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ANÁLISIS REAL

RESUMEN Y EJERCICIOS

RESUELTOS

1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS

REALES

PROYECTO CLAVEMAT

4 (1)

Fascículos de Matemática

del Proyecto CLAVEMAT

FASCÍCULOS DE MATEMÁTICA

DEL PROYECTO CLAVEMAT

PROYECTO CLAVEMAT

ANÁLISIS REAL

RESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS

1. Sucesiones y series de números reales

Fascículo de Matemática No. 4 (1)

ANÁLISIS REAL: RESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS

1. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES

PROYECTO CLAVEMAT

Escrito por: Edison Tamayo, Ronny Tonato, Farhad Ghadiri

Responsable de la Edición: Andrés Merino

Revisión Académica: el texto aún no cuenta con revisión académica de pares

Registro de derecho autoral No.ISBN: 978-0000-000-00

Publicado por el proyecto CLAVEMAT de la Escuela Politécnica Nacional, Ladrón deGuevara E11-253, Quito, Ecuador.

Primera edición: 2016Primera impresión: 2016

c© Proyecto CLAVEMAT 2016

ÍNDICE GENERAL

1. Sucesiones y Series de Números Reales 1

1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

III

FASCÍCULO 1

SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS

REALES

1.1. Resumen

DEFINICIÓN 1.1 (Conjunto acotado superiormente). Sea A ⊆ R, se diceque A es acotado superiormente si

(∃a ∈ R)(∀x ∈ A)(x ≤ a),

es decir, si existe a ∈ R tal que x ≤ a para todo x ∈ A. Al número a se lollama una cota superior de A.

DEFINICIÓN 1.2 (Conjunto acotado inferiormente). Sea A ⊆ R, se diceque A es acotado superiormente si

(∃a ∈ R)(∀x ∈ A)(a ≤ x),

es decir, si existe a ∈ R tal que a ≤ x para todo x ∈ A. Al número a se lollama una cota inferior de A.

DEFINICIÓN 1.3 (Conjunto acotado). Sea A ⊆ R, se dice que A es acotado

si es acotado superiormente e inferiormente.

PROPOSICIÓN 1.1. Sea A ⊆ R, se tiene que A es acotada si y solo si

(∃M ∈ R)(∀x ∈ A)(|x| ≤ M),

es decir, si y solo si existe M ∈ R tal que |x| ≤ M para todo x ∈ A.

1

2 Sucesiones y Series de Números Reales

DEFINICIÓN 1.4 (Supremo). Sean A ⊆ R y a ∈ R, a se dice que es elsupremo de A si es la menor de las cotas superiores; de manera equivalente,si cumple que

i) (∀x ∈ A)(x ≤ a)

ii) (∀x ∈ A)(x ≤ c) =⇒ a ≤ c.

Es decir, si cumple que x ≤ a para todo x ∈ A y que si x ≤ c para todox ∈ A, entonces a ≤ c. Se representa por sup(A) = a.

DEFINICIÓN 1.5 (Ínfimo). Sean A ⊆ R y a ∈ R, a se dice que es el supre-

mo de A si es la mayor de las cotas inferiores; de manera equivalente, sicumple que

i) (∀x ∈ A)(a ≤ x)

ii) (∀x ∈ A)(c ≤ x) =⇒ c ≤ a.

Es decir, si cumple que a ≤ x para todo x ∈ A y que si c ≤ x para todox ∈ A, entonces c ≤ a. Se representa por ınf(A) = a.

PROPOSICIÓN 1.2. Sean A ⊆ R y a ∈ R, se tiene que a = sup(A) sí y solo sí

i) (∀x ∈ A)(x ≤ a)

ii) (∀ε > 0)(∃z ∈ A)(a − ε < z).

Es decir, si y solo si a es cota superior de A y para todo ε > 0, existe z ∈ A talque a − ε < z.

PROPOSICIÓN 1.3. Sean A ⊆ R y a ∈ R, se tiene que a = ınf(A) sí y solo sí

i) (∀x ∈ A)(a ≤ x)

ii) (∀ε > 0)(∃z ∈ A)(z < a + ε).

Es decir, si y solo si a es cota inferior de A y para todo ε > 0, existe z ∈ A talque z < a + ε.

PROPOSICIÓN 1.4. Si A ⊆ B ⊆ R, entonces

sup(A) ≤ sup(B) y ınf(B) ≤ ınf(A).

1.1 Resumen 3

PROPOSICIÓN 1.5. Sea A ⊆ R, definimos al inverso de un conjunto como:

−A = {x ∈ R : −x ∈ A} = {−x ∈ R : x ∈ A}.

Entonces:

ınf(−A) = − sup(A) y sup(−A) = − ınf(A).

AXIOMA 1 (Axioma del Supremo). Todo subconjunto de los números reales,acotado superiormente y no vacío, tiene supremo.

TEOREMA 1.6 (Propiedad Arquimediana). Para todo x ∈ R, existe n ∈ N

tal que x < n.

COROLARIO 1.7. Para todo x > 0, existe n ∈ N tal que: n ≤ x < n + 1.

TEOREMA 1.8 (Densidad). Sean x, y ∈ R arbitrarios, si x < y, entonces

• existe q ∈ Q tal que x < q < y; y

• existe r ∈ R r Q tal que x < r < y.

1.1.1. Intervalos

DEFINICIÓN 1.6. A un conjunto I ⊆ R se lo llama intervalo, si para todox, y ∈ I, con x < y; y para todo z ∈ R se tiene que si x < z < y, entoncesz ∈ I.

DEFINICIÓN 1.7. Sean a, b ∈ R, con a < b, se definen los conjuntos:

i) (a, b) = {x ∈ R : a < x < b},

ii) [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},

iii) (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b},

iv) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

v) [b,+∞) = {x ∈ R : x ≥ b},

vi) (−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a},

vii) (b,+∞) = {x ∈ R : x > b}; y

viii) (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.

Se clasifican en:


• intervalos abiertos: i), vii) y viii);

• intervalos cerrados: ii), v) y vi);

• intervalos acotados: i), ii), iii) y iv); y

• intervalos no acotados: v), vi), vii) y viii).

TEOREMA 1.9 (Intervalos encajados de Cantor). Sea {In}n∈N una familiade intervalos, cerrados, acotados, no vacíos y encajados, es decir

In+1 ⊆ In

para todo n ∈ N, entonces tienen intersección no vacía:

⋂

n∈N

In 6= ∅.

1.1.2. Sucesión

DEFINICIÓN 1.8 (Sucesión). Una función x : N → R se la llama una su-

cesión de números reales. Para cada n ∈ N, se denota xn = x(n) y a lasucesión se la denota x = (xn)n∈N

DEFINICIÓN 1.9 (Límite de una sucesión). Sean (xn)n∈N una sucesión yL ∈ R, se dice que L es el límite de (xn)n∈N cuando n tiende al infinito, oque (xn)n∈N converge a L; y se escribe

L = lımn→+∞

xn, o xn → L, cuando n → +∞,

si(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n > N =⇒ |xn − L| < ǫ).

PROPOSICIÓN 1.10. El límite de una sucesión convergente es único.

PROPOSICIÓN 1.11. Dada una sucesión (xn)n∈N:

• |xn − L| → 0, cuando n → ∞, si y solo si xn → L, cuando n → ∞.

• (xn)n∈N es de Cauchy, si y solo si, |xn − xm| → 0, cuando n, m → ∞.

1.1 Resumen 5

DEFINICIÓN 1.10. El conjunto

RN = {(xn)n∈N : (xn)n∈N es una sucesión en R}

es un espacio vectorial.

DEFINICIÓN 1.11. Se define el conjunto

c = {(xn) : (xn) converge} ⊆ RN.

PROPOSICIÓN 1.12. Se tiene que c es un subespacio vectorial de RN.

PROPOSICIÓN 1.13. La función

lımn→ +∞

: c −→ R

(xn) 7−→ lımn→+∞

xn

es una aplicación lineal.

DEFINICIÓN 1.12 (Sucesión acotada). Sea (xn)n∈N una sucesión de núme-ros reales. Se dice que (xn)n∈N es acotada si {xn : n ∈ N} es un conjuntoacotado, es decir, existe M ∈ R tal que

|xn| ≤ M,

para todo n ∈ N.

PROPOSICIÓN 1.14. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N dos sucesiones. Si xn → L y yn →M, cuando n → +∞, entonces

i) xn · yn → L · M, cuando n → +∞; y

ii) si xn 6= 0, para todo n ∈ N y L 6= 0, entonces1xn

→ 1L

.

PROPOSICIÓN 1.15. Sea (xn)n∈N una sucesión convergente, entonces es acota-da.

PROPOSICIÓN 1.16. Sean (xn)n∈N una sucesión convergente y L ∈ N su lími-te. Si xn > 0, para todo n ∈ N, entonces L ≥ 0.

COROLARIO 1.17. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N sucesiones convergentes y L, M ∈R sus límites respectivamente, si xn > yn ,para todo n ∈ N, entonces L ≥ M.


TEOREMA 1.18 (Sánduche). Sean (xn)n∈N , (yn)n∈N , (zn)n∈N sucesionesy L ∈ R tales que

• xn → L, zn → L; y

• xn ≤ yn ≤ zn , para todo n ∈ N;

entonces yn → L.

PROPOSICIÓN 1.19. Sea (xn)n∈N una sucesión y L ∈ R tal que xn → L, enton-ces |xn| → |L|.

PROPOSICIÓN 1.20. Sea (xn)n∈N una sucesión, entonces xn → 0, cuando n →+∞ si y solo si |xn| → 0, cuando n → +∞.

PROPOSICIÓN 1.21. Si xn → L , cuando n → +∞, xn > 0, entonces√

xn →√L, cuando n → +∞.

TEOREMA 1.22 (Axioma de Elección). Sea {Ai}i∈N una familia de conjun-tos no vacíos, entonces existe

f : N →⋃

i∈N

Ai,

tal que f (i) ∈ Ai, para todo i ∈ N. En otras palabras, existe una sucesión,(xn)n∈N ∈ A, con A =

⋃

i∈N Ai, tal que, para todo n ∈ N

xn ∈ An ⊆ A.

PROPOSICIÓN 1.23. Sea (xn)n∈N una sucesión. Si (xn)n∈N es monótona y aco-tada, entonces converge.

DEFINICIÓN 1.13 (Subsucesión). Sean x = (xn)n∈N una sucesión y φ : N →N una función estrictamente creciente. A la aplicación

x ◦ φ : N → R,

se le llama subsucesión de (xn)n∈N y se la nota por (xφ(n))n∈N.

PROPOSICIÓN 1.24. Sea (xn)n∈N una sucesión convergente, entonces toda sub-sucesión de ésta sucesión también converge.

1.1 Resumen 7

DEFINICIÓN 1.14. Sean (xn)n∈N una sucesión y x ∈ R. A x ∈ R se lo lla-ma punto de acumulación de (xn)n∈N si existe una subsucesión (xφ(n))n∈N

que converge a x.

PROPOSICIÓN 1.25. Toda sucesión acotada posee una subsucesión monótona.

TEOREMA 1.26 (Bolzano Weierstrass). Toda sucesión acotada posee unasubsucesión convergente.

1.1.3. Sucesiones de Cauchy

DEFINICIÓN 1.15 (Sucesión de Cauchy). Sea (xn)n∈N una sucesión, se di-ce de Cauchy si,

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N ⇒ |xn − xm| < ǫ).

PROPOSICIÓN 1.27. Toda sucesión convergente es de Cauchy.

PROPOSICIÓN 1.28. Toda sucesión de Cauchy es acotada.

PROPOSICIÓN 1.29. Si una sucesión de Cauchy posee una subsucesión conver-gente entonces converge.

TEOREMA 1.30. Si (xn)n∈N es de Cauchy, entonces es convergente.

1.1.4. Series

DEFINICIÓN 1.16. Sea (xn)n∈N una sucesión, se define:

s0 = x0; y

sn = sn−1 + xn n > 1,

para todo n ∈ N \ {0}. A la sucesión (sn)n∈N se la llama la serie de tér-mino general xn y se la representa por:

+∞

∑n=0

xn o ∑n∈N

xn.


Si (sn)n∈N converge a L. Se dice que la serie es convergente y se nota:

+∞

∑n=0

xn = L.

OBSERVACIÓN. Si+∞

∑n=0

xn converge, entonces:

lımn→ +∞

sn = lımn→ +∞

n

∑m=0

xm =+∞

∑n=0

xn.

PROPOSICIÓN 1.31. Sean+∞

∑n=0

an y+∞

∑n=0

bn series de términos positivos; si ambas

convergen hacia a y b respectivamente, y α ∈ R, entonces

•+∞

∑n=0

(an + bn) converge, además

+∞

∑n=0

(an + bn) =+∞

∑n=0

an ++∞

∑n=0

bn = a + b; y

•+∞

∑n=0

α · xn converge, además

+∞

∑n=0

α · xn = α ·+∞

∑n=0

xn.

PROPOSICIÓN 1.32. La serie+∞

∑n=0

1np converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.

PROPOSICIÓN 1.33. La serie+∞

∑n=0

rn converge si |r| < 1, y además, su límite es

+∞

∑n=0

rn =1

1 − r.

PROPOSICIÓN 1.34 (Criterio del límite del término general). Si+∞

∑n=0

an conver-

ge, entonces lımn→ +∞

an = 0.

PROPOSICIÓN 1.35 (Criterio de comparación). Sean+∞

∑n=0

an y+∞

∑n=0

bn series de

1.1 Resumen 9

términos positivos. Si existen c ∈ R y N ∈ N tales que

an < c · bn,

para todo n > N, entonces

• si+∞

∑n=0

bn converge, entonces+∞

∑n=0

an también converge; y

• si+∞

∑n=0

bn no converge, entonces+∞

∑n=0

an tampoco converge.

DEFINICIÓN 1.17 (Convergencia absoluta). Dada+∞

∑n=0

an, se dice que con-

verge absolutamente, si la serie+∞

∑n=0

|an| converge. Si+∞

∑n=0

an converge pero

+∞

∑n=0

|an| no converge, entonces se dice que la serie+∞

∑n=0

an converge condi-

cionalmente.

PROPOSICIÓN 1.36 (Series alternantes). Sea (an)n∈N una sucesión decrecientey convergente a cero, entonces la serie

+∞

∑n=0

(−1n) · an,

es convergente.

PROPOSICIÓN 1.37. Sea+∞

∑n=0

an absolutamente convergente, entonces+∞

∑n=0

an con-

verge.

PROPOSICIÓN 1.38 (Criterio de d’Alambert). Sea (an)n∈N una sucesión de tér-

minos distintos de cero. Si lımn→ +∞

|an+1||an|

= L, entonces

• si L < 1, entonces+∞

∑n=0

an es absolutamente convergente.

• si L > 1, entonces+∞

∑n=0

an no es absolutamente convergente.


DEFINICIÓN 1.18. Sean+∞

∑n=0

an una serie y φ : N → N una función biyec-

tiva. Una reordenación de la serie es la serie

+∞

∑n=0

aφ(n).

PROPOSICIÓN 1.39. Si+∞

∑n=0

an converge absolutamente, toda reordenación con-

verge al mismo límite.

PROPOSICIÓN 1.40. Sea+∞

∑n=0

an una serie condicionalmente convergente. Para

todo c ∈ R existe un reordenamiento tal que:

+∞

∑n=0

aφ(n) = c.

1.2 Ejercicios resueltos 11

1.2. Ejercicios resueltos

EJERCICIO 1.1. Sea A = {x ∈ R : 0 ≤ x}. Demuestre que A tiene cotainferior pero no superior.

Demostración. Primero demostremos que A tiene cota inferior, es decir, demos-tremos que:

(∃a ∈ R)(∀x ∈ A)(a ≤ x).

Sea x ∈ A, por lo tanto, se tiene que 0 ≤ x. Así, se tiene que 0 es una cotainferior de A.

Ahora, demostremos que A no es acotada superiormente, por reducción alabsurdo, supongamos que existe b ∈ R tal que

(∀x ∈ A)(x ≤ b).

Como 0 ∈ A, se tiene que 0 ≤ b. Por otro lado, b < b+ 1, por lo tanto, 0 ≤ b+ 1,de donde, se obtiene que b + 1 ∈ A. Así, se tiene que b + 1 ≤ b, lo cual escontradictorio, por lo tanto, A no es acotado superiormente.

EJERCICIO 1.2. Halle el supremo e ínfimo del conjunto (0, 1].

Solución. Definamos A = (0, 1] = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1}. Demostraremos quesup(A) = 1.

• Sea x ∈ A, por definición de A

x ≤ 1.

• Supongamos que c ∈ R es tal que

(∀x ∈ A)(x ≤ c),

como 1 ∈ A, se tiene que 1 ≤ c.

Así, se tiene que en efecto sup(A) = 1.

Ahora, demostraremos que ınf(A) = 0.

• Sea x ∈ A, por definición de A se tiene que 0 < x, de donde,

0 ≤ x.


• Supongamos que c ∈ R es tal que

(∀x ∈ A)(c ≤ x),

queremos demostrar que c ≤ 0. Por reducción al absurdo, supongamosque c > 0, tomando x = mın{1, c/2}, se tiene que x ∈ A, por lo tantox ≤ c, de donde

c ≤ c

2,

es decir 1 ≤ 12 , lo cual es contradictorio, por lo tanto, c ≤ 0.

Así, se tiene que en efecto ınf(A) = 0.

EJERCICIO 1.3. Demuestre que ınf({

1n : n ∈ N∗

})

= 0.

Demostración. Para esta demostración, utilizaremos la Proposición 1.2.

• Sea n ∈ N∗, entonces n > 0, por lo tanto, 1n > 0.

• Ahora, debemos demostrar que cumple

(∀ǫ > 0)(∃n ∈ N∗)(

1n < 0 + ǫ

)

.

Sea ǫ > 0, gracias a la Propiedad Arquimediana, existe n ∈ N tal que1ǫ < n, así,

1n< ǫ.

Por lo tanto, gracias a la Proposición 1.2, se tiene que ınf({

1n : n ∈ N∗

})

=

0.

EJERCICIO 1.4. Halle el supremo de A ={

1 − 12n+1 : n ∈ N

}

.

Solución. Demostraremos que sup(A) = 1. Es decir, demostraremos que

• (∀n ∈ N)(

1 − 12n+1 ≤ 1

)

; y

• si (∀n ∈ N)(

1 − 12n+1 ≤ c

)

, entonces 1 ≤ c.


Sea n ∈ N, se tiene que

2n + 1 > 0 =⇒ 12n + 1

> 0

=⇒ − 12n + 1

< 0

=⇒ 1 − 12n + 1

< 1,

es decir, 1 es una cota superior del conjunto.

Ahora, supongamos que c ∈ R es tal que

(∀n ∈ N)(

1 − 12n+1 ≤ c

)

,

debemos demostrar que 1 ≤ c. Por reducción al absurdo, supongamos quec < 1, gracias a la Propiedad Arquimediana, existe n ∈ N tal que

11 − c

< n,

lo cual equivale a

c < 1 − 12n + 1

.

Pero, dado que c es una cota superior del conjunto, se tiene que

1 − 12n + 1

≤ c,

lo cual es contradictorio, por lo tanto, 1 ≤ c. Es decir, en efecto, sup(A) = 1.

EJERCICIO 1.5. Sea A ⊆ R un conjunto acotado. Demuestre que

sup(−A) = − ınf(A).

Demostración. Sea α = ınf(A), por la Proposición 1.2, se tiene que

i) (∀x ∈ A)(α ≤ x); y

ii) (∀ǫ > 0)(∃y ∈ A)(y < α + ǫ).

Demostraremos que −α = sup(−A) utilizando la Proposición 1.2, es decir,demostraremos que

• (∀x ∈ −A)(x ≤ −α); y


• (∀ǫ > 0)(∃z ∈ −A)(−α − ǫ < z).

Sea x ∈ −A, se tiene que −x ∈ A. Por i), tenemos que α ≤ −x es decir

x ≤ −α.

Ahora, sea ǫ > 0. Por b), existe y ∈ A tal que

y < α + ǫ,

por lo tanto,−α − ǫ < −y,

pero −y es elemento de −A, de donde, tomando z = −y se tienen que z ∈ −A

y que−α − ǫ < z,

por lo tanto, −α = sup(−A).

EJERCICIO 1.6. Sean A ⊆ R y λ ∈ R. Se define el conjunto

λA = {λx ∈ R : x ∈ A},

demostrar que

a) si λ > 0, entonces sup(λA) = λ · sup(A); y

b) si λ < 0, entonces sup(λA) = λ · ınf(A).

Demostración. Sean α = sup(λA), β = sup(A) y γ = ınf(A).

a) Supongamos que λ > 0, debemos demostrar que α = λ · β. Por la defini-ción de supremos se tiene que

i) (∀x ∈ A)(λx ≤ α);

ii) si (∀x ∈ A)(λx ≤ c), entonces α ≤ c;

iii) (∀x ∈ A)(x ≤ β); y

iv) si (∀x ∈ A)(x ≤ d), entonces β ≤ d.

Empecemos demostrando que λβ ≤ α. Sea x ∈ A, por i), se tiene queλx ≤ α, es decir

x ≤ α

λ.


Con esto, por iv), obtenemos que β ≤ α

λ, de donde

λβ ≤ α.

Ahora demostremos que α ≤ λβ. Sea x ∈ A, por iii), se tiene que x ≤ β,por lo tanto

λx ≤ λβ.

Con esto, por ii) se obtiene que α ≤ λβ. Por lo tanto, se obtiene que α = λβ,es decir,

sup(λA) = λ · sup(A).

b) Supongamos que λ < 0, debemos demostrar que α = λ · γ. Así, se tienenlas siguientes propiedades:

i) (∀x ∈ A)(λx ≤ α);

ii) si (∀x ∈ A)(λx ≤ c), entonces α ≤ c;

iii) (∀y ∈ A)(γ ≤ y); y

iv) si (∀y ∈ A)(d ≤ y), entonces d ≤ γ.

Empecemos demostrando que α ≥ λγ. Sea x ∈ A, por i), se tiene queλx ≤ α, es decir

x ≥ α

λ.

Con esto, por iv), obtenemosα

λ≤ γ, de donde

α ≥ λγ.

Ahora demostremos que α ≤ λγ. Sea x ∈ A, por iii), se tiene que x ≥ γ,por lo tanto

λx ≤ λγ,

Con esto, por ii) se obtiene que α ≤ λγ. Por lo tanto, se obtiene que α = λγ,es decir,

sup(λA) = λ · ınf(A).

EJERCICIO 1.7. Sean a, b ∈ R tales que a < b. Demuestre que existe unacantidad infinita de números racionales en el intervalo (a, b).

Demostración. Definamos el conjunto

Q = {q ∈ Q : a < q < b}.


Supongamos, por reducción al absurdo, que Q es finito, por lo tanto existemax(Q), llamémoslo r. Se tiene que r ∈ Q, además, a < r < b. Por densidaden R, existe q ∈ Q tal que

a < r < q < b,

entonces q ∈ Q. Al ser r el máximo se tiene que q ≤ r, lo cual es contradictorio.Por lo tanto, Q es infinito, es decir, existe una cantidad infinita de númerosracionales en el intervalo (a, b).

EJERCICIO 1.8. Sean a, b ∈ R. Demuestre que∣

∣|a| − |b|∣

∣ ≤ |a − b|.

Demostración. Usando la desigualdad triangular tenemos que

|a| = |a − b + b| ≤ |a − b|+ |b| y |b| = |b − a + a| ≤ |b − a|+ |a|.

Así, tenemos que

|a| − |b| ≤ |a − b| y |b| − |a| ≤ |a − b|,

por lo tanto−|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|,

de donde, se concluye que∣

∣|a| − |b|∣

∣ ≤ |a − b|.

EJERCICIO 1.9. Sea (xn)n∈N una sucesión. Demuestre que si xn → a cuan-do n → ∞, entonces |xn| → |a| cuando n → ∞

Demostración. Supongamos que xn → a cuando n → ∞, es decir, supongamosque

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n > N =⇒ |xn − a| < ǫ).

Queremos demostrar que |xn| → |a| cuando n → ∞,es decir,

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n > N =⇒∣

∣|xn| − |a|∣

∣ < ǫ).

Sea ǫ > 0, por hipótesis, para n ∈ N, se tiene que

∣

∣|xn| − |a|∣

∣ < |xn − a|.

Así, para ǫ > 0, existe N ∈ N tal que si n > N, entonces

∣

∣|xn| − |a|∣

∣ < |xn − a| < ǫ.


Es decir, |xn| → |a|, cuando n → +∞.

EJERCICIO 1.10. Demuestre quecos(

√n)

n2 → 0 cuando n → ∞

Demostración. Sabemos que, para todo n ∈ N∗,

−1n2 ≤ cos(

√n)

n2 ≤ 1n2 .

Ahora, dado que−1n2 → 0 y

1n2 → 0

cuando n → +∞, entonces, por el Teorema del Sánduche, se concluye que

cos(√

n)

n2 → 0

cuando n → +∞.

EJERCICIO 1.11. Demuestre que la sucesión (xn)n∈N definida por

xn =2n

∑k=n+1

1k

para n ∈ N∗ es convergente.

Demostración. En primer lugar, notemos que, para n ∈ N,

xn =2n

∑k=n+1

1k=

1n + 1

+1

n + 2+

1n + 3

+1

n + 4+ · · ·+ 1

2n

≤ 1n + 1

+1

n + 1+

1n + 1

+1

n + 1+ · · ·+ 1

n + 1

=1

n + 1· (2n − n − 1 + 1)

=n

n + 1< 1.

de lo cual se sigue que (xn)n∈N está acotada. Por otro lado, tenemos que

xn − xn+1 =2n

∑k=n+1

1k−

2n+2

∑k=n+2

1k


=1

n + 1−

2n+2

∑k=2n+1

1k

=1

n + 1− 1

2n + 1− 1

2n + 2

=− 12(n + 1)(2n + 1)

< 0,

de lo cual se sigue quexn < xn+1

para todo n ∈ N; es decir, (xn)n∈N es monótona. Así por la Proposición 1.23 seconcluye que (xn)n∈N converge.

EJERCICIO 1.12. Demostrar, si xn → x, yn → y, cuando n → +∞, entonces|xn − yn| → |x − y|, cuando n → +∞.

Demostración. Sea ǫ > 0, para n ∈ N, se tiene que

∣

∣|xn − yn| − |x − y|∣

∣ ≤ |(xn − yn)− (x − y)|≤ |(xn − x)− (yn − y)|≤ |xn − x|+ |yn − y|.

Para ǫ2 > 0, existen N1, N2 ∈ N tal que

n ≥ N1 =⇒ |xn − x| < ǫ

2y n ≥ N2 =⇒ |yn − y| < ǫ

2.

Con esto, tomando N = max{N1, N2}, se sigue que

n ≥ N =⇒∣

∣|xn − yn| − |x − y|∣

∣ <ǫ

2+

ǫ

2= ǫ.

EJERCICIO 1.13. Sean A ⊆ R, y s = sup A. Demostrar que existe unasucesión (xn)n∈N de elementos de A tal que xn → s cuando n → ∞

Demostración. Si s ∈ A, podemos tomar la sucesión dado por xn = s, para todon ∈ N, asi (xn)n∈N es la sucesión constante y converge a s.

Por otro lado, supongamos que s 6∈ A, como s es el supremo de A, se cum-ple que

i) (∀x ∈ A)(x ≤ s); y


ii) (∀ǫ > 0)(∃y ∈ A)(s − ǫ < y).

Para n ∈ N, 1n+1 > 0. Por ii), existe y ∈ A tal que

s − 1n + 1

< y,

es decir

An =

{

y ∈ A : s − 1n< y

}

6= ∅.

Así, {An}n∈N es una familia de conjuntos no vacíos. Por el Axioma de Elección,existe (xn)n∈N una sucesión de elementos de A tal que

xn ∈ An ⊆ A,

para todo n ∈ N, además, como s es el supremo de A y xn ∈ An ⊆ A, paratodo n ∈ N, se obtiene

s − 1n + 1

< xn ≤ s,

para todo n ∈ N. Aplicando el Teorema del Sanduche, se tiene

xn → s,

cuando n → +∞.

EJERCICIO 1.14. Sea (xn)n∈N una sucesión acotada de números reales. Sedefinen las sucesiones (sn)n∈N y (in)n∈N por

sn = sup{xk : k ≥ n} y in = ınf{xk : k ≥ n},

para todo n ∈ N. Demostrar que estas sucesiones convergen y especi-ficar su valor. A estos se los conoce como límite superior y límite inferior,respectivamente, notándolos por

lım supn→∞

xn y lım infn→∞

xn.

Demostrar finalmente que lım supn→∞

xn ≤ lım infn→∞

xn.

Demostración. Definamos, para n ∈ N, el conjunto Sn = {xk : k ≥ n}, se tieneque sn = sup(Sn). Por otro lado, para n ∈ N, se tiene que

Sn+1 = {xn+1, xn+2, xn+3, . . .} ⊆ {xn, xn+1, xn+2, xn+3, . . .} = Sn,


por lo tanto,sn+1 = sup(Sn+1) ≤ sup(Sn) = sn

para n ∈ N, es decir, la sucesión (sn)n∈N es decreciente. Además, como (xn)n∈N

es acotada, se tiene que (sn)n∈N es acotada, pues

ınf(S0) ≤ sn ≤ sup S0

para todo n ∈ N. Ahora, como (sn)n∈N es monótona y acotada, por la Propo-sición 1.23, se tiene que es convergente, además, se tiene que

lımn→∞

sn = ınfn∈N

sn.

Procediendo de manera análoga, se tiene que (in)n∈N es creciente y acota-da, por lo tanto, también es convergente. Además,

lımn→∞

in = supn∈N

sn.

Finalmente, dado que, para n ∈ N, se tiene que

in ≤ xn ≤ sn,

entonceslım inf

n→∞xn = lım

n→∞in ≤ lım

n→∞sn = lım sup

n→∞

xn.

EJERCICIO 1.15. Demostrar, por la definición, que la sucesión(

n2+nn2+3

)

n∈N

es de Cauchy.

Demostración. Sea ǫ > 0, para n, m ∈ N se tiene que

∣

∣

∣

∣

n2 + n

n2 + 3− m2 + m

m2 + 3

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

n2 + n

n2 + 3− m2 + m

m2 + 3

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

1 +n2 + n

n2 + 3− 1 − m2 + m

m2 + 3

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

n − 3n2 + 3

− m − 3m2 + 3

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

n − 3n2 + 3

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

m − 3m2 + 3

∣

∣

∣

∣


Para n, m > 3, se tiene que

∣

∣

∣

∣

n2 + n

n2 + 3− m2 + m

m2 + 3

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

n − 3n2 + 3

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

m − 3m2 + 3

∣

∣

∣

∣

=n − 3n2 + 3

+m − 3m2 + 3

≤ n

n2 +m

m2

=1n+

1m

.

Utilizando la Propiedad Arquimediana para 2ǫ , existe M ∈ N tal que

2ǫ< M,

Tomando N = max{3, M}, se cumple, pues si n, m > N, entonces

2ǫ< m y

2ǫ< n,

por lo tanto∣

∣

∣

∣

n2 + n

n2 + 3− m2 + m

m2 + 3

∣

∣

∣

∣

≤ 1n+

1m

<ǫ

2+

ǫ

2= ǫ.

EJERCICIO 1.16. Toda sucesión de Cauchy es acotada.

Demostración. Sea (xn)n∈N debemos demostrar que es acotada, es decir queexiste un M > 0 tal que |xn| < M para todo n ∈ N. Como (xn)n∈N es unasucesión de Cauchy, entonces

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N =⇒ |xn − xm| < ǫ)

Para ǫ = 1, existe N ∈ N tal que

n, m > N =⇒ |xn − xm| < 1

Ahora, se tiene que, si n > N, entonces

|xn| − |xN+1| ≤ |xn − xN+1| < 1,

por lo tanto,|xn| < 1 + |xN+1|.


Así, tomando M = max{|x0|, |x1|, . . . , |xN |, 1 + |xN+1|}, se tiene que

|xn| ≤ M

para todo n ∈ N.

EJERCICIO 1.17. Sean (xn)n∈N, y (yn)n∈N sucesiones de Cauchy.

a) Demuestre que la sucesión (xn + yn)n∈N también es de Cauchy.

b) Demuestre que la sucesión (xn · yn)n∈N también es de Cauchy.

Demostración.

a) Empecemos demostrando que

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N ⇒ |(xn + yn)− (xm + ym)| < ǫ).

Sea ǫ > 0; para n, m ∈ N, se tiene que

|(xn + yn)− (xm + ym)| = |(xn − xm) + (yn − ym)|≤ |xn − xm|+ |yn − ym|.

Ahora, como (xn)n∈N y (yn)n∈N son sucesiones de Cauchy, se tiene quepara ǫ

2 > 0, existen N1, N2 ∈ N tal que

n, m > N1 =⇒ |xn − xm| <ǫ

2y n, m > N2 =⇒ |yn − ym| <

ǫ

2.

Tomando N = max(N1, N2), para n, m > N se sigue que:

|(xn + yn)− (xm + ym)| ≤ |xn − xm|+ |yn − ym|

<ǫ

2+

ǫ

2= ǫ.

De lo cual, se concluye que (xn + yn)n∈N es una sucesión de Cauchy.

b) Ahora demostremos que

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)(n, m > N ⇒ |xnyn − xmym| < ǫ).

Sea ǫ > 0; para n, m ∈ N, se tiene que

|xnyn − xmym| = |xnyn + xnym − xnym + xmym)|


= |(xnyn − xnym) + (xnym − xm − ym)|≤ |xnyn − xnym|+ |xnym − xm − ym|= |xn||yn − ym|+ |ym||xn − xm|.

Luego, como (xn)n∈N,(yn)n∈N son sucesiones de Cauchy, entonces estánacotadas, es decir, existen M, L > 0 tal que

|xk| ≤ L y |yk| ≤ M

para todo k ∈ N. Por lo tanto se tiene que

|xnyn − xmym| ≤ L|yn − ym|+ M|xn − xm|.

Paraǫ

2M> 0 y

ǫ

2L> 0, existen N3, N4 ∈ N tal que

n, m > N3 =⇒ |xn − xm| <ǫ

2My n, m > N4 =⇒ |yn − ym| <

ǫ

2L.

Finalmente, tomando N = max(N3, N4), para n, m > N, se sigue que

|xnyn − xmym| ≤ L|yn − ym|+ M|xn − xm|

< M( ǫ

2M

)

+ L( ǫ

2L

)

=ǫ

2+

ǫ

2= ǫ.

Así, (xn · yn)n∈N es una sucesión de Cauchy.

EJERCICIO 1.18. Sea+∞

∑n=0

an una serie de términos no negativos. Demuestre

que la convergencia de+∞

∑n=0

an implica la convergencia de la serie

+∞

∑n=1

√an

n.

Demostración. Como(√

an −1n

)2

≥ 0, para todo n ∈ N r {0}, se sigue que

√an

n≤ 1

2

(

an +1n2

)

. (1.1)

Luego, por hipótesis se conoce que+∞

∑n=0

an converge y además, por la Proposi-


ción 1.32 se tiene que+∞

∑n=0

1n2 también converge. Así, por el criterio de compa-

ración aplicado en (1.1), se sigue que+∞

∑n=0

√an

nconverge.

EJERCICIO 1.19. Sea+∞

∑n=0

an una serie convergente tal que an ≥ 0 para todo

n ∈ N. Demuestre que la serie+∞

∑n=0

a2n converge.

Demostración. Como+∞

∑n=0

an converge, entonces para un n suficientemente gran-

de se tiene que an < 1, por lo tanto

a2n < an.

Luego, por el criterio de comparación se sigue que+∞

∑n=0

a2n converge.

EJERCICIO 1.20. Sean+∞

∑n=0

an una serie y+∞

∑n=0

bn, la serie en la cual los tér-

minos son los mismos y en el mismo orden que en ∑+∞n=0 an, excepto que

los términos para los cuales an = 0 han sido omitidos. Pruebe que ∑+∞n=0 an

converge a L si y sólo si ∑+∞n=0 bn converge a L.

Demostración. Dado que los términos para los que an = 0 han sido omitidos, la

sucesión de sumas iniciales,

(

k

∑n=0

bn

)

k∈N

, es una subsucesión de

(

k

∑n=0

an

)

k∈N

.

Por lo tanto si+∞

∑n=0

an converge a L, entonces+∞

∑n=0

bn converge a L.

Recíprocamente, si+∞

∑n=0

bn converge a L, se tiene que:

(∀ǫ > 0)(∃N ∈ N)

(

n > N ⇒∣

∣

∣

∣

∣

n

∑k=0

bk − L

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ

)

.


Sea ǫ > 0, entonces existe N1 ∈ N tal que si n > N1 se tiene que:∣

∣

∣

∣

∣

n

∑k=0

bk − L

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ.

De acuerdo a la definición de los términos de la serie+∞

∑n=0

bn se tiene que existe

N2 ∈ N tal que∣

∣

∣

∣

∣

N1

∑k=0

bk

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

N2

∑k=0

ak

∣

∣

∣

∣

∣

Tomando N = N2 se tiene que si n > N, entonces existe un n′ ∈ N, tal que∣

∣

∣

∣

∣

n

∑k=0

ak − L

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

n′

∑k=0

bk − L

∣

∣

∣

∣

∣

,

además n′> N1, por lo tanto

∣

∣

∣

∣

∣

n

∑k=0

ak − L

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

n′

∑k=0

bk − L

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ,

de lo cual se sigue que+∞

∑n=0

an converge a L.

EJERCICIO 1.21. ¿Puede existir un ejemplo de una serie convergente+∞

∑n=0

xn,

y una serie divergente+∞

∑n=0

yn tal que+∞

∑n=0

(xn + yn) sea convergente? Expli-

que.

Demostración. Supongamos que+∞

∑n=0

xn, y+∞

∑n=0

(xn + yn) convergen pero+∞

∑n=0

yn

no converge, entonces por la Proposición 1.31 se sigue que

+∞

∑n=0

yn =+∞

∑n=0

(xn + yn)−+∞

∑n=0

xn

es convergente, lo que contradice el supuesto de que+∞

∑n=0

yn no converge. Así

no existen una serie convergente+∞

∑n=0

xn, y una serie divergente+∞

∑n=0

yn tal que


+∞

∑n=0

(xn + yn) sea convergente.

El presente fascículo recolecta las principales definiciones, proposiciones yteoremas sobre Sucesiones y series de números reales, vistos en el curso deAnálisis Real, dictado en la carrera de Matemática de la Escuela PolitécnicaNacional. Además, presenta un compendio de ejercicios resueltos referentesa este tema, los cuales han sido desarrollados por Edison Tamayo, Ronny To-nato y Farhad Ghadiri estudiantes de la Facultad de Ciencias, bajo la super-visión de Andrés Merino, profesor del Departamento de Matemática, quienha dictado dicha asignatura.Cualquier corrección, propuesta de cambio o mejora del presente trabajo sela puede realizar al correo: [email protected] .

9 780000 000002

ISBN 978-0000-000-00-2

Proyecto CLAVEMAT

Análisis Real

[email protected]

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