RR R R

R R R

R R RR

R R R

1

0 1 1

2 2 1

1 1 1

H

Demuestre que la Matriz 3 4

2 3

Es igual a su propia inversa

1 2 2 1 2 1 1 2

3 4 3 4 1 0 1 4 / 3 1/ 3 0 1 0 3 4 1 0 3 41 42 3

2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 33 3R R R R R R R R

24.- Sea 11 12

21 22

a aA

a a

Tal que 0A Demuestre que

11 22 12 21

12

12

11 1111 12

11 111 21 1 2 2

21 22 11 22 12 21 2111

21 22

11 11

12 21 11 22 12 2122

11 11

12

1111112

2111 22 12 21

11 01

1 01 0 1

0 10 10 1

10

1

0 1

a a a a

aa

a aa aa aR a R R R

a a a a a a aaa a

a a

a a a a a aa

a a

aaa

aRa aa a a a

11 11

12 21 11 22 11 22 12 21

11121 2 1

21 12 1111

12 21 11 22 11 22 12 21

21 12 12 21 11 22 11 21 12

11 12 21 11 22 11 12 21 11 22

10

1 0

0 1

1

a

a a a a a a a a

aaR R R

a a aa

a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

22 121

21 11

1 a aA

a aA

ALGEBRA LINEAL TAREA 4 HECTOR PALOMARES

1.- Encuentre números y tales que

2 3

5 6 2

2 4

sea simétrica

Es simétrica si la matriz es igual a la transpuesta

2 5

6 2

3 2 4

5

3

2.- Se dice que una matriz cuadrada es anti simétrica si At = A, ¿Cuáles de las siguientes matrices son simétricas y

cuales son anti simétricas?

1 2 3 2 2 2 0 1 11 0 0 1

2 4 5 2 2 2 1 0 20 1 1 0

3 5 7 2 2 2 1 2 0

Simétrica antisimetrica simétrica antisimetrica

En los problemas 3 – 12 calcule el determinante.

2 2

3.

coscos

cos

4.

1 0 3

0 1 4

2 1 0

1 0 4 0(0 8) 3(0 2)

4 6

10

5.

1 1 0

2 1 4

1 5 6

1(6 20) 1 12 4 0(10 1)

14 8

6

1sen

sensen

6.

3 1 4

6 3 5

2 1 6

3(18 5) 1(36 10 4( 6 6)

69 26 48 47

7.

1 0 6

0 2 4

1 2 3

1( 6 8) 0 6(0 2) 14 12 2

8.

2 4 1

4 6 5

0 2 1

2(6 10) 4(4 0) 1(8 0)

8 16 8 0

ALGEBRA LINEAL TAREA 4 HECTOR PALOMARES

9.

0 0 00 0

0 0 0 0 0 ( 0 0) 0 0 0 0 0

0 0 00 0

0 0 0

aa

bb c b a d c

cd

d

10.

2 0 3 11 4 2

0 1 4 2 2 0 1 5 2 1(0 15) 2(20 2) 2( 15 36) 42

0 0 1 52 3 0

1 2 3 0

0 3 1

1 1 4 2 1 15 1 14

0 1 5

42 14

28

11.

3 0 0 03 0 0

4 7 0 0 6 4 7 0 6 3( 7) 126

5 8 1 05 8 1

2 3 0 6

12.-

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 (

0

( ) ( )

a b

c d

a b

c d

d

a a b a d ad bc b c ad cb

c d

a ad bcd b cad c b

a d abcd abcd c b

A a d c b

ALGEBRA LINEAL TAREA 4 HECTOR PALOMARES

Demuestre que si A y B son matrices diagonales n n entonces AB A B

1

2

3

0 0

0 0

0 0

a

A a

a

1

2

3

0 0

0 0

0 0

b

B b

b

1 2 3A a a a 1 2 3B b b b

Y si tenemos:

1 1

2 2

2 3

1 1 2 2 3 3

0 0

0 0

0 0

a b

AB a b

a b

AB a b a b a b

AB A B

En los ejercicios del 15 al 17 calcule el determinante suponiendo que

11 12 13

21 22 23

31 32 33

8

a a a

a a a

a a a

15-.

31 32 33

21 22 23

11 12 13

8

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 2 2 16

a a a

a a a

a a a

17.-

11 13 12

21 23 22

31 33 32

2

2 16

2

a a a

a a a

a a a

ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES

1.- Dados 1 3 2z i ,

2 4 6z i calcular:

1 2( )

3 2 5 3 2 5

a z z

i i i

2 3( )

5 3 4 6 9 9

b z z

i i i

1 2 3( )

3 2 5 3 4 6

15 9 10 6 4 6

60 36 40 24 90 54 60 36

90 122

c z z z

i i i

i i i

i i i i

i

1

2

)

3 2 5 3

5 3 5 3

15 9 10 6

25 9

21

34 34

zd

z

i i

i i

i i

i

2

3

( )

5 3 4 6

4 6 4 6

20 30 12 18

16 36

2 42

52 52

ze

z

i i

i i

i i

1 3

2

( )

3 2 4 6 12 18 8 12 24 10 5 3

5 3 5 3 5 3 5 3

220 72 50 30 250 22

25 9 34 34

z ze

z

i i i i i i

i i i i

i ii

2.- En los ejercicios 2 - 7, reducir a la forma a + bi.

2.

2 1 2 2 1 1 3i i i i i

3.

1

1 ( 1)1

1

i

i

i i ii

i i

4.

2 1 1 3 1

1 1 1

2 3 31

2 2

i i i i

i i i

ii

5.

4 3 1 2 4 8 3 6

7 7

10 5 7 70 35 5

7 7 50

14 7

5 5

i i i i

i i

i i i

i i

i

3 2 3

6.

1 1 3 3

1 1

2 2 1

1 1

2 2 2 22 0

2

i i i i

i i

i i

i i

i ii

3 3

22

7.

1 3 1 3

2 2 2 2

1 1 3 1 3 33 3

8 2 2 2 2 4

1 3 3 9 3

8 8 8 4

1 9 3 3 3

8 8 4 8

7 3 3

4 8

i i

i i

i

i

i

ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES

8.- Hallar las raíces reales de la ecuación

3 21 1 2 1 1 2 0i x i x i x i

3 2

2 2

2

1 1 2 1 0

1 1 1 2 1 0

1 1 2 1 0

1 1 2 1 1 0

i x x i x

x x i i x

x i i x

x i i x x

1 1 0

1, 1

1 1 2 0

1 2

1

x x

x x

x i i

ix

i

1 2 1

1 1

1 2 2

2

3

2

i ix

i i

i ix

ix

9.- En los ejercicios 9 - 11, hallar los módulos de los números

22

9.

1 3 1 31

2 2 2 2i

2 2

10.

1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 2

4 4 2 2

i i

11.

4 3 1 4 4 3 3

7 7

1 7 7 7 49 7

7 7 50

50

50

1 1

i i i i

i i

i i i i

i i

ii

i

Demostrar que 1 2,z z C sugerencia 1 2 1 2z z z z

1 2 1 2

2 1 2 2

2 1 1 2

)a

z z z z

z z z z

z z z z

b)

1 2 1 2

2 1 2 2

2 2 1 2

1 2 1 2

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

Expresar en forma polar los siguientes números complejos:

22

1

1 3

2 2

1 3

2 2

1

tan 3

60

i

r

r

2 2

1

4 3

4 3

5

3tan

4

143 13

i

z

z

2 2

1

3

3 1

2

1tan

3

30

i

r

r

22

1

1 3

2 2

1 3

2 2

1

tan 3

120

r

r

2 2

1

2

2 1

5

tan 3

153 43́

i

r

r

19.- Demostrar que para cuales quiera complejos 1z y 2z se cumple que

ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES

En los problemas 20 – 27, expresar en forma polar las raíces de las ecuaciones.

4

4 490

16

16

90

16 16

x i

z

i

90 360 12

4

2 cos 67.5 67.5

0.7635,1.8477

isen

90 360 22

4

2 cos157.5 157.5

1.84,0.7653

isen

90 360 32

4

2 cos 247.5 247.5

0.7653, 1.8477

isen

4

4

1

1

2

45

x i

x i

z

4

4

45 360 12

4

2 cos101.25 101.25

0.23,1.16

isen

i

4

4

45 360 22

4

2 cos191.25 191.25

1.16, 0.23

isen

i

4

4

45 360 32

4

2 cos 258.75 258.75

0.23, 1.16

isen

i

3 2

2

45

x i

z

3

3 315

45 360 02

3

2 2 cos15 15

1.21,0.32

isen

3

3 3135

45 360 12

3

2 2 cos135 135

0.89,0.89

isen

i

3

3 3225

45 360 22

3

2 2 cos 255 255

0.32, 1.21

isen

i

3 1

2

45

x i

z

3

3 315

45 360 02

3

2 2 cos15 15

1.21,0.32

isen

3

3 3135

45 360 12

3

2 2 cos135 135

0.89,0.89

isen

i

3

3 3225

45 360 22

3

2 2 cos 255 255

0.32, 1.21

isen

i

ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES

4 1 3

2 2

1

120

x i

z

120 360 0

4

cos30 30

3 1,

2 2

isen

i

120 360 1

4

cos120 120

1 3,

2 2

isen

i

120 360 2

4

cos 210 210

3 1,

2 2

isen

120 360 3

4

cos300 300

1 3

2 2

isen

i

3 1 3

2 2

1

120

x i

z

120 360 0

3

cos 40 40

0.76,0.64

isen

i

120 360 1

3

cos160 160

0.94,0.34

isen

i

120 360 2

3

cos 280 280

0.17,0.98

isen

6 4

4

180

x

z

180 360(0)4

6

4 cos30, 30

4 3, 2

2

isen

i

180 360(1)4

6

4 cos90, 90

2 2, 2 2

isen

i

180 360(2)4

6

4 cos150, 150

4 3,2

2

isen

180 360(3)4

6

4 cos 210, 210

4 3, 2

2

isen

180 360(4)4

6

4 cos 270, 270

0 4

isen

180 360(5)4

6

4 cos330, 330

4 3, 2

2

isen

6

2 26

6

1 3 1 3

1 3 1 3

1 2 3 3 1 2 3 3

8

15

x

x

x

x

15 360(0)8

6

8 cos30, 30

7.99, 0.4361

isen

15 360(1)8

6

8 cos9.58, 9.58

7.88, 1.33

isen

i

15 360(2)8

6

8 cos117.5, 117.5

3.69, 0.096

isen

15 360(3)8

6

8 cos 27.8, 27.8

7.12, 3.7310

isen

15 360(4)8

6

8 cos39.6, 39.6

6.16,5.09

isen

15 360(5)8

6

8 cos 49.58, 49.58

5.18,6.09

isen

i

ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES

28.- Demostrar que (a) 1ie y (b) ie

1,

i i

i

i

e e

si ee

2 2

1 cos

cos os

cos

cos

isen

isen c isen

sen

isen

cos sen

29.- Usar la formula DEMoivre para deducir las siguientes identidades trigonométricas

3 2

3

2

2 2

3 2 2 2 2 3

) cos3 cos 3cos

cos cos3 3

cos cos cos3 3

os 2 cos cos cos3 3

cos 2 cos cos cos 2 cos

a sen

isen isen

isen isen isen

c i sen sen isen isen

isen sen isen sen isen

3 2 2 2

3 2

3

cos 3 cos 3 3 cos

cos 3cos cos3

isen

isen sen isen sen

sen

2 3

3

2 2

3 2 2 2 2

2 3

2 3

) 3 3cos

cos cos3 3

cos 2 cos cos cos3 3

cos 3 cos cos 2cos cos3 3

3 cos 3

3cos

b sen sen sen

sen isen

i sen sen isen isen

i sen sen sen isen isen

i sen isen isen

sen sen i

2 3

2 3

3

cos 3

3 3cos

sen

sen sen sen

sen sen sen

31.- Hallar las raíces de la ecuación 2 2 1 0x x i

2

2

1,2

1,2

2 1 0

2 2 4 1

2

2 4 4 4

2

x x i

ix

ix

1,2

1

2

2 4

2

2 2

2

2 2

2

ix

ix

ix

2 2

1

cos

cos

1

1

ie

isen

sen

ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES

En los ejercicios 33 – 40 descomponer en factores lineales los siguientes polinomios

33.- 3 21 1 1x x x x 34.- 4 21 1 1 1x x x x 35.-

6 21 1 1 1x x x x x

36.- 4 21 1 1 1x x x x 37.-

3 2 2

2 1

x i x i x i i

x i x i

38.-

1/3 1/3 2/3

3 21 1 1 1

2 2 2 2

i i i ix x x x

39.- 4 2 2 21 1 1x x x x x x

40.-

4 2

2 22

2

2

1

1 0

( 1) ( 1) 4(1)(1)

2(1)

1 3

2

1 3

2

x x

x x

x

x

ix

2 22 2

2 22

2 22

1 3 1 3

2 2

1 3 1 3

2 2

1 3 1 3

2 2

i ix x

i ix x

i ix x

ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES

1.- Hallar los vectores u y v cuyos puntos iniciales y finales se dan. Mostrar que v y u son equivalentes

A. : 3,2 , 5,6 : 1,4 , 1,8u v B. : 0,3 , 6, 2 : 3,10 , 9,5u v

5,6 3,2 2,4

1,8 1,4 2,4

u

v

v u

6, 2 0,3 6, 5

9,5 3,10 6, 5

u

v

u v

En los ejercicios del 2 – 5 se dan los puntos inicial y final de un vector v Dibujar el segmento de la recta dirigido dado,

expresar el vector mediante sus componentes y dibujar al vector con su punto inicial en el origen

2.- 3.- 4.- 5.-

1, 2 , 5,5

5,5 1, 2

4,3

v

v

v

2, 6 , 3,6

3,6 2, 6

1,12

v

v

v

10, 2 , 6, 1

6, 1 10, 2

4, 3

v

v

v

0, 4 , 5, 1

5, 1 0, 4

5,3

v

v

v

Hallar el vector v donde 2, 1u y 1,2w Ilustrar geométricamente las operaciones vectoriales

a.- b.- c.- d.-

3

2

32, 1

2

33,

2

v u

v

v

2, 1 1,2

3,1

v u w

v

v

2

2, 1 2 1,2

2, 1 2,4

4,3

v u w

v

v

v

5 3

5 2, 1 3 1, 2

10, 5 3,6

7, 11

v u w

v

v

v

ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES

7.- Encontrar la magnitud de v

a) b) c)

2 2

12, 5

12 5

169

13

v

v

v

v

2 2

10 3

10 9

109

v i j

v

v

2

4

4

4

v j

v

v

10.- Hallar la distancia entre los puntos

a) 2,2,3 , 4, 5,6 b) 1 5 5 3

, ,7 , ,6,2 9 2 4

2 2 2

4 2 5 2 6 3

4 49 9

62

22 25 1 5 3

6 72 2 9 4

3481 9614

81 16

107.0378086

11.- Hallar las longitudes de los lados del triángulo con los vértices que se dan, y determinar si el triángulo es rectángulo,

isósceles o escaleno

a) 5,3,4 , 7,1,3 , 3,5,3

2 2 2

7,1,3 5,3,4

2, 2, 1

2 2 1

3

v

v

v

2 2

7,1,3 3,5,3

4, 4,0

4 4

32

u

u

u

u

2 2 2

5,3,4 3,5,3

2, 2,1

2 2 1

3

z

z

z

el triángulo es isósceles ya que tiene

dos lados iguales v y z

ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES

b) 5,0,0 , 0,2,0 , 0,0, 3

2 2

5,0,0 0,2,0

5, 2,0

5 2

29

A

A

A

2 2

5,0,0 0,0, 3

5,0,3

5 3

34

B

B

B

2 2

0,2,0 0,0, 3

0,2,3

2 3

13

B

B

B

El triangulo es escaleno

ya que sus lados son

desiguales

A B

A C

B C

12.- Hallar la ecuación ordinaria de la esfera con centro 3,2,4 tangente al plano yz

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 2 4

3 2 4

3 2 4

3 2 4

3 0 2 2 4 4 4 2

la ecuacion de la esfera es:

3 2 4

3 2 4 4

x y z r

x y z r

x y z r

x y z r

x y z r

x y z

13.- Completar el cuadrado para dar la ecuación de la esfera en forma ordinaria. Hallar el centro y el radio

a.) b)

2 2 2

2 2 2

22 2

22 2

9 2 10 19 0

9 2 10 19

9 811 5 19 1 25

2 4

9 1011 5

2 4

x y z x y z

x x y y z z

x y z

x y z

2 2 2

2 2 2

2 2 2

22 2

22 2

4 4 4 4 32 8 33 0

4 4 4 32 4 8 33

4 4 8 4 2 33

1 14 4 4 4 1 33 16 1

2 4

1 1914 4 4 4 1

2 4

x y z x y z

x x y y z z

x x y y z z

x y z

x y z

ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES

14.- Dado el vector v y su punto inicial, hallar su punto final

2 1

2

2

3, 5,5 , punto inicial 0,6,2

0,6,2 2, 5,5

2 6 5 2 5

1 7

por lo tanto:

2,1,7

v

p p v

p

x y z

y z

p

2 1

2

2

3 1 51, , , punto inicial 0, 2,

2 2 2

5 3 1 0, 2, 1, ,

2 2 2

3 5 11 2

2 2 2

1 3

2

por lo tanto:

11, ,3

2

v

p p v

p

x y z

y z

p

15.- Encontrar el vector z dado que 1,2,3 , 2,2, 1u v y 4,0, 4w

a) b)

2

1, 2,3 2, 2, 1 2 4,0, 4

1, 2,3 2, 2, 1 8,0, 8

7,0, 4

z u v w

z

z

z

15 3

2

15 1,2,3 3 2,2, 1 4,0, 4

2

5,10,15 6,6, 3 2,0, 2

3,4,20

z u v w

z

z

z

c)

2 3

3 2

2

3 3 3

2,2, 1 4,0, 4 2 1,2,3

3 3 3

u v w z

z u v w

v w uz

z

2,2, 1 4,0, 4 2,4,6

3 3 3

4 2 11, ,

3 3 3

z

z

16.- Si 2 3u i j k determinar los valores de c que satisfacen la ecuación 3cu

2 2 2

2

1,2,3 3

,1,2 ,3 3

4 9 3

14 3

3

14

c

c c c

c c c

c

c

2 2 23 3 3

4 9 314 14 14

9 36 813

14 14 14

1263

14

9 3

ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES

17.- Encontrar el Angulo entre dos vectores

a) 3 2 2 3u i j k v i j b) 2 3 2u i j k v i j k

2 2 2

3,2,1 1, 3,0 3 6 3

3 2 1

14

u v

u

u

2 2

1

1 3

10

3cos

14 10

104 68́

v

v

2 2 2

2, 3,1 1, 2,1 2 6 1 9

2 3 1

14

u v

u

u

2 2 2

1

1 2 1

6

9cos

14 6

10 89

v

v

18.- Determinar si los vectores son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas

2 3 2u i j k v i j k

2 2 2

2,3, 1 2,1, 1 4 3 1 0

2 3 1

14

u v

u

u

2 2 2

1

2 1 1

6

0cos

14 6

90

v

v

los vectores son ortogonales

22 2

cos , , 1 , cos ,0

cos , , 1 , cos ,0

cos cos 0

cos 1

2

u sen v sen

u v

sen sen

sen sen

u sen

u

2 2

1

cos 1

2

0cos

2 2

90

v sen

v

Los vectores son ortogonales

19.- Se dan los vértices de un triángulo. Determinar si el triángulo es agudo, obtuso o rectángulo

a)

2 2

2 2

2 2

1,2,0 , 0,0,0 , 2,1,0

1,2,0 0,0,0 1,2,0 1 2 5

2,1,0 0,0,0 2,1,0 2 1 5

1,2,0 2,1,0 3,1,0 3 1 10

1,2,0 2,1,0 2 2 0 0 son perpediculares

1,2,0 3,1,0 3 2 0 5

2,1,0 3,1,0 6

A

B

C

A B

A C

B C

1 0 5

1

cos

0cos

 

5 5

90

el triángulo que forma

angul

n

los vectores es rectang

B

lo

o

u

A

ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES

b)

2 2 2

2 2 2

2 2

2, 3,4 , 0,1,2 , 1,2,0

2, 3,4 0,1,2 2, 4,2 2 4 2 24

2, 3,4 1,2,0 3, 5,4 3 5 4 50

1,2,0 0,1,2 1,1, 2 1 1 2 6

2, 4,2 3, 5,4 6 20 8 34

2, 4,2 1,1, 2 2 4 4 10

3, 5,4 1

A

B

C

A B

A C

B C

,1, 2 3 5 8 16

1

1

34cos

24 50

11

10cos

24 6

146

el triangulo es obtuso

ya que un angulo es mayor

de 90°

20.- Encontrar los senos directores del vector u y demostrar que la suma de sus cuadrados de los cosenos directores es 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

) 5 3

5cos

5 3 1

3cos

5 3 1

1cos

5 3 1

:

cos cos cos 1

5 3 1 25 9 1 351

35 3535 35 35

a u i j k

demostracion

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

) 0,6, 4

0cos

0 6 4

6cos

0 6 4

4cos

0 6 4

:

cos cos cos 1

0 6 4 0 36 16 521

52 5252 52 52

b u

demostracion

21.- Encontrar los ángulos de dirección del vector

1

2 2 2

1

2 2 2

1

2 2 2

) 3 2 2

3cos 43 31́

3 2 2

2cos 60 98́

3 2 2

2cos 119

3 2 2

a u i j k

1

2 2 2

1

2 2 2

1

2 2 2

) 1,5,2

1cos 100 51́

1 5 2

5cos 24 09́

1 5 2

2cos 68 52

1 5 2

b u

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

Calcular u v y probar que es ortogonal tanto a u como a v

A)

1

1

3 5 , 2 3 2

3 0 5 15,16,9

2 3 2

15,16,9 3,0,5 45 45 0

cos (0)

90 son ortogonales

15,16,9 2,3, 2 30 48 18 0

cos (0)

90 son ortogonales

u i k v i i k

i j k

u v

u v u

u v v

1

1

3, 2, 2 , 1,5,1

3 2 2 8, 5,17

1 5 1

8, 5,17 3, 2, 2 24 10 34 0

cos (0)

90 son ortogonales

8, 5,17 1,5,1 8 25 17 0

cos (0)

90 son ortogonales

u v

i j k

u v

u v u

u v v

1

1

1,1,2 , 0,1,0

1 1 2 2,0, 1

0 1 0

2,0, 1 1,1,2 2 2 0

cos (0)

90 son ortogonales

2,0, 1 0,1,0 0

cos (0)

90 son ortogonales

u v

i j k

u v

u v u

u v v

1

1

10,0,6 , 7,0,0

10 0 6 0,42,0

7 0 0

0,42,0 10,0,6 0

cos (0)

90 son ortogonales

0,42,0 7,0,0 0

cos (0)

90 son ortogonales

u v

i j k

u v

u v u

u v v

2.- Calcular el área del paralelogramo que tiene los vectores dados, como lados adyacentes.

2 2 2 2

)

,

0 1 0 1,0,0

0 1 1

1 0 0 1

a

u j v j k

i j k

u v

u v u

2 2 2

)

3,2, 1 , 1,2,3

3 2 1 8, 10,4

1 2 3

8 10 4 6 5

b

u v

i j k

u v

u v u area

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

3.- Verificar que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo y calcular su área

1,1,1 , 2,3,4 , 6,5,2 , 7,7,5

(1,2,3)

1,2,3

5,4,1

5,4,1

a b c d

A b a

B d c

C d b

D c a

2 2

1 2 3 10,14, 6

5 4 1

10 14 6 2 83

i j k

A C

A C area

2, 3,1 , 6,5, 1 , 3, 6,4 , 7,2,2

4,8, 2

4,8, 2

1, 3,3

1, 3,3

a b c d

A b a

B d c

C d b

D c a

2 2 2

4 8 2 18, 14, 20

1 3 3

18 14 20 2 230

i j k

A C

A C area

4.- Calcular el área del triángulo con los vértices dado. Sugerencia 1

2u v es el ara del triángulo que tiene a u y v como

lados adyacentes

)

0,0,0 , 1, 2,3 , 3,0,0

1, 2,3

3,0,0

a

a b c

A b a

B c a

1 2 3 0,9,6

3 0 0

si y son los lados adyacentes

1tenemos:

2

i j k

A B

A B

A B

2 219 6

2

13 13

2

313 area del triangulo

2

)

2, 7,3 , 1,5,8 , 4,6, 1

3,12,5

2,13, 4

b

a b c

A b a

B c a

3 12 5 133,2 57

2 13 4

si y son los lados adyacentes

1tenemos:

2

i j k

A B

A B

A B

2 2 21

113 2 572

116022 area del triangulo

2

5.- calcular u v w

)

ˆ, ,

1 0 0

0 1 0 1

0 0 1

a

u i v j w k

u v w

)

2,0,1 , 0,3,0 , 0,0,1

2 0 1

0 3 0 6

0 0 1

b

u v w

u v w

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

6.- Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes

, y u v w

)

, ,

1 1 0

0 1 1 1, 1 0 0

1 0 1

0

a

u i j v j k w i k

u v w

u v w

3

)

1,3,1 0,6,6 , 4,0, 4

1 3 1

0 6 6 24 72 24 72

4 0 4

72

b

u v w

u v w

u v w u

En los ejercicios del 8 – 13 hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta indicada

8.- Que contenga a los puntos 2,1,3 1,2, 1y

1 2 3 1 2 3

1, 2, 1 2,1,3

1,1, 4

( , ) ( , , ) ( )

( , ) 2,1,3 1,1, 4

( , ) 2 ,1 ,3 4 )

v

v

x y p p p t v v v

x y t

x y t t t parametrica

2

3 4

simetrica

x t

y t

z t

3

24

zx y

9.- Que contenga los puntos 4,1,3 4,0,1y

1 2 3 1 2 3

0, 1, 2

( , ) ( , , ) ( )

( , ) 4,1,3 0, 1, 2

( , ) 0,1 ,3 2

v

x y p p p t v v v

x y t

x y t t parametrica

si algunas de las componentes es 0 no se puede expresar la ecuación en forma

simétrica

10.- Que contenga los puntos 1,2,3 3,2,1y

1 2 3 1 2 3

2,0, 2

( , ) ( , , ) ( )

( , ) 1, 2,3 2,0, 2

( , ) 1 2 ,0,3 2

v

x y p p p t v v v

x y t

x y t t parametrica

si algunas de las componentes es 0 no se puede expresar la ecuación en forma

simétrica

11.- Que contenga al punto 2, 2,1 y sea paralela a 2i j k

( , ) 2,2,1 2, 1, 1

( , ) 2 2 ,2 ,1

x y t

x y t t t parametrica

2 22

2 2 12

1

x tx

y t y z simetrica

z t

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

12.- Que contenga al punto 1, 2,5 y sea paralela a 3 7j k

( , ) 1, 2,5 0, 3,7

( , ) 1, 2 3 ,5 7

x y t

x y t t parametrica

13.- Que contenga al punto 0,0,0 y sea paralela a 5

2, ,12

5( , ) 0,0,0 2, ,1

2

5( , ) 0,0,0 2 , ,

2

5( , ) 2 , ,

2

x y t

x y t t t

x y t t t parametrica

2

5 2

2 2 5

x t

xy t y z simetrica

z t

En los ejercicios 14 – 20, hallar la ecuación del plano indicado

14.- Que contenga al punto 0,0,0 y con vector normal n̂ j

0, 0, 0 0,1,0

0

el plano es el x

x y z y

y

z

15.- Que contenga al punto 1, 2,3 y con vector normal n̂ i j

1, 2, 3 1,1,0 0

1 2 0

3 0

el plano es el 3 0

x y z

x y

x y

x y

16.- Que contenga al punto 1, 2,3 y con vector normal n̂ j k

1, 2, 3 0,1,1 0

2 3 0

5 0

el plano es el 5 0

x y z

y z

y z

y z

17.- Que contenga al punto 4, 7,5 y con vector normal ˆ 3 4n i j k

4, 7, 5 3, 4,1 0

3 12 4 28 5 0

3 4 45 0

el plano es: 3 4 45 0

x y z

x y z

x y z

x y z

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

18.- Que contenga al punto 3, 2,5 y con vector normal ˆ 2 7 8n i j k

3, 2, 5 2, 7, 8 0

2 6 7 14 8 40 0

2 7 8 26 0

el plano es: 2 7 8 26 0

x y z

x y z

x y z

x y z

19.- Que contenga a los puntos 7,1,0 , 2, 1,3 , 4, 1,3

7,1,0

2, 1,3

4, 1,3

a

b

c

2, 1,3 7,1,0

9, 2,3

4, 1,3 7,1,0

11, 2,3

u b a

u b a

v c a

v c a

9 2 3

11 2 3

0 6 4

i j k

u v

u v i j k

z20.- Que contenga a los puntos 2,3, 2 , 4, 1, 1 , 3,1,2

2,3, 2

4, 1, 1

3,1, 2

a

b

c

4, 1, 1 2,3, 2

2, 4,1

3,1,2 2,3, 2

1, 2,4

u b a

u b a

v c a

v c a

2 4 1

1 2 4

14 7

i j k

u v

u v i j

21.- Demostrar los teoremas referentes a las propiedades algebraicas y geométricas del producto cruz

1 2 3 1 2 3

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

1)

: , , y , ,

:

u v v u

sea u u u u v v v v

i j k

u v u u u u v v u i u v v u j u v v u k

v v v

i j k

v u v v v v u u v i v u u v j v u u v k

u u u

obtenemos

u v v u

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2

2)

, , , ,

, ,

por otr

u v w u v u w

u v w u v v v w w w

u v w u v w v w v w

i j k

u v w u u u

v w v w v w

u v w v w v i u v w v w u j u v w v w u k

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 2 1 2 1 2 1 2

o lado se tiene

i j k

u v u u u u v v u i u v v u j u v v u k

v v v

i j k

u w u u u u w w u i u w w u j u w w u k

w w w

u v u w u v u w v u w u i u v u w v u w u j

u v u w v u w u

2 3 3 3 2 2 1 3 3 3 1 1

1 2 2 2 1 1

:

k

u v w u v w i u v w u v w j

u v w u v w k

concluimos

u v w u v u w

1 2 3

1 2 3

3) 0 0 0

: , ,

0 0 0 0 0

0 0 0

u u

sea u u u u

i j k

u u u u i j k

1 2 3

1 2 2

: , ,

0 0 0 0 0 0 0 0

sea u u u u

i j k

u i j k

u u u

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

4) 0

: , ,

0

0

u u

sea u u u u

i j k

u u u u u

u u u

u u u u u u i u u u u j u u u u

u u

ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES

1 2 3 1 2 3

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

1

5

: : , , y , ,

por definicion:

, entonces , ,

c u v cu v u cv

sean sea u u u u v v v v

c u v c u v v u i u v v u j u v v u k

cu v cv u i cu v cv u j cu v cv u k

si cu v cu cu cu cu

i j k

cu v cu c

2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3

podemos decir que:

: entonces , ,

que se cumpl

u cu cu v v cu i cu v v cu j cu v v cu k

v v v

c u v cu v

tenemos u cv cv cv cv cv

i j k

cu v u u u u cv cv u i u cv cv u j u cv cv u k

cv cv cv

concluimos

e la igualdad

c u v cu v u cv

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

1 2 3 2 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1

6)

: , , , , , ,

sabemos que:

, ,

v v w u v w

sean u u u u v v v v w w w w

v w v w w v i v w w v j v w w v k

v v w u u u v w w v v w w v v w w v

u v w w v u v w w v u v w w

2

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3

1 2 3 2 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 3 1 2 3 1 2

sabemos que:

, ,

v

u v u v v u i u v v u j u v v u k

u v w u v v u u v v u u v v u w w w

w u v v u w u v v u w u v v u

w u v w v u w u v w v u w u v w v u

ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES

En los ejercicios 1 – 6, determinar si los planos son paralelos, ortogonales, o ninguna de las dos cosas, si no son ortogonales

ni paralelos, hallar el ángulo entre ellos

1.- 2.-

1 2

1 2

5 3 4, 4 7 1

ˆ ˆ5, 3,1 1, 4,7

ˆ ˆ 5, 3,1 1,4,7 5 12 7 0

los planos son ortogonales

x y z x y z

n n

n n

1 2

1 2

1

3 4 3, 9 3 12 4

ˆ ˆ3,1, 4 9, 3,12

ˆ ˆ 3,1, 4 9, 3,12 27 3 48 70

70cos 170

28 234

x y z x y z

n n

n n

3.- 4.-

1 2

1 2

1

3 6 4, 5x+ 4

ˆ ˆ1, 3,6 5,1, 1

ˆ ˆ 1, 3,6 5,1, 1 4

4cos 96 31́

27 46

x y z y z

n n

n n

1 2

1 2

1 2

1

3 2 7, 4 2 0

ˆ ˆ3,2, 1 1, 4, 2

ˆ ˆ=14 21

ˆ ˆ 3,2, 1 1, 4,2 7

7cos 114 09́

14 21

x y z x y z

n n

n n

n n

5 6.-

1 2

1 2

1 2

1

5 1, 5 25 5 3

ˆ ˆ1,5, 1 5, 25, 5

ˆ ˆ= 27 675

ˆ ˆ 1,5, 1 5, 25, 5 5 125 5

125cos 157 8́

27 675

x y z x y z

n n

n n

n n

1 2

1 2

1 2

1

2 1, 4 8 10

ˆ ˆ2,0, 1 4,1,8

ˆ ˆ= 5 81

ˆ ˆ 2,0, 1 4,1,8 8 8 0

0cos 0

5 81

los planos son ortogonales

x z x y z

n n

n n

n n

En los ejercicios 7 – 10, hallar la distancia del punto al plano

7.- 8.- 9.-

2 2 2

0,0,0 ,2 3 0

ˆ 2,3,1 6,0,0

0,0,0

0,0,0 6,0,0 6,0,0

ˆ 6,0,0 2,3,1 12

ˆ 2 3 1 14

12

14

x y z

n h

p

ph

ph n

n

D

22 2

0,0,0 ,8 4 8

ˆ 8, 4,1 1,0,0

0,0,0

0,0,0 1,0,0 1,0,0

ˆ 1,0,0 8, 4,1 8

ˆ 8 4 1 9

8

9

x y z

n h

p

ph

ph n

n

D

2 2 2

2,8,4 ,2 5

ˆ 2,1,1 0,0,5

2,8,4

2,8,4 0,0,5 2,8, 1

ˆ 2,8, 1 2,1,1 4 8 1 11

ˆ 2 1 1 6

11

6

x y z

n h

p

ph

ph n

n

D

ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES

10.-

3,2,1 , 2 4

ˆ 1, 1,2 0,0,2 3,2,1

3,2,1 0,0,2 3,2, 1

x y z

n h p

ph

22 2

ˆ 3,2, 1 1, 1,2 3 2 2 1

ˆ 1 1 2 6

ph n

n

1

6D

En los ejercicios 11 – 14, verificar que los dos planos son paralelos y hallar la distancia entre ellos.

11.- 12.-

1 2

1 2

2 2 2

3 4 10, 3 4 6

ˆ ˆ1, 3,4 1,3,4

ˆ ˆ||

10,0,0 0, 2,0

10, 2,0 1, 3,4| | 26

943 6 7

x y z x y z

n n

n n

a b

ab uD

u

1 2 1 2

2 2 2

4 4 9 7, 4 4 9 18

4, 4, 9 4, 4, 9

ˆ ˆ ˆ ˆ||

7,0,0 b 0,2,0

4

7,0,0 4, 4,9

4| | 7

134 4 9

x y z x y z

u v

n n n n

a

ab vD

v

13.- 14.-

1 2

1 2 1 2

2 2 2

3 6 7 1, 6 12 14 25

ˆ ˆ3,6,7 6, 12, 14

ˆ ˆ ˆ ˆ2 ||

1 25,0,0 b 0,0,

3 14

1 25,0, 3,6,7

3 14| | 27

2 943 6 7

x y z x y z

n n

n n n n

a

ab uD

u

1 2 1 2

2 2

2 4 4, 2 4 10

2, 4 2, 4

ˆ ˆ ˆ ˆ||

2,0 b 5,0

3,0 2, 4| | 6

202 20

x z x z

u v

n n n n

a

ab uD

u

14.-

1 2

1 2

2 2

2 4 4, 2 4 10

ˆ ˆ2,0, 4 2,0, 4

ˆ ˆ||

0,0,1 5,0,0

5,0,1 2,0, 4 6

202 4

x z x z

n n

n n

a b

ab uD

u

ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES

En los ejercicios 15 – 18 hallar la distancia del punto a la recta dad por medio del conjunto de ecuaciones paramétricas.

15.- 16.-

1

2

2 1

1

1 2 1

1

4 2

1,5, 2 3

1

2

1 3 2,3,0

0

6

2 3 6,3, 1

1

6,3, 1 2,3,0 4,0, 1

2,3,0 1,5, 2 1, 2, 2

1 2 2 2, 7,8

4 0 1

x t

Q y

z t

x

p t y

z

x

p t y

z

p p

PQ

i j k

PQ p p

PQ

2 1 3 13p p

1

2

2 1

1

1 2 1

1

2

1, 2, 4 3

2 2

2

1 2 2, 2, 4

4

4

2 1 4, 1,6

6

4, 1,6 2, 2, 4 2,1, 2

2, 2, 4 1, 2, 4 1,0,0

1 0 0 0, 2,1

2 1 2

x t

Q y t

z t

x

p t y

z

x

p t y

z

p p

PQ

i j k

PQ p p

PQ

2 1 5p p

17.-

1

2

1

2,1,3 2

2

0

1 3 0,3, 2

2

1

2 4 1, 4, 4

4

x t

Q y t

z t

x

p t y

z

x

p t y

z

2 1

1

1 2 1

1 2 1

1,4, 4 0,3, 2 1,1, 2

0,3, 2 2,1,3 2,2, 5

2 2 5 1,9,4

1 1 2

97

p p

PQ

i j k

PQ p p

PQ p p

ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES

1

2

18.

3

4, 1,5 1 3

1

3

1 4 3, 4, 2

2

3

2 7 3,7,3

3

x

Q y t

z t

x

p t y

z

x

p t y

z

2 1

1

1 2 1

1 2 1

3,7,3 3,4,2 0,3,1

3,4,2 4, 1,5 1,5, 3

0 3 1 14, 1,3

1 5 3

206

p p

PQ

i j k

PQ p p

PQ p p

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

1.- El conjunto de matrices diagonales de tamaño n n , con la suma común de matrices y la multiplicación escalar

común.

11 11 11 11

22 22 22 22

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 sea:a y b una matriz de n

0 0 0 0 0 0nn nn nn nn

a b a b

na b a b

a b V

a b a b

11 11

22 22

0 0 0 0

0 00 0 por el axioma , ,

0 0 0 0nn nn

a a

a a x V K x V

a a

11 11 11 11

22 22 22 22

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

por el axioma , , 0

nn nn nn nn

a a a a

a a a a

a a a a

x V x V x x

2.- 2, 0x y R y con operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de vectores

1 2 1 2

1 1

2 2

2 2

, 0

0

0

: 0

0

, , 0 se cumple

asi que no es un espacio vectorial

x x y y

x y

x y

si y

x y

x V x V x x no

11

22

por el axioma 0 , 0 ,

0 0 0 0 0

0 0 00 0

0 0 0 0 0

la matriz 0 es un espacio vectorial

nn

V x x x V

a

a

a

pero V no

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

4.- Un conjunto de vectores en R3 de la forma , ,x x x

, , , , 2 2 2

se cumple ,

, , 0,0,0 , ,

se cumple x V, 0 V, 0

, , , , 0,0,0

se cumple x V, V, 0

, , , ,

se cumple , ,

, , , , , ,

x x x x x x x x x

x xV x x V

x x x x x x

x V

x x x x x x

x x x

x x x x x x

x V K x V

x x x x x x x x

, , , ,

se cumple , ,

, , , ,

se cumple , , ,

1 , , , ,

cumple , 1 ,1

x x x x x x x

x V V x x x

x x x x x x

x V V x x

x x x x x x

se x V K x x

Por lo tanto es un espacio vectorial

5.- El conjunto de matrices simétricas de 3 3 con la suma en común y la multiplicación escalar

a b c a b c a a b b c c

b e d b e d b b e e d d la matriz V

c d f c d f c c d d f f

1

se cumple , 1 ,1

a b c a b c

b e d b e d

c d f c d f

x V V x x

a b c a b c

b e d b e d la matriz V

c d f c d f

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

, , la matriz V

a b c a b c a b c a b c a b c

b e d b e d b e d b e d b e d

c d f c d f c d f c d f c d f

x V V x x x

0 0 0

0 0 0

0 0 0

se cumple , 0 , 0

a b c a b c

b e d b e d

c d f c d f

x V V x x

0 0 0

0 0 0

0 0 0

se cumple , , 0 la matriz V

a b c a b c

b e d b e d

c d f c d f

x V x V x x

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 23 33 31 32 33

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 2

31 23 33

a b c a b c a a b b c c

b e d b e d b b e e d d

c d f c d f c c d d f f

a b c a b c a a b b c c

b e d b e d b b e e d d

c d f c d f

3

31 32 33

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

:

por el axioma ,

c c d d f f

dado

a a b b c c a a b b c c

b b e e d d b b e e d d la matriz V

c c d d f f c c d d f f

xy V x y y x

6.- El conjunto de matrices de la forma 0

0

a

b

con ,a b R con la suma común y la multiplicación escalar

0 0 0 la matriz

0 0 0

a a a aV

b b b b

0 0 la matriz

0 0

a aV

b b

7.- El conjunto de matrices de la forma 1

1

a

b

con ,a b R con la suma común y la multiplicación escalar

1 1 2 2 la matriz

1 1 2 2

a a aV

b b b

8.- El conjunto de polinomios de grado n, con termino constante igual a cero

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

2

0

2

2

0

2

0

2

0

0

0 (0) (0) (0) 0

0 0

0 y dado un

(0) (0) (0) (0)

n

n

n

n

n

a at at at

a

t t t

a at at at

a

a at at at

t t t

2

0

2

0

2

0 y entonses

0 0 0 0

0

0 V

n

n

n

p a at at at

a

p a at at at

t t t

9.- El conjunto de polinomios de grado n, con termino constante positivo 0a

2

0

2

0

0

0

: 0

(0) (0) (0) 0

0

: 0

entonces: no es un espacio vectorial

n

n

a at at at

si t

a a a a

a

pero a

10.- El conjunto de funciones continuas en 0,1 con 0 0f y 1 1f con operaciones definidas de manera usual

0 0 0

1 1

0

f g

f g

V

11.- el conjunto de números reales de la forma 2a b donde ,a b Q con la suma usual de números reales y con la

multiplicación escalar definida solamente para escalares racionales

2 2 2

2

a b c d a c b d

a c b d V

2 2

2

a b a b

a b V

12.- Demuestre que en un espacio vectorial el neutro aditivo es único

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2

: , pero

, ,

, , , 0,0,0 0

se c

, , 0

n n

n n n n

sea x y V y x

x x x y y y

x x x x x x x x x x x x

umple

x V x V x x

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

13.- Demuestre que en un espacio vectorial cada vector tiene un inverso aditivo

1 2 1 2 1 2

: 0

, 0,0 0 0, 0 0 ,

se c

, 0 , 0

n n n

sea x V V

x x x x x x x x x

umple

x V V x x

14. Demuestre que el conjunto de los números reales positivos forman un espacio vectorial con las operaciones

x y xy y aax x

En los ejercicios 15 – 24 determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V.

JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

; ,

, , ,

:

, ,

:

V H x y x y

si x y y x y V

Entonces

x y x y x x y y

dado x y x x y y V

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

, , ,

:

, ,

, ,

,

0,0

: 0 0

: , , 0

si x y V x y V

tenemos

x y x y

x y x y

x x y y

y si x y V

dado x V x V x x

1 1

1 1 1 1

, , y

:

,

:

, ,

si x y V V

Entonces

x y x y V

dado a

x V K x V

16.- 2 2 2 2; , 1V H x y x y

, , y

, ,

si x y

x y x y H

17.- 3 3; , 0V H x y z H

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

, , , y 0

, , , ,

, , (0)

,

si x y z z

x y z x y z

x y

x y

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

, , , , , , y 0

, , , ,

, ,

, ,0 0

,

si x y z x y z z

x y z x y z

x x y y z z

x x y y

x x y y

18. ; t

n n n nV M H D M D D

11 12 1 11 21 1

21 22 2 12 22 2

1 2 1 2

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22

1 2

entonces

sea D y un

n m

n mT

m m mn n n nm

n n

n n

n

m m mn

d d d d d d

d d d d d dD D

d d d d d d

d d d d d d

d d d d d

d d d

2

1 2

11 21 1

12 22 2

1 2

:

n

m m mn

T

m

m T

n n nm

d

d d d

entonces D

d d d

d d dD V

d d d

11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1

21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

n n n n

n n n n

m m mn m m mn m m m m mn mn

d d d D D D d D d D d D

d d d D D D d D d D d D

d d d D D D d D d D d D

19. ; es triangular superiorn n n nV M H T M T

Sea a y b matrices de n n

TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1

22 2 22 2 22 22 2 20 0 0

0 0 0 0 0 0

cumple : , ,

n n n n

n n n n

nn nn nn nn

a a a b b b a b a b a b

a a b b a b a b

a b a b

se x y H x y H

11 12 1 11 12 1

22 2 22 20 0

0 0 0 0

cumple: , ,

n n

n n

nn nn

b b b b b b

b b b b

b b

se x H K x H

la matriz triangular superior H

20. 4 4; (0) 0V P H p P p el polinomio es un subespacio vectorial

4

2 3 4

2 3 4

2 3 4

:

(0) 0 (0) 0

: , ,

a

a

a

a

sea p y p polinomios p

p p

p c cx cx cx cx

p d dx dx dx dx

p p c d c d x c d x c d x c d x

cumple x y V x y V

4

2 3 4

2 3 4

: y una

: , ,

sea p p

p c cx cx cx cx

p c cx cx cx cx

cumple x H K x H

21. ; (0) 1n nV P H p P p

0

0

0

: polinomios de grado n

p(0)=1 p (0) 1

1 1 2

osea p y p

p p

p p H

TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

En los ejercicios 1 - 10 determine si el conjunto de vectores dado es linealmente Independiente o dependiente

1.-

1 1

2 3

son linealmente independiente porque no se pueden escribir como combinación lineal

2.-

2 4

1 2

4 7

2 4 0 22 4

2 0 21 2

4 7 0 4 74 7

a

son linealmente independientes

3.-

3 1 4

2 10 5

son linealmente dependientes

1 1 2 1 2

2 2 1 1

3 1 4 3 4 0

2 10 5 2 10 5 0

3 1 4 1 1/ 3 4 / 3 1 1/ 3 4 / 31/ 3 2

2 10 5 2 10 5 0 32 / 3 7 / 3

1 1/ 3 4 / 3 1 0 45 / 323 / 32 1/ 3

0 1 7 / 32 0 1 7 / 32

450

32

a b ca b c

a b c

R R R R R

R R R R

a c

45

32

7 70

32 32

a c

b c b c

4.-

3 7 1

4 1 1

2 3 8

son linealmente independientes

2 3 2 1

3 1 3

3 7 1 3 7 0 3 7 1 3 7 1 1 7 / 3 1/ 3

4 1 1 4 0 4 1 1 2 0 7 15 1/ 3 0 7 15

2 3 8 2 3 8 0 2 3 8 2 3 8 2 3 8

1 7 / 3 1/ 3

2 0 7 15

0 23 / 3 26 / 3

a b c

a b c a b c R R R R

a b c

R R R

2 2 1 1

3 2 2

3 2 3

3 1 14321483

1 7 / 3 1/ 3 1 0 16 / 3

1/ 7 0 1 15 / 7 7 / 3 0 1 15 / 7

0 23 / 3 26 / 3 0 23 / 3 26 / 3

1 0 16 / 3 1 0 16 / 3 1 0 07 /15483

23 / 3 0 1 15 / 7 0 1 15 / 7 0 1 016 / 34321

0 0 0 0 1 0 0 1

R R R R

R R RR R R

R R R

TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

5.-

1 3 0 5

2 0 4 0

1 2 1 3

1 2 1 1

Son linealmente dependientes

1 2 2

1 3 3

1 3 0 5 3 5 0 1 3 0 5

2 0 4 0 2 4 0 2 0 4 0

1 2 1 3 2 3 0 1 2 1 3

1 2 1 1 2 0 1 2 1 1

1 3 0 5

2 0 6 4 10

0 1 1 2

1 2 1 1

a b d

a ca b c d

a b c d

a b c d

R R R

R R R

2 1 11 4 4

2 3 32

2 4 4 3

1 3 0 5 1 0 2 0

30 1 4 / 6 5 / 3 0 1 4 / 6 5 / 3

1/ 6 0 1 1 2 0 0 2 / 6 1/ 3

0 5 1 6 0 5 1 6

1 0 2 0 1 0 2 0

0 1 4 / 6 5 / 3 0 1 4 / 6 5 / 35 3

0 0 2 / 6 1/ 3 0 0 1 1

0 0 7 / 3 7 / 3 0 0 7 / 3 7 /

R R RR R R

R R RR

R R R R

3 4 4

1 0 2 0

0 1 4 / 6 5 / 37 / 3

0 0 1 1

3 0 0 0 0

R R R

6. En 2 :1 ,p x x

1 2

1 2 1

1

2 1

2 1

: 1 0

0

0

0

0

sea c x c x

c c c x

c

c c

c c

linealmente independientes

7. 2

2 :1 ,1 ,p x x x

2

1| 2 3

2

1 2 2 1 3

22 1 2 1 2

1 1 0

0

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 02

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

c x c x c x

c c c c x c x

RR R R R R

son linealmente dependientes

TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

8.- 3 3 3

3 2 , 3, 1 4 , 18 9p x x x x x x

3 3 3

1 2 3 4

2 3 4

2 2 11 3 4

1 3 1

2 3 4

2 1 2

: 2 3 1 4 18 9 0

3 9 0 0 3 1 9 0 0 11 6 0 0 1 6 /11/ 2

2 18 0 2 0 1 18 1 0 1/ 2 9 1 0 1/ 2 93 11

4 0 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1

1/ 2

sea c x c x c x x c x x

c c cR R R

c c cR R R

c c c

R R R

R

3 1 3

0 0 1 6 /11

1 0 0 96 /11 linealmente dependientes4

0 1 0 35 /11R R

9.- En una matriz de 2 X 2: 2 1 0 3 4 1

4 0 1 5 7 5

2 1 0 3 4 1 0 0

4 0 1 5 7 5 0 0

2 4 0

3 0

4 7 0

5 5 0 :son Li

10.- En una matriz de 2 X 2: 1 1 1 0 1 1 0 1

0 6 3 1 1 2 1 0

1 2 1

4 2 4

2 3 2 3

2 1 2

4 2 4

3

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1

61 0 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 13

0 3 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 0 5 47

6 1 2 0 0 7 4 0 0 7 4 0 0 0 10 7

1 0 1 1

0 1 2 1

0 0 1 4 / 55

0 0 10

R R RR R R

R R R RR R R

R R R

R

1 3 1

2 3 2

4 3 4

1 0 0 1/ 5 1 0 0 0

0 1 0 3 / 5 0 1 0 02

0 0 1 4 / 5 0 0 1 010

7 0 0 0 1 0 0 0 1

R R R

R R R

R R R

TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

11.- Formule una condición para que los números a, b, c, y d tal que los vectores a c

yb d

sean

(a) linealmente dependientes

(b) linealmente independientes

0

a cad bc

b d

ad bc

12.- Para que valores reales de son linealmente dependientes los vectores

1 2 3

2 1

3 4 4

2 1 2

3 2

3 1 3

1 2 3 1 2 3 1 2 32

2 1 0 5 6 5 2 0 5 63

3 4 4 0 2 5 0 0 2 13

R R RR R

R R R

2 13 0

13

2

13.- ¿para qué valores reales c los vectores 1 ,1 1 ,1c c y c c son linealmente independientes?

2 2 2 2

1 11 1 1 2 1 2 4 para valores de: 0

1 1

c cc c c c c c c c

c c

14.- Demuestre que los vectores 2 2 21, , , 1, , , 1, ,a a b b c c son linealmente independientes si: , ,a b a c b c

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 11 1

0

0

0, , ,

b a c aa b c b a c a b a c a

b b a c c a b ca b c b ab c ca

b a c a c b

si a b a c b c

En los ejercicios 15 – 22 determinar si el conjunto de vectores dado genera al espacio vectorial que se da.

15 – En 2R 1 3

2 4

si genera al espacio vectorial

Dado que

1 2 1 2

1 2

1 3, tal que:

2 4

1 3 1 3,

2 4 0 2 2

x xa a a a

y y

x xa a existen

y x y

TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

16.- En 2R 1 2

1 2

17.- En 3R

1 0 0

1 1 0

1 1 1

si genera en 3R

1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1

x x

y y x

z z x y

18.- En R3

2 3 1 7

0 1 1 3

1 2 1 5

si genera en el espacio vectorial

7

3

5

es combinación lineal de

2 3 1

0 1 1

1 2 1

1

1 2 2 2

3

2 3 1 1

0 1 1 1

1 2 1 2

c

c c c c

c

19.- En el polinomio 2

2 :1 ,3P x x

2

2

2

1 3

3 0

0

0

0

a x b x

a b

ax bx

ax bx

x a bx

20.- en el polinomio 2

2 :1 ,3 ,p x x x

2 2

1 3 2 3

1 2 1

3 1 3

3 2 3

1 ,3 , es de la forma

0 1 0 1 3 0 1 3 0

1 0 1 1 0 1 0 1 0

1 3 0 0 1 0 1 0 1

1 3 0 1 0 0 33

0 1 0 0 1 03

0 3 1 0 0 1 3

x x x ax bx c

a c c

b R R b R R a

c a b

c a cR R R

R R R a aR R R

b c a b c

2

2si genera 1 ,3 , en Px x x

TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

21.- En la matriz 2 x 2: 2 1 0 0 3 1 0 0

0 0 2 1 0 0 3 1

1 2 3 4

2 1 0 0 3 1 0 0

0 0 2 1 0 0 3 1

a ba a a a

c d

Generan en las matrices de 2x2

22.- En la matriz 2 x 2: 1 0 1 2 4 1 2 5

1 0 0 0 3 0 6 0

0 0 1 0 1 2 4 1 2 5, , ,

0 1 1 0 0 0 3 0 6 0

las ecuaciones

1 2 3 4

1 0 1 2 4 1 2 5

1 0 0 0 3 0 6 0

a ba a a a

c d

no siempre generan

23.- Halle un conjunto de tres vectores linealmente independientes en 3R Tal que tenga a los vectores

2 1

1 3

2 4

2 1

1 3

2 4

a

b

c

para cualquier a, b, c se determina que no todos los ceros

TAREA 11 DE ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

En los ejercicios 1 – 10 determine si el conjunto de vectores dad es una base del espacio vectorial correspondiente.

1.- En el polinomio 2

2 :1 ,p x x son linealmente independientes y no generan en el espacio, no es una base

2

1 2

1

2

1 0

0

0

c x c x

c

c

2 2

1 2 0 1 2

1 0

2 1

3 2

1c x c x a a x a x

c a

c a

c a

2.- En el polinomio 2 2

2 : 3 ,1 , 5P x x x

0 1 5

3 0 0 3 1 5 18

0 1 1

el determinante es distinto de cero, por lo tanto si forma el espacio vectorial

3.- En el polinomio 2 2 2

2 : 1, 2, 3p x x x son linealmente dependientes por lo tanto no forman una base

2 2 2

1 2 3

2

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 2 2 1

1 2 3 0

0

0

0

1 1 1 1 1 1 0 2 3

1 2 3 0 1 2 0 1 2

2 34 4 0

1 2

c x c x c x

c c c c c c x

c c c

c c c

R R R R R

4.- En el polinomio 2 3

3 :1,1 ,1 1P x x x

1 1 1 1

0 1 0 01

0 0 1 0

0 0 0 1

el determinante es distinto de cero, por lo tanto son linealmente independientes y

forma una base en el espacio

5.- En el polinomio 3 2

3 :3, 4 6,p x x x no se pueden expresarse como combinación lineal. No genera una base

TAREA 11 DE ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

6.- En la matriz 2 x 2 3 1 3 2 5 1 0 1

0 0 0 0 0 6 0 7

1 2 1

1 2 1 4

3 4 4 3

3 3 5 0

2 0

66 7 0

7

c c c

c c c c

c c c c

2 1 2 2 1 1

1093 3 5 3 3 5 3 0

7313 74

741 2 0 30 37 7

7

R R R R R R

1 3

2 3

1093 0

7

743 0

7

c c

c c

1 3

2 3

21 109 0

21 74 0

c c

c c

son linealmente dependientes, no generan base

7.- en una matriz de 2 x 2 0 0 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0 0 0

a babcd

c d

1 2 3 4

1 1

2 2

3 3

4 4

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

a bc c c c

c d

ac c

bc c

cc c

dc c

9.- 2, 0 ; 1, 1H x y R x y

: , entonces , , 1, 1dado x y H x y x x x si forma una base

10.- 2, 0 ; 1, 1 , 3,3H x y R x y

Son dependientes 3,3 3 1, 3 por lo tanto, no forma una base

11.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en el plano 2 0x y z

1 0 1 0

0 1 la base es 0 1

2 2 1 2 1

x x

y y x y

z x y

12.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en el plano 3 2 6 0x y z

TAREA 11 DE ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

(2 / 3) 2 2 / 3 2 2 / 3 2

1 0 la base es 1 0

0 1 0 1

x y z

y y y z

z z

13.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en la recta 2 3 4

x y z

1 2

(3 / 2) 3 / 2 la base es 3

2 2 4

x x

y x x

z x

14.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en la recta 3 , 2 , x t y t z t

3 3 3

2 2 la base es 2

1 1

x t

y t t

z t

15.- Determine una base para 3,D el espacio de las matrices diagonales de 3 3 ¿cuál es 3dim D ? Y ¿Cuál es dim nD ?

3

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 ;dim 3

0 0 0 0 0 0 0 0 1

D

16.- Para que valores del número real forman una base de 3R los vectores ,1,0 1,0, y 1 ,1,

1 1 1

1 0 1 1 0 1 0

0 0 0

a a a a

a a a

a a a

los vectores nunca forman una base ya que todos los valores de a

son dependientes

TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

En los ejercicios 1 – 14 determine si la transformación dada de V en W es lineal

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 21 2

1 2

1)

: ;0

0 0

y 0 0

si es lineal

x xT R R T

y

x x x x x xT T

y y y y

x xx xT T

y

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2)

1: ;

1 1 1

No es lineal

1 1 1 1

xT R R T

y y

x x x xT T

y y y y

Ty y y y

T Ty y y y y

3 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 3 3 3

1 2 1 2

1 2 1 2

3)

: ;

Si es lineal

xx

T R R T yy

z

x x x x

T y y T y y

z z x x

x x x xT

y y y y

3 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 3 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 3

4)

0: ;

0 0 0

Si es lineal

x

T R R T yy

z

x x x x

T y y T y y

z z z z

y y y y

x x

aT y y

z z

3 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

5)

1: ;

+

1No es lineal

x

T R R T yz

z

x x x x

T y y T y y

z z z z

z z

2

2 2

2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 21 2

2 2 21 1 1 1 1 1 1

22 222 2 2 2

6)

: ;

2

2

2 2

2

x xT R R T

y y

x x x xT T

y y y y

x x a x x y yT

a x x y yy y

x x y y ax x y

axx x y y

2

2

2

2 2 22

No es lineal

x

x y y

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

7)

: ;x y

T R R Ty x

x x x xT T

y y y y

y y y yT

x x x x

x xT T

y y

TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 1 2 2 1

8)

: ;

No es lineal

xT R R T xy

y

x x x xT T

y y y y

x x y y

x y x y x y x y

a x y x y x y

2

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 11 2 1 2

9)

: ;x x y

T R R Ty x y

x x y yx x x xT T

y y y y y y y y

x x y y x y x y x xT T

x y x y y yy y y y

2

4 2

1 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

10)

: ;

x

y x zT R R T

w y w

z

x x x x

x x z zy y y yT T

w w w w y y w w

z z z z

x x z z

y y w w

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

x z x z

y w y w

x z x zT T

y w y w

2 3

1 2

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

11)

: ;

yx

T R R T xy

x y

y yx x x x

T T x xy y y y

x x y y

y y

x x

x y x y

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

y yx x

x xy y

x y x y

TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

2 3

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2

1 21 2

12)

: ; 2

1

2 2 2

1 11

x

T R R T x x

x

y x x x

T x x T x x x x x x T x T x

x xx x

1

2

1 2

1 11 1 11 1 11

2 22 2 22 2 22

1 11 2 22

13)

: ;n

n

n

n nn

n nn n nn n nn

x

xT R R T x x x

x

x x x x x x

x x x x x xT T x x x x x x T T

x x x x x x

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

14)

: ; n

n nn n nn

x x x xx

x x x xxT R R T x T x x T x x T x T x

x x x x x

4 2

1 2 1 2

21 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

21 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

15) : ;

w

x xzT R R T

y yw

z

w w w w

x x z zx x x x x z x z x z x zT T

y y y y y y w w y

z z z z

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 1 2 2 1 2 21 1 1 2 2 1 2 2

No es lineal

w y w y w y w

x z x z x z x z x z x z x z x z

y w y w y w y wy w y w y w y w

TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

25.- Sea T una transformación lineal de 2 3R R tal que

11

20

3

T

y

40 2 3

0 encuentre ( ) y (b) 1 4 7

5

T a T T

)

2, 4 2 1,0 ,4 0,1

2 1,0 ,4 0,1

2,4 2 1,2,3 4 4,0,5

2, 4,6 16,0,20

14,4,26

a

T T

T

)

3,7 3 1,0 7 0,1

3 1,0 7 0,1

2,4 3 1,2,3 7 4,0,5

3, 6, 9 28,0,35

31, 6,26

a

T T

T

TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

En los ejercicios 1-6, encuentre la representación matricial AT de la transformación lineal T. En las matrices de los ejercicios 1; 4 y 6 encuentre los valores y vectores propios.

2

2

1

1

2 21)

5 1

2 2 0

5 1 0

2 21 2 10

5 1

2 2 10

12 0

4 3 0

4

3

2 2 4 0 0

5 1 0 4 0

2 2

5

TA

A I

A I

xA I

y

A I

2 1 2

2

2

2 1 2

0

5 0

2 2 2 22 5

5 5 0 0

2 2 0

1

1

2 2 3 0 0

5 1 0 3 0

5 2 0

5 2 0

5 2 5

5 2

x

y

R R R

x y

vector propio

xA I

y

xA I

y

R R R

2

0 0

5 2 0

2

5

x y

vector propio

v

2 2

2

2

1

4)

2: R ,T

5 2

2 1

5 2

2 1 0

5 2 0

2 12 2 5

5 2

4 2 2 5

1

2 1 0

5 2 0

T

x x yT R

y x y

A

A I

A I

i i

iA I

i

1

1 2 2

1

1

0

0

2 1 0

5 2 0

2 1 2 12

5 2 0 0

2 0

1

2

2 1 0 0

5 2 0 0

2

x

y

i xA I

i y

i ii R R R

i

i x y

vector propioi

i xA I

i y

A I

1 2 2

1 0

5 2 0

2 1 2 12

5 2 0 0

5 2 0

1

2

i x

i y

i ii R R R

i

x y

vector propioi

TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

2 2

2 2

2)

: , :

2 3

1 1

1 1

2 3

3)

: , :

2 2 2

1 1 1

2 2 2

T

T

x yx

T R R T x yy

x y

A

xx y z

T R R T yx y z

z

A

3 3

5)

2

: , : 3 4

5 8

1 1 2

3 1 4

5 1 8

T

x x y z

T R R T y x y z

z x y z

A

3 3

6)

: , : 2

2 2 3

1 0 1

1 2 1

2 2 3

1 0 1 0 0 0

1 2 1 0 0 0

2 2 3 0 0 0

1 0 1

1 2 1 1 2 3 2

2 2 3

T

T

T

x x z

T R R T y x y z

z x y z

A

x

A I y

z

A I

2

2 3 2

3 2

2

2 4 2

1 6 2 3 2 2 2

5 4 5 4 2 2

6 11 6

1 5 6

1 3 2

1, 3, 2

TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

2 3

1 0 1 1 0 0 0

1 2 1 0 1 0 0

2 2 3 0 0 1 0

0 0 1 0

1 1 1 0

2 2 2 0

0 0 1 0 0 1

1 1 1 2 1 1 1

2 2 2 0 0 0

0

0

0

T

T

x

A I y

z

x

A I y

z

R R

z

x y z

x y

x

propio

1

1

0

y

vector

v

3 1 3 2

1 0 1 3 0 0 0

1 2 1 0 3 0 0

2 2 3 0 0 3 0

2 0 1 0

1 1 1 0

2 2 0 0

2 0 1 0 2 1

1 1 1 1 1 1 2

2 2 0 2 2 0

T

T

x

A I y

z

x

A I y

z

R R R R

1 2

0 2 1

0 4 2

2 2 0

0 2 1

2 0 0 0

2 2 0

2 0 2

2 2 0

2

1

1

1

1

2

R R

y z y z

x y

z

y

x

v

TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL

1 2

1 0 1 2 0 0 0

1 2 1 0 2 0 0

2 2 3 0 0 2 0

1 0 1 0

1 0 1 0

2 2 1 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 1 0 1

2 2 1 2 2 1

0

T

T

x

A I y

z

x

A I y

z

R R

x z x z

2 2 0 2 2 0 2 0

2 2 1 2

2

1

2

x y z z z y z y

y z z y x

v