Ejercicio nº 1.-

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo:5

237 8312401 logloglog +−

.100

calcula0,7Sib)3

= klogklog

Ejercicio nº 2.-

Obtén el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 4; 0,8; 0,16; 0,032; …

b) 2, 9, 28, 65, 126, …

Ejercicio nº 3.-

Resuelve:

=+

−=−

6511

12a)

yx

yx

212

312b) +−<−− xxx

Ejercicio nº 4.-

Resuelve el siguiente triángulo:

50m,16m,12 === Ccb ˆ

Ejercicio nº 5.-

a) Demuestra la igualdad:

( ) ( ) xtgxcos

senxcosxsenxcosx 222

22

=−−+

b) Resuelve la ecuación:

132 −= senxxcos

Ejercicio nº 6.-

302binómica forma en Escribea) =z

polar. ybinómica forma en conjugado su yopuesto su Hallab). y,Representa) c zzz −

Ejercicio nº 7.-

Halla:

( ) 28

3122a) i

ii −

+−+

3 27b) i

Ejercicio nº 8.-

( ) ( ) ( ) alineados. esténk10,y51,,23,puntos los que para de valor el Halla CBAk −

Ejercicio nº 9.-

( ) 0.32 recta la a respecto 12, de simétrico punto del scoordenada las Halla =−+ yxP

Ejercicio nº 10.-

Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P (1, 3), y que es tangente a la recta r : 4x + 3y − 1 = 0.

Ejercicio nº 11.-

Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que obtengas:

442a) 2

2

0 +−−−

→ xxxxlim

x

442b) 2

2

+−−−

+ ∞→ xxxxlim

x

442c) 2

2

+−−−

→ xxxxlim

x 2

Ejercicio nº 12.-

( ) :caso cada en Calcula xf'

( )3128a) 35 +−= xxxf

( ) ( ) xexxxf 3b) 4 −=

( )

−=

1c) 2x

xsenxf

Ejercicio nº 13.-

( ) . 2abscisa de punto el en 32 curva la a tangente recta la de ecuación la Hallaa) 2 =−= xxxxf( ) e.decrecient es que los en ycreciente esque los en tramos los Hallab) xf

Ejercicio nº 14.-

a) Estudia la continuidad de la siguiente función:

( )

>≤−=

0si20si2 2

xxxxxf

b) Represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 15.-

a) Representa gráficamente la siguiente función:

( ) 24 8xxxf −=

b) Ayudándote de la gráfica, estudia el dominio de f (x), su continuidad y los intervalos decrecimiento y decrecimiento de la función.

Ejercicio nº 16.-

a) Representa gráficamente la siguiente función:

( )2

2

1 xxxf−

=

( ).xf de ntodecrecimie de yocrecimient de intervalos los ydcontinuida la estudia gráfica, la de partirA b)

Ejercicio nº 17.-

Las estaturas y los pesos de cinco personas vienen recogidas en la siguiente tabla:

Estatura (cm) 160 150 160 170 150

Peso (kg) 55 58 53 60 51

Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión de esta distribución. ¿Qué podemos afirmar acerca de la relación entre estas dos variables?

Ejercicio nº 18.-

[ ] ( ) [ ] 43'' y32';21:que sabemos , y sucesos, dos De =∪== BAPBPAPBA

[ ] [ ] [ ] .'ABP yBAP,BAP ∩Calcula

Ejercicio nº 19.-

En una empresa, el 40% de los trabajadores son mujeres. El 5% de los hombres ocupa un puesto directivo y el 10% de la mujeres también. Si elegimos una persona de la empresa al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Ocupe un puesto directivo.b) Sea una mujer, sabiendo que ocupa un puesto directivo.

Ejercicio nº 20.-

Lanzamos un dado cinco veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Más de tres unos.b) Ningún uno.

Ejercicio nº 21.-

( ).16100, es óndistribuci cuya variable una es lintelectua cociente El N Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un cociente intelectual:

a) Superior a 120.b) Entre 90 y 110.

Ejercicio nº 22.-

La probabilidad de que un determinado producto salga defectuoso es del 0,5%. Si se han fabricado 1 000 productos, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 20 defectuosos?

Ejercicio nº 1.-

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo:5

237 8312401 logloglog +−

.100

calcula0,7Sib)3

= klogklog

Solución:

1051

53

214

53

214237) 53

221

34

7 =++=+

−−=+− − loglogloga

77,1223,0127,031102

3110100

100) 2313

3

−=−=⋅−⋅=−=−=−= logkloglogkloglogklogklogb

Ejercicio nº 2.-

Obtén el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 4; 0,8; 0,16; 0,032; …

b) 2, 9, 28, 65, 126, …

Solución:

a) Es una progresión geométrica con a1 = 4 y r = 0,2. Por tanto:

( ) 1204 −⋅= nn ,a

1b) 3 += nan

Ejercicio nº 3.-

Resuelve:

=+

−=−

6511

12a)

yx

yx

212

312b) +−<−− xxx

Solución:

yx 21)a +−=

( )( ) ( )

0623101051266

2152166566

566511

22 =+−⇒+−=+−

+−=+−+⇒=+

=+⇒=+

yyyyyy

yyyyxyxy

xyxyyx

−=→==

=→=±=−±=52

103

206

32

201723

2024052923

xy

xyy

( ) ( )13612122)b +−<−− xxx3361224 −−<−− xxx

( )11,intervalo11 ∞−→<x

Ejercicio nº 4.-

Resuelve el siguiente triángulo:

50m,16m,12 === Ccb ˆ

Solución:

:ˆángulo el hallar para senos los de teorema el Aplicamos B•

5016

ˆ12

ˆˆ senBsenCsenc

Bsenb =→=

"1'435ˆ;57,016

5012ˆ

=== BsenBsen

:seráˆángulo El A•

( ) "59'5594ˆˆ180ˆ =+−= CBA

• Para hallar el lado a, aplicamos de nuevo el teorema de los senos:

m 81,2050

16)"59'5594(ˆˆ =→=→= a

sensena

Csenc

Asena

• Por tanto, la solución es:

50ˆ;m 16"1'435B̂m; 12

"59'5594ˆm; 91,20

====

==

Ccb

Aa

Ejercicio nº 5.-

a) Demuestra la igualdad:

( ) ( ) xtgxcos

senxcosxsenxcosx 222

22

=−−+

b) Resuelve la ecuación:

132 −= senxxcos

Solución:

( ) ( ) ( ) =−+−++=−−+xcos

xcosxsenxsenxcosxcosxsenxsenxcosxcos

xsenxcosxsenxcos2

222

a)222222

( )xtg

xoscxsen

xoscxsenxsen

xoscxsenxsen 22

222

22121

22121

==+−+=−−+

=

132b) −= xsenxosc

02320232

13113

2

2

22

22

=−+=+−−

−=−−−=−

xsenxsenxsenxsen

xsenxsenxsenxsenxsenxcos

−=

==±=+±=vale)(no2

21

42

453

41693

sen

xsenxsen

Z∈

+=→+=

+=→+=→= k

kxkx

kxkxxsen con

26

5360150

26

36030

21

22

11

ππ

ππ

Ejercicio nº 6.-

302binómica forma en Escribea) =z

polar. ybinómica forma en conjugado su yopuesto su Hallab). y,Representa) c zzz −

Solución:

( ) iiisenz +=

+=+== 3

21

23

23030cos22a)30

21023:b) =−−=− izOpuesto

33023: =−= izConjugado

c)

i

−i−Z Z

Z

−

−

Ejercicio nº 7.-

Halla:

( ) 28

3122a) i

ii −

+−+

3 27b) i

Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=−−−

−−−−=−−−+−

−−+=−+−

+ 131

6262131313122

3122a) 22

228

iiii

iiiii

ii

( )=−−=−

−=−−=−

++−−= 1

5421

104221

10841

91682 iiii

iii54

53

543

5542 −−=−−=−−=

2,1,0 para332727b)12030

336090

390

3 ====++

ninn

Las tres raíces son:

ii23

233

21

23

3330 +=

+=

ii23

233

21

23

33150 +−

=

+−=

( ) ii 3033270 −=−=

Ejercicio nº 8.-

( ) ( ) ( ) alineados. esténk10,y51,,23,puntos los que para de valor el Halla CBAk −

Solución:

:alesproporcion ser de han de y de scoordenada las alineados, estén que Para ACAB

( )( )

( )253

24924922

27

72

2772 −=→−=+→=+−→

−=+

+=−= kkkk

k,AC,AB

Ejercicio nº 9.-

( ) 0.32 recta la a respecto 12, de simétrico punto del scoordenada las Halla =−+ yxP

Solución:

M

P (2,1)

r :x+2y–3=0

P'

• Hallamos la recta, s, perpendicular a r que pase por P:

032:301402

=−−→−=→=+−=+−

yxskkkyx

• Hallamos el punto de corte, M, de r y s:

→

=

=

=−=+

=−−=−+

53,

59

5359

3232

032032 M

y

x

yxyx

yxyx

( ) :entonces,,' si Así,. de medio punto el es yxPPP'M•

=

++

53,

59

21,

22 yx

=

=

==

=+=+

=+

=+

5158

1585

65518510

53

21

59

22

y

x

yx

yx

y

x

.51,

58' tanto, Por

P

Ejercicio nº 10.-

Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto P (1, 3), y que es tangente a la recta r : 4x + 3y − 1 = 0.

Solución:

• El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, P (1, 3), a la recta tangente,r : 4x + 3y − 1 = 0:

( )5

1225

|194|916

|13·31·4|, =−+=+

−+== rPdistR

• La ecuación de la circunferencia será:

( ) ( ) :decir es ;5

12312

22

=−+− yx

( ) ( ) 025

1066225

14431 2222 =−−−+→=−+− yxyxyx

25x2 + 25 y2 − 50x −150y −106 = 0

Ejercicio nº 11.-

Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que obtengas:

442a) 2

2

0 +−−−

→ xxxxlim

x

442b) 2

2

+−−−

+ ∞→ xxxxlim

x

442c) 2

2

+−−−

→ xxxxlim

x 2

Solución:

21

42

442a) 2

2

0

−=−=+−

−−→ xx

xxlimx

144

2b) 2

2

=+−

−−+ ∞→ xx

xxlimx

( ) ( )( )

( )( )2

12

1244

2c)222

2

2 −+=

−+−=

+−−−

→→→ xxlim

xxxlim

xxxxlim

xxx

Hallamos los límites laterales:

+ ∞=−+− ∞=

−+

+− →→ 21;

21

22 xxlim

xxlim

xx

Representación:

1 2− 1

1

Ejercicio nº 12.-

( ) :caso cada en Calcula xf'

( )3128a) 35 +−= xxxf

( ) ( ) xexxxf 3b) 4 −=

( )

−=

1c) 2x

xsenxf

Solución:

( ) 24 640'a) xxxf −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxx exxxexxxexxexxf 334334334'b) 344343 −−+=−+−=−+−=

( )( )

=−

⋅−−⋅

−=

22

2

2

1

211

'c)x

xxxx

xcosxf

( ) ( )

−⋅

−

−−=−

−−⋅

−=

11

1

1

211 2

22

2

22

22

2 xxcos

x

x

x

xxx

xcos

Ejercicio nº 13.-

( ) . 2abscisa de punto el en 32 curva la a tangente recta la de ecuación la Hallaa) 2 =−= xxxxf( ) e.decrecient es que los en ycreciente esque los en tramos los Hallab) xf

Solución:

( ) xxf 62'a) −=•

( ) .102' es recta la de pendiente La −=• f.8,2 Cuando −==• yx

• La recta será:

( ) 1210201082108 +−=+−−=−−−= xxxyb) • Estudiamos el signo de la derivada:

31

6262062

31

6262062

>⇒>⇒<⇒<−

<⇒<⇒>⇒>−

xxxx

xxxx

.31 en máximo un tiene y ,,

31 en edecrecient y

31, en creciente Es =

∞+

∞−• x

Ejercicio nº 14.-

a) Estudia la continuidad de la siguiente función:

( )

>≤−=

0si20si2 2

xxxxxf

b) Represéntala gráficamente.

Solución:

continua. es función la ,0 Sia) ≠• x:0 Si =• x

( ) ( )( ) ( ) .0 en adiscontinu es función Ladistintos. Son

02

22

00

2

00 =

==

=−=

++

−−

→→

→→ xxlimxflim

xlimxflim

xx

xx

parábola. de trozo un es ,0 Sib) ≤• xrecta. de trozo un es,0 Si >• x

• La gráfica es:

− 4 − 2− 2

− 4

24

2 4

Y

X

Ejercicio nº 15.-

a) Representa gráficamente la siguiente función:

( ) 24 8xxxf −=

b) Ayudándote de la gráfica, estudia el dominio de f (x), su continuidad y los intervalos decrecimiento y decrecimiento de la función.

Solución:

( ) ( ) + ∞=−+ ∞=−•+ ∞→∞→

2424 88a) xxlim;xxlimx-x

• Puntos de corte con los ejes:

( ) 088 eje el Con 2224 =−=−→ xxxxX

→==

→−=−=

→=

0)(2,8;Punto8,28

0)(-2,8;Punto8,28

0)(0,Punto0

x

x

x

( )0,0 Punto00 eje el Con →=→=→ yxY• Puntos singulares:

( )

−→=

−−→−=

→=

=−=−=

)16,2(Punto2

)16,2(Punto2

)0,0(Punto0

044164)(' 23

x

x

x

xxxxxf

• Gráfica:

− 4 − 2

10

2 4

− 20

Y

X

20

− 10

b) • Dominio = R• Es una función continua.

( ) ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞−• ,,,, 202encrecientey202 en edecrecient Es

Ejercicio nº 16.-

a) Representa gráficamente la siguiente función:

( )2

2

1 xxxf−

=

( ).xf de ntodecrecimie de yocrecimient de intervalos los ydcontinuida la estudia gráfica, la de partirA b)

Solución:

{ }11Dominioa) ,−−=• R• Puntos de corte con los ejes:

( )0,0 Punto00 ejeel Con 2 →=→=→ xxX( )0,0 Punto00 ejeel Con →=→=→ yxY

• Asíntotas verticales: x = −1 y x = 1.

( ) ( )( ) ( ) − ∞=+ ∞=

+ ∞=− ∞=

+−

+−

→→

−→−→

xflimxflim

xflimxflim

xx

xx

11

11;

;

• Asíntota horizontal: y = −1

( ) ( ) 1;1 −=−=+ ∞→− ∞→

xflimxflimxx

• Puntos singulares:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

1

2

1

222

1

212' 2222

33

22

22=

−=

−

+−=−

−⋅−−=x

x

x

xxx

x

xxxxxf

( )0,0 Punto00 →=→=⇒ yx

• Gráfica:

− 4 − 2

2

2 4

− 4

Y

X

4

− 2

b)• Continuidad:

continua.es,1y1 Si ≠−≠ xx).verticales (asíntotas infinitas ramas dos tiene pues a,discontinu es 1 eny 1 En =−= xx

( ) ( ) ( ) ( ) .,11,0en creciente y 0,11, en eDecrecient ∞+∪−∪−∞−•

Ejercicio nº 17.-

Las estaturas y los pesos de cinco personas vienen recogidas en la siguiente tabla:

Estatura (cm) 160 150 160 170 150

Peso (kg) 55 58 53 60 51

Halla el coeficiente de correlación y la recta de regresión de esta distribución. ¿Qué podemos afirmar acerca de la relación entre estas dos variables?

Solución:

• Llamamos x a la estatura e y al peso.

x i y i x i2 y i

2 x i y i

160 55 25600 3025 8800

150 58 22500 3364 8700

160 53 25600 2809 8480

170 60 28900 3600 10200

150 61 22500 2601 7650

790 277 125100 15399 43850

Medias:

4,555

277;1585

790 ==== yx

Desviaciones típicas:

26,364,104,555399.15

48,71561585100.125

2

2

==−=

==−=

y

x

σ

σ

8,124,551585830.43 :Covarianza =⋅−=xyσ

520263487

812 :ncorrelació de eCoeficient ,,,

,r =⋅

=•

• Recta de regresión:

( ) 06,1923,015823,04,5523,056

8,12 +=−+=→== xxymyx

• La relación entre las dos variables es positiva (a mayor estatura, mayor peso), pero débil.

Ejercicio nº 18.-

[ ] ( ) [ ] 43'' y32';21:que sabemos , y sucesos, dos De =∪== BAPBPAPBA

[ ] [ ] [ ] .'ABP yBAP,BAP ∩Calcula

Solución:

[ ] ( )[ ] [ ] [ ]41431''' =∩⇒=∩−=∩=∪• BAPBAPBAPBAP

[ ] [ ]31

321

32' =−=⇒=• BPBP

[ ] [ ][ ] 4

33141

==∩

=BP

BAPBAP

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] 6

521125

211

41

32

1''' ==

−

−=

−∩−

=∩

=•AP

BAPBPAP

ABPABP

Ejercicio nº 19.-

En una empresa, el 40% de los trabajadores son mujeres. El 5% de los hombres ocupa un puesto directivo y el 10% de la mujeres también. Si elegimos una persona de la empresa al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Ocupe un puesto directivo.b) Sea una mujer, sabiendo que ocupa un puesto directivo.

Solución:

• Hacemos un diagrama en árbol:

[ ] 07,003,004,0a) =+=DP

[ ] [ ][ ] 57,0

07,004,0 y )b ===

DPDMPDMP

Ejercicio nº 20.-

Lanzamos un dado cinco veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Más de tres unos.b) Ningún uno.

Solución:

.61,5 binomial una de trata Se

• B

[ ] [ ] [ ] =

⋅

+

⋅

⋅

==+==>

54

61

55

65

61

45543a) xPxPxP

00334,0626

61

655 555 ==+⋅=

[ ] 402,0650b)

5

=

==xP

Ejercicio nº 21.-

( ).16100, es óndistribuci cuya variable una es lintelectua cociente El N Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga un cociente intelectual:

a) Superior a 120.b) Entre 90 y 110.

Solución:

( ) ( )1,0 es 16,100 es NzNx →

[ ] [ ] =>=

−>=> 25,1

16100120120a) zPzPxP

[ ] 1056,08944,0125,11 =−=≤−= zP

[ ] =

−<<−=<<

16100110

161009011090b) zPxP

[ ] [ ] 4714,017357,02163,0263,063,0 =−⋅=−<=<<−= zPzP

0,63− 0,63

Ejercicio nº 22.-

La probabilidad de que un determinado producto salga defectuoso es del 0,5%. Si se han fabricado 1 000 productos, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 20 defectuosos?

Solución:

( ) [ ].20 calcular que tenemos ,005,0;1000 llamamos Si <= xPBx .Lo hacemos aproximando con una normal:

23,2;5005,01000 ===⋅=⋅= nPqPn σµ

• Entonces:

( ) ( ) ( )1,0 es 23,2;5 es '005,0;1000 es NzNxBx →→

• Así:

[ ] [ ] [ ] 15,623,2

55,195,19'20 =≤=

−≤=≤=< zPzPxPxP