Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de Matematicas

Ayudantia No4 Analisis RealJose Torres

Fecha: March 24, 2014

1. Resolver los ejercicios pendientes de ayudantas pasadas.

2. Sea (M,d) un espacio metrico y X subespacio de M , considere Y X.Verfique las siguientes afirmaciones:

(a) Y abierto en X no necesariamente implica Y abierto en M .

(b) Y abierto en X ssi existe O abierto en M tal que Y = X O.(c) Y cerrado en X ssi existe C cerrado en M tal que Y = X C.

3. Sea (M,d) un espacio metrico. Demuestre las siguientes afirmaciones:

(a) A B, entonces A B y A B.(b) A = A A y A A = .(c) (X \A) A = .(d) A = A.

(e) (M \A) = A.(f)

A =

OOAO

donde OA = {O A : O abierto de M}.(g)

A =

CCAO

donde CA = {C A : C cerrado de M}.4. determine si los siguientes conjuntos A R son abiertos, cerrados o

ninguna de las anteriores, con la me`trica usual de R. Encuentre en cadacaso la clausura, su interior y la frontera.

(a) A ={y R : existe x R tal que 1x y < ex} .

(b) Sea P1 el conjunto que se obtiene de borrar el tercio abierto de lamitad del intervalo [0, 1]. Es decir,

P1 =[0,

13

][

23, 1].

El conjunto P2 se obtiene de P1 borrando un tercio abierto de cadaintervalo que forma P1, es decir

P2 =[0,

19

][

29,

13

][

23,

79

][

89, 1].

1

Recursivamente, Pn se obtiene eliminando un tercio abierto de cadaintervalo de Pn1.Definimos

A =n1

Pn.

A se llama el conjuto de Kantor.

5. Sea X un conjunto d1, d2 dos metricas para X. Las metricas d1 y d2son equivalentes si toda bola abierta en X segun d1 contiene alguna bolaabierta con el mismo centro segun d2 y viceversa. Como se traduce estoen sucesiones?.

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