INVESTIGACION OPERATIVA Ing. Napoleon Castro Es buscar la forma de que funcione adecuadamente una empresa, maximizar los resultados positivos y minimizar los errores. Se lo realiza mediante un marco teorico sumado a las matematicas para la toma de decisiones. Es un proceso que se centra en problemas o busca una necesidad e investiga como resolver el problema o subsanar la necesidad. Se la identifica a traves de la obtencion de informacion para conocer la naturaleza y origen de las falencias. La informacion se obtiene a traves de los libros ( Bibliografia ), los expertos en determinado campo de accion ( Quienes manejan el tema o desarrollan su vida en ello ), la linea intermedia de informacion y la hemerografia ( Revistas, periodicos, medios escritos o en video ) En nuestro caso se debe desarrollar un Sistema Contable Financiero Administrativo acorde a la realidad de nuestro entorno. El desarrollo de la recopilacion de informacion y regresarla actualizada para resolver los problemas de la empresa a traves de sistemas informaticos. Se origina en la 1ra Guerra Mundial y se desarrollo aun mas en la 2da Guerra Mundial, se ponia enfasis en elegir los mejores animales, vestimenta, equipamiento, alimentacion y armamento para resistir la batalla. Se mejoro inicialmente a el mejoramiento de las armas, se desarrollaron empresas para desarrollar y crear nuevas armas, la vestimenta, el equipamiento, la alimentacion ( conservas ) el transporte ( automovil ) todo esto en la 1ra Guerra Mundial. En la 2da Guerra Mundial se supera los logros anteriores con vehiculos terrestres y aereos como las armas de destruccion masiva y la preocupacion por el combustible que mueve al mundo. Se crea nuevas y mejores vestimentas, transporte y articulos de todo tipo miniaturizandolo y mejorando los articulos que tambien beneficiaron al comun de la gente. Cuando se apela a las necesidades de las personas, se cambia el pensamiento de la produccion y se necesita personas que se especialicen en temas de materia prima, desarrollo de productos, etc. Minimizar Z = 5x + 2y min z = 5x + 2y Minimizar gastos y costos o funcion objetiva. Objetivo X material 1 y Y material 2 Restricciones

x+y6 3x + 2y 30 2x + y 5

Menor o igual

x,y0 Transformar informacion en un modelo matematico para minimizar las restricciones para la Toma de Decisiones Con un metodo se aplica un modelo, en este caso Programacion Lineal con graficos lineales o Metodo Grafico del cual se interpretara lo plasmado en el. Los metodos mas aplicados son el Metodo Grafico, Metodo Algebraico y el Metodo Simplex. Maximizar max z = 3x + 2y Inecuasion x + 2y 6 2x + y 8 -x+y1 x0 y0 Igualo a 0 x + 2y 6 0 + 2y = 6 y=3 x + 2 (0) = 6 x=6 2x + y 8 2 (0) + y = 8 y=8 2x + y 8 2x + 0 = 8 x=4 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 5 -x+y1 0+y=1 y=1 -x+y1 - x +0 = 1 x = -1 Conjunto convexo de soluciones Planes de accion a, b, c y d lo que queda fuera del grafico no es plausible. x=0,y=0 ecuasion Par ordenado (6,3) ( 4 ,8 ) ( -1 , 1 ) (0,0) 6 4 -1 0 3 8 1 0

6

dos positivos y

ver el problema

en de las falencias.

e informacion

e ponia enfasis

enor o igual

inimizar las restricciones para

ales o Metodo Grafico del

onjunto convexo de soluciones anes de accion a, b, c y d que queda fuera del grafico no

7

Tipos de Restricciones - Estructurales - No negatividad

objetivo Estructurales No negatividad

max z = 3x + 2y x + 2y 6 2x + y 8 -x + y 1 x0 y0

1.- Tomar la inecuacion e igualamos a 0 max z = 3x + 2y x + 2y 6 2x + y 8 -x + y 1 x0 y0

x+2y=6 (0)+2y=6 y=6/2 y=3 x+2(0)=6 x=6

2x+y=8 2(0)+y=8 y=8

-x+y=1 -0+y=1 y=1

2x+0=8 x=8/2 x=4 (x,y) (4,8)

-x+0=1 x=-1

(x,y) (6,3) 2.- Graficamos 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3

(x,y) ( -1 , 1 )

-x+y=1 x+2y=6

2x+y=8 x+2y=6

4

5

6

7

b -x+y=1 x+2y=6 0+3y=7 y=7/3 y=2,33 Reemplazamos en cualquier ecuasion -x+2,33=1 -x=1-2,33 -x=-1,33 x=1,33 x+2(2,33)=6 x+4,66=6 x=6-4,66 x=1,34

c 2x+y=8 x+2y=6

Multiplicamos *-2 para eliminar una incognita (-2)2x+(-2)y=(-2)*8 -4x-2y=-16 x+2y=6 -3x+0=-10 -x=-10/3 x=3,33 o bien (-2)x+(-2)2y=(-2)*6 -2x-4y=-12 o bien 2x+y=8 -2x-4y=-12 0-3y=-4 -y=-4/3 y=1,33

Reemplazamos en la ecuasion x+2y=6 3,33+2y=6 2y=6-3,33 2y=2,67 y=2,67/2 y=1,34 o bien 2x+y=8 2(3,33)+y=8 6,66+y=8 y=8-6,66 y=1,34

s = Conjunto convexo de soluciones Tabla de valores objetivo Puntos a b c dCoordenadas max z = 3x + 2y Soluciones

(0;1) ( 1,34 ; 2,33 ) ( 3,33 ; 1,33 ) (4;0)

3(0)+2(1)3(1,34)+2(2,33) 3(3,33)+2(1,33)

3(4)+2(0)

2.00 8.68 12.65 12.00

8 7 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 5

-x+y=1 x+2y=6

2x+y=8 x+2y=6

6

7

f x + 2y = 6 -x + y = 1 3y=7 y = 2,33

Reemplazo x + 2y = 6 x + 2(2,33) = 6 x = 1,34

g 2x + y = 8 -x + y = 1

Reemplazo ( multiplico por 2 para eliminar x ) 2x + y = 8 -2x + 2y = 1(2) 0x + 3y = 10 y = 3,33 Reemplazo 2x + y = 8 2x+3,33=8 2x=8-3,33 x=4,67/2 x=2,34

objetivo Puntos e f g h Coordenadas max z = 3x + 2y Soluciones (0;3) 3(0)+2(3) 6.00 ( 1,34 ; 2,33 ) 3(1,34)+2(2,33) 8.68 ( 2,34 ; 3,33 ) 3(2,34)+2(3,33) 13.68 (0;8) 3(0)+2(8) 16.00

Ejercicio Una empresa fabrica dos productos en la siguiente tabla se resume las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada producto en uno y otro departamento. El problema consiste en determinar el numero de unidades que hay que fabricar de cada producto con el objetivo de maximizar la produccion total a los costos fijos y a las utilidades. x y Producto Producto Capacidad de A B trabajo sem. Maximizar el rendimiento DEP. 1 3h/u 2h/u 120 h DEP. 2 4h/u 6h/u 260 h Margen Util. $ 5 / u $6/u max u = 5 x + 6 y 3x + 2 y 120 4x + 6 y 260 x0 y0 3x + 2 y 120 3(0) + 2 y = 120 y = 60 3x + 2 (0) = 120 x = 40 ( 40 ; 60 ) DEP. 2 Siempre mayor o igual que 0

DEP. A DEP. B

DEP. 1

4x + 6 y 260 4(0) + 6 y = 260 y = 43.33 4x + 6 (0) = 260 x = 65,00 ( 65 ; 43,3 )

60 50 40 30 20 10 0 10 20 objetivo

3x + 2 y = 120

4x + 6 y = 260

30

40

50

60

65

Puntos a b c

Soluciones Coordenadas max u = 5 x + 6 y Utilidad ( 0 ; 43,33 ) 5(0)+6(43,3) $259.80 ( 20 ; 30 ) 5(20+6(30) $280.00 ( 40 ; 0 ) 5(40)+6(0) $200.00

(-3) 3x + 2 y = 120 multiplico por -3 4x + 6 y = 260 -9x - 6y = -360 4x + 6 y = 260 -5x = -100 x = 20

3x + 2 y = 120 3(20) + 2 y = 120 2y = 120 - 60 y = 30

Solucion Se debe producir 20 Unidades tipo a y 30 unidades tipo b para obtener la maxima utilidad de $ 280

Minimizacion min z = 10 x + 16 y x 400 y 200 x + y = 500 x0 y0 1.- Tomar la inecuacion e igualamos a 0 x 400 y 200 x + 0 = 400 0 + y = 200 x= 400 y = 200 y x = 400 y = 200 500 400 300 200 100 0 100 cReemplazo x

x + y = 500 0 + y = 500 y = 500

x + y = 500 x + 0 = 500 x = 500

(400 ; 0 ) (0 ; 200 ) (500 ; 500 )

x + y = 500

200 b

300Reemplazo y

400

500

x

x + y = 500 x = 400 y = 200

x + y = 500 400 + y = 500 y = 500 - 400 y= 100

x + y = 500 x + 200 = 500 x = 500 - 200 x = 300

( 400 ; 100 ) ( 300 ; 200 )

500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500

objetivo Puntos a b c d SolucionCoordenadas min z = 10 x + 16 y

( 0 ; 500 ) 10(0)+16(500) ( 300 ; 200 ) 10(300)+16(200) ( 400 ; 100 ) 10(400)+16(100) ( 500 ; 0 ) 10(500)+16(0)

Soluciones Costo $8,000.00 $6,200.00 $5,600.00 $5,000.00

El minimo costo esta en producir 500 del producto x el rendimiento de la capacidad del equipo obtiene con 500 unidades Es el punto minimo de gasto o critico.

min z = 6x+10y x12 2y=36 3x+2y54 x0 y0 x=12 2y=36 3x+2y=54 x=0 y=0 (12,0) 3x+2y=54 3x+2(0)=54 3x=54 x=18 3x+2y=54 3(0)+2y=54 2y=54 y=27

y=18 x=(54-2y)/3

(0,18)

(18,27)

Puntos a b c d

Soluciones Coordenadas min z = 6x+10y Costo ( 0 ; 27 ) 6(0)+10(27) $270.00 ( 6 ; 18 ) 6(6)+10(18) $216.00 ( 12 ; 9 ) 6(12)+10(9) $162.00 ( 18 ; 0 ) 6(18)+10(0) $108.00

objetivo

b 2y=36 3x+2y=54

(-1)

Solucion El minimo costo esta en producir 18 del producto x el rendimiento de la capacidad del equipo obtiene con 18 unidades

Es el punto minimo de gasto o critico. Prueba minz=4x+4y x+3y=24 3x+y=26 x-y=6 x=0 y=0 3x+y=26 3(0)+y=26 y=26 3x+0=26 x=26/3 x=8.7

x=24-3y x=(26-y)/3 x=6+y

x+3y=24 0+3y=24 y=8 x+3y=24 x+3(0)=24 x=24

x-y=6 0-y=6 y=-6 x-y=6 x-0=6 x=6

b x+3y=24 3x+y=26

-3x-9y=-72 3x+y=26 -8y=-46 y=5.75 x+3y=24 x+3(5.75)=24 x=24-17.25 x=6.75

c x+3y=24 x-y=6

x+3y=24 3x-3y=18 4x=42 x=42/4 x=10,5 x-y=6 10,5-y=6 -y=6-10,5 y= 4,5 b 2y=36 3x+2y=54

Puntos a b c d

objetivo Soluciones Coordenadas minz=4x+4y Costo ( 0 ; 26 ) 4(0)+4(26) $104.00 ( 6,75 ; 5,75 ) 4(6,75)+4(5,75) $50.00 ( 10,5 ; 4,5 ) 4(10,5)+4(4,5) $60.00 ( 24 ; 0 ) 4(24)+4(0) $96.00

(-1)

Solucion El minimo costo esta en producir 6,7 (7) del producto x y 5,8 (6) del producto y el rendimiento de la capacidad del equipo obtiene un costo de $ 50,00 Es el punto minimo de gasto o critico. Metodo Simplex

Nos ayuda en un sistema matricial aver entre columnas y filas la solucion A traves de una variable de holgura (espacio de tiempo) +H=0 Variables reales 0 punto de inicio de la produccion # de formula 1. 2. 3. max z=130x+50y 2x+y16 x+2y11 x+3y15 max z=130x+50y+0H+0H+0H 2x+y+H=16 x+2y+H=11 x+3y+H=15

No existe en el metodo simplex x0 y0 f objetivo max z H H H

Cuando se maximiza se anade una variable de holgura y cuando se minimiza se re H / H ; H / H ; H / H = 1 Se traslada los valores de v. reales y de holgura. max z=130x+50y+0H+0H+0H 2x+y+H=16 x+2y+H=11 x+3y+H=15

Var. reales Var. holg. Solucion x y H H H 130 50 0 0 0 2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 3 0 0 1

16 11 15

Cambio de signo la funcion objetivo f objetivo max -z H H H Var. restr. Var. holg. Solucion x y H H H -130 -50 0 0 0 2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 3 0 0 1 Coeficiente

Columna pivot la que tiene mayor negativo Fila pivot se obtiene dividiendo la solucion para la co 1ra solucion 0 16 16/2=8 11 11/1=11 15 15/1=15 H Fil Piv. Menor valor indica la Fila Pivot.

En Max se toma el mayor valor de las variables reales, en este 150 de la funcion objetivo para la Columna Pivo Max= Mayor valor de la Variable Real - Coeficiente Menor ( Fila Pivot ) Max = 130 - 8 El cruce de ambos es el Pivot ( Elemento Pivot ) en este caso es 2 .

Cambiamos los valores de la variable real por el de la variable de h x -130 2 1 1 H1 0 1 0 0 max z x H H x 0 130 1 0 0 y

max z x H H

x 0 130 1 0 0

y H H H 15 65 0 0 0.5 0.5 0 0 1.5 -0.5 1 0 2.5 -0.5 0 1

1040 8 3 7

FP= C.A / P FPy= 1 / 2 FPy= 0,5 FPH1= 1 / 2 FPH1= 0,5 Fpiv. = Coef. Corresp. a Fila Pivot / Pivot

x -130 1 1

H1 -50 1 2 3

C.A - CCFP * CCCP P Para y -50 - ( (1*(-130))/2) = '-50 + (130/2) = 15 2 - ((1*1)/2) = 2 - (1/2) = 1,5 3 - ((1*1)/2) = 3 - (1/2) = 2,5 Para H1 0 - (1*1)/2 = 0 - (-130/2) = 0 + 65 = 65 0 - (1*1)/2 = 0 - (1/2) = -0,5 0 - (1*1)/2 = 0 - (1/2) = -0,5 Para Solucion 0 - (16*-130)/2 = 2080 / 2 = 1040 11 - (16*1)/2 = 11 - (16/2) = 11-8 = 3 15 - (16*1)/2 = 15 - (16/2) = 15 - 8 + 7

La solucion se da cuando x como y son cero o 1. La solucion maxima se da cuando la solucion max z es positivo. y 15 0,5 1,5 2,5 Columna pivot max z x H H max z x 0 130 1 50 0 30 x 0 y H H H 0 0 0 1 Solucion 1040 8 3 7 8 / 0,5 = 16 3 / 1,5 = 2 Fila pivot ( menor valor ) 7 / 2,5 = 2,8

0 0 1 0

-0,5 / 1,5 = -0,33 1 / 1,5 = 0,67 3 / 1,5 = 2

y H H H 0 70 -10 0

1010

Para H1 65 - ((-0,5) (15) ) / 2 = 65 + (7,5 / 1,5 ) = 65 + 5 = 70 0,5 - ((-0,5) (0,5) ) / 2 = 0,5 + (0,25/1,5) = 0,5 + 0,17 =

x H H

130 1 50 0 30

0 0,67 -0,33 0 1 -0,33 0,67 0 0 0,33 -1,67 1

7 2 2

-0,5 - ((-0,5) (2,5)) / 2 = - 0,5 + ( 1,25 / 1,5 ) = - 0,5 + 0 Para H2 0 - ((1*(15))/1,5 = 0 - (15/1,5) = -10 0 - ((1*(0,5))/1,5 = 0 - (0,5/1,5) = -0,33 0 - ((1*(2,5))/1,5 = 0 - (2,5/1,5) = -1,67

Que es la solucion definitiva. max z = 130 x + 50 y max z = 130 (8) + 50 (0) max z = 1040 max z = 130 (8) + 50 (2) max z = 1010

Para Solucion 1040 - ((3*15)/1,5) = 1040 - (4,5/1,5) = 1040 - 30 = 1 8 - ((3*0,5)/1,5) = 8 - (1,5/1,5) = 8 - 1 = 7 7 - ((3*2,5)/1,5) = 7 - (7,5/1,5) = 7 - 5 = 2

Solucion x)y 0 - (16*-130)/2 11 - (16*-1)/2 15 - (16*-1)/2 = 0 + 1040 = 1040 = 11 - 8 = 3 = 15 - 8 = 7 x)H Fpiv. = 0/2 Fpiv. = 0 Fpiv. = 0/2 Fpiv. = 0 Fpiv. = 16/2 Fpiv. = 8 x)H Fpiv. = 2/2 Fpiv. = 1 Fpiv. = 1/2 Fpiv. = 0.5

x)H Reemplazomos los valores de x max z=130x+50y max z=130(8)+50(0) max z = 1040 x)

0 - (1*-13

0 - (1*1)/

0 - (1*1)/

Los valor

a b c d

(0;5) (3;4) (7;2) (8;0)

max z=130x+50y 130(0)+50(5) 130(3)+50(4) 130(7)+50(2) 130(8)+50(0)

250 590 1010 1040

b x+2y=11 x+3y=15

x+2y=11 x+2(4)=11 x=3

2x+y=16 x+2y=11 x+3y=15

( 8 ; 16 ) ( 11 ; 5,5 ) ( 15 ; 5 )

x=(16-y)/2 x=11-2y x=15-3y

2x+y=16 2(0)+y=16 y=16 2x+(0)=16 x=8

x+2y=11 0+2y=11 y=5,5 x+2(0)=11 x=11

x+3y=15 0+3y=15 y=5 x+3(0)=15 x=15

chaveze1@hotmail.com

-2y=-36 3x+2y=54 3x=18 x=6 3x+2y=54 3(6)+2y=54 18+2y=54 y=18

c x=12 3x+2y=54 3(12)+2y=54 36+2y=54 2y=18 y=9

-2y=-36 3x+2y=54 3x=18 x=6 3x+2y=54 3(6)+2y=54 18+2y=54 y=18

c x=12 3x+2y=54 3(12)+2y=54 36+2y=54 2y=18 y=9

Variables holgura

Se aumenta una variable de holgura por cada restriccion en este caso 3 variables de holgura H con valor 0.

holgura y cuando se minimiza se resta una variable de holgura. ; H / H = 1

alores de v. reales y de holgura. o o o o 130 2 1 1 2 1 3 50 1 1 1 0 0 0 16 11 15

+0H+0H+0H

que tiene mayor negativo ene dividiendo la solucion para la columna pivot

Col. Piv Pivot

Fpiv. = Coef. Corresp. A Fila Pivot / Pivot

enor valor indica la Fila Pivot.

ncion objetivo para la Columna Pivot.

riable real por el de la variable de holgura. H H 0 0 1 0 H 0 0 0 1

Nueva fila pivot

P=2 C.A = Coeficiente Anterior

resp. a Fila Pivot / Pivot

/2) = '-50 + (130/2) = 15

-130/2) = 0 + 65 = 65

2080 / 2 = 1040 1 - (16/2) = 11-8 = 3 5 - (16/2) = 15 - 8 + 7

a pivot ( menor valor )

/ 2 = 65 + (7,5 / 1,5 ) = 65 + 5 = 70 ) / 2 = 0,5 + (0,25/1,5) = 0,5 + 0,17 = 0,67

)) / 2 = - 0,5 + ( 1,25 / 1,5 ) = - 0,5 + 0,83 = 0,33

= 0 - (15/1,5) = -10 = 0 - (0,5/1,5) = -0,33 = 0 - (2,5/1,5) = -1,67

5) = 1040 - (4,5/1,5) = 1040 - 30 = 1010 = 8 - (1,5/1,5) = 8 - 1 = 7 = 7 - (7,5/1,5) = 7 - 5 = 2

Coeficiente Anterior - Coeficiente correspondiente de la columna pivot sobre Pivot Columna de x Cof. Ant = -130 - (2 * 2)/2 Cof. Ant = -130 - 2 no existe valores negativos 1 - ( 2 * 2 )/2 1-2 = -1

1 - ( 2 * 2 )/2 1-2 = -1 Se asume valor de 0 Columna de y

-50 - (1*-130)/2 2 - (1*1)/2 3 - (1*1)/2

= -50 + 65 = 15 = 2 - 0.5 = 1.5 = 3 - 0.5 = 2.5

Para H1 0 - (1*-130)/2 0 - (1*1)/2 0 - (1*1)/2 =0 + 65 = 65 = 0 -0.5 = -0.5 = 0 -0.5 = -0.5

Los valores negativos pueden reflejarse en las holguras

-x+-2y=-11 x+3y=15 y=4

c x+2y=11 2x+y=16

-2x-4y=-22 2x+y=16 -3y=-6 y=2

x+2y=11 x+2(2)=11 x=7

aveze1@hotmail.com

a b c d

max z = 5x + 6y 3x+2y120 4x+6y260 max z = 5x + 6y + 0H1 + 0H2 3x+2y+H1=120 4x+6y+H2=260 f obj max z H1 H2 f obj max z H1 H2 v x -5 3 4 menor f obj max z H1 y v x r y 0 0 1 Solucion H1 0 1 0 H2 v x 5 3 4 r y -6 2 6 r y 6 2 6 Solucion H1 0 1 0 H2 0 0 1 Solucion H1 0 1 0 H2 0 0 1 0 120 260 120 160

6

0.67

0.17

43.33

f obj max z H1 y

v x -1 1.67 0.67

r y 0 0 1

Solucion H1 0 1 0 H2 1 -0.33 0.17 260 33.33 43.33

6

No hay solucion optima por en max z hay negativo Tomamos el mayor valor f obj max z v x -1 r y 0 Solucion H1 0 H2 1 260

H1 y

6

1.67 0.67

0 1

1 0

-0.33 0.17

33.33 43.33 33.33/1.67=19.96 43.33/0.67=64.67

f obj max z x y

v x 5 6 0 1 0

r y 0 0 1

Solucion H1 0.6 0.6 -0.4 H2 0.8 -0.2 0.3 279.96 19.96 29.96

Tanto x como y son cero o uno y las soluciones son positivas. max z = 5x+6y 5(19.96)+6(29.96) 99.8+179.76 279.56

120/2 260/6 Coef. y

60 43.33

y cambia por H2 porque son filas y columnas pivot 60 43.33 menor

Coef. y

FP=CA/P 4/6=0,67 FP=CA/P 1/6=0,17 FP=CA/P 260/6=43.33 Coef. y

C.A - CCFP * CCCP P Coeficiente Anterior - (Coeficiente correspondiente Fila Pivot * Coeficiente correspondiente Colu Para x -5- (4*-6)/6 = -5+4=-1 3- (4*2)/6 = 3-1.32 =1.67 Para H2 0-(1*-6)/6 = 1 0-(1*2)/6 = -0.33 Para Coeficiente

Coef. x

19.96 Menor 64.67

0-(260*-6)/6 = 260 120-(260*2)/6 = 33.33

.33/1.67=19.96 .33/0.67=64.67 Coef. 1/1.67=0.60 -0.33/1.67=-0.2 33.33/1.67=19.96 H1 0-(1*-1)/1.67=0.6 0-(1*0.67)/1.67=0.4 H2 1-(-0.33*-1)/1.67=1-0.2=0.8 0.17-(-0.33*0.67)/1.67=0.30 Solucion 260-(33.33*-1)/1.67=279.96 43.33-(33.33*0.67)/1.67=29.96

ot * Coeficiente correspondiente Columna Pivot ) / Pivot

Max z = 3x + 2y 0 x+2y6 2x+y8 -x+y1 x=0,y=0 x + 2y = 6 0 + 2y = 6 y=3 x + 2y = 6 x + 2 (0) = 6 x=6 Par ordenado (6,3) ( 4 ,8 ) ( -1 , 1 ) 6 4 -1

x=6-2y x=(8-y)/2 x=-1+y

2x + y = 8 2 (0) + y = 8 y=8 2x + y 8 2x + 0 = 8 x=4

-x+y1 0+y=1 y=1 -x+y1 - x +0 = 1 x = -1

3 8 1

Pto. b -x+y=1 x+2y=6 0+3y=7 y=7/3 y=2,33 x+2(2,33)=6 x+4,66=6 x=6-4,66 x=1,34

Pto. c 2x+y=8 x+2y=6

Multiplicamos *-2 para eliminar una incognita (-2)2x+(-2)y=(-2)*8 -4x-2y=-16 x+2y=6 -3x+0=-10 -x=-10/3 x=3,33 2x+y=8 -2x-4y=-12 0-3y=-4 -y=-4/3 y=1,33

Tabla de valores objetivo Puntos a b c d Solucion El maximo ingreso o utilidad esta en producir 3,33 del producto X y 1,33 del producto Y para obtener un rendimiento de 12.65 en la produccin.Coordenadas

(0;1) ( 1,34 ; 2,33 ) ( 3,33 ; 1,33 ) (4;0)

Soluciones 2.00 3(1,34)+2(2,33) 8.68 3(3,33)+2(1,33) 12.65 3(4)+2(0) 12.00max z = 3x + 2y

3(0)+2(1)

Mtodo Simplex Max z = 3x + 2y 0 x+2y6 2x+y8 -x+y1 Max z = 3x + 2y + 0H1 + 0H2 + 0H3 x+2y+H1=6 2x+y+H2=8 -x+y+H3=1 H3 0 0 0 1 SOLUC 0 6 8 1 COEF.

Max x y H1 H2 Z 3 2 0 0 H1 1 2 1 0 H2 2 1 0 1 H3 -1 1 0 0 H4 0 1 1) para maixmizar las variables reales deben ponerser con signo negativo Max Z H1 H2 H3 Max Z H1 H2 H3 Max Z H1 x x 0 0 1 x -3 1 2 -1 y x -3 1 2 -1 y -2 2 1 1 H1 y -2 2 1 1 H1 0 1 0 0 H2 H1 0 1 0 0 H2 0 0 1 0 H2 0 0 1 0

H3 0 0 0 1 H3 0 0 0 1 H3

SOLUC 0 6 8 1 SOLUC

COEF.

COEF. 0 6 6/1=6 8 8/2=4 1 1/-1=-1 COEF.

SOLUC

0.5

0

0.5

0

4

H3

0

1 2 1/2 = 0.5 0/2

0 2 1/2 0

1 2 0/2 0.5 Fila anterior al pivot en Y 1 1 1 H1 H2 * * *

0 2 8/2 0

8 2 4 columna pivot q es constante x -3 / 1 / -1 / H3 SOLUC COEF. Valores de Y 2 2 2 = = = -0.5 1.5 1.5

Nunca se toma en cuenta la Fila Pivot y -2 2 1 Max Z H1 x H3 x 0 0 1 0 y -0.5 1.5 0.5 1.5

0

0.5

0

4

Se mantienen los valores de las Holguras no afectadas Max Z H1 x H3 x 0 0 1 0 H2 0 0 y -0.5 1.5 0.5 1.5 H1 0 1 0 0 H2 H3 0 0 0 1 SOLUC COEF.

0.5

4 Valores de H2

Fila anterior al pivot en H2 1 * 1 *

Columna pivot q es constante -3 / 1 /

2 2

= =

1.5 -0.5

0 Max Z H1 x H3 x 0 0 1 0 SOLUC 0 6 1 Max Z H1 x H3 x 0 0 1 0 y y

H1 -0.5 1.5 0.5 1.5

1 H2 0 1 0 0

* H3 1.5 -0.5 0.5 0.5 x

-1

/ SOLUC COEF.

2

=

0.5

0 0 0 1

4 Valores de Solucion

H1 -0.5 1.5 0.5 1.5

8 8 8 H2 0 1 0 0

* * * H3 1.5 -0.5 0.5 0.5

-3 1 -1

/ / / SOLUC COEF. 12 2 4 5

2 2 2

= = =

12 2 5

0 0 0 1

Todava existen valores negativos en la funcin objetivo y diferentes de 0 y 1 en las variables reales, por tanto se procede nuevamente. Mayor y 0 0 1 0 -0.5 1.5 0.5 1.5

Max Z H1 x H3

x

H1 0 1 0 0

H2 1.5 -0.5 0.5 0.5

H3 0 0 0 1

SOLUC

COEF. 12 2 2/1.5=1.33 4 4/0.5=8 5 5/1.5=3.33 Menor

0

1

-0.5

2

1.5 0/1.5 = 0.00 Reemplazamos Max Z y x H3 x 0 y 1/1.5

1.5 -0.5/1.5 0.67

1.5 2/1.5 -0.33

1.5 1.33

H1 0 1 0 0 0.67

H2 -0.33

H3 0 0 0 1

SOLUC 1.33

COEF.

Valores de X x 0 1 0 Reemplazamos Max Z y x H3 x 0 0 1 0 y 0 1 0 0 H1 0.67 H2 -0.33 H3 0 0 0 1 SOLUC 1.33 COEF. 0 0 0 * * * -0.5 0.5 1.5 / / / 1.5 1.5 1.5 = = = 0 1 0

Valores de H1 H1 0 0 0 1 1 1 * * * -0.5 0.5 1.5 / / / 1.5 1.5 1.5 = = = 0.33 -0.33 -1.00

Reemplazamos Max Z y x H3 x 0 0 1 0 y 0 1 0 0 H1 0.03 0.67 -0.33 -1 H2 -0.33 H3 0 0 0 1 SOLUC 1.33 COEF.

Valores de H2 H2 1.5 0.5 0.5 Reemplazamos Max Z y x H3 x 0 0 1 0 y 0 1 0 0 H1 0.03 0.67 -0.33 -1 H2 1.33 -0.33 0.67 1 H3 0 0 0 1 SOLUC 1.33 COEF. -0.5 -0.5 -0.5 * * * -0.5 0.5 1.5 / / / 1.5 1.5 1.5 = = = 1.33 0.67 1.00

Valores de Solucion SOLUC 12 4 5 Reemplazamos Max x y H1 H2 H3 SOLUC COEF. 2 2 2 * * * -0.5 0.5 1.5 / / / 1.5 1.5 1.5 = = = 12.67 3.33 3.00

Z y x H3

0 0 1 0

0 1 0 0

0.03 0.67 -0.33 -1

1.33 -0.33 0.67 1

0 0 0 1

12.67 1.33 3.33 3

Solucin

Se cumple con la condicin que las variables reales sean 0 o 1 y que los valores de la funcion objetivo sean positivos. La solucin es igual a la que encontramos con el Mtodo Grfico.

Max Z = 3000 x + 2000 y x+2y6 2x+y8 -x+y1 y2 Funcion objetivo Max Z = 3x + 2y + 0H1 + 0H2 + 0H3 + 0H4

FP=Cant. / Pivot Cp = Cant - ((CcFp*CcCp)/P)

Holgura MAX Z 3X+2Y+0H1+0H2+0H3+0H4 x + 2y+H1=6 2x+y+H2=8 -x+y+H3=1 y+H4=2 Se copia la funcion objetivo en la matriz y tambien las ecuaciones

Max Z x + 2y+H1=6 2x+y+H2=8 -x+y+H3=1 y+H4=2 H1 H2 H3 H4

Variables reales X Y 3 2 1 2 2 1 -1 1 0 1

H1 0 1 0 0 0

VARIABLES DE HOLGURA H2 H3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

1) Para maximizar las variables reales hay que cambiar a signo negativo 2) Luego escojemos numero mayor para escoger columna PIVOT 3) Divido la solucin para la columna pivot Variables reales Max VARIABLES DE HOLGURA Z X Y H1 H2 H3 -3 -2 0 0 0 H1 1 2 1 0 0 H2 2 1 0 1 0 H3 -1 1 0 0 1 H4 0 1 0 0 0 COLUMNA PITVOT -3 1 2 PIVOT -1 0 FILA PIVOT

H2

2

1

0

1

0

3) Fila Pivot = CA / PIVOT CA= Coeficiente anterior 4) columna Pivot = CA- CCFP*CCCP PIVOT CA = Coeficiente anterior CCFP= Coeficiente correspondiente a la FILA pivor CCCP= Coeficiente correspondiente a la COLUMNA pivor

COLUMNA H1 H3 H4 COPIAR IGUAL AL ANTERIOR EN VISTA DE QUE LA VARIABLE QUE SE DESARROLLA ES L POR ENDE LAS OTRAS NO SURTEN NINGUN EFECTO Max Max Z H1 X H3 H4 Variables reales X Y 0 -0.5 0 1.5 1 0.5 0 1.5 0 1 VARIABLES DE HOLGURA H2 H3 1.5 0 -0.5 0 0.5 0 0.5 1 0 0

H1 0 1 0 0 0

SEGUIMOS CON EL PROCESO HAY VALORES NEGATIVOS DEBER CUMPLIR la condicin que las variables reales sean 0 o 1 y que los valores de la funcion objetivo sean positivos.

Max Z X H2 H3 H4

Variables reales X 0 0 1 0 0

Y -0.5 1.5 0.5 1.5 1

VARIABLES DE HOLGURA H1 H2 H3 0 1.5 0 1 -0.5 0 0 0.5 0 0 0.5 1 0 0 0

MaxFORMULADO FORMULADO FORMULADO FORMULADO FORMULADO

Variables reales X 0 1 0 0 0 Y -0.5 1 0.5 1.5 0

Z X H2 H3 H4

VARIABLES DE HOLGURA H1 H2 H3 0 1.33 0 0.67 0.33 0 0.67 0 0 1.00 1 0 0.33 0

4) columna Pivot = CA- CCFP*CCCP PIVOT

HOLGURA H4 0 0 0 0 1

SOLUC 0 6 8 1 2

COEF.

HOLGURA H4 0 0 0 0 1

SOLUC 0 6 8 1 2

COEF.

COEF.

6/1 8/2 1/-1

6.00 4.00 -1.00

0/0

0

8

8/2

4.00

VARIABLE QUE SE DESARROLLA ES LA H2

HOLGURA H4 0 0 0 0 1

SOLUC 12 2 4 5 2

COEF.

COEF.

2/1,5 4/0,5 5/1,5 2/1

1.33 8.00 3.33 2.00

FORMULADO FORMULADO FORMULADO FORMULADO

valores de la funcion

RA H4 0 0 0 0 1

SOLUC 12 2 4 5 2

COEF.

COEF.

2/1,5 4/0,5 5/1,5 2/1

1.33 8.00 3.33 2.00

RA H4 0 0 0 1

SOLUC 12.67 2 3.33 3.00 0.67

COEF.

COEF. SOLUCION

2/1,5 4/0,5 5/1,5 2/1

1.33

EJERCICIO Para fabricar pintura interiores y exteriores de casa en la distribucion al mayoreo se utilizan 2 materiales bsicos A y B para producir las pinturas la disponibilidad mxima de A es de 6 toneladas diarias, la de B es de 8 toneladas por da : la necesidad diaria de la materia prima por tonelada de pintura para interiores y exteriores se resume en la siguiente tabla: MATERIA PRIMA EXTER INTERIORES DISPONIBILIDAD A 1 2 6 B 2 1 8 X Y Demanda diaria 6 8 Un estudio del mercado a establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la demanda de pintura para exteriores en mas de 1 tonelada. Asi mismo el estudio seala que la demanda maxima de pintura para interiores esta limitada a 2 toneladas diarias. el precio al mayoreo por tonelada es $ 3,000 para la pintura de exteriores y $ 2,000 para la pintura de interiores. Cunta pintura para exteriores e interiores debe producir todos los dias para maximizar el ingreso bruto. DESARROLLO f obj.MAX ingresos - X+Y 1 6 Y2 8.

EXT. X 3000 INT. Y 2000 MODELO MATEMATICO f obj.MAX ingresos = 3000 X + 2000Y A X+2Y 6 B 2X+Y 8 - X+Y 1 Y2 X0 Y0 Restricciones produccion materia prima

Demanda diaria del mercado

Restriccin de no negatividad

METODO GRAFICO

A

x=0 y=0

A X+2Y 6 0+2Y = 6 Y=3 X+2(0)=6 X=6

A

X Y (6 , 3)

B

x=0 y=0

B 2X+Y 8 2(0) + y =8 Y=8 2X+0=8 X=4 - X+Y 1 0+Y=1 Y=1,

B

X Y (4 , 8)

D1

D1

X Y (-1 , 1)

- X + 0 =1 X=-1,

D2

Y2 Y=2

D2

X Y (0 , 2)

RESTRICCION DE NEGATIVIDAD (0 ,0 ) Y 8 7 6 5:

2X+Y=8

-X+ Y=1 Y=2

4 3 2 1 A B C D E X+2Y = 6

E -1 1 2 3 3000 2000PUNTOS COORDENADAS

4

5

6

A B C D E (B )

( 8 ,1) ( 1 ,2) ( 2 ,2) ( 3,33 1,33) (4 ,0 ) -X+ Y=1 Y=2 -X+2= 1 -X= 1-2 X=1:

MAXI =3X+2Y 3(0)+2(1) 3(1)+2(2) 3(2)+2(2) 3(3,33)+2(1,33) 3(4)+2(0) (C )

SOLUCION2,000.00 7,000.00 10,000.00 12,650.00 12,000.00

Y=2 X+2Y=6 X+2(2)=6 X=6-2 X=2

(D )

Para poder producir el maximo de ingreso de 12,650 se debe producir 3,33 toneladas diarias de pintura exterior y 1,33 de pintura interior

7

8

9

X

X+2Y=6 2X+Y=8 (-2) -2X-4Y= -12 2X+Y = 8 -3Y=4 Y= 4/3 Y=1,33 2X+Y=8 2X+1,33=8 2X=6,67 X=3,33

arias de pintura

Max Z H1 H2 H3 H4

x

y

H1

H2

H3

H4

SOLUC

COEF.

Max Z H1 H2 H3 H4

x

y

H1

H2

H3

H4

SOLUC

COEF.

Max Z H1 H2 H3 H4

x

y

H1

H2

H3

H4

SOLUC

COEF.

Max Z H1 H2 H3 H4

x

y

H1

H2

H3

H4

SOLUC

COEF.

5 de Diciembre PRUEBA 9 de Enero PRUEBA 23 de Enero EXAMEN 30 de Enero EXAMEN DE RECUPERACION Trabajo Toma de Decisiones, Inventigacion Operacional en certidumbre e incertidumbre, sistema de calculos.