Resuelve las siguientes ecuaciones según lo estudiado la clase pasada:

a. x2 y ' '+5x y '+4 y=0

Solución:

Resolvemos la ecuación diferencia de la siguiente manera; sea y=xm una solución a la ecuación diferencial homogénea, derivando dos veces y reemplazando en la ecuación diferencial dada tenemos que:

y '=m xm−1 y y ' '=m (m−1 ) xm−2

Reemplazando en la ecuación diferencial, tenemos:

x2 [m (m−1 ) xm−2 ]+5 x [mxm−1 ]+4 (xm )=0

m (m−1 ) xm−2+2+5m xm−1+1+4 xm=0→m (m−1 ) xm+5m xm+4 xm=0

[m (m−1 )+5m+4 ] xm=0

Como xm≠0, entonces tenemos que:

m (m−1 )+5m+4=0→m2−m+5m+4=0→m2+4m+4=(m+2 )2=0

Por lo que tenemos dos raíces iguales (m1=m2=−2 ) y la solución es de la forma:

y=C1 X−2+C2X

−2ln (x)

b. 3 x2 y ' '+6 x y '+ y=0

Solución:

Resolvemos la ecuación diferencia de la siguiente manera; sea y=xm una solución a la ecuación diferencial homogénea, derivando dos veces y reemplazando en la ecuación diferencial dada tenemos que:

y '=m xm−1 y y ' '=m (m−1 ) xm−2

Reemplazando en la ecuación diferencial, tenemos:

3 x2 [m (m−1 ) xm−2 ]+6 x [mxm−1 ]+ (xm )=03m (m−1 ) xm−2+2+6m xm−1+1+xm=0→3m (m−1 ) xm+6mxm+xm=0

[3m (m−1 )+6m+1 ] xm=0

Como xm≠0, entonces tenemos que:

3m (m−1 )+6m+1=0→3m2−3m+6m+1=03m2+3m+1=0

Resolviendo por la ecuación cuadrática tenemos que:

m=−3±√9−4 (3 ) (1 )

2 (3 )=−3±√9−12

2 (3 )=−3±√−3

2 (3 )=−3±√3 i

2 (3 )

Por lo que tenemos dos raíces diferentes conjugadas (m1=−12

+ √3 i6y m2=

−12

−√3 i6 ) y la

solución es de la forma:

y=[C1 cos(√36 ln x )+C2 sin(√36 ln x )]x−12