1

INTEGRACIÓ

Un dels ingredients fonamentals del càlcul de Leibniz són les regles per a la manipulació dels símbols " ∫" i "d" de la integral i la diferencial. Això reflecteix les seves idees filosòfiques de buscar un llenguatge simbòlic i operacional per representar els conceptes i idees del pensament de tal manera que els raonaments i arguments es puguin escriure per símbols i fórmules.

2

CALCUL DE PRIMITIVES

F és una primitiva de f si F’(x)=f(x)

Immediatament podem afegir que:

Si F és una primitiva de f, també ho és F(x)+C on C és una constant qualsevol.

Això és degut a que la derivada d’una constant és 0.

Si F és una primitiva de f, totes les primitives de f són del tipus F(x)+C, on C és una constant qualsevol.

3

Exercicis:1) Troba tres primitives de f(x)=x2+x

2) Troba les primitives de f(x)=x/2 que passen per: (0,-2), (0,0) i (0,2)

3) Troba la primitiva de la funció f(x)= x2 que passa per l’origen.

4)Troba la primitiva de f(x)=1-x-x2 que talla l’eix OX en el punt 3.

El símbol ∫ f ( x )dx designa qualsevol primitiva de f(x)

Per tant, escriurem ∫ f ( x )dx =F(x) + C quan sigui F’(x)=f(x)

TAULA DE PRIMITIVES IMMEDIATES

LINEALITAT DE LA INTEGRACIÓ

∫ [ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫ f ( x ) dx+∫ g ( x )dx

Això es pot llegir així: Per obtenir una primitiva de f+g se suma una primitiva de f amb una altra de g.

∫ kf (x )dx=k∫ f ( x )dx

Exercicis:

4

1) Troba aquestes integrals:

∫ x2+x−13x2

dx∫ 5 x2−6 x+43 x dx∫ 5 sinx−2cosx3 dx∫ √x+2 3√x2

x dx

∫ ( cosx−sinx ) dx2) Troba aquestes integrals:

∫(sin¿¿32 x)cos2xdx∫√ x2+2 x ( x+1 ) dx¿

∫ x2

x3+5dx∫ dx

1−4 x∫e−5 x−1dx∫cos x−53 dx∫ 4 cosx3 sinx

dx

∫ 114−3 x

dx∫ x√1−x2

dx∫ x2sin (x3−1 )dx

INTEGRACIÓ PER PARTS

Aquest mètode d’integració prové també de l’aplicació d’una regla de derivació: la derivada d’un producte de funcions.

Sabem que

[f(x)·g(x)]’ = f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)

Integrem aquests dos membres. Com que la integració és l’operació inversa de la derivació, s’obté per al primer membre:

∫ [ f ( x ) · g ( x ) ]' dx=f ( x ) · g ( x )

Per tant:

f(x)·g(x)=∫ f ' ( x ) · g ( x )dx+∫ f ( x ) · g ' ( x )dx

Si sabem calcular una de les integrals ja hem trobat l’altra.

La regla d’integració per parts s’enuncia així:

∫ f ' ( x ) · g ( x )dx=f ( x ) · g ( x )−∫ f ( x ) · g' ( x )dx

Per aplicar-la és necessari:

-Adonar-se que la funció que s’integra és de la forma f’(x)·g(x)

-Ser capaços de trobar una primitiva de g’(x)

-Integrar la funció f(x)·g’(x)

5

Exercicis:

∫ xcosxdx∫ x exdx∫ lnxdx∫ xlnxdx∫ xsinxdx∫ x e2xdx

INTEGRACIÓ PER CANVI DE VARIABLE

De vegades volem calcular una integral: ∫ f ( x )dx però sabem calcular ∫ f (u ( t ) ) · u' ( t )dt per a una determinada funció u(x)

Un cop s’ha trobat la integral: ∫ f (u (t ) ) · u' (t )dt només cl aïllar t a x=u(t) i fer la substitució t=u-1(x) per arribar al resultat que busquem.

Per arribar a bon port cal que la funció x=u(t) tingui inversa.

Exemple:

Suposem que volem trobar la integral ∫ 1x+√x

dx

Fem el canvi: x=t2, aleshores dx=2tdt i per tant la integral es transforma:

∫ 1t 2+√t 22tdt = ∫ 2 t

t 2+tdt=∫ 2

t+1dt=2 ln|t+1|

Desfent aquest canvi: t=√ x obtenim:

∫ 1x+√x

dx = 2ln(√ x +1)

Per què hem fet aquest canvi x=t2? Perquè √ x=√ t2=t De fet es bastant lògic pensar aquest canvi.

Exercicis:

1- Calcula les següents integrals:

∫ x√ x−1

dx canvi: t=√ x−1

∫ 1−ex

e2xdx canvi: t=ex

∫ e2 x

√ex−1dx canvi t=√ex−1

2- Calcula les següents integrals:

∫(x−1)20 xdx canvi: x-1=t

6

∫ x√ x−1

dx canvi: √ x−1=t

∫ 1+ex

1−exdx canvi: ex = t

∫ 1√1−x

dx canvi: √1−x=t

∫ 1x √1−x

dx canvi: √1−x=t

EL PROBLEMA DE L’ÀREA. LA DEFINICIÓ D’INTEGRAL

Què sabem sobre àrees?

Sabem trobar l’àrea de figures planes com ara:

Polígons:

Figures relacionades amb la circumferència:

7

Però no sabem anar més enllà, Així som incapaços de trobar l’àrea que hi ha continguda dins una el·lipse o la que és limitada per la paràbola de la figura i una de les seves corbes.

De moment calcularem l’àrea limitada pel gràfic d’una funció y=f(x) , l’eix OX , i les verticals per dos punts qualsevol: x=a, x=b.

8

Estudi d’un problema. L’àrea del segment parabòlic:

El procediment d’aproximacions successives que seguirem queda plasmat en la seqüència de gràfics que veurem tot seguit.

Potser pot sorprendre que no es trianguli la zona, com es fa amb els polígons. La raó per la qual dividim el segment parabòlic en rectangles és simplement per la comoditat de càlcul i per l’èxit final de l’operació.

Observeu amb deteniment els gràfics:

9

10

Les aproximacions buscades donen àrees per excés. Si observes la seqüència de figures te’n adonaràs que, a mesura que creix el nombre de parts en què dividim l’interval [0,1], les aproximacions són cada vegada millors: cada vegada ens passem menys i , per tant, cada vegada ens aproximem més al valor vertader de l’àrea.

Geomètricament, la cosa és clara: si ombregem l’error comès a cada una de les aproximacions, observarem que l’error total va disminuint. Arribarà un moment en què, pràcticament, és imperceptible.

Deixem volar la imaginació i atrevim-nos un moment a pensar què passaria si dividíssim l’interval [0,1] en infinites parts. Si fóssim capaços de trobar la suma dels infinits rectangles és segur que obtindríem el valor vertader de l’àrea sense cap error.

El procediment seria:

limn→∞

Sn= 1n3

(12+22+32+....+n2) ( aquest límit és relativament senzill)

Però en altres casos la cosa es complica.

APROXIMACIÓ DE L’ÀREA SOTA UNA CORBA

Si coneixem l’equació d’una corba y=f(x) com calcularem l’àrea entre la corba, l’eix X i dues abscisses, x=a i x=b?

11

Una idea consisteix en aproximar l’àrea mitjançant rectangles amb base a l’eix X i altura el mínim valor que pren la funció en aquest tram.

Si l’interval [a,b] s’ha partit en n trossos no necessàriament iguals,

a=x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn=b

i anomenem mi al valor més petit que pren la funció en el tram [xi-1 , xi] l’àrea que obtenim és ( blava):

m1(x1-x0) + m2(x2-x1) + m3(x3-x2) +...+mn(xn-xn-1)=∑i=1

n

mi(x i−x i−1)

Aquesta àrea és evidentment més petita ( o com a molt igual) que l’àrea que estem buscant.

També podríem haver aproximat per excés, prenent com altura de cada rectangle el valor més gran Mi que pren la funció a l’interval corresponent.

M1(x1-x0) + M2(x2-x1) + M3(x3-x2) +...+Mn(xn-xn-1)=∑i=1

n

M i(x i−x i−1)

Com aproximar-nos més al valor de l’àrea que busquem? Evidentment, si prenem uns rectangles més fins, és a dir, si els punts x i els prenem cada un més a prop del següent, tant l’àrea per defecte com l’àrea per excés s’aproximen més que abans a l’àrea del recinte. I si enlloc de prendre el valor màxim o el mínim de cada interval, prenem un valor entremig, l’aproximació podria ser millor encara.

INTEGRAL D’UNA FUNCIÓ

Si f és una funció continua a l’interval [a,b], l’àrea entre la gràfica de f, l’eix X i les abscisses x=a i x=b l’anomenem:

∫a

b

f

Que es llegeix dient integral entre a i b de f.

Mirem com calcular-la:

L’interval [a,b] el partim en trossos mitjançant una sèrie de punts:

12

a=x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn=b

A aquesta col·lecció de punts l’anomenem partició de [a,b]. A la major de les distàncies entre punts consecutius xi-xi-1, és a dir, al major dels segments en que ha quedat partit [a,b] l’anomenem diàmetre de la partició.

A cada partició, P, de [a,b] li associem, com hem fet abans, una àrea per defecte, s, i una àrea per excés, S:

s=∑i=1

n

mi(x i−x i−1)

S=∑i=1

n

M i(x i−x i−1)

Per a les quals es verifica, evidentment:

s ≤ ∫a

b

f≤ S

Si el diàmetre P és molt petit, la diferència S-s és, també, petita, i en

conseqüència, tant s com S són molt pròximes a ∫a

b

f . I també ho serà, amb

més raó, qualsevol àrea intermèdia, s* que s’obtingui de la següent manera:

s* = ∑ f (ci)(x i−x i−1) ci, és un punt qualsevol de (x i−x i−1)

Aleshores: s ≤ s* ≤ S

D’aquesta manera la ∫a

b

f la podem obtenir amb tanta aproximació com

necessitem, prenent una partició suficientment fina ( és a dir amb el diàmetre suficientment petit), escollint un punt c, en cada sub-interval i calculat la suma s*

El valor exacte s’obtindria per un mecanisme de pas al límit, fent que el diàmetre de la partició tendeixi a 0.

Una altra notació habitual de la integral és: ∫a

b

f ( x )dx

Aquest símbol el va fer servir per primera vegada Leibniz, i dona una idea resumidament del procés que segueix:

El símbol ∫ recorda una S, que és la primera lletra de la paraula llatina Summa.

Els nombre a i b són els extrems de l’interval d’integració.

13

Dx representa una part infinitament petita de l’eix OX, la divisió de cada subdivisió quan n tendeix a infinit. D’aquesta manera f(x)dx representa l’àrea de rectangles infinitament prims: dx seria la base i f(x) l’altura. Quan x es mou des de a fins a b, es van obtenint aquests rectangles i la integral ∫ s’encarrega de sumar-ne les àrees.

En conjunt, i d’un punt de vista intuïtiu, la integral es converteix en una suma d’infinits sumands, cadascun dels quals és infinitament petit. Aquesta idea és molt suggestiva, però nosaltres sabem que és un límit.

PROPIETATS DE LA INTEGRAL

Totes les següents propietats són raonables, intuïtives.

1- ∫a

a

f (x )dx=0

2- Si f ( x )>0en [a ,b ]aleshores∫a

b

f ( x )dx>0

3- Si f ( x )<0en [a ,b ]aleshores∫a

b

f (x )dx<0

4- Si a<c<b aleshores:

∫a

c

f (x )dx+∫c

b

f (x)dx=∫a

b

f (x)dx

5-∫a

b

f (x )dx+∫a

b

g(x )dx=∫a

b

( f (x )+g ( x ))dx

6-

∫a

b

kf (x)dx=k∫a

b

f (x )dx si k és unaconstant

En general no és compleix:

¿

14

ni altres moltes que suposin fer compatible la integració amb altres operacions: quocients, arrels, potències, etc.

LA INTEGRAL I LA SEVA RELACIÓ AMB LA DERIVADA

La funció àrea:

Donada una funció f, continua en [a,b] podem calcular:∫a

c

f (x )dx per cada c Є

[a,b]

Considerem la nova funció:

F(x)=∫a

x

f (x )dx on x Є[a,b]

Que és l’àrea continguda sota f entre a i un punt variable x. Es veu intuïtivament que la rapidesa de creixement de F ( és a dir F’) augmenta si augmenta f.

De fet es dona la següent relació, senzilla però importantíssima:

F’(x)=f(x)

És a dir, la funció sota la qual està l’àrea que estem considerant és igual a la derivada de la funció àrea.

En aquesta relació se l’anomena TEOREMA FONAMENTAL DEL CÀLCUL. Conseqüència d’aquest teorema és la següent regla:

REGLA DE BARROW

Volem calcular ∫a

b

f ( x )dxi coneixem una funció F(x) que té per derivada f(x):

F’(x)=f(x)

Una tal funció s’anomena una primitiva de f(x). Aleshores podem dir que:

15

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

APLICACIONS AL CÀLCUL D’ÀREES

Àrea entre una corba i l’eix OX

Observa el gràfic:

Si per calcular l’àrea entre una corba f(x), l’eix X i dues abscisses a i b ens limitem a obtenir el valor de la integral:

∫a

b

f (x )dx

Ens exposem a equivocar-nos, ja que si la corba talla a l’eix X, la integral compensa àrees positives i negatives i el seu valor no coincideix amb el que nosaltres volem trobar.

El més correcte és calcular per separat la integral de cada tram que queda a un mateix costat de l’eix X. Per a que no us veieu en la necessitat de representar la corba et suggerim que segueixis aquest esquema:

1- Resol l’equació f(x)=0 per saber els punts de tall de la corba amb l’eix X

2- Selecciona les arrels que estiguin entre a i b ( en el dibuix anterior c i d) i ordena-les a < c < d < b

3- Calcula les següents integrals en valor absolut i suma-les, així tindràs l’àrea real que volies calcular:

16

|∫a

c

f (x)dx|+|∫c

d

f (x )dx|+|∫d

b

f (x )dx|Àrea entre dues corbes:

L’àrea compresa entre dues corbes f i g és igual a l’àrea compresa entre la funció diferència f-g i l’eix X.

Exercicis:1-

2-

3-

4-Troba les àrees limitades per les funcions donades:a) y=x2+1 l’eix OX des de x=1 a x=3b) y=ex l’eix OX des x=0 a x=1

17

c) y=x2-1 l’eix OX x=0 i x=3d) y=x2 i y = 2xe) y=3x2+x+1 l’eix OX x=1 i x=2f) y=x2+x-2 l’eix OX amb x Є[-2,1]g) y=(x2+x-2)(x-3) i l’eix OX

h) y=-x2+6x-4 i y= x2+45

i) y=-x2+x i la recta y=-xj) y=x3+2x2-x+3, y=x3+x+3 , x=2 i x=-2k) y=x2-4x i y=6x-x2

l) y= x2

2−2x , y=12 x amb x Є[0,6]

m) y=x3+x2, y=x3+3x+4, x=3 i x=6n) y=x3-5x2+6x i l’eix OXo) y=4x-x2 i y=xp) y=x2-2x-8 i l’eix OXq) y=x2-5 i y=2x+3r) y=x2-4 i y=-2x2+8

5-

6-

18