ECONOMETRÍA I

EJERCICIO 7.18 DE GUJARATI

DATOS:

Desembolsos del presupuesto de defensa de Estados Unidos, 1962-1981. Para

explicar el presupuesto de defensa de Estados Unidos, considere el siguiente modelo:

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡 + 𝛽3𝑋3𝑡 + 𝛽4𝑋4𝑡 + 𝛽5𝑋5𝑡 + 𝜇𝑡

donde:

𝑌𝑡= desembolsos del presupuesto de defensa durante el año t, $ miles de millones.

𝑋2𝑡= PNB durante el año t, $ miles de millones.

𝑋3𝑡= ventas militares de Estados Unidos /ayuda en el año t, $ miles de millones.

𝑋4𝑡= ventas de la industria aeroespacial, $ miles de millones.

𝑋5𝑡= conflictos militares que implican a más de 100000 soldados. Esta variable

adquiere el valor de 1 cuando participan 100000 soldados o más, y es igual a cero

cuando el número de soldados no llega a 100000.

Para probar este modelo, se proporcionan datos en la siguiente tabla:

Año Yt X2 X3 X4 X5

1962 51,1 560,3 0,6 16 0

1963 52,3 590,5 0,9 16,4 0

1964 53,6 632,4 1,1 16,7 0

1965 49,6 684,9 1,4 17 1

1966 56,8 749,9 1,6 20,2 1

1967 70,1 793,9 1 23,4 1

1968 80,5 865 0,8 25,6 1

1969 81,2 931,4 1,5 24,6 1

1970 80,3 992,7 1 24,8 1

1971 77,7 1077,6 1,5 21,7 1

1972 78,3 1185,9 2,95 21,5 1

1973 74,5 1326,4 4,8 24,3 0

1974 77,8 1434,2 10,3 26,8 0

1975 85,6 1549,2 16 29,5 0

1976 89,4 1718 14,7 30,4 0

1977 97,5 1918,3 8,3 33,3 0

1978 105,2 2163,9 11 38 0

1979 117,7 2417,8 13 46,2 0

1980 135,9 2633,1 15,3 57,6 0

1981 162,1 2937,7 18 68,9 0

ECONOMETRÍA I

A continuación nos piden:

a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y obtenga 𝑅2, 𝑅2

modificada y Ṝ2.

b) Comente los resultados, considerando cualquier expectativa a priori que tenga

sobre la relación entre Y y las diversas variables X.

c) ¿Qué otra(s) variable(s) incluiría en el modelo y por qué?

SOLUCIÓN:

a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y

obtenga 𝑹𝟐, 𝑹𝟐 modificada y Ṝ𝟐.

Modelo: 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡 + 𝛽3𝑋3𝑡 + 𝛽4𝑋4𝑡 + 𝛽5𝑋5𝑡 + 𝜇𝑡

Tabla de datos:

t Año Yt x2 x3 x4 x5

1 1962 51,1 560,3 0,6 16 0

2 1963 52,3 590,5 0,9 16,4 0

3 1964 53,6 632,4 1,1 16,7 0

4 1965 49,6 684,9 1,4 17 1

5 1966 56,8 749,9 1,6 20,2 1

6 1967 70,1 793,9 1 23,4 1

7 1968 80,5 865 0,8 25,6 1

8 1969 81,2 931,4 1,5 24,6 1

9 1970 80,3 992,7 1 24,8 1

10 1971 77,7 1077,6 1,5 21,7 1

11 1972 78,3 1185,9 2,95 21,5 1

12 1973 74,5 1326,4 4,8 24,3 0

13 1974 77,8 1434,2 10,3 26,8 0

14 1975 85,6 1549,2 16 29,5 0

15 1976 89,4 1718 14,7 30,4 0

16 1977 97,5 1918,3 8,3 33,3 0

17 1978 105,2 2163,9 11 38 0

18 1979 117,7 2417,8 13 46,2 0

19 1980 135,9 2633,1 15,3 57,6 0

20 1981 162,1 2937,7 18 68,9 0

Suma 1677,2 27163,1 125,75 582,9 8

Media 83,86 1358,155 6,2875 29,145 0,4

ECONOMETRÍA I

Entonces:

51,1

52,3

53,6

49,6

56,8

70,1

80,5

81,2

80,3

77,7

78,3

Y= 74,5

77,8

85,6

89,4

97,5

105,2

117,7

135,9

162,1

1 560,3 0,6 16 0

1 590,5 0,9 16,4 0

1 632,4 1,1 16,7 0

1 684,9 1,4 17 1

1 749,9 1,6 20,2 1

1 793,9 1 23,4 1

1 865 0,8 25,6 1

1 931,4 1,5 24,6 1

1 992,7 1 24,8 1

1 1077,6 1,5 21,7 1

X = 1 1185,9 2,95 21,5 1

1 1326,4 4,8 24,3 0

1 1434,2 10,3 26,8 0

1 1549,2 16 29,5 0

1 1718 14,7 30,4 0

1 1918,3 8,3 33,3 0

1 2163,9 11 38 0

1 2417,8 13 46,2 0

1 2633,1 15,3 57,6 0

1 2937,7 18 68,9 0

ECONOMETRÍA I

El desarrollo se encuentra en el formato de Excel el cual se le ha presentado en un

CD:

20 27163,1000 125,7500 582,9000 8

27163,1000 46832239,2300 248214,4750 973615,5100 7281,3000

X'X = 125,7500 248214,4750 1540,9425 5028,4350 11,7500

582,9000 973615,5100 5028,4350 20712,5900 178,8000

8 7281,3000 11,7500 178,8000 8

El desarrollo de la matriz inversa se encuentra en el formato de Excel el cual se le ha

presentado en un CD:

0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777

-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082

(X'X)-1 = 0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073

-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580

-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372

Hallamos:

1677,2

2657079,68

X'Y = 13317,485

56437,61

574,5

Hallamos Y'Y:

Y'Y = 156604,44

Estimador de mínimos cuadrados ordinarios del vector β:

β^ = (X'X)-1X'Y

(X'X)-1 = 0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777

-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082

0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073

-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580

-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372

ECONOMETRÍA I

Operando

β^ = 0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777 1677,2

-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082 2657079,68

0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073 13317,485

-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580 56437,61

-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372 574,5

Resultado:

β^ = 19,443464

0,018056

-0,284209

1,343196

6,331823

Modelo:

𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡 + 𝛽3𝑋3𝑡 + 𝛽4𝑋4𝑡 + 𝛽5𝑋5𝑡 + 𝜇𝑡

Obtenemos:

𝑌𝑡^=19.4434635044165+0.0180563400404556X2t-0.2842088498X3t+1.3431964994181X4t+6.33182288971807X5t+ut

X'Y = 1677,2

2657079,7

13317,485

56437,61

574,5

ECONOMETRÍA I

Calculamos los residuos:

u^t = yt - 19,4434635 - 0,01805634 . x2t + 0,28420885 . x3t - 1,343196499 . x4t - 6,33182289 . x5t

u^

1 = 51,1 - 19,4434635 - 0,01805634 . 560,3 + 0,28420885 . 0,6 - 1,343196499 . 16 - 6,33182289 . 0 = 0,21895049

u^2 = 52,3 - 19,4434635 - 0,01805634 . 590,5 + 0,28420885 . 0,9 - 1,343196499 . 16,4 - 6,33182289 . 0 = 0,421633076

u^3 = 53,6 - 19,4434635 - 0,01805634 . 632,4 + 0,28420885 . 1,1 - 1,343196499 . 16,7 - 6,33182289 . 0 = 0,618955249

u^4 = 49,6 - 19,4434635 - 0,01805634 . 684,9 + 0,28420885 . 1,4 - 1,343196499 . 17 - 6,33182289 . 1 = -10,97852179

u^5 = 56,8 - 19,4434635 - 0,01805634 . 749,9 + 0,28420885 . 1,6 - 1,343196499 . 20,2 - 6,33182289 . 1 = -9,193570919

u^6 = 70,1 - 19,4434635 - 0,01805634 . 793,9 + 0,28420885 . 1 - 1,343196499 . 23,4 - 6,33182289 . 1 = -1,156803989

u^7 = 80,5 - 19,4434635 - 0,01805634 . 865 + 0,28420885 . 0,8 - 1,343196499 . 25,6 - 6,33182289 . 1 = 4,947516166

u^8 = 81,2 - 19,4434635 - 0,01805634 . 931,4 + 0,28420885 . 1,5 - 1,343196499 . 24,6 - 6,33182289 . 1 = 5,990717881

u^9 = 80,3 - 19,4434635 - 0,01805634 . 992,7 + 0,28420885 . 1 - 1,343196499 . 24,8 - 6,33182289 . 1 = 3,573120512

u^10 = 77,7 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1077,6 + 0,28420885 . 1,5 - 1,343196499 . 21,7 - 6,33182289 . 1 = 3,746150816

u^11 = 78,3 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1185,9 + 0,28420885 . 2,95 - 1,343196499 . 21,5 - 6,33182289 . 1 = 3,071391322

u^12 = 74,5 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1326,4 + 0,28420885 . 4,8 - 1,343196499 . 24,3 - 6,33182289 . 0 = -0,168865391

u^13 = 77,8 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1434,2 + 0,28420885 . 10,3 - 1,343196499 . 26,8 - 6,33182289 . 0 = -0,610181421

u^14 = 85,6 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1549,2 + 0,28420885 . 16 - 1,343196499 . 29,5 - 6,33182289 . 0 = 3,10669937

u^15 = 89,4 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1718 + 0,28420885 . 14,7 - 1,343196499 . 30,4 - 6,33182289 . 0 = 2,280440817

u^16 = 97,5 - 19,4434635 - 0,01805634 . 1918,3 + 0,28420885 . 8,3 - 1,343196499 . 33,3 - 6,33182289 . 0 = 1,049549419

u^17 = 105,2 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2163,9 + 0,28420885 . 11 - 1,343196499 . 38 - 6,33182289 . 0 = -1,230747347

u^18 = 117,7 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2417,8 + 0,28420885 . 13 - 1,343196499 . 46,2 - 6,33182289 . 0 = -3,761045679

u^19 = 135,9 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2633,1 + 0,28420885 . 15,3 - 1,343196499 . 57,6 - 6,33182289 . 0 = -4,107335428

u^20 = 162,1 - 19,4434635 - 0,01805634 . 2937,7 + 0,28420885 . 18 - 1,343196499 . 68,9 - 6,33182289 . 0 = 2,181946846

u^t =Yt-19.4434635044165-0.0180563400404556X2t+0.284208849867881X3t-1.3431964994181X4t-6.33182288971807X5t

ECONOMETRÍA I

Por lo tanto:

u^1 = 0,219

u^2 = 0,422

u^3 = 0,619

u^4 = -11

u^5 = -9,19

u^6 = -1,16

u^7 = 4,948

u^8 = 5,991

u^9 = 3,573

u^10 = 3,746

u^11 = 3,071

u^12 = -0,17

u^13 = -0,61

u^14 = 3,107

u^15 = 2,28

u^16 = 1,05

u^17 = -1,23

u^18 = -3,76

u^19 = -4,11

u^20 = 2,182

Hallando la varianza estimada del error:

Sabemos que:

Y'Y = 156604,44

β^ = 19,44

0,02

-0,28

1,34

6,33

σ^2 = S^2 = Y'Y-β^'(X'Y)

n-k

ECONOMETRÍA I

Entonces:

β^' = 19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33

X'Y = 1677,2

2657079,68

13317,485

56437,61

574,5

De: X'X = 20 27163,1000 125,7500 582,9000 8

27163,1000 46832239,2300 248214,4750 973615,5100 7281,3000

125,7500 248214,4750 1540,9425 5028,4350 11,7500

582,9000 973615,5100 5028,4350 20712,5900 178,8000

8 7281,3000 11,7500 178,8000 8

Entonces: n = 20

De: Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+β5X5t+ut

Entonces: k = 5

Operando:

1677,2

2657080

19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33

13317,49

56437,61

σ^2 = 156604,4400 - 574,5

20 -

5

σ^2 = 156604,44 - 156247,1965

20 -

5

σ^2 = 23,8162

ECONOMETRÍA I

Entonces:

Var(β^) = 23,8162 0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777

-0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082

0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073

-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580

-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372

Var(β^) = 11,601202 -0,006032 0,316795 -0,078180 -4,829378

-0,006032 0,000041 -0,001624 -0,001385 0,001962

0,316795 -0,001624 0,209104 0,011489 0,597138

-0,078180 -0,001385 0,011489 0,067215 -0,180517

-4,829378 0,001962 0,597138 -0,180517 9,178105

Por lo tanto:

Var(β^1) = 11,601202

Var(β^2) = 0,000041

Var(β^3) = 0,209104

Var(β^4) = 0,067215

Var(β^5) = 9,178105

Modelo:

Yt=β1+β2X2t+β3X3t+β4X4t+β5X5t+ut

β^ = 19,443464

0,018056

-0,284209

1,343196

6,331823

σ^2 = 23,8162

ECONOMETRÍA I

Obtenemos:

Yt=19.4434635044165+0.0180563400404556X2t-0.284208849867881X3t+1.3431964994181X4t+6.33182288971807X5t+ut

Además:

S^(β^) = S^2(X'X)-1

Operando:

0,487114 -0,000253 0,013302 -0,003283 -0,202777

S^(β^) = 23,8162 -0,000253 0,000002 -0,000068 -0,000058 0,000082

0,013302 -0,000068 0,008780 0,000482 0,025073

-0,003283 -0,000058 0,000482 0,002822 -0,007580

-0,202777 0,000082 0,025073 -0,007580 0,385372

S^(β^) = 11,6012 -0,0060 0,3168 -0,0782 -4,8294

-0,0060 0,0000 -0,0016 -0,0014 0,0020

0,3168 -0,0016 0,2091 0,0115 0,5971

-0,0782 -0,0014 0,0115 0,0672 -0,1805

-4,8294 0,0020 0,5971 -0,1805 9,1781

Además:

R2 = β^'X'Y-nȲ2

Y'Y-nȲ2

Tenemos:

β^' = 19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33

X'y = 1677,2

2657080

13317,49

56437,61

574,5

S^2 = 23,8162

S^ = 4,880184423

ECONOMETRÍA I

n = 20

Yp = 83,86

Yp

2 = 7032,5

Y'Y = 156604,4

Operando:

19,44 0,02 -0,28 1,34 6,33

1677,2

2657079,68

13317,485

56437,61 R2 = 574,5 - 20 . 7032,4996

156604

-

20 . 7032,4996

R2 = 0,97761

Análisis:

Este resultado nos indica que es una buena explicación de los parámetros y de las variables del modelo con un 97%. Los residuos están desapareciendo.

R2 = 156247 - 20 . 7032,5

156604 - 20 . 7032,5

ECONOMETRÍA I

Yt = β1 + β2X2 + β3X3 + β4X4 + β5X5 + µ

ADEMÁS: R2 ajustado

R2a = 1 - (n-1) (1-R2)

(n-k)

R2a = 1 - 19 0,022391

15

R2a = 0,97164

ADEMÁS: R2 modificado

R2m = 1 - k R2

n

R2m = 1 - 5 0,977609

20

R2

m = 0,7556

b) Comente los resultados, considerando cualquier expectativa a priori que

tenga sobre la relación entre Y y las diversas variables X.

1) TEMA: Desembolsos del presupuesto de defensa de EE.UU

Modelo Dado

Sabemos: Y = F(X2, X3, X4. X5)

DESEMBOLSOS DEL PRESUPUESTO DE DEFENSA = F(PNB,

VENTAS/ASISTENCIAS MILITARES DE EE.UU, VENTAS DE LA INDUSTRIA

AEROESPACIAL, CONFLICTOS)

Para responder a la pregunta dada, primeramente definimos algunos conceptos sobre

lo que hemos estado trabajando con anterioridad, para que de allí pasemos a

responder a la pregunta que nos es dado.

ECONOMETRÍA I

2) DESARROLLO:

El papel de los modelos econométricos en la investigación económica aplicada

Por ejemplo, sea el modelo estimado: ttt ZbXbbY 210

El conocimiento de los coeficientes b0, b1 y b2 nos permite realizar

Un análisis estructural: Se usa el modelo estimado para medir la relación entre

variables económicas. Nos permite evaluar el impacto en Yt de las variaciones

ocurridas en Xt y Zt.

La predicción: Se usa para predecir el valor futuro de una variable de interés, por

ejemplo predecimos Yt dados unos hipotéticos valores futuros para Xt y Zt.

R2, R2 modificada y Ṝ2

𝑅2 : Es un indicador del poder explicativo del modelo, indica en qué proporción la

variación de Y es explicado por el modelo de regresión.

𝑅2 modificado : Como sabemos, al considerar 𝑅2 como un indicador del poder

explicativo del modelo, debemos tomar en cuenta que al comparar 2 modelos con

diferentes números de variables explicativas, el modelo con más variables siempre

tendrá un 𝑅2 mayor.

Ṝ2 : Para determinar que tanto mejora el poder explicativo del modelo al adicionar

nuevas variables se propone una modificación en el cálculo del 𝑅2 al que se

denomina Ṝ2. Este coeficiente es sensible al número de variables adicionales, de

manera que si las variables adicionales no incrementan de manera significativa el

poder explicativo el Ṝ2 se reducirá.

3) RESPUESTA:

Como podemos a ver visto las diferentes definiciones de los puntos tocados con

anterioridad, pasamos a responder que los resultados que se llegará a obtener dado

cualquier expectativa a priori que tenga sobre la relación entre Y y las diversas

variables de X, es que se modificaran y ocurrirán un impacto en Y, dado que unos

hipotéticos valores en X varíe.