metodo simplex - noel

J o s é B e c e r r a P a c h e r r e s

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”

Método Simplex Aplicación del Método Dual

2012

http://csl.unac.edu.pe/unacinux2010/images/stories/unac.png


Facultad de Ciencias Administrativas

Noel Magno Reyes Tucta Página 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Sede Callao

ASIGNATURA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TEMA

MÉTODO SIMPLEX

INTEGRANTE

Reyes Tucta, Noel Magno

DOCENTE

Lic. José Becerra Pacherres

P

Lima - Perú

Setiembre 2012

http://csl.unac.edu.pe/unacinux2010/images/stories/unac.png




PROGRAMACIÓN LINEAL

MÉTODO SIMPLEX – DUAL

EJERCICIOS 7.2

1. Maximizar

=X1 ; =X2

*Forma estándar

Z= 10x1+ 12x2+0x3+0x4-MA1-MA2 Sujeta a:

x1+x2+x3=60 x1-2x2-x3+A2=0

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0

TABLERO SIMPLEX

Cj 10 12 0 0 -1000 -1000

C1 Xk Bk X1 X2 X3 X4 A1 A2 Ɵ

0 X3 60 1 1 1 0 0 0 60

-1000 A2 0 1 -2 -1 0 0 1 0

Zj 0 -1000 2000 1000 0 0 -1000

(Cj - Zj) ≤ 0 1010 -1988 -1000 0 -1000 0

0 X3 60 0 3 2 0 0 -1 20

10 X1 0 1 -2 -1 0 0 1 NO

Zj 0 10 -20 -10 0 0 10

(Cj - Zj) ≤ 0 0 32 10 0 -1000 -1010

12 X2 20 0 1 0.67 0 0 -0.33

10 X1 40 1 0 0.33 0 0 0.33

Zj 640 10 12 11.33 0 0 -0.67

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 -11.33 0 -1000 -999.33

0

≤ 0

≥ 0 ≥ 0

Sujeta a:

VALOR ÓPTIMO X1=20 X2=40 Z=640




2. Maximizar

=X1 ; =X2

*Forma estándar

Z= 5x1+ 6x2+0x3+0x4+0x5-MA1-MA2-MA3

Sujeta a:

x1+x2+x3=80 3x1+2x2+x4=220 2x1+3x2+x5=210

(x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0

TABLERO SIMPLEX

Cj 5 6 0 0 0 -1000 -1000 -1000

C1 Xk Bk X1 X2 X3 X4 X5 A1 A2 A3 Ɵ

0 X3 80 1 1 1 0 0 0 0 0 80

0 X4 220 3 2 0 1 0 0 0 0 110

0 X5 210 2 3 0 0 1 0 0 0 70

Zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 5 6 0 0 0 -1000 -1000 -1000

0 X3 10 0.33 0 1 0 -0.33 0 0 0 30

0 X4 80.00 1.67 0 0 1 -0.67 0 0 0 48

6 X2 70 0.67 1 0 0 0.33 0 0 0 105

Zj 420 4 6 0 0 2 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 1 0 0 0 -2 -1000 -1000 -1000

5 X3 30 1 0 3 0 -1 0 0 0

0 X4 30 0 0 -5 1 1 0 0 0

6 X2 50 0 1 -2 0 1 0 0 0

Zj 450 5 6 3 0 1 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 -3 0 -1 -

1000 -

1000 -

1000

≤ 0 ≤ 0

≤ 0

≥ 0

Sujeta a:





3. Maximizar

=X1 ; =X2

*Forma estándar

Z= 4x1- 6x2+0x3+0x4+0x5-MA1-MA2-MA3 Sujeta a:

x2+x3=7 3x1-x2+x4=3

x1+x2-x5+A3=5

(x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0

TABLERO SIMPLEX

Cj 4 -6 0 0 0 -1000 -1000 -1000


0 X3 7 0 1 1 0 0 0 0 0 NO

0 X4 3 3 -1 0 1 0 0 0 0 1

-1000 A1 5 1 1 0 0 -1 0 0 1 5

Zj -5000 -1000 -1000 0 0 1000 0 0 -1000

(Cj - Zj) ≤ 0 1004 994 0 0 -1000 -1000 -1000 0

0 X3 7 0 1 1 0 0 0 0 0 7

4 X1 1 1 -0.33 0 0.33 0 0 0 0 -3

-1000 A1 4 0 1.33 0 -0.33 -1 0 0 1 3

Zj -3996 4 -

1334.67

0 334.6

7 1000 0 0 -1000

(Cj - Zj) ≤ 0 0 1328.

67 0

-334.6

7 -1000 -1000 -1000 0

0 X3 4 0 0 1 0.25 0.75 0 0 -0.75

4 X1 2 1 0 0 0.25 -0.25 0 0 0.25

-6 X2 3 0 1 0 -0.25 -0.75 0 0 0.75

Zj -10 4 -6 0 2.5 3.5 0 0 -3.5

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 0 -2.5 -3.5 -1000 -1000 -

996.5

≤

≤

≥

≥ 0

Sujeta a:

VALORES X1=2 X2=3 Z=-10




4. Minimizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 1 1 0 0 0 0 1000 1000 1000 1000

C1 Xk Bk X1 X2 X3 X4 X5 X6 A1 A2 A3 A4 Ɵ

1000 A1 0 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0

1000 A2 12 4 3 0 -1 0 0 0 1 0 0 3

0 X5 99 9 11 0 0 1 0 0 0 0 0 11

0 X6 8 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 8

Zj 12000 5000 2000 -

1000 -

1000 0 0 1000 1000 0 0

(Cj - Zj) ≥ 0 -

4999 -

1999 1000 1000 0 0 0 0 1000 1000

1 X1 0 1 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 NO

1000 A2 12 0 7 4 -1 0 0 -4 1 0 0 1.71

0 X5 99 0 20 9 0 1 0 -9 0 0 0 4.95

0 X6 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 NO

Zj 12000 1 6999 3999 -

1000 0 0

-3999

1000 0 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 -

6998 -

3999 1000 0 0 4999 0 1000 1000

1 X1 1.71 1 0 -0.43 -0.14 0 0 0.43 0.14 0 0 -4.00

1 X2 1.71 0 1 0.57 -0.14 0 0 -0.57 0.14 0 0 3.00

0 X5 64.71 0 0 -2.43 2.86 1 0 2.43 -2.86 0 0 -

26.65

0 X6 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 NO

Zj 3.43 1 1 0.14 -0.29 0 0 -0.14 0.29 0 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 -0.14 0.29 0 0 1000.14

999.71

1000 1000

1 X1 3 1 0.75 0 -0.25 0 0 0 0.25 0 0

0 X3 3 0 1.75 1 -0.25 0 0 -1 0.25 0 0

0 X5 72 0 4.25 0 2.25 1 0 0 -2.25 0 0

0 X6 8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

Zj 3 1 0.75 0 -0.25 0 0 0 0.25 0 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0.25 0 0.25 0 0 1000.00

999.75

1000 1000

≥ 0 ≥

≤

≤ ≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= x1+x2+0x3+0x4+0x5+0x6+MA1+MA2+MA3+MA4 Sujeta a:

x1-x2-x3+A1=00 4x1+3x2-x4+A2=12

9x1+11x2+x5=99 x1+x6=80

(x1, x2, x3, x4, x5, x6, A1, A2, A3, A4) ≥0





5. Maximizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 4 -10 0 0 -1000 -1000


-1000 A1 4 1 -4 -1 0 1 0 4

0 X4 2 2 -1 0 1 0 0 1

Zj -4000 -1000 4000 1000 0 -1000 0

(Cj - Zj) ≤ 0 1004 -4010 -1000 0 0 -1000

-1000 A1 3 0 -3.5 -1 -0.5 1 0

4 X1 1 1 -0.5 0 0.5 0 0

Zj -2996 4 3498 1000 502 -1000 0

(Cj - Zj) ≤ 0 0 -3508 -1000 -502 0 -1000

0

≥

≤

≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= 4x1-10x2+0x3+0x4-MA1-MA2 Sujeta a:

x1-4x2-x3+A1=4 4x1+3x2+x4=2

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0

No existen soluciones factibles del problema. No existe ninguna combinación de valores de X

1 y X

2 que

satisfagan todas las restricciones.





6. Minimizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 20 30 0 0 0 1000 1000 1000


0 X3 10 2 1 1 0 0 0 0 0 5

0 X4 24 3 4 0 1 0 0 0 0 8

1000 A3 56 8 7 0 0 -1 0 0 1 7

Zj 56000 8000 7000 0 0 -1000 0 0 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -7980 -6970 0 0 1000 1000 1000 0

20 X1 5 1 0.5 0.5 0 0 0 0 0 10

0 X4 9 0 2.5 -1.5 1 0 0 0 0 3.6

1000 A3 16 0 3 -4 0 -1 0 0 1 5.33

Zj 1610

0 20 3010 -3990 0 -1000 0 0 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 0 -2980 3990 0 1000 1000 1000 0

20 X1 3.2 1 0 0.8 -0.2 0 0 0 0

30 X2 3.6 0 1 -0.6 0.4 0 0 0 0

1000 A3 5.2 0 0 -2.2 -1.2 -1 0 0 1

Zj 5372 20 30 -2202 -1192 -1000 0 0 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 2202 1192 1000 1000 1000 0

0 0

≤ 0

≤

≥

≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= 20x1+30x2+0x3+0x4+0x5+MA1+MA2+MA3 Sujeta a:

2x1+x2+x3 =10 3x1+4x2+x4 =24

9x1+11x2-x5+A3 =56 (x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0

VALOR ÓPTIMO X1=3.2 X2=3.6 Z=5372

No existen soluciones factibles del problema. Porque termina con una artificial, no existe ninguna combinación de valores de X

1 y X

2 que satisfagan todas las

restricciones.




7. Minimizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 7 3 0 0 0 1000 1000 1000


0 X3 2 -3 1 1 0 0 0 0 0 2

0 X4 9 1 1 0 1 0 0 0 0 9

1000 A3 1 -1 1 0 0 0 0 0 1 1

Zj 1000 -1000 1000 0 0 0 0 0 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 1007 -997 0 0 0 1000 1000 0

0 X3 1 -2 0 1 0 0 0 0 -1 -0.5

0 X4 8 2 0 0 1 0 0 0 -1 4

3 X2 1 -1 1 0 0 0 0 0 1 -1

Zj 3 -3 3 0 0 0 0 0 3

(Cj - Zj) ≥ 0 10 0 0 0 0 1000 1000 997

0 X3 9 0 0 1 1 0 0 0 -2 9

7 X1 4 1 0 0 0.5 0 0 0 -0.5 8

3 X2 5 0 1 0 0.5 0 0 0 0.5 10

Zj 43 7 3 0 5 0 0 0 -2

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 0 -5 0 1000 1000 1002

0 X3 1 -2 0 1 0 0 0 0 -1

0 X4 8 2 0 0 1 0 0 0 -1

3 X2 1 -1 1 0 0 0 0 0 1

Zj 3 -3 3 0 0 0 0 0 3

(Cj - Zj) ≥ 0 10 0 0 0 0 1000 1000 997

≥

≤

≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar


-3x1+x2+x3 =2 x1+x2+x4 =9

-x1+x2+A3 =1 (x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0


MÚLTIPLES SOLUCIONES ÓPTIMAS




8. Maximizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 0.5 0.3 0 0 -1000 -1000 -1000

C1 Xk Bk X1 X2 X3 X4 A1 A2 A3 Ɵ

0 X3 2 -1 1 1 0 0 0 0 -2

0 X4 4 2 -1 0 1 0 0 0 2

-1000 A3 8 2 1 0 0 0 0 1 4

Zj -8000 -2000 -1000 0 0 0 0 -1000

(Cj - Zj) ≤ 0 2000.5 1000.3 0 0 -1000 -1000 0

0 X3 4 0 0.5 1 0.5 0 0 0 8

0.5 X1 2 1 -0.5 0 0.5 0 0 0 -4

-1000 A3 4 0 2 0 -1 0 0 1 2

Zj -3999 0.5 -2000.25 0 1000.25 0 0 -1000

(Cj - Zj) ≤ 0 0 2000.55 0 -1000.25 -1000 -1000 0

0 X3 3 0 0 1 0.75 0 0 -0.25 4

0.5 X1 3 1 0 0 0.25 0 0 0.25 12

0.3 X2 2 0 1 0 -0.5 0 0 0.5 -4

Zj 2.1 0.5 0.3 0 -0.025 0 0 0.275

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 0 0.025 -1000 -1000 -1000.275

0 X4 4 0 0 1.33 1 0 0 -0.33

0.5 X1 2 1 0 -0.33 0 0 0 0.33

0.3 X2 4 0 1 0.67 0 0 0 0.33

Zj 2.2 0.5 0.3 0.033 0 0 0 0.27

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 -0.033 0 -1000 -1000 -1000.27

0 0

≥

≤ ≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= 0.5x1-0.3x2+0x3+0x4+0x5-MA1-MA2-MA3 Sujeta a:

-x1+x2+x3 =2 2x1-x2+x4 =4

2x1+x2+A3 =8

(x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0

VALOR ÓPTIMO X1=2 X2=4 Z=2.2




9. Minimizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 2 1 0 0 0 1000 1000 1000


1000 A1 3 3 1 -1 0 0 1 0 0 1

1000 A2 6 4 3 0 -1 0 0 1 0 1.5

1000 A3 2 1 2 0 0 -1 0 0 1 2

Zj 11000 8000 6000 -1000 -1000 -1000 1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -7998 -5999 1000 1000 1000 0 0 0

2 X1 1 1 0.33 -0.33 0 0 0.33 0 0 3

1000 A2 2 0 1.67 1.33 -1 0 -1.33 1 0 1.2

1000 A3 1 0 1.67 0.33 0 -1 -0.33 0 1 0.6

Zj 3002 2 3334 1666 -1000 -1000 -1666 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 0 -3333 -1666 1000 1000 2666 0 0

2 X1 0.8 1 0 -0.4 0 0.2 0.4 0 -0.2 -2

1000 A2 1 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1

1 X2 0.6 0 1 0.2 0 -0.6 -0.2 0 0.6 3

Zj 1002.

2 2 1 999.4 -1000 999.8 -999.4 1000 -999.8

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 -999.4 1000 -999.8 1999.

4 0

1999.8

2 X1 0.6 1 0 -0.6 0.2 0 0.6 -0.2 0

0 X5 1 0 0 1 -1 1 -1 1 -1

1 X2 1.2 0 1 0.8 -0.6 0 -0.8 0.6 0

Zj 2.4 2 1 -0.4 -0.2 0 0.4 0.2 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 0.4 0.2 0 999.6 999.8 1000

≥ ≥ ≥ ≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= 2x1+x2+0x3+0x4+0x5+MA1+MA2+MA3 Sujeta a:

3x1+x2-x3+A1 =3 4x1+3x2-x4+A2 =6

x1+2x2-X5+A3 =2 (x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0

VALOR ÓPTIMO X1=0.6 X2=1.2 Z=2.4




10. Minimizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 2 2 0 0 0 1000 1000 1000


1000 A1 80 1 2 -1 0 0 1 0 0 80

1000 A2 160 3 2 0 -1 0 0 1 0 53.33

1000 A3 200 5 2 0 0 -1 0 0 1 40

Zj 440000 9000 6000 -1000 -1000 -1000 1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -8998 -5998 1000 1000 1000 0 0 0

1000 A1 40 0 1.6 -1 0 0.2 1 0 -0.2 25

1000 A2 40 0 0.8 0 -1 0.6 0 1 -0.6 50

2 X1 40 1 0.4 0 0 -0.2 0 0 0.2 100

Zj 8008

0 2

2400.8

-1000 -1000 799.6 1000 1000 -

799.6

(Cj - Zj) ≥ 0 0 -

2398.8

1000 1000 -

799.6 0 0

1799.6

2 X2 25 0 1 -0.625 0 0.125 0.625 0 -0.125 200

1000 A2 20 0 0 0.5 -1 0.5 -0.5 1 -0.5 40

2 X1 30 1 0 0.25 0 -0.25 -0.25 0 0.25 -120

Zj 2011

0 2 2 499.25 -1000 499.75

-499.25

1000 -

499.75

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 -

499.25 1000

-499.75

1499.25

0 1499.7

5

2 X2 20 0 1 -0.75 0.25 0 0.75 -0.25 0

0 X5 40 0 0 1 -2 1 -1 2 -1

2 X1 40 1 0 0.5 -0.5 0 -0.5 0.5 0

Zj 120 2 2 -0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 0.5 0.5 0 999.5 999.5 1000

≥ 0 ≥ 0 ≥ 00

≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar


x1+2x2-x3+A1 =803 3x1+2x2-x4+A2 =160 5x1+2x2-X5+A3 =200

(x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0





11. Maximizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj 10 2 0 0 -1000 -1000


-1000 A1 4 1 2 -1 0 1 0 4

-1000 A2 0 1 -2 0 -1 0 1 0

Zj -4000 -2000 0 1000 1000 -1000 -1000

(Cj - Zj) ≤ 0 2010 2 -1000 -1000 0 0

-1000 A1 4 0 4 -1 1 1 -1 1

10 X1 0 1 -2 0 -1 0 1 NO

Zj -4000 10 -4020 1000 -1010 -1000 1010

(Cj - Zj) ≤ 0 0 4022 -1000 1010 0 -2010

2 X2 1 0 1 -0.25 0.25 0.25 -0.25 -4

10 X1 2 1 0 -0.5 -0.5 0.5 0.5 -4

Zj 22 10 2 -5.5 -4.5 5.5 4.5

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 5.5 4.5 -1005.5 -1004.5

0

≥ ≥ 0 ≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= 10x1+2x2+0x3+0x4+0x5-MA1-MA2-MA3 Sujeta a:

x1+2x2-x3+A1 =4 x1-2x2-x4+A2 =0

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0

VALORES X1=1 X2=20 Z=22

No existe acotación para la variable. (Solución Óptima no Acotada). Acotada no tiene límite.




12. Minimizar

=X1 ; =X2

TABLERO SIMPLEX

Cj -1 1 0 0 0 1000 1000 1000


1000 A1 3 1 0 -1 0 0 1 0 0 NO

1000 A2 6 1 3 0 -1 0 0 1 0 2

0 X5 6 -1 3 0 0 1 0 0 0 2

Zj 9000 2000 3000 -1000 -1000 0 1000 1000 0

(Cj - Zj) ≥ 0 -2001 -2999 1000 1000 0 0 0 1000

1000 A1 3 1 0 -1 0 0 1 0 0 3

1000 A2 0 2 0 0 -1 -1 0 1 0 0

1 X2 2 -0.33 1 0 0 0.33 0 0 0 -6

Zj 3002 2999.67 1 -1000 -1000 -

999.67 1000 1000.00 0

(Cj - Zj) ≥ 0 -

3000.67 0 1000 1000 999.67 0 0.00 1000

1000 A1 3 0 0 -1 0.5 0.5 1 -0.5 0 6

-1 X1 0 1 0 0 -0.5 -0.5 0 0.5 0 NO

1 X2 2 0 1 0 -0.17 0.17 0 0.17 0 12

Zj 3002 -1 1 -1000.00 500.33 500.67 1000.00 -500.33 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 1000.00 -500.33 -500.67 0.00 1500.33 1000

0 X5 6 0 0 -2 1 1 2 -1 0 -3

-1 X1 3 1 0 -1 0 0 1 0 0 -3

1 X2 1 0 1 0.33 -0.33 0 -0.33 0.33 0 3

Zj -2 -1 1 1.33 -0.33 0 -1.33 0.33 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 -1.33 0.33 0 1001.33 999.67 1000

≥ ≥ ≥ ≥ 0

Sujeta a:

*Forma estándar

Z= x1-x2+0x3+0x4+0x5+MA1+MA2+MA3 Sujeta a:

x1+2x2-x3+A1 =4 x1-2x2-x4+A2 =0

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0




0 X5 12 0 6 0 -1 1 0 1 0 -12

-1 X1 6 1 3 0 -1 0 0 1 0 -6

0 X3 3 0 3 1 -1 0 -1 1 0 -3

Zj -6 -1 -3 0 1 0 0 -1 0

(Cj - Zj) ≥ 0 0 4 0 -1 0 1000 1001 1000

No existe acotación para la variable. (Solución Óptima no Acotada). Acotada no tiene límite.





PROBLEMAS – CASOS

DESARROLLO:

13. Producción para la utilidad máxima

FORMA CANÓNICA

a. Meta económica

Max (utilidad)= 4x1+6x2

b. Variable de decisión X1= unidades de juguetes cosas X2=unidades de juguetes cositas

c. Variable de restricción

R1: 2x1+x2 ≤ 70 R2: x1+x2 ≤ 40 R3: x1+3x2 ≤ 90

d. Condición de no negatividad

R4: x1, x2 ≥0

TABLERO SIMPLEX

Cj 4 6 0 0 0 -1000 -1000 -1000


0 X3 70 2 1 1 0 0 0 0 0 70

0 X4 40 1 1 0 1 0 0 0 0 40

0 X5 90 1 3 0 0 1 0 0 0 30

Zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 4 6 0 0 0 -1000 -1000 -1000

0 X3 40 1.67 0 1 0 -0.33 0 0 0 24

0 X4 10 0.67 0 0 1 -0.33 0 0 0 15

6 X2 30 0.33 1 0 0 0.33 0 0 0 90

Zj 180 2 6 0 0 2 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 2 0 0 0 -2 -1000 -1000 -1000

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4x1+6x2+0x3+0x4+0x5-MA1-MA2-MA3 Sujeta a:

2x1+x2+x3 =70 x1+x2+x4 =40

x1+3x2+x5 =90 (x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0




0 X3 15 0 0 1 -2.5 0.5 0 0 0

4 X1 15 1 0 0 1.5 -0.5 0 0 0

6 X2 25 0 1 0 -0.5 0.5 0 0 0

Zj 210 4 6 0 3 1 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 0 -3 -1 -1000 -1000 -1000

14. Producción para la utilidad máxima

FORMA CANÓNICA

a. Meta económica Max (utilidad)= 4x1+6x2

b. Variable de decisión X1= unidades de máquinas Old Smokey X2= unidades de máquinas Blaze Away

c. Variable de restricción R1: 2x1+4x2 ≤ 24 R2: 4x1+2x2 ≤ 24

d. Condición de no negatividad R3: x1, x2 ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

TABLERO SIMPLEX

Cj 4 6 0 0 -1000 -1000


0 X1 24 2 4 1 0 0 0 6

0 X3 24 4 2 0 1 0 0 12

Zj 0 0 0 0 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 4 6 0 0 -1000 -1000

VALOR ÓPTIMO X1=15 unidades de juguetes cosas X2=25 unidades de juguetes cositas Z=120 dólares

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4x1+6x2+0x3+0x4-MA1-MA2 Sujeta a:

2x1+4x2+x3 =24 4x1+2x2+x4 =24

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0




6 X2 6 0.5 1 0.25 0 0 0 12

0 X4 12 3 0 -0.5 1 0 0 4

Zj 36 3 6 1.5 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 1 0 -1.5 0 -1000 -1000

6 X2 4 0 1 0.33 -0.17 0 0

4 X1 4 1 0 -0.17 0.33 0 0

Zj 40 4 6 1.33333333

0.33 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 0 0 -1.3 -0.3 -1000 -1000

15. Formulación de dieta

FORMA CANÓNICA

a. Meta económica Min (costos)= 1.20x1+0.80x2

b. Variable de decisión X1= unidades de carbohidratos X2= unidades de proteínas

c. Variable de restricción R1: 2x1+2x2 ≥ 16 R2: 4x1+x2 ≥ 20


TABLERO SIMPLEX

Cj 1.2 0.8 0 0 1000 1000


1000 A1 16 2 2 -1 0 1 0 8

1000 A2 20 4 1 0 -1 0 1 5

Zj 36000 6000 3000 -1000 -1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -5998.8 -2999.2 1000 1000 0 0

VALOR ÓPTIMO X1=4unidades de máquinas Old Smokey X2=4 unidades de máquinas Blaze Away Z=40 dólares

FORMA ESTÁNDAR

Z= 1.2x1+0.8x2+0x3+0x4+MA1+MA2 Sujeta a:

2x1+2x2-x3+A1=16 4x1+x2-x4+A2=20

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0




1000 A1 6 0 1.5 -1 0.5 1 -0.5 4

1.2 X1 5 1 0.25 0 -0.25 0 0.25 20

Zj 6006 1.2 1500.3 -1000 499.7 1000 -499.7

(Cj - Zj) ≥ 0 0 -1499.5 1000 -499.7 0 1499.7

0.8 X2 4 0 1 -0.67 0.33 0.67 -0.33

1.2 X1 4 1 0 0.17 -0.33 -0.17 0.33

Zj 8 1.2 0.8 -0.33 -0.13 0.33 0.13

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 0.33 0.13 999.67 999.87

16. Nutrientes en fertilizantes

FORMA CANÓNICA

a. Meta económica Min (costos)= 4x1+5x2

b. Variable de decisión X1= bolsas de la mezcla I X2= bolsas de la mescla II

c. Variable de restricción R1: 2x1+2x2 ≥ 80 R2: 6x1+2x2 ≥ 120 R3: 4x1+12x2 ≥ 240


VALOR ÓPTIMO X1=4 unidades de carbohidratos X2=4 unidades de proteínas Z=8 dólares

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4x1+5x2+0x3+0x4+MA1+MA2 Sujeta a:

2x1+2x2-x3+A1=80 6x1+2x2-x4+A2=120

4x1+12x2-x5+A3=240 (x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0

A B C




TABLERO SIMPLEX

Cj 4 5 0 0 0 1000 1000 1000


1000 A1 80 2 2 -1 0 0 1 0 0 40

1000 A2 120 6 2 0 -1 0 0 1 0 60

1000 A3 240 4 12 0 0 -1 0 0 1 20

Zj 440000 12000 16000 -1000 -1000 -1000 1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -11996 -15995 1000 1000 1000 0 0 0

1000 A1 40 1.33 0 -1 0 0.17 1 0 -0.17 30

1000 A2 80 5.33 0 0 -1 0.17 0 1 -0.17 15

5 X2 20 0.33 1 0 0 -0.08 0 0 0.08 60

Zj 12010

0 6668.

33 5 -1000 -1000

332.92

1000 1000 -

332.92

(Cj - Zj) ≥ 0 -

6664.33

0 1000 1000 -

332.92

0 0 1332.

92

1000 A1 20 0 0 -1 0.25 0.125 1 -0.25 -0.13 80

4 X1 15 1 0 0 -0.19 0.03 0 0.19 -0.03 -80

5 X2 15 0 1 0 0.06 -0.09 0.00 -0.06 0.09 240

Zj 2013

5 4 5 -1000

249.56

124.66

1000 -

249.56

-124.6

6

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 1000 -

249.56

-124.6

6 0

1249.6

1124.7

0 X4 80 0 0 -4 1 0.5 4 -1 -0.5

4 X1 30 1 0 -0.75 0 0.125 0.75 0 -0.125

5 X2 10 0 1 0.25 0 -0.125 -0.25 0 0.125

Zj 170 4 5 -1.75 0 -0.125 1.75 0 0.125

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 1.75 0.00 0.13 998.2

5 1000.

0 999.9

VALOR ÓPTIMO X1=30 bolsas de la mezcla I X2=10 bolsas de la mezcla II Z=170 dólares




17. Extracción de minerales

FORMA CANÓNICA


b. Variable de decisión X1= toneladas de filón I X2= toneladas de filón II

c. Variable de restricción R1: 110x1+200x2 ≥ 3000 R2: 200x1+50x2 ≥ 2500


TABLERO SIMPLEX

Cj 50 60 0 0 1000 1000


1000 A1 3000 110 200 -1 0 1 0 27.27

1000 A2 2500 200 50 0 -1 0 1 12.5

Zj 5500000 310000 250000 -1000 -1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -309950 -249940 1000 1000 0 0

1000 A1 1625 0 172.5 -1 0.55 1 -0.55 9.42

50 X1 12.5 1 0.25 0 -0.01 0 0.01 50

Zj 162562

5 50

172512.5

-1000.00

549.75 1000.00 -549.75

(Cj - Zj) ≥ 0 0 -

172452.5

1000 -549.75 0 1549.75

60 X2 9.42 0 1 -0.01 0.00 0.01 0.00

50 X1 10.14 1 0 0.00 -0.01 0.00 0.01

Zj 1072.47 50 60 -0.28 -0.10 0.28 0.10

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 0.28 0.1 999.8 999.9

FORMA ESTÁNDAR


110x1+200x2-x3+A1=3000 200x1+50x2-x4+A2=2500

(x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0

VALOR ÓPTIMO X1= 10.14 toneladas de filón I X2= 9.42 toneladas de filón II Z=1072.47 dólares




18. Programa de producción

FORMA CANÓNICA


b. Variable de decisión X1= barriles producidos de la refinería I X2= barriles producidos de la refinería II

c. Variable de restricción R1: 200x1+100x2 ≥ 800 R2: 300x1+200x2 ≥ 1400 R3: 100x1+100x2 ≥ 500


FORMA ESTÁNDAR

TABLERO SIMPLEX

Cj 2500 2000 0 0 0 1000 1000 1000


1000 A1 800 200 100 -1 0 0 1 0 0 4

1000 A2 1400 300 200 0 -1 0 0 1 0 4.67

1000 A3 500 100 100 0 0 -1 0 0 1 5

Zj 2700000 600000 400000 -1000 -1000 -1000 1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 -

597500 -

398000 1000 1000 1000 0 0 0

2500 X1 4 1 0.5 -0.005 0 0 0.005 0 0 8

1000 A2 200 0 50 1.5 -1 0 -1.5 1 0 4

1000 A3 100 0 50 0.5 0 -1 -0.5 0 1 2

Zj 310000 2500 101250 1987.5 -1000 -1000 -

1987.5 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 0.00 -99250 -

1987.5 1000 1000 2987.5 0 0.00

FORMA ESTÁNDAR


200x1+100x2-x3+A1=800 300x1+200x2-x4+A2=1400

100x1+100x2-x5+A3=500 (x1, x2, x3, x4, x5, A1, A2, A3) ≥0




2500 X1 3 1 0 -0.01 0 0.01 0.01 0 -0.01 -300

1000 A2 100 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 100

2000 X2 2 0 1 0.01 0 -0.02 -0.01 0 0.02 200

Zj 111500 2500 2000 995 -

1000.00 985.00 -995 1000.00

-985.00

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 -995 1000.00 -

985.00 1995 0.0 1985.0

2500 X1 5 1 0 0 -0.01 0.02 0 0.01 -0.02 250

0 X3 -100 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 -100.00

2000 X2 200 0 1 0 0.01 -0.03 0 -0.01 0.03 -

6666.66667

Zj 412500 2500 2000 0 -5 -10 0 5 10

(Cj - Zj) ≥ 0 0 0 0 5.00 10.00 1000 995.0 990.0

19. Costo de construcción

FORMA CANÓNICA

a. Meta económica

Min (costos)= 600000x1+300000x2

b. Variable de decisión X1= polímeros del tipo P1 X2= polímeros del tipo P2

c. Variable de restricción R1: 10x1+40x2 ≥ 100 R2: 20x1+30x2 ≥ 420


VALOR ÓPTIMO X1= 5 barriles producidos de la refinería I X2= 200 barriles producidos de la refinería II Z= 412500 dólares

FORMA ESTÁNDAR


10x1+40x2-x3+A1=100 20x1+30x2-x4+A2=420 (x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0




TABLERO SIMPLEX

Cj 600000 300000 0 0 1000 1000


1000 A1 100 10 40 -1 0 1 0 2.50

1000 A2 420 20 30 0 -1 0 1 14.00

Zj 520000 30000 70000 -1000 -1000 1000 1000

(Cj - Zj) ≥ 0 570000 230000 1000 1000 0 0

FORMA CANÓNICA (DUAL)

e. Meta económica

Max (utilidades)= 100x1+420x2

f. Variable de decisión y1= cámara tipo A y2= cámara tipo B

g. Variable de restricción R1: 10y1+20y2 ≤ 600000 R2: 40y1+30y2 ≤ 300000

h. Condición de no negatividad R3: y1, y2 ≥ 0

Este problema es óptimo pero infactible, por lo que tendremos que utilizar el METODO DUAL SIMPLEX.

METODO DUAL SIMPLEX. Este método se aplica a problemas óptimos pero infactible. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.

FORMA ESTÁNDAR

= 100y1+420y2+0y3+0y4-MA1-MA2 Sujeta a:

10y1+20y2+y3 =600000 40y1+30y2+x4 =300000

(y1, y2, y3, y4, A1, A2) ≥0




TABLERO SIMPLEX

Cj 100 420 0 0 -1000 -1000

C1 Yk Bk Y1 Y2 Y3 Y4 A1 A2 Ɵ

0 Y3 600000 10 20 1 0 0 0 30000

0 Y4 300000 40 30 0 1 0 0 10000

Wj 0 0 0 0 0 0 0

(Cj - wj) ≤ 0 100 420 0 0 -1000 -1000

0 Y3 400000 -16.67 0 1 -0.67 0 0

420 Y2 10000 1.33 1 0 0.03 0 0

Wj 420000

0 560 420 0 14 0 0

(Cj - wj) ≤ 0 -460 0 0 -14 -1000 -1000

20. Control de contaminación

FORMA CANÓNICA

a. Meta económica Max (utilidad)= 50x1+20x2

b. Variable de decisión X1= gramos de dióxido de azufre X2= gramos de partícula

c. Variable de restricción R1: 15x1+5x2 ≤ 10500 R2: 40x1+20x2 ≤ 300000


VALOR ÓPTIMO Y1= 400000 dólares dela cámara tipo A Y2= -10000 dólares dela cámara tipo B W= 42000000 dólares

FORMA ESTÁNDAR

Z= 50x1+20x2+0x3-0x4-MA1-MA2 Sujeta a:

15x1+5x2+x3=10500 40x1+20x2+x4=30000 (x1, x2, x3, x4, A1, A2) ≥0




TABLERO SIMPLEX

Cj 50 20 0 0 -1000 -1000


0 X3 10500 15 5 1 0 0 0 700.00

0 X4 30000 40 20 0 1 0 0 750.00

Zj 0 0 0 0 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 50 20 0 0 -1000 -1000

50 X1 700 1 0.33 0.07 0 0 0 2100.0

0

0 X4 2000 0 6.67 -2.67 1 0 0 300.00

Zj 35000 50 16.67 3.33 0 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 0 3.33 -3.33 0 -1000 -1000

50 X1 600 1 0 0.2 -0.05 0 0

20 X2 300 0 1 -0.4 0.15 0 0

Zj 36000 50 20 2 0.5 0 0

(Cj - Zj) ≤ 0 -50 -16.67 -5.33 -0.5 -1000 -1000

VALOR ÓPTIMO X1= 600 gramos de dióxido de azufre X2= 300 gramos de partícula Z= 36000 dólares por día

metodo simplex - noel

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